第三章 圆的基本性质 全章高频重点题型突破（九大高频+四大重难题型，专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

第三章 圆的基本性质 全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 圆的基本概念与对称性 题型 2 点与圆的位置关系及三角形的外接圆 题型 3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 题型 4 垂径定理及其基础应用 题型 5 圆周角定理及其推论的应用 题型 6 圆内接四边形的性质应用 题型 7 正多边形与圆的计算 题型 8 弧长及扇形面积的计算 题型 9 圆锥侧面积与展开图的计算 核心提升：重难题型归纳 题型 1 垂径定理综合应用与分类讨论 题型 2 圆中角度关系的综合转化 题型 3 动点路径、轨迹最值与旋转问题 题型 4 旋转扫过面积、不规则图形面积及圆锥展开图综合 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 圆的基本概念与对称性 1．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 【答案】C 【分析】根据圆的相关性质与菱形的判定定理，逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，当弦本身是直径时结论不成立，故该选项错误； B．等弧是能完全重合的弧，必须在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，仅长度相等不能保证是等弧，故该选项错误； C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确； D．不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，故该选项错误． 2．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 3．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． ◆题型2 点与圆的位置关系及三角形的外接圆 4．已知点在半径为的上，点在外，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形三边关系，掌握相关性质定理是解题的关键．根据点与圆的位置关系可得，，分两种情况讨论：当、、三点不共线时，根据三边关系确定的取值范围；当、、三点共线，根据线段和差关系确定的值，即可得解． 【详解】解：点在半径为的上， ， 点在外， ， 当、、三点不共线时，在中，，， 由三角形三边关系可得：， 即， ， ， 当、、三点共线，且点在点与点之间时，． 的取值范围为． 故选：C． 5．如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查矩形的性质，折叠的性质，圆周角定理，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． 根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，CF的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示： 由沿折叠得到， ， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，CF的长度最小，即， ∵矩形，， ， ∴在中，， ． 故选：A． 6．如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内心和外心定义，掌握圆周角定理和内心定义解决此题的关键． 连接，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点求得，利用圆周角定理求得，然后利用等边对等角和三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：连接， ∵I是的内心，， ∴， ∵点O是的外心， ∴， ∵， ∴， 故选：A． ◆题型3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 7．已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则=_______． 【答案】 【分析】利用点C，D对应的刻度分别为，，求出，，再根据求出，利用外角的性质得到，从而得解． 【详解】解：如图，连接，，    根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．如图，与关于直线对称，为圆心，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若为的中点且，求⊙的半径． 【答案】(1) 证明：∵与关于直线对称， ∴，； ∵为的圆心，， ∴， ∴； ∴， ∴四边形为菱形； (2) 【分析】本题考查了圆的垂径定理、轴对称的性质、菱形的判定定理以及勾股定理的应用，关键是结合轴对称性质得到线段的等量关系，利用垂径定理确定弦的中点，再通过设未知数结合勾股定理建立方程求解线段长度． （1）先根据轴对称的性质得到、，再由过圆心且，根据垂径定理推出，进而得到，由此证得四边形的四条边相等，依据四条边相等的四边形是菱形完成证明； （2）先由垂径定理求出的长度，结合为中点设，进而用表示出和半径，再在中根据勾股定理建立关于的方程，求解出的值后，代入计算即可得到⊙的半径． 【详解】（1）略 （2）解：设⊙的半径为， ∵，， ∴． ∵为的中点， ∴， 设，则． ∵与关于对称， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， 即，解得． ∴．故⊙的半径为． 9．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． 【答案】/52度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． 连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． ◆题型4 垂径定理及其基础应用 10．将一个半径为的半圆O，如图折叠，使弧经过点O，则折痕的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠性质，首先过点作交半圆于，垂足为，由垂径定理，即可得，又由折叠的性质得：，然后在中，求得的长，即可得的长． 【详解】解：过点作交半圆于，垂足为， ， 由折叠的性质得：， 半圆的半径为， ， 在中，， ． 11．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 12．月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． 【答案】这个月洞门所在圆的半径为 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 连接，设的半径为，则，，根据垂径定理可得，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：如图2，连接， 设的半径为，则，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 答：这个月洞门所在圆的半径为． ◆题型5 圆周角定理及其推论的应用 13．如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（     ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接，先由圆内接四边形对角互补求出，再由圆周角定理求出圆心角，再由径、弦、弧关系得出，然后借助圆的半径相等证得是等边三角形，得到弦的长等于圆的半径即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，则， 的半径为， ． 14．如图，是的直径，弦交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对顶角相等得出，已知，利用三角形内角和定理求出的度数，连接，因为是的直径，由圆周角定理可知，故可得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 15．如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是_____． 【答案】 【分析】由正六边形可知，，，，由，，可知在以为直径的圆上运动，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则，过作于，则，，则，，，勾股定理得，，根据的最小值为，计算求解即可． 【详解】解：由正六边形可知，，，， ∵，， ∴在以为直径的半圆上运动， 如图，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则， 过作于，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：． ◆题型6 圆内接四边形的性质应用 16．如图，已知四边形内接于，连接，，． (1)求证：； (2)若的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由内接四边形性质可得，从而有，然后通过等角对等边即可求证； （）连接，通过三角形内角和定理可得，由圆周角定理得，然后证明为等边三角形，再根据等边三角形性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， 由（1）可知，， ∴， 由圆周角定理得，， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 17．如图，经过原点，且与轴交于点，点、在上，已知，，则的半径为__________． 【答案】 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出，再利用三角形的内角和定理得出，进一步得出，最后利用勾股定理求值即可． 【详解】解： 经过原点，且与轴交于点， ． 四边形是圆内接四边形， ． ， ，为的直径， ， ． 在中， ，且为的直径， 的半径为． 18．如图，四边形内接于，若，则的度数是_______． 【答案】/度 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴ ◆题型7 正多边形与圆的计算 19．科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 20．如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先求出边数，进而即可得解． 【详解】解：多边形边数， ∴内角和为． 故答案为：． 21．如图，这是由一个照相机的光圈和快门抽象成的图形．若的半径为，是的中点，则图中阴影部分（正六边形）的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理；连接，过点O作于点D，先证明，再解直角三角形求出的长度，再根据等边三角形的性质和勾股定理，结合三角形面积公式，求出的面积，最后求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，过点O作于点D，如图所示： ∵图中阴影部分为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点B为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型8 弧长及扇形面积的计算 22．如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点B从开始到结束所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用含角的直角三角形的性质得，从而得出点B经过的路径是圆心角，半径为的弧，代入弧长公式计算即可． 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∴， ∵绕点C顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴点B经过的路径是圆心角，半径为的弧， ∴点B从开始到结束经过的路径长为：． 23．如图，半圆的直径，、是半圆的3等分点，则阴影部分面积等于______．（保留） 【答案】 【分析】连接，由知，从而可得，根据C、D是半圆的3等分点且知，利用扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 则， ∵C、D是半圆的3等分点，且， ∴， 则． 24．如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，设圆心为，连接，过点作于点，得出是等边三角形，进而根据扇形面积减去等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即 ∴是等边三角形 ∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是 故选：C． ◆题型9 圆锥侧面积与展开图的计算 25．如图，已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为，则这个圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：等腰三角形的底边和高线长均为4cm， 圆锥的母线长为， 这个圆锥的侧面积，故选：C． 26．如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点A、B、C都在上，将这个扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的底面半径为______． 【答案】1 【分析】本题考查圆周角定理，求圆锥底面半径，连接，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴是的直径， ∵的半径为， ∴， 由题意，， ∴， 设圆锥的底面半径为，则， ∴；故答案为：1． 27．如图，已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面圆周上一点，且，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为___________． 【答案】/180度 【分析】本题考查了弧长公式．利用“圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长”这一核心等量关系，先根据底面半径求出底面圆的周长，再设侧面展开图扇形的圆心角为，结合扇形弧长公式建立方程，最后求解方程得到圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为． ∵圆锥底面半径，圆锥母线长， ∴由圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，可得， 解得，故答案为：． ◆题型1 垂径定理综合应用与分类讨论 1．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 2．已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 3．已知与相交于A、B两点，公共弦，既是内接正方形的一边，也是内接正三角形的一边，那么两圆的圆心距等于________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解直角三角形、正方形的性质、等边三角形的性质、内切圆的性质等知识点，灵活运用相关性质是解题关键． 先求圆圆心到的距离（内接正方形性质），再求圆圆心到的距离（内接正三角形性质），然后分当两圆心在公共弦异侧和同侧两种情况求解即可． 【详解】解：如图：连接，设与相交于点F， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵对于，是内接正方形的一边，圆心为正方形中心， ∴ ， ∴到的距离． ∵对于，是内接正三角形的一边，圆心为正三角形中心， ∴，， ∵， ∴，即，解得： ∴到的距离为内切圆半径，即． 当、在异侧时，圆心距． 当、在同侧时，延长与相交于点F， ∴圆心距． 故答案为或． ◆题型2 圆中角度关系的综合转化 4．如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上， ∴， ∴. 5．如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． 6．在中，，外接圆的半径为2，则______度． 【答案】60或120 【分析】分两种情况：为锐角三角形和为钝角三角形，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当为锐角三角形时， 设外接圆的圆心为点O，连接并延长交于点D，连接， ，， ∴， ， ∴； 如图2所示，当为钝角三角形时， 设外接圆的圆心为点O，连接并延长交于点D，连接， 同理可得， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． ◆题型3 动点路径、轨迹最值与旋转问题 7．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得，又长度一定，则点P在以中点O为圆心，长为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，最短；在中，利用勾股定理可求的长，并得到点P是的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解． 【详解】解：， ∴， 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短， ， ，， ， ， ∴点P是的中点， ∴在中，． 8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中有所使用．如图1是一个圆形筒车的几何示意图，它按逆时针方向匀速旋转．设筒车的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m），在水面下则d为负数．若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间到下次盛水筒回到同一浮出水面位置，d与时间t（单位：s）之间的图象如图2所示，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图2可得盛水筒到水面的最大距离，最小距离，设的半径为，圆心到水面的距离为，从而得，，即可解答； 【详解】解：从图2可得：盛水筒到水面的最大距离，最小距离， 设的半径为，圆心到水面的距离为， 当盛水筒在圆最高点时，到水面距离满足：， 当盛水筒在圆最低点时，到水面距离满足：， 整理得， 将两个等式相加，得，解得， 即的半径为． 9．如图，正方形，边长分别是4，，点在边上，将正方形绕点顺时针旋转，设直线，相交于点． (1)在正方形绕点旋转过程中，是否为直角？请说明理由； (2)连接，取的中点，求点的轨迹长． 【答案】(1)是直角， 理由如下： 由旋转的性质得：， 在正方形中，， ∴， ， 设与的交点为点P， ∵，∴； (2) 【分析】（1）由旋转的性质得：，结合正方形的性质可得，从而得到，设与的交点为点P，再结合三角形内角和定理解答即可； （2）连接交于点O，连接，，结合正方形的性质可得为的中位线，从而得到，由（1）得：，再证明，可得点M在以为直径的圆上，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点O，连接，， ∵正方形边长是4， ∴，， ∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴， 由（1）得：， ∴点B，D也在以为直径的圆上， ∴点A，B，H，C，D在以为直径的同一个圆上， 在正方形中，， ∴也是这个圆的直径， ∴，即， ∴点M在以为直径的圆上， 当H与点B重合时，此时点M与点O重合， ∴最大时，点M在边上，此时， ∴点的轨迹长为． ◆题型4 旋转扫过面积、不规则图形面积及圆锥展开图综合 11．如图，扇形中，，半径，点为的中点，将扇形绕点逆时针旋转得到对应扇形，当与第一次平行时旋转停止，则两扇形公共部分的面积（阴影部分）为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点O作于点F，证明是等边三角形，得到，进而得到O、D、E共线，求出，然后利用扇形面积公式和三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，过点O作于点F， 由题意，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，则O、D、E共线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 12．如图，圆锥可以看作以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体．旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边（另一条直角边）旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旅转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是扇形．若扇形的半径为，圆心角为，面积为，弧长为，则有． 如果某圆锥的母线长是5，底面半径是3． (1)求该圆锥侧面展开图的面积； (2)是圆锥的一条母线，过圆锥底面圆心作的垂线，垂足为，求绕圆锥的轴旋转一周所得曲面将圆锥分成两部分的体积比． 【答案】(1) (2)上下两部分体积的比为 【分析】本题考查了勾股定理、扇形面积、圆锥体积，关键是勾股定理及面积相等关系的应用． （1）由得：，代入数值即可求解； （2）绕圆锥的轴旋转一周所得曲面是圆锥的侧面，设新圆锥的底面圆圆心为F，由勾股定理及面积关系可求得；由勾股定理求得，进而求得，再由面积关系可求得；绕圆锥的轴旋转一周所得曲面上面部分是共底的两个圆锥，下面部分用大圆锥体积减去这两个圆锥体积的和，即可求得两部分体积比． 【详解】（1）解：圆锥侧面展开图是扇形，其弧长为， 由，得； 即该圆锥侧面展开图的面积为； （2）解：绕圆锥的轴旋转一周所得曲面是圆锥的侧面，设新圆锥的底面圆圆心为F，如图， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴； 由勾股定理得，则； ∵， ∴； ∵绕圆锥的轴旋转一周所得曲面上面部分是共底的两个圆锥， ∴上面部分体积为：， 下面部分体积为：， ∴ ． 一、单选题 1．如图1，点是上一动点，点是弦的中点，过点作交的延长线于点．若，设，线段和的长度都是的函数，分别记为和，如图2，在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】证明，得到，进而得到，进而画出的图象，分和两种情况，利用图象法，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 画出的图象如图， ∵当与点重合时，，当点与点重合时，， ∴是过和的曲线， 由图象可知，当时，，当时，， 即当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是或. 2．新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且是圆锥底面的直径，连接，，其中A，B，C依次是的四等分点．沿将圆锥的侧面展开后得到图2（点是点M的对应点），测得该扇形的圆心角为．若连接，则点A，B，C，N中能落在线段上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点N 【答案】B 【分析】连接，交于，证明，根据角所对直角边等于斜边的一半得出，由即可得出点与点重合，进而得出结论． 【详解】解：由题意可得，点是的中点，连接，交于， ， ， ， 中，， A，B，C依次是的四等分点， ， ， ，即点与点重合． 3．如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（     ） A． B．36 C． D．25 【答案】A 【分析】过作交直线于，过作于，以为斜边作等腰直角三角形，过作于，则四边形为平行四边形，得到，根据平行线得到，，即可得到，根据对角对等边得到点、、在以为圆心，为半径的圆上，得到，据此求四边形面积的最大值即可． 【详解】解：如图，过作交直线于，过作于， ∵，， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， 以为斜边作等腰直角三角形，过作于， ∵， ∴，， ∵， ∴点、、在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∴， ∴最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 4．如图所示，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得，点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据直角三角形的性质可得，，即旋转角为．根据即可求出阴影部分的面积．本题主要考查直角三角形的性质，旋转的性质和扇形的面积．熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．扇形的面积，其中n表示圆心角的度数，r表示扇形的半径． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 根据旋转的性质可得，， ∴ ． 5．如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（     ） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 【答案】A 【分析】连接 交于点，则，利用“同弧所对圆周角等于圆心角的一半”得到，即可算出小慧的结论是正确的；利用垂径定理可知，，则点是的中点且，，易求得，进而计算，利用“半径相等”及故“等边对等角”求得，由“三角形内角和定理”求得，则，由“对顶角相等”得，再由“三角形内角和定理”算得，从而，则：，小丽的结论正确． 【详解】 解：连接 交于点， ∵正五边形内接于， ∴， ， ∴， 故小慧的结论正确； ∵， ∴，的直径为， ∴，点是的中点 ∴ ∴ 即，， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故小丽的结论正确． 故选： ． 二、填空题 6．如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为___________． 【答案】 【分析】把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，得，即得，即可得，进而由垂径定理得，再根据勾股定理得，最后根据解答即可求解． 【详解】解：把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为1， ， ， ， ， ， 是弧的中点， ， ， ， ， ， 的最小值为． 7．如图，圆形铁圈的直径，一根两端带有铁环的硬质滑杆套在该铁圈上（铁环大小忽略不计），滑杆的长度与铁圈的半径相等．先将滑杆的左端套在处，再将整根滑杆沿着铁圈按逆时针方向移动，使得滑杆的右端移动到点处，在此过程中滑杆的中点移动的路径长为________． 【答案】 【分析】点为定长滑杆的中点，滑杆两端始终在圆上运动，由滑杆长度等于圆的半径可知弦长恒为，根据垂径定理和勾股定理，点到圆心的距离恒为，故点的轨迹是以为圆心、为半径的圆弧．通过等边三角形性质求得圆弧所对圆心角为，再用弧长公式计算路径长． 【详解】解：设圆形铁圈的圆心为，半径为， 直径， ， 滑杆长度与铁圈半径相等， 滑杆作为圆的弦，弦长为， 连接，，设滑杆初始位置为，其中为右端点， ， 是等边三角形， ， 为中点， ，平分， ， 在中，， 即点移动的路径是以为圆心、为半径的圆弧， 当滑杆右端移动到点时，设此时滑杆左端为，中点为， 同理可得是等边三角形，，平分， ， 滑杆沿逆时针方向移动，且，，在同一直线上，点，在直径的同侧， 点转过的圆心角， 点移动的路径长为． 8．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，，则，，求出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，， 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，． 点是的中点， ， ． 又， ． 当点，，在一条直线上时，此时最小，为的值，即最小值是． 9．如图，正六边形的边长为1，连接并延长至点P，．M是正六边形边上的一个动点，N为该平面内一点，且满足．现有下列结论：①当点M，A重合时；②；③的最小值为1．其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③ 【分析】连接交于G，连接，根据正六边形的性质得出，，正六边形关于直线对称，根据轴对称的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，，则当点M，A重合时，，结合，求出，即可判断结论①；连接交于H，同理可求，，证明四边形是平行四边形，得出，则，故当M和B重合时，取最小值为；当M和E重合时，取最大值为，结合，求出的最小值为，的最大值为，即可判断结论②；由②知点N在以P为圆心，大圆半径为4，小圆半径为2的圆环内运动，故当N在的延长线上，且取最小值时，取最小值，即可判断结论③． 【详解】解：连接交于G，连接， ∵正六边形的边长为1， ∴，，正六边形关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴当点M，A重合时，， 又， ∴，故结论①错误； 连接交于H， 同理可求，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵M是正六边形边上的一个动点， ∴当M和B重合时，取最小值为；当M和E重合时，取最大值为， 又， ∴的最小值为，的最大值为， ∴，故结论②正确； ∴点N在以P为圆心，大圆半径为4，小圆半径为2的圆环内运动， ∴当N在的延长线上，且取最小值时，取最小值， ∴的最小值为，故结论③正确， 综上，正确结论的序号是②③． 10．新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧．如图，已知的半径为2，正五边形和正方形内接于，在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧长为___________． 【答案】 【分析】连接、、、、、、、，从而计算出各段弧所对应的圆心角，再结合弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、、、、、、， ∵正五边形和正方形内接于， ∴，， ∴，，，，，， ∴最长劣弧所对的圆心角为， 则最长劣弧的弧长为． 三、解答题 11．【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再进一步求解即可； （2）如图，作以为直径的圆，连接，交于点O，证明，可得， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧，再进一步求解即可； （3）如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，，证明四边形是矩形，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，作以为直径的， ， ． ， ． ， 点P在以为直径的上． ∴连接交于点P，此时最小． 点O是的中点，， ， 在中，，，， ， 的最小值为； （2）解：如图，作以为直径的圆，连接，交于点O， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 点P在运动中保持， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧， 点P的运动路径长为． （3）解：如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ． 在中，， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 12．对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有． (2)如图，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． 【答案】(1)①×；②√；③√ (2)①外接型单圆； ②证明∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即和均为半圆， ∴是的直径． 【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③； （2）①根据已知结合题中定义可得结论； ②根据角平分线的定义和圆周角定理证明即可证得结论； 【详解】（1）解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等； ①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误； ②∵内角不等于的菱形的对角不互补， ∴该菱形无外接圆， ∵菱形的四条边都相等， ∴该菱形的对边之和相等， ∴该菱形有内切圆， ∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确； ③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即； 故③正确； （2）解：①若四边形中有内切圆，则，这与矛盾， ∴四边形无内切圆， 又∵该四边形有外接圆， ∴该四边形是“外接型单圆”四边形， ②略 13． 如图1，为的直径，．点D是上一动点（不与A、C重合），连接，，． (1)求的度数； (2)探究线段、、之间的数量关系，并证明． (3)如图2，若与相交于点E，过点E分别作于点F，于点G，求与面积之和的最大值． 【答案】(1) (2)解：，证明如下： 延长至点M，使得，连接， ，， ， 在和中 ∴， ， ， 在中，， ， ． (3)4 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得出，根据等腰三角形的性质求出，最后根据圆周角定理得出答案即可； （2）延长至点M，使得，连接，证明，得出，根据勾股定理得出，即可得出答案； （3）过点作交点N，证明四边形为正方形．得出，证明，得出，设 ，则，求出 ，根据二次函数性质得出答案即可． 【详解】（1）解：为直径， ， ∵， ， ∵， ∴； （2）略 （3）解：过点作交点N， 如图所示： 为直径， ． ， ， ， 平分 ． 又 ， ， 四边形为正方形． ， ， ， ， ． 在和中， ∴， ， 设 ，则， ， 当，取得最大值，最大值为4， 即最大值为4 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆的基本性质 全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 圆的基本概念与对称性 题型 2 点与圆的位置关系及三角形的外接圆 题型 3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 题型 4 垂径定理及其基础应用 题型 5 圆周角定理及其推论的应用 题型 6 圆内接四边形的性质应用 题型 7 正多边形与圆的计算 题型 8 弧长及扇形面积的计算 题型 9 圆锥侧面积与展开图的计算 核心提升：重难题型归纳 题型 1 垂径定理综合应用与分类讨论 题型 2 圆中角度关系的综合转化 题型 3 动点路径、轨迹最值与旋转问题 题型 4 旋转扫过面积、不规则图形面积及圆锥展开图综合 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 圆的基本概念与对称性 1．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 2．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 3．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． ◆题型2 点与圆的位置关系及三角形的外接圆 4．已知点在半径为的上，点在外，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． ◆题型3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 7．已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则=_______． 8．如图，与关于直线对称，为圆心，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若为的中点且，求⊙的半径． 9．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． ◆题型4 垂径定理及其基础应用 10．将一个半径为的半圆O，如图折叠，使弧经过点O，则折痕的长度为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 12．月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． ◆题型5 圆周角定理及其推论的应用 13．如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（     ） A．3 B． C． D．4 14．如图，是的直径，弦交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 15．如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是_____． ◆题型6 圆内接四边形的性质应用 16．如图，已知四边形内接于，连接，，． (1)求证：； (2)若的半径为，求的长． 17．如图，经过原点，且与轴交于点，点、在上，已知，，则的半径为__________． 18．如图，四边形内接于，若，则的度数是_______． ◆题型7 正多边形与圆的计算 19．科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为______． 21．如图，这是由一个照相机的光圈和快门抽象成的图形．若的半径为，是的中点，则图中阴影部分（正六边形）的面积为___________． ◆题型8 弧长及扇形面积的计算 22．如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点B从开始到结束所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 23．如图，半圆的直径，、是半圆的3等分点，则阴影部分面积等于______．（保留） 24．如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． ◆题型9 圆锥侧面积与展开图的计算 25．如图，已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为，则这个圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 26．如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点A、B、C都在上，将这个扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的底面半径为______． 27．如图，已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面圆周上一点，且，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为___________． ◆题型1 垂径定理综合应用与分类讨论 1．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 2．已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 3．已知与相交于A、B两点，公共弦，既是内接正方形的一边，也是内接正三角形的一边，那么两圆的圆心距等于________． ◆题型2 圆中角度关系的综合转化 4．如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 5．如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 6．在中，，外接圆的半径为2，则______度． ◆题型3 动点路径、轨迹最值与旋转问题 7．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中有所使用．如图1是一个圆形筒车的几何示意图，它按逆时针方向匀速旋转．设筒车的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m），在水面下则d为负数．若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间到下次盛水筒回到同一浮出水面位置，d与时间t（单位：s）之间的图象如图2所示，则的半径为（     ） A． B． C． D． 9．如图，正方形，边长分别是4，，点在边上，将正方形绕点顺时针旋转，设直线，相交于点． (1)在正方形绕点旋转过程中，是否为直角？请说明理由； (2)连接，取的中点，求点的轨迹长． ◆题型4 旋转扫过面积、不规则图形面积及圆锥展开图综合 11．如图，扇形中，，半径，点为的中点，将扇形绕点逆时针旋转得到对应扇形，当与第一次平行时旋转停止，则两扇形公共部分的面积（阴影部分）为（　　） A． B． C． D． 12．如图，圆锥可以看作以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体．旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边（另一条直角边）旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旅转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是扇形．若扇形的半径为，圆心角为，面积为，弧长为，则有． 如果某圆锥的母线长是5，底面半径是3． (1)求该圆锥侧面展开图的面积； (2)是圆锥的一条母线，过圆锥底面圆心作的垂线，垂足为，求绕圆锥的轴旋转一周所得曲面将圆锥分成两部分的体积比． 一、单选题 1．如图1，点是上一动点，点是弦的中点，过点作交的延长线于点．若，设，线段和的长度都是的函数，分别记为和，如图2，在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象．当是以为腰的等腰三角形时，线段的长是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 2．新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且是圆锥底面的直径，连接，，其中A，B，C依次是的四等分点．沿将圆锥的侧面展开后得到图2（点是点M的对应点），测得该扇形的圆心角为．若连接，则点A，B，C，N中能落在线段上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点N 3．如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（     ） A． B．36 C． D．25 4．如图所示，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得，点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（     ） A． B． C． D． 5．如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（     ） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 二、填空题 6．如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为___________． 7．如图，圆形铁圈的直径，一根两端带有铁环的硬质滑杆套在该铁圈上（铁环大小忽略不计），滑杆的长度与铁圈的半径相等．先将滑杆的左端套在处，再将整根滑杆沿着铁圈按逆时针方向移动，使得滑杆的右端移动到点处，在此过程中滑杆的中点移动的路径长为________． 8．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． 9．如图，正六边形的边长为1，连接并延长至点P，．M是正六边形边上的一个动点，N为该平面内一点，且满足．现有下列结论：①当点M，A重合时；②；③的最小值为1．其中所有正确结论的序号是__________． 10．新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧．如图，已知的半径为2，正五边形和正方形内接于，在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧长为___________． 三、解答题 11．【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 12．对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有． (2)如图，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． 13． 如图1，为的直径，．点D是上一动点（不与A、C重合），连接，，． (1)求的度数； (2)探究线段、、之间的数量关系，并证明． (3)如图2，若与相交于点E，过点E分别作于点F，于点G，求与面积之和的最大值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $