第三章 圆的基本性质（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材浙教版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 圆的基本性质·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·青海西宁·期中）下列说法：①长度相等的弧是等弧：②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等，④平分弦的直径垂直于弦，你认为正确的共有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，解题的关键是掌握圆的相关性质． 本题考查圆的基本性质，包括等弧、弦、圆心角等概念，需要根据圆的性质逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解： ① 长度相等的弧必须是同圆或等圆中才称为等弧，故错误； ② 直径是圆中最大的弦，正确； ③ 相等的圆心角所对的弦相等必须在同圆或等圆中才成立，故错误； ④ 平分弦的直径垂直于弦，必须弦不是直径才成立，故错误。 ∴ 正确的只有②，共1个， 故选：B． 2．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，将沿翻折刚好过圆心O，交弦于点D，，的半径为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接过点作于点连接作于点求出，，求出，由垂径定理得到，证明是等边三角形，则，设，则，，得到，在中利用勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：连接过点作于点连接作于点如图所示：则 ∵将沿翻折刚好过圆心O，交弦于点D， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由折叠性质得：等于原来的优弧所对的圆周角， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， 在中，， 即 解得， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，的直径，是的弦，是弧的中点，与相交于点．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的推理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，连接，设与相交于点，由是弧的中点可得，，进而得到，即可证明，得到，又由得到，即得到，求得，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， ∵是弧的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，是的直径，与相交于点D，，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，连接．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的一半，垂径定理，直径所对的圆周角为，等腰三角形的性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 由垂径定理，得到，，故①③正确，证明，故②正确，推导出，得到，继而证明，得到，则，故④正确，即可解答． 【详解】解：∵是的直径，与相交于点D，， ∴， ∴，故①③正确， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，①②③④全部正确． 故选D． 5．（25-26九年级上·天津·期中）已知：如图，在中，是直径，弦垂直平分半径，交于点，连接、．有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】①连接，根据作图过程可证得为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；②根据弦垂直平分半径可得，根据垂径定理可判断；③根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可判断． 【详解】解：连接， ∵弦垂直平分半径， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵弦垂直平分半径， ∴， 根据垂径定理可知， ∴， ∴，①正确； ∵弦垂直平分半径， ∴， 根据垂径定理可知，，，②正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴，③正确； 故选：D． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，得到点在以点为圆心的上运动，当点三点共线时，的值最小，由半圆或直径所对圆周角为直角，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当点在上运动时，点在以为直径的圆弧上运动，该弧交于点，与交于点，如图所示， 取线段的中点为，连接， ∴点在以点为圆心的上运动， 在中，，点为中点，， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小， 在中，是直径，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是的内接等边三角形，点是上一点，连结，，若，，则的周长为（   ） A． B． C．25 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，连接，根据等腰直角三角形的性质得到，证明，得到，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接， ，， ． ． ． 为等边三角形， ． 由圆周角定理得：，， ． 四边形为的内接四边形，     ． ． 又，， ． ． ． 故选：A． 8．如图，在四边形中，，则的最大值（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，连接，在上取一点，使得，根据题意可得四点共圆，再证明得到，故可得到当最大时，四边形的周长最大，则最大，根据解直角三角形的性质得到的长，即可求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、解直角三角形的性质． 【详解】解：如图，连接，在上取一点，使得， ∵，， ∴， ∴四点共圆， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， ∵， ∴当最大时，四边形的周长最大，则最大， ∴当是的外接圆的直径时，最大， 此时点在中点处， ∴， ∴， ∴最大值为， 故选：． 9．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接，，，，根据圆的性质求得半径，进而根据等边三角形的性质得出，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 的长度为， 故选：C 10．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，将半径为1，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，点O，B的对应点分别为O'，B'，连接，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积，熟练掌握割补法是解题的关键． 连接，，根据题意可推得，，，三点共线，利用扇形面积公式和三角形面积公式求解即可． 【详解】解：连接，, 由题可知，，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形， ， ， ， 则，，三点共线， 在中，，则，， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的直径，于M，且，则线段的长是________． 【答案】3 【分析】由垂径定理得，设，则，，，根据勾股定理得，求出或（舍去），代入计算即可． 【详解】解：∵是的直径，于M，， ∴， ∵, 设，则，，， 根据勾股定理得即， 解得或（舍去）， ∴． 12．（2026·甘肃陇南·一模）如图，为的直径，C、D为上位于直径异侧的两点，C是弧的中点，连接、，交于点P，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】连接、，根据弧相等，得到圆心角，利用圆周角定理得出，根据等边对等角可得，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 为的直径，C是弧的中点， ， ，， ， ， ， ， ． 13．（25-26九年级下·河北衡水·期中）下图是一款机械零件的工程图纸，是的弦，直径于点E，点F是上一点，连接，，．已知，，则______________． 【答案】65 【分析】连接，由圆周角定理可得，由平角的定义可得，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 14．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则_________． 【答案】4或 【分析】本题考查了不共线三点确定一个圆，求一次函数解析式，解一元二次方程等知识；根据题意求出直线的解析式，把点C的坐标代入函数解析式中，求得m的值，则当m不取这些值时，三点不共线，能确定一个圆． 【详解】解：直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 把点C的坐标代入得：， 即， 解得：， ∴当或时，A、B、C三点能确定一个圆； 故答案为：4或． 15．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知正八边形的中心是点，连接，，，点是的重心，如果，那么线段的长等于________． 【答案】 【分析】利用正八边形的性质，确定顶点共圆与各点位置关系，确定为等腰直角三角形，再结合勾股定理以及三角形重心的性质计算的长度． 【详解】解：如图所示， ∵正八边形的中心为点， ∴正八边形所有顶点都在以为圆心的同一个圆上， 正八边形的中心角为，顶点之间各间隔1条边，相邻两点对的中心角为，且三点共线，是中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点是的重心， ∴． 16．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，绕点逆时针旋转线段，使点落在轴上的点处，连接．则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】/ 【分析】先求出反比例的解析式，联立方程，求出点的坐标，再求出一次函数与坐标轴的交点，判断出为等腰直角三角形，推出，然后根据阴影部分的面积为即可求解． 【详解】∵据题意可知，点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数为， ∵为一次函数的图象与反比例函数的交点， ∴， ∵，整理得：，解得：，， ∴点， ∵与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，即，当时，，即， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转线段，使点落在轴上的点处， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，A，B，C均为上的点，连接，，，，且，D为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，过点C作交于点P； (2)在图②中，过点B作的垂线，垂足为Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长交于点P，连接即可； （2）连接交于一点，连接点B与该交点并延长，交于点Q即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； 证明：如图②，连接， ， ， ， ， ， ， ； 4分 （2）解：如图，线段即为所求． 证明：， ， ∵为的半径， ， 为的中点，， ， 的三条高线交于一点， ． 8分 18．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1) (2)若，，求的长度． 【答案】 (2) 【分析】本题主要考查作图－复杂作图、圆心角、弧、弦的关系、三角形的外接圆与外心等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）如图，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可； （2）如图：连接，设交于点D可得，垂直平分，则，可知为等边三角形，则，再利用弧长公式计算即可． 【详解】(1) 如图，圆O即为所求． 4 （2）解：如图：连接，设交于点D， ， ，， 垂直平分， ， 为等边三角形， ， 的长度为 8分 19．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的度数； (2)若弦分为的两部分，点在上，求弦所对的圆周角的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，再根据三角形的内角和定理，结合已知求得，进而可求解； （2）先根据弧和圆心角的关系求得，再分点F在优弧上和点F在劣弧上，利用圆周角定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，则，而， ∴， ∵，， ∴. 4分 （2）解：如图，连接、、， ∵分为的两部分， ∴， 若点F在优弧上， ∴； 若点F在劣弧上， ∴． 8分 20．（8分）如图，正六边形为的内接正六边形． (1) 度； (2)比较劣弧与正六边形最长对角线的长度哪个更长？ (3)连接，M为线段上的动点，连接，，的半径为r，求和的面积和（用含r的式子表示）． 【答案】(1)60 (2)劣弧比正六边形最长对角线的长． (3) 【分析】本题考查圆与正多边形的基本性质，能够正确做出辅助线是解题关键． （1）根据正多边形性质求解即可； （2）连接，，为正六边形最长对角线，通过弧长公式算出劣弧的长度与比较即可； （3）如图，过点作于点，先求出的长度，再分别用r表示出和的面积，再相加计算即可． 【详解】（1）解：∵正六边形为的内接正六边形． ∴，故答案为：60． 2分 （2）如图，连接，，为正六边形最长对角线， 设的半径为，则，， ∴， ∴劣弧的长度为：， ∴劣弧比正六边形最长对角线的长． 4分 （3）如图，过点作于点， ∴， ∵正六边形的内角和为：， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 又∵正六边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴ 8分 21．（8分）（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知扇形的半径为10，圆心角为，点是劣弧上的一个动点，连接，，于点，于点，连接． (1)若将此扇形围成一个无底圆锥，那么圆锥的侧面积是多少？（保留） (2)求的长度； (3)直接写出的外接圆半径的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了圆锥的侧面积、垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理、三角形的外接圆等知识，添加适当的辅助线是关键． （1）根据圆锥的侧面积即为扇形的面积即可求出答案； （2）利用勾股定理求出，再根据垂径定理得到是的中位线，即可求出答案； （3）证明在以为直径的圆上，即可求出的外接圆半径的值． 【详解】（1）解：由题意可得，圆锥的侧面积是 2分 （2）连接， ∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴是的中位线， ∴； 6分 （3）连接， ∵于点，于点， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∴的外接圆半径的值为． 8分 22．（10分）（2026·江苏盐城·中考真题）如图1所示的标志由正方形和圆构成．如图2，正方形的边，分别为，的直径，经过点，点，，是，，两两的公共点． (1)求的度数； (2)探究：仅用直尺在图2中画出一条的弧，请用符号表示该弧，并说明理由． 【答案】(1)的度数为； 【分析】（1）连接，，证明是等边三角形，据此即可求解； （2）连接，，，，证明点共线，推出，，据此即可得到的度数为． 【详解】（1）解：连接，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的度数为； 5分 （2）解：如图，即为所作． 连接，，， ∵正方形的边，分别为，的直径， ∴，， ∴， ∴点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为， ∴即为所作． 10分 23．（10分）（2026·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，以为直径作半圆．将半圆以点为中心顺时针旋转，旋转角为，半圆弧与交于点． (1)如图2，当时， ①求的长； ②求半圆被所截的弓形面积． (2)当的长与的长相等时，求的度数． (3)若半圆与重合的弧长恰好为半圆弧的一半时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①连接，由旋转的性质可得，，由圆周角定理可得，使用三角函数计算出，进而得到； ②由勾股定理可得，计算得，则．由直角三角形的性质可得，则，用扇形面积减去三角形的面积即可； （2）连接，同理（1）可得，则，利用长度相等构造方程，求解即可； （3）分两类讨论，当半圆弧与相交时，连接，容易证明是等腰直角三角形，则；当半圆弧与相交时，设交点为，连接，同理，则． 【详解】（1）解：①如图，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵是半圆的直径， ∴， 在中，， ∴； ②如图，连接， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， ∴； 4分 （2）解：如图，连接， 同理（1）可得，， ∴， ∵的长与的长相等， ∴， 解得； 7分 （3）解： ①当半圆弧与相交时，如图，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②当半圆弧与相交时，如图，设交点为，连接， 同理①可得，是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 10分 24．（12分）如图，中，，点在上，在延长线上． (1)如图，若，，延长交于，求证：； (2)如图，若，点为中点，连接，，求证：； (3)如图 ，若，，为线段上的一点，，求的最大值． (3) 【分析】（1）先证明是等边三角形，再利用“”即可证明全等； （2）取的中点，连接，延长至点，使，、交于点，连接、，延长交于点，则是的中位线，利用全等三角形和等边三角形的性质，推出，，，四点共圆，再证明出，即可证明结论． （3）以为边构造等边三角形，则，，，四点共圆．令的外心为点，则点在以点为圆心，为半径的圆上，过点作于点，则，，设，利用勾股定理求出即，．过点作的平行线，在的平行线截取，与交于点，连接、，则四边形是平行四边形，当，，三点共线时，取最大值，再结合勾股定理证明为等边三角形，即可得解． 【答案】(1)证明：，， 是等边三角形， ，， ． ， ． 2分 (2)证明：如下图，取的中点，连接，延长至点，使，、交于点，连接、，延长交于点， 为的中点，点为的中点， 是的中位线，， ，． ， ， ，， ， ． ，， ， 是等边三角形． ． ， ． ， ， ，，，四点共圆． ． ， ，，， ． 是等边三角形，， ． ， ， ， ， ． 7分 （3）解：以为边构造等边三角形， ． ， ，即，，，四点共圆． 令的外心为点，则点在以点为圆心，为半径的圆上，过点作于点， ， ∵点为等边的外心， ， ． 设，则， 根据勾股定理可得，即， 解得，即，． 过点作的平行线，在的平行线截取，与交于点，连接、， ，， 四边形是平行四边形， ． ， 当，，三点共线时，取最大值， ，， ， ． 根据勾股定理可得， 即，解得． ，． ， 为等边三角形， ， ． 12分 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 圆的基本性质·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·青海西宁·期中）下列说法：①长度相等的弧是等弧：②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等，④平分弦的直径垂直于弦，你认为正确的共有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，将沿翻折刚好过圆心O，交弦于点D，，的半径为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，的直径，是的弦，是弧的中点，与相交于点．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，是的直径，与相交于点D，，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，连接．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26九年级上·天津·期中）已知：如图，在中，是直径，弦垂直平分半径，交于点，连接、．有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是的内接等边三角形，点是上一点，连结，，若，，则的周长为（   ） A． B． C．25 D． 8．如图，在四边形中，，则的最大值（    ） A． B．4 C．5 D． 9．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，将半径为1，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，点O，B的对应点分别为O'，B'，连接，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的直径，于M，且，则线段的长是________． 12．（2026·甘肃陇南·一模）如图，为的直径，C、D为上位于直径异侧的两点，C是弧的中点，连接、，交于点P，若，则的度数为______． 13．（25-26九年级下·河北衡水·期中）下图是一款机械零件的工程图纸，是的弦，直径于点E，点F是上一点，连接，，．已知，，则______________． 14．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则_________． 15．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知正八边形的中心是点，连接，，，点是的重心，如果，那么线段的长等于________． 16．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，绕点逆时针旋转线段，使点落在轴上的点处，连接．则图中阴影部分的面积为_______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，A，B，C均为上的点，连接，，，，且，D为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，过点C作交于点P； (2)在图②中，过点B作的垂线，垂足为Q． 18．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1) (2)若，，求的长度． 19．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的度数； (2)若弦分为的两部分，点在上，求弦所对的圆周角的度数． 20．（8分）如图，正六边形为的内接正六边形． (1) 度； (2)比较劣弧与正六边形最长对角线的长度哪个更长？ (3)连接，M为线段上的动点，连接，，的半径为r，求和的面积和（用含r的式子表示）． 21．（8分）（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知扇形的半径为10，圆心角为，点是劣弧上的一个动点，连接，，于点，于点，连接． (1)若将此扇形围成一个无底圆锥，那么圆锥的侧面积是多少？（保留） (2)求的长度； (3)直接写出的外接圆半径的值． 22．（10分）（2026·江苏盐城·中考真题）如图1所示的标志由正方形和圆构成．如图2，正方形的边，分别为，的直径，经过点，点，，是，，两两的公共点． (1)求的度数； (2)探究：仅用直尺在图2中画出一条的弧，请用符号表示该弧，并说明理由． 23．（10分）（2026·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，以为直径作半圆．将半圆以点为中心顺时针旋转，旋转角为，半圆弧与交于点． (1)如图2，当时， ①求的长； ②求半圆被所截的弓形面积． (2)当的长与的长相等时，求的度数． (3)若半圆与重合的弧长恰好为半圆弧的一半时，请直接写出的度数． 24．（12分）如图，中，，点在上，在延长线上． (1)如图，若，，延长交于，求证：； (2)如图，若，点为中点，连接，，求证：； (3)如图 ，若，，为线段上的一点，，求的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章圆的基本性质·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.B 2.D 3.B 4.D 5.D 6.D 7.A 8.D 9.C 10.C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.3 12.67° 13.65 14.4或-2 15.V2 16.4π-3/-3+4π 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)解：如图①，PC即为所求： 1/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图① 证明：如图②，连接BP, .AB=BC B 图② .'AB=BC, ∴.∠APB=∠BPC, .∠APC=2∠APB, ,∠AOB=2∠APB ∴.APC=∠AOB, ∴.PCOB: 4分 (2)解：如图，线段BQ即为所求. B 证明：，AB=BC, ∴.AB=BC, OB为⊙O的半径， ∴.OB⊥AC, .D为AB的中点，OA=OB .OD⊥AB .:△OAB的三条高线交于一点， ∴.BQ⊥AO 8分 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(8分) 【详解】(1) 如图，圆O即为所求. (2)解：如图：连接OB,OC,OA,设OA交BC于点D, .BC=120°， ∴.∠B0C=120. AB=AC,OB=OC, ∴.OA垂直平分BC, .∠B0A=∠B0C=60, △AOB为等边三角形， ∴.OA=OB=AB=6, .AB的长度 60π×6=2元. 180 8分 19.(8分) 【详解】(1)解：，OM=OB, ∴.∠B=∠M, .∠DOB=∠B+∠M=2∠M, ,CD⊥AB,则∠DOB+∠D=90°，而∠D=2∠M, .2∠M+2∠M=90°， .∠M=22.5°，∠D=2∠M, 3/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠D=45° 4分 (2)解：如图，连接OC、CF、DF, .CD分⊙O为5：7的两部分， 5 .∠COD= ×360°=150°， 5+7 若点F在优弧CAD上， 1 ∠CFD=2∠COD=759: 若点F在劣弧CD上， .∠CFD=180°-75°=105°. 8分 20.(8分) 【详解】(1)解：，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形. ·∠A0F=360 =60°，故答案为：60. 2分 6 (2)如图，连接OE,CF,CF为正六边形ABCDEF最长对角线， 设⊙O的半径为r,则CF=2r,AO=OE=r, :∠A0E=360°×2=1200， 6 4/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 120° 劣弧AE的长度为： 180° ×r=专r>2r, 3 ,劣弧AE比正六边形ABCDEF最长对角线的长. 4分 (3)如图，过B点作BG⊥AC于G点， ∴∠AGB=90°， ,正六边形的内角和为：6-2×180°=720， 六∠ABC=∠AB=∠DCB=720°=120， 6 ,∠AOF=60°，OF=OA, ∴，△FOA为等边三角形， ∴.AF=r, 又，正六边形ABCDEF, ∴.CD=CB=AB=AF=r, ·∠BAC=∠BCA=30°， .GB-r,AG-GC. ·AG=AB-BG-3 r, ..AC=3r, .∠FAB=∠DCB=120°，∠BAC=∠BCA=30°， ∴.∠FAC=∠ACD=90°， 5。AFx AM--r×M,SM-CDxCM-Fx CM, 8w+8m-字raM+rCi-r×a+aM-r×ac=rr-盟 8分 21.(8分) 5/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由题意可得，圆锥的侧面积是 90π×102 =25π 2分 360 (2)连接AB, A .OA=B0=10,∠AOB=90°， ·AB=0A2+0B=/102+10=102 OD⊥AC于点D,OE⊥BC于点E, ∴.AD=CD,CE=BE, .DE是△ABC的中位线， DE=号AB=55, 6分 (3)连接OC, ,OD⊥AC于点D,OE⊥BC于点E, ∴.∠ODC=∠OEC=90°， ∴O,E,C,D在以OC为直径的圆上， AODE的外接圆半径R的值为OC=×103 8分 2 22.（10分) 【详解】(1)解：连接FG,BG, A D G K B 6/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意得FG=FB=BC,BG=FB, ..BG=FB=FG △BGF是等边三角形， .∠FBG=60°， ∴.GF的度数为60°： 5分 (2)解：如图，GK即为所作. 连接AC,AK,CK, D E G B ,正方形ABCD的边AB,BC分别为⊙E,OF的直径， ∠AKB=90°，∠CKB=90°， .∠AKB+∠CKB=180°， 点A、K、C共线， .∠BCK=45°， .∠CBK=90°-45°=45， ,∠FBG=60°， .∠KBG=∠FBG-∠CBK=60°-45°=15°， ∴.GK的度数为15°， GK即为所作. 10分 23.(10分) 【详解】(1)解：①如图，连接CH, 7/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com ◆ 上好每一堂课 B 由旋转的性质可得，AC=AC=4,∠CAC=30°， ,AC是半圆O的直径， .∠AHC=90°， 在Rt△ACH中，AH=AC·cos∠CAC=4×cos30°=2V3, ∴.CH=AC-AH=4-2V3: ②如图，连接OH, B 在Rt△ACH中，点O是斜边AC的中点， :0H=0a-号AC=2, .∠OHA=∠CAC=30°， ∴.∠AOH=180°-∠OHA-∠CAC=120°， 由勾股定理可得，CH=VAC2-AH=2 5cmC1AI-x2×25=283 .SAOAH 号S6ACn=R3, e=58a-5w-2-8-a 3 4分 (2)解：如图，连接OH, 8/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理1)可符，0H=0A=AC=2, ∴.∠AOH=180°-2∠CAC=180°-2a, ,AH的长与AC的长相等， :1802cm-2=4 180 解得=90-180 7分 (3)解：①当半圆弧与AC相交时，如图，连接OH, ,点H是弧AC的中点， ∴.OH1AC, .OA=OH, ∴.△OAH是等腰直角三角形， ∴.a=∠CAC=45°： ②当半圆弧与AB相交时，如图，设交点为G,连接OG, 同理①可得，△OAG是等腰直角三角形， ∴.∠BAC=45°， 9/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，∠BAC=60°， ∴.a=∠CAC=∠BAC+∠BAC=105°： 综上所述，的度数为45°或105°. 10分 24.(12分) 【答案】(I)证明：，'∠ACB=60°，BC=CD, '.△BCD是等边三角形， .∴.BD=CD,∠BDC=∠BCD=60°， ∴.∠ADB=∠DCE=120°. AD=CE, ∴.△ABD≌△EDC SAS. 2分 (2)证明：如下图，取BE的中点G,连接FG,延长AF至点H,使FH=AF,FH、BC交于点I,连 接BH、HG,延长ED交AF于点K, B .F BD G BE G H 为的中点，点为 的中点， ∴.FG是△BDE的中位线，BF=DF, ∴.FG‖DE,DE=2FG .∠AFD=∠BFH, ∴.△AFD≌△HFB SAS, .∠DAF=∠BHI,AD=HB, ∴.BH‖AD .∴.∠HBG=∠ACB=60° BE=2AD,BE=2BG, ∴.AD=BG=HB ∴.△BGH是等边三角形. .∴.∠BGH=∠BHG=∠BHI+∠IHG=60°. 10/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAF+∠CBD=60°， .∴.∠CBD=∠IHG .∠BIF=∠GIH, ∴.∠DFK=∠BFI=∠BGH=60°， ∴.B,F,G,H四点共圆 ∴.∠HFG=∠HBG=60. .FG‖DE ∴.∠FKD=∠HFG=60°，∠E=∠BGF,∠BFG=∠BDE, ∴.∠FKD=∠KFD=∠FDK=60°. .∴.△DFK是等边三角形，∠AKD=∠BDE=∠BFG=∠DCE=120°， ∴.DK=FK=DF=BF, .∠ADK=∠CDE, .∴.∠DAF=∠E=∠BGF, .∴.△ADK2△GBF AAS, ∴.AK=GF, .BD+DE=2BF+2FG=2FK+2AK=2AK+FK=2AF. 7分 (3)解：以BE为边构造等边三角形△BEM, .∴.∠BME=60° B .∠BDE=1209 M ∴.∠BDE+∠BME=180°，即B,M,E,D四点共圆. 令△BEM的外心为点O,则点D在以点O为圆心，OB为半径的圆上，过点O作ON⊥BE于点N, ..BN=-BE=3, ,点O为等边△BEM的外心， 11/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠OBE=∠MBE=30°， ON-OB. 设OB=,则ON=2七】 根据勿股完可得0N炉+8N2-=0公，即行×+32=×之 2 解得x=2V3,即OB=OD=2V3,ON=V3】 过点O作AC的平行线，在AC的平行线截取OO=AD=3,OO与BE交于点K,连接AO、GO, O' .OO=AD OOAD 、KN B E ..四边形ADOO是平行四边形， ∴.OA=0D=2V3. .AG≤OA+OG, ∴当A,O,G三点共线时，AG取最大值， .OO‖AD,∠ACB=60, ∴.∠OKN=∠OKG=∠ACB=60°， ∴KW=0Kcos60°=0K. 2 根据勾股定理可得KN+ON=OK, 号0k+R3了-0K解得oK=2 ∴KN=0K=1,K0=00-0K=1 .∴.GK=BN-BG-KN=1, ..△GKO为等边三角形， 12/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.G0=1, ∴.AG=G0+A0=1+2V3. 12分 13/13………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 圆的基本性质·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·青海西宁·期中）下列说法：①长度相等的弧是等弧：②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等，④平分弦的直径垂直于弦，你认为正确的共有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，将沿翻折刚好过圆心O，交弦于点D，，的半径为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，的直径，是的弦，是弧的中点，与相交于点．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，是的直径，与相交于点D，，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，连接．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26九年级上·天津·期中）已知：如图，在中，是直径，弦垂直平分半径，交于点，连接、．有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是的内接等边三角形，点是上一点，连结，，若，，则的周长为（   ） A． B． C．25 D． 8．如图，在四边形中，，则的最大值（    ） A． B．4 C．5 D． 9．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，将半径为1，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，点O，B的对应点分别为O'，B'，连接，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的直径，于M，且，则线段的长是________． 12．（2026·甘肃陇南·一模）如图，为的直径，C、D为上位于直径异侧的两点，C是弧的中点，连接、，交于点P，若，则的度数为______． 13．（25-26九年级下·河北衡水·期中）下图是一款机械零件的工程图纸，是的弦，直径于点E，点F是上一点，连接，，．已知，，则______________． 14．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则_________． 15．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知正八边形的中心是点，连接，，，点是的重心，如果，那么线段的长等于________． 16．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，绕点逆时针旋转线段，使点落在轴上的点处，连接．则图中阴影部分的面积为_______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）如图，A，B，C均为上的点，连接，，，，且，D为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，过点C作交于点P； (2)在图②中，过点B作的垂线，垂足为Q． 18．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1) (2)若，，求的长度． 19．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的度数； (2)若弦分为的两部分，点在上，求弦所对的圆周角的度数． 20．（8分）如图，正六边形为的内接正六边形． (1) 度； (2)比较劣弧与正六边形最长对角线的长度哪个更长？ (3)连接，M为线段上的动点，连接，，的半径为r，求和的面积和（用含r的式子表示）． 21．（8分）（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知扇形的半径为10，圆心角为，点是劣弧上的一个动点，连接，，于点，于点，连接． (1)若将此扇形围成一个无底圆锥，那么圆锥的侧面积是多少？（保留） (2)求的长度； (3)直接写出的外接圆半径的值． 22．（10分）（2026·江苏盐城·中考真题）如图1所示的标志由正方形和圆构成．如图2，正方形的边，分别为，的直径，经过点，点，，是，，两两的公共点． (1)求的度数； (2)探究：仅用直尺在图2中画出一条的弧，请用符号表示该弧，并说明理由． 23．（10分）（2026·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，以为直径作半圆．将半圆以点为中心顺时针旋转，旋转角为，半圆弧与交于点． (1)如图2，当时， ①求的长； ②求半圆被所截的弓形面积． (2)当的长与的长相等时，求的度数． (3)若半圆与重合的弧长恰好为半圆弧的一半时，请直接写出的度数． 24．（12分）如图，中，，点在上，在延长线上． (1)如图，若，，延长交于，求证：； (2)如图，若，点为中点，连接，，求证：； (3)如图 ，若，，为线段上的一点，，求的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $