5.3 平面向量的数量积专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量数量积的概念理解与几何应用，通过分层题型训练提升数学抽象与几何直观能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|选择1-5、填空13|直接考查投影向量/数量、夹角计算|从投影与夹角的概念生成，落实数量积定义的直接应用| |性质辨析|多选9-11|辨析数量积性质及易错点|通过正误判断深化数量积运算律与垂直条件的推导逻辑| |几何综合应用|选择6-8、填空12/14、解答15-19|结合外接圆、三角形、菱形等图形的综合应用|从坐标运算过渡到几何情境，构建概念-性质-应用的完整逻辑链|

5.3 平面向量的数量积（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·山西大同·期中）已知向量且向量在向量上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量投影向量的定义，结合向量的模长，对比已知投影向量的系数即可求得数量积. 【详解】已知向量，则，因此， 又因为向量在向量上的投影向量为，即， 解得，故A正确. 2．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知向量，，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据求出的值，再根据向量夹角的计算公式求出向量与的夹角的余弦值，最后求出夹角. 【详解】因为 ，， 所以， 解得，即. 所以. 故向量与的夹角为. 3．（25-26高三上·四川凉山·期末）已知，为单位向量，向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，均为单位向量，所以， 又在方向上的投影向量为，所以， 所以 . 4．（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模的计算及向量的数量积求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以． 5．（25-26高三上·贵州遵义·期中）已知为单位向量，，，则在上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算向量的模长，对两边平方求出，再代入投影数量公式计算即可. 【详解】由，可得， 已知，将等式两边平方并展开得， 又因为，所以解得； 则在上的投影数量为，故B正确. 6．（25-26高三上·辽宁大连·期末）已知在平面直角坐标系中，点在直线上．点，若向量在向量方向上的投影向量的模为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点S在直线上，故设，,由得，, 所以在方向上的投影向量的模为， 代入已知条件得： ，两边平方化简得： ， 得，展开整理得，解得，则， 故点S的坐标为. 7．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）如图，圆为的外接圆，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【分析】利用垂径定理得到向量在上的投影为对应弦长的一半，展开点积分别计算后求和. 【详解】取的中点，的中点，连接、， 由圆的垂径定理可知，，, 则， ，在中， 所以，同理可得， 因为，， 所以. 8．（25-26高三上·北京西城·期末）在中，，，P为所在平面内一点，则的最小值为（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出向量的数量积，再结合配方的方法求得最值. 【详解】，以为原点，方向为轴，方向为轴建立平面直角坐标系，如下图所示 因为， 所以，，， 设，则，，， 所以， 则， 配方可得， 因为，，当，时二者最小值都是0， 所以的最小值为，故选项B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·重庆綦江·期末）已知，，则（     ） A． B．若，则 C．若，在方向上的投影向量的坐标为 D．若，则 【答案】AC 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：若，则，解得，故B错误； 对于选项C：若，则，可得，， 所以在方向上的投影向量的坐标为，故C正确； 对于选项D：若，则，解得，故D错误. 10．（25-26高三上·广东惠州·期末）已知平面向量，则下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．且，则或 【答案】BC 【分析】根据向量模、平行、垂直、夹角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】若，则，得，故A正确； 平面向量， 则，解得或，故B错误； 若，则，得，故C错误； 由（对应点在轴），， 可得或，故D正确. 11．（25-26高三上·新疆昌吉·期中）设、、是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题中不正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．不与垂直 【答案】ABD 【分析】选项A：根据数量积运算律及平面向量垂直的判定即可判断；选项B：根据向量的数量积即可判断；选项C：通过计算，及平面向量垂直的判定即可判断；选项D：根据平面向量垂直的判定即可判断． 【详解】因为、、是任意的非零向量，且相互不共线， 选项A：由，则， 由不共线，可得，得，故A错误； 选项B：设和的夹角为，则，则，故B错误； 选项C：由，则两边平方得，即，故C正确； 选项D：由， 所以与垂直，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三上·广东深圳·专题练习）已知的外接圆圆心为O，，则________. 【答案】 【分析】由图结合数量积几何意义可得答案. 【详解】 . 如图，过点O作于点E，于点F. 根据数量积的几何定义，得 . 13．（25-26高三上·贵州遵义·期中）已知向量，，，若，则__________． 【答案】 【分析】计算的坐标，利用向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为，，则. 又，则 . 即 ，整理得，解得. 14．（25-26高三上·贵州安顺·期末）在中，，，，为的中点，点在线段上（不含端点）.若为的中点，且，则的最小值为________.当为的中点，且与交于点时，_______. 【答案】 2 / 【分析】利用三点共线定理，得到，再运用基本不等式中的乘“1”法，即可得的最小值；将转化为与所成角，再将用基底来表示，再运用向量夹角余弦公式，即可得解. 【详解】 由题可知，. 由三点共线定理可知，若点在线段上，故存在， 使得，代入，得 已知 ，由平面向量基本定理可知，，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为； 由余弦定理可知，，代入，解得， 因为，故，即. 由图可知，即与所成角，， ， ，， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知向量，，. (1)求向量与的夹角的大小； (2)求向量在方向上的投影； (3)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）已知向量，， ， ，， 则， 又，， 即向量与的夹角的大小为. （2）已知向量，， ，， 所以向量在方向上的投影为. （3）由题意可得， ，， 可得，即. 16．（25-26高三上·四川资阳·阶段检测）已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与夹角的余弦值． 【答案】(1)6或 (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线分两类情况，利用向量数量积的定义计算即得； (2)利用向量数量积的运算律计算即得； (3)利用向量垂直的表达式列方程求解即得. 【详解】（1）由可知方向相同或方向相反， 当方向相同时，； 当方向相反时，. （2）因，的夹角为，则， 于是. （3）由可得， 解得，即与夹角的余弦值为. 17．（25-26高三上·全国·课后作业）如图，在菱形中，其对角线．求： (1)； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用菱形对角线垂直平分及边长关系，结合向量数量积公式与夹角余弦值求解； （2）根据投影定义，直接代入向量模长和夹角余弦计算； （3）根据投影定义，直接代入向量模长和夹角余弦计算； 【详解】（1）根据菱形的性质得， 为直角三角形，且． ． （2）在上的投影的数量为． （3）在上的投影的数量为 ． 18．（25-26高三上·贵州遵义·期中）如图，在中，已知，，，，N为AC中点，AM交BN于点P. (1)求BN的长； (2)求的值； (3)求的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，选择为平面内一组基底，根据向量线性运算用基底表示，再利用模长公式求解； （2）用基底表示，结合数量积的运算律求； （3）将转化为向量夹角，利用数量积定义求，进一步得到. 【详解】（1）由已知得，所以. 因为N为AC中点，所以， 所以； （2）， 则 （3）， ， 由（1）得，所以， 又因为，所以. 19．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）如图，正方形的边长为，、分别是、边上的动点，且满足，与相交于点．    (1)若为中点，求的值； (2)（ⅰ）求证：在运动过程中，恒有； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，则，，，，             ，，             ，             故，                 故恒有．     （ⅱ） 【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，则，，，，             ，， ． （2）（ⅰ）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    设， 则，，，， ，， ， 故， 故恒有． （ⅱ）由（ⅰ）知，所以点轨迹是以为直径的圆在正方形内部的部分． 设在上的投影向量为，则 ， 由M点轨迹知，与同向共线，且， 故. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 平面向量的数量积（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·山西大同·期中）已知向量且向量在向量上的投影向量为，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知向量，，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川凉山·期末）已知，为单位向量，向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·贵州遵义·期中）已知为单位向量，，，则在上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·辽宁大连·期末）已知在平面直角坐标系中，点在直线上．点，若向量在向量方向上的投影向量的模为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）如图，圆为的外接圆，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．20 8．（25-26高三上·北京西城·期末）在中，，，P为所在平面内一点，则的最小值为（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·重庆綦江·期末）已知，，则（     ） A． B．若，则 C．若，在方向上的投影向量的坐标为 D．若，则 10．（25-26高三上·广东惠州·期末）已知平面向量，则下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．且，则或 11．（25-26高三上·新疆昌吉·期中）设、、是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题中不正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．不与垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三上·广东深圳·专题练习）已知的外接圆圆心为O，，则________. 13．（25-26高三上·贵州遵义·期中）已知向量，，，若，则__________． 14．（25-26高三上·贵州安顺·期末）在中，，，，为的中点，点在线段上（不含端点）.若为的中点，且，则的最小值为________.当为的中点，且与交于点时，_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知向量，，. (1)求向量与的夹角的大小； (2)求向量在方向上的投影； (3)若，求实数k的值. 16．（25-26高三上·四川资阳·阶段检测）已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与夹角的余弦值． 17．（25-26高三上·全国·课后作业）如图，在菱形中，其对角线．求： (1)； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 18．（25-26高三上·贵州遵义·期中）如图，在中，已知，，，，N为AC中点，AM交BN于点P. (1)求BN的长； (2)求的值； (3)求的大小. 19．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）如图，正方形的边长为，、分别是、边上的动点，且满足，与相交于点．    (1)若为中点，求的值； (2)（ⅰ）求证：在运动过程中，恒有； （ⅱ）求的最大值． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $