专题02 圆中构造辅助线的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“条件-构造-模型”为主线，系统提炼圆中五种辅助线构造方法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |遇弦连半径|5题|连半径构造等腰三角形|圆的半径性质→等腰三角形边角关系| |遇弦作弦心距|5题|作弦心距构建垂径定理模型|垂径定理→弦长与半径关系推导| |遇求角构造同弧角|5题|转化为同弧圆周角或圆心角|圆周角定理→角的等量代换| |遇直径作直角|5题|构造直径所对圆周角（直角）|直径性质→直角三角形应用| |遇90°圆周角连直径|5题|连直径转化直径性质|圆周角定理推论→直径判定|

专题02 圆中构造辅助线的五种模型 题型一 遇弦连半径（构造等腰三角形） 题型二 遇弦作弦心距（构造垂径定理模型） 题型三 遇求角构造同弧的圆周角（圆心角） 题型四 遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 题型五 遇90°的圆周角连直径 题型一：遇弦连半径（构造等腰三角形） 1．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 2．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 3．（2026·山东烟台·中考真题）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； (2)， 证明：如图，连接，过点作于点， ∴ 由（1）可得 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，根据得出，等量代换可得，即可得出； （2）连接，过点作于点，证明得出，进而证明，得出，根据线段的和差关系，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为的直径，C、D是上的两点，且分别分布在的两侧，满足．连接，，，过点C作的切线交的延长线于点F，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，再由得，则，根据内错角相等，两直线平行得，根据切线的性质得，即可得出结论； （2）延长交于点G，连接，易证四边形是矩形，则，，根据垂径定理得，再由勾股定理求出，然后由即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点G，连接， 由（1）知，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·河南周口·一模）如图，是的直径， 是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，连接，点是上一点，且， 连接 ． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是切线， ∴，即， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质定理和圆周角定理可证，，，再根据等腰三角形的性质和同弧或等弧所对的圆周角相等即可得出． （2）设半径为，则．先证明，再将，，代入，可得，进而结合求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设半径为，则． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴半径． 题型二：遇弦作弦心距（构造垂径定理模型） 6．（2025·重庆·模拟预测）如图，已知菱形，以为直径作，与交于点，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作于点，利用菱形性质得到，结合直角三角形性质得到，利用勾股定理得到，结合垂径定理得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接，过点作于点， 菱形中，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，解题的关键在于理解图中阴影部分的面积为． 7．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质定理，矩形的判定和性质，勾股定理． 连接，，作交于点，根据垂径定理得到，则，根据切线的性质定理得到，进而证明四边形是矩形，得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求出圆心P的坐标． 【详解】解：如图，连接，，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵与y轴相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴圆心P的坐标是． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 【答案】修理工人应准备直径为的管道 【分析】该题考查了勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图，过点O作于D，连接，则．设半径为，则，．在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于D，连接， 则． 设半径为，则，． 在中，， 即， 解得：， ． 故修理工人应准备直径为的管道． 10．（第二十四章圆突破4圆的性质（四）垂径定理——作双弦心距）如图，在半径为的中，弦与相交于点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查圆和锐角三角函数，解题的关键是掌握垂径定理和解直角三角形的方法．过点O作于点F，于点G，连接、、，根据垂径定理得到的长，用勾股定理求出的长，得到是等腰直角三角形，，再利用含角的直角三角形性质求出的长，在中用勾股定理求出的长，即可得到结果． 【详解】解：如图，过点作于点F，于点G，连接、、， 则，， ∴， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 题型三：遇求角构造同弧的圆周角（圆心角） 11．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 12．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为的直径，上的点C，D在直径的两侧，E为直径上一点，且，已知，则的度数为______． 【答案】65 【分析】连接，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，结合求得，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图， 是的直径，点C，D，E在上，，若，则的度数为_______°． 【答案】30 【分析】由圆周角定理得到，求出，由圆心角、弧、弦的关系得到，由圆周角定理推出，即可求出． 【详解】解：连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 15．（2026·河南郑州·二模）综合与实践：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆． 【探究】要确定三角形的最小覆盖圆，可以将其转化为线段的最小覆盖圆．比如直角三角形，先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆． (1)请用圆规和无刻度的直尺在图（1）中作出的最小覆盖圆． 应用：如图（2），正方形的边长为6，在边上截取，以为边在上方作正方形． (2)连接，，经过，，三点（是的最小覆盖圆），且与边，分别交于点，，求的直径． (3)将正方形绕点顺时针旋转，分别取，，，的中点，，，，顺次连接各中点，得到四边形（如图（3））．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径的值是否发生变化？如果不变，直接写出的值；如果变化，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) (3)变化，． 【分析】（1）作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （2）连接，根据四边形是正方形，四边形是正方形，得出点在一条直线上，且，则，在中，勾股定理求出．解直角三角形求出，即可得的直径． （3）连接，交于点交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：连接． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴点在一条直线上， ∴， ， ， ， ∴在中，，得． ， ， ∴的直径是． （3）解：变化； 连接，交于点交于点，连接， ∵分别取的中点，顺次连接各中点，得到四边形，     ， ， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形，     ， ， ， ， ， ∴四边形为菱形， ， ， ， ， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ，即， ， ，即． 题型四：遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 16．（2026·甘肃武威·三模）如图，是⊙的直径，点、是⊙上位于异侧的两点，连接、、．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，首先由直径求出，然后求出，最后利用同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵是的直径， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 17．（2026·安徽合肥·一模）如图，C，D是上直径两侧的点，若，则______°． 【答案】 【分析】连接，由题意得，，根据计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴，， ∴． 18．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，是半圆O的直径， ，按如下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③连接BP并延长分别交，半圆O于点D，E，连接．的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形和相似三角形的判定与性质，延长交的延长线于点F，证明，则有，在中可得利用同角的补角相等证明则有求得． 【详解】解：延长交的延长线于点F，如图， ∵是半圆O的直径， 由作图可知， ∵， ∴，   ∴， ． 在中， , ∴ ∵， ． 故答案为． 19．（22-23九年级下·山东济南·阶段检测）如图，已知是的内接三角形，是的直径，连结平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：平分， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据角平分线可知，再根据圆周角定理可得； （2）根据圆周角定理可得，从而得到，再由是的直径，可得，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， 是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外接圆，圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 20．（2026·广西柳州·二模）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据为的直径，得出，根据，得出，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明； （2）连接，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接 ∵， ∴． ∵， ∴． 题型五：遇90°的圆周角连直径 21．（2022·山东济宁·模拟预测）如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过弧相等，得出对应圆周角相等，即可推断出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， ∵优弧所对圆周角为， ∴， 又∵点为弧的中点， ∴， ∴． 22．（2026·陕西榆林·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”其大意是：今有圆形板材（如图所示的），直径为25寸，要做成矩形板材，矩形的顶点均在上，使其宽达到7寸，则的长是______寸． 【答案】24 【分析】连接，如图，根据矩形的性质可得是圆的直径，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是圆的直径， ∴， 则在直角三角形中，由勾股定理得：， 即, 解得：（寸），负值舍去. 23．（2026·河南驻马店·三模）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为2，则圆心的坐标是______ 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为2， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴． 24．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知P是上一点，过点P作不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接、，若． (1)如图1，当，，时，求的半径． (2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，，记，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由已知得到，根据圆周角定理证得是的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径； （2）连接，由圆周角定理可得弧弧，从而由垂径定理的推论得到，根据平行线的性质可证，然后根据三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：连接，    ∵， ∴， ∴为的直径， 在中，，， ∴， ∴的半径为； （2）解：连接，    ∵， ∴弧弧． 又∵为半径， ∴． ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∴在中，， 即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 25．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中， ，点D为底边BC上一点，是的外接圆，交AC于点F，过点A作，交于点E，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当时， ①求的半径； ②求的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，    ∵， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 即，         ∴四边形为平行四边形； (2)①；② 【分析】本题考查了90度角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，平行四边形的判定，含30度直角三角形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质等知识，熟练运用圆的相关知识是关键． （1）由等腰三角形的性质、平行线的性质及同弧对的圆周角相等得，从而，则两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形为平行四边形； （2）①连接，则得是直径；由同弧对的圆周角相等得，从而得；设, 则，由勾股定理建立方程求得x的值，求得，即可求得圆的半径； ②过点F作交的延长线于点H，由同弧对的圆周角相等得，再由得，在中可求得，再由含30度角直角三角形的性质及勾股定理可求得，进而求得，则由三角形面积公式即可计算出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：①连接，如图， ， ∴为的直径， ， ∵，     ， 在中，设, 则， 由勾股定理得：， ，     ， ∵， ，   ∴，   ， ∴的半径为；     ②过点F作交的延长线于点H，如图， ∵， ， ∵， ∴， ∵， ， 在中，，， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， 由勾股定理得，     ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆中构造辅助线的五种模型 题型一 遇弦连半径（构造等腰三角形） 题型二 遇弦作弦心距（构造垂径定理模型） 题型三 遇求角构造同弧的圆周角（圆心角） 题型四 遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 题型五 遇90°的圆周角连直径 题型一：遇弦连半径（构造等腰三角形） 1．A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 2．/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 3．(1)证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； (2)， 证明：如图，连接，过点作于点， ∴ 由（1）可得 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，根据得出，等量代换可得，即可得出； （2）连接，过点作于点，证明得出，进而证明，得出，根据线段的和差关系，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 4．(1)见解析 (2)8 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，再由得，则，根据内错角相等，两直线平行得，根据切线的性质得，即可得出结论； （2）延长交于点G，连接，易证四边形是矩形，则，，根据垂径定理得，再由勾股定理求出，然后由即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点G，连接， 由（1）知，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．(1) 证明：连接， ∵是切线， ∴，即， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质定理和圆周角定理可证，，，再根据等腰三角形的性质和同弧或等弧所对的圆周角相等即可得出． （2）设半径为，则．先证明，再将，，代入，可得，进而结合求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设半径为，则． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴半径． 题型二：遇弦作弦心距（构造垂径定理模型） 6．B 【分析】连接，过点作于点，利用菱形性质得到，结合直角三角形性质得到，利用勾股定理得到，结合垂径定理得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接，过点作于点， 菱形中，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，解题的关键在于理解图中阴影部分的面积为． 7． 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质定理，矩形的判定和性质，勾股定理． 连接，，作交于点，根据垂径定理得到，则，根据切线的性质定理得到，进而证明四边形是矩形，得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求出圆心P的坐标． 【详解】解：如图，连接，，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵与y轴相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴圆心P的坐标是． 故答案为：． 8．(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 9．修理工人应准备直径为的管道 【分析】该题考查了勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图，过点O作于D，连接，则．设半径为，则，．在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于D，连接， 则． 设半径为，则，． 在中，， 即， 解得：， ． 故修理工人应准备直径为的管道． 10． 【分析】本题考查圆和锐角三角函数，解题的关键是掌握垂径定理和解直角三角形的方法．过点O作于点F，于点G，连接、、，根据垂径定理得到的长，用勾股定理求出的长，得到是等腰直角三角形，，再利用含角的直角三角形性质求出的长，在中用勾股定理求出的长，即可得到结果． 【详解】解：如图，过点作于点F，于点G，连接、、， 则，， ∴， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 题型三：遇求角构造同弧的圆周角（圆心角） 11．B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 12．65 【分析】连接，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，结合求得，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 13．30 【分析】由圆周角定理得到，求出，由圆心角、弧、弦的关系得到，由圆周角定理推出，即可求出． 【详解】解：连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．(1) (2)8 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 15．(1)见详解 (2) (3)变化，． 【分析】（1）作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （2）连接，根据四边形是正方形，四边形是正方形，得出点在一条直线上，且，则，在中，勾股定理求出．解直角三角形求出，即可得的直径． （3）连接，交于点交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：连接． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴点在一条直线上， ∴， ， ， ， ∴在中，，得． ， ， ∴的直径是． （3）解：变化； 连接，交于点交于点，连接， ∵分别取的中点，顺次连接各中点，得到四边形，     ， ， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形，     ， ， ， ， ， ∴四边形为菱形， ， ， ， ， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ，即， ， ，即． 题型四：遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 16．A 【分析】连接，首先由直径求出，然后求出，最后利用同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵是的直径， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 17． 【分析】连接，由题意得，，根据计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴，， ∴． 18． 【分析】本题主要考查了圆的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形和相似三角形的判定与性质，延长交的延长线于点F，证明，则有，在中可得利用同角的补角相等证明则有求得． 【详解】解：延长交的延长线于点F，如图， ∵是半圆O的直径， 由作图可知， ∵， ∴，   ∴， ． 在中， , ∴ ∵， ． 故答案为． 19．(1) 证明：平分， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据角平分线可知，再根据圆周角定理可得； （2）根据圆周角定理可得，从而得到，再由是的直径，可得，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， 是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外接圆，圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据为的直径，得出，根据，得出，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明； （2）连接，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接 ∵， ∴． ∵， ∴． 题型五：遇90°的圆周角连直径 21．A 【分析】连接，通过弧相等，得出对应圆周角相等，即可推断出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， ∵优弧所对圆周角为， ∴， 又∵点为弧的中点， ∴， ∴． 22．24 【分析】连接，如图，根据矩形的性质可得是圆的直径，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是圆的直径， ∴， 则在直角三角形中，由勾股定理得：， 即, 解得：（寸），负值舍去. 23． 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为2， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴． 24．(1) (2) 【分析】（1）连接，由已知得到，根据圆周角定理证得是的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径； （2）连接，由圆周角定理可得弧弧，从而由垂径定理的推论得到，根据平行线的性质可证，然后根据三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：连接，    ∵， ∴， ∴为的直径， 在中，，， ∴， ∴的半径为； （2）解：连接，    ∵， ∴弧弧． 又∵为半径， ∴． ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∴在中，， 即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 25．(1) 证明：∵， ∴，    ∵， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 即，         ∴四边形为平行四边形； (2)①；② 【分析】本题考查了90度角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，平行四边形的判定，含30度直角三角形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质等知识，熟练运用圆的相关知识是关键． （1）由等腰三角形的性质、平行线的性质及同弧对的圆周角相等得，从而，则两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形为平行四边形； （2）①连接，则得是直径；由同弧对的圆周角相等得，从而得；设, 则，由勾股定理建立方程求得x的值，求得，即可求得圆的半径； ②过点F作交的延长线于点H，由同弧对的圆周角相等得，再由得，在中可求得，再由含30度角直角三角形的性质及勾股定理可求得，进而求得，则由三角形面积公式即可计算出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：①连接，如图， ， ∴为的直径， ， ∵，     ， 在中，设, 则， 由勾股定理得：， ，     ， ∵， ，   ∴，   ， ∴的半径为；     ②过点F作交的延长线于点H，如图， ∵， ， ∵， ∴， ∵， ， 在中，，， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， 由勾股定理得，     ， ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 圆中构造辅助线的五种模型 题型归纳 题型一遇弦连半径（构造等腰三角形） 题型二遇弦作弦心距（构造垂径定理模型） 题型三遇求角构造同弧的圆周角（圆心角） 题型四遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形) 题型五遇90°的圆周角连直径 题型专练 题型一：遇弦连半径（构造等腰三角形） 1,(2026山西临汾三模)如图，AO,C0是⊙0的半径，B是AC的中点，连接AB,BC,点D在BC的 延长线上.若∠OCD=130°，则∠AOC的度数为() A.160° B.130° C.100° D.80 2.(25-26九年级下陕西西安期中)如图，AB是⊙O的直径，CB,CD是⊙O的弦，且CB=CD,CD 与AB交于点E,连接OD.若∠AOD=40°，则∠D的度数是一 3.(2026山东烟台中考真题)如图，△ABC中，∠C=90°，O是边AB上一点，以OB为半径作⊙0，分 别与BC,AB交于D,E两点，与AC相切于点F,连接EF,BF. 119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：EF=FD: (2)试用等式表示线段BE,BD,CD之间的数量关系，并证明你的结论. 4.(2026陕西西安模拟预测)如图，AB为⊙0的直径，C、D是⊙0上的两点，且分别分布在AB的两 侧，满足AD=2BC.连接AC,BC,AD,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F,连接DB并延长 交CF于点E. (I)求证：CF⊥DE: (2)若OA=5,AD=8,求DE的长. 5.(2026河南周口一模)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线CD,交AB 的延长线于点D,连接BC,点E是⊙O上一点，且CE=BC,连接AE. E D B (I)求证：∠BCD=∠CAE: (2)若BD=1,CD=2,求OO的半径. 题型二：遇弦作弦心距（构造垂径定理模型） 6.(2025·重庆模拟预测)如图，已知菱形ABCD,以AB为直径作⊙0，与BC交于点E,AD=6, 219 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠D=30°，则图中阴影部分的面积为() D o E C A.3z-25 B.3z-9V3 4 C.2元+25 D.2a+93 7.(25-26九年级上山东济宁·阶段检测)如图，⊙P与y轴相切于点C,与x轴相交于点A(-1,0), B(-9,0),圆心P的坐标是 B 0 8.(25-26八年级下江苏南京期末)己知，如图：⊙0的半径R=5V2,弦AB=14.点C在AB上 CD⊥AB交OO于点D. O 0. B (1)若BC=4,求线段CD的长. (2)若点C在弦AB上运动，则AC+CD的最大值 9,(2425九年级上全国随堂练习)某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道， 经测量得到如图所示的数据，水面宽度AB=60cm,水面到管顶的距离为l0cm，那么修理工人应准备直径 为多长的管道？（管道的厚度不计） 3/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 60cm 10cm B 10.(第二十四章圆突破4圆的性质（四）垂径定理一一作双弦心距)如图，在半径为V13的⊙0中，弦 AB与CD相交于点E,∠DEB=75°，AB=6,AE=1,求CD的长. D E B 题型三：遇求角构造同弧的圆周角（圆心角） 11.(2026山东青岛中考真题)如图，AD是⊙0的直径，B,C,E是⊙0上的三点，∠B=112°，则 ∠E的度数为() D A.20° B.22° C.30° D.32° 12.(2026陕西西安模拟预测)如图，AB为⊙0的直径，⊙0上的点C,D在直径AB的两侧，E为直径 AB上一点，且DE⊥AB,己知∠C=65°，则∠ADE的度数为°. B 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(2026陕西榆林模拟预测)如图，AB是OO的直径，点C,D,E在OO上，AE=DE,若 ∠BDE=105°，则∠ABD的度数为° B 14.(25-26九年级上：陕西安康阶段检测)如图，在⊙0中，弦BC垂直于半径OA,垂足为E,D是优弧 BC上一点，连接BD,AD,OC,∠AOC=58°. D (I)求∠ADB的度数. (2)若OE=3,OA=5,求BC的长 15.(2026河南郑州·二模)综合与实践：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的 覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的 最小覆盖圆是以线段为直径的圆 【探究】要确定三角形的最小覆盖圆，可以将其转化为线段的最小覆盖圆.比如直角三角形，先确定直角 三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小 覆盖圆. D M O。 G E 图1 图2 图3 (1)请用圆规和无刻度的直尺在图(1)中作出Rt△ABC的最小覆盖圆. 应用：如图(2)，正方形ABCD的边长为6，在边BC上截取CE=2,以CE为边在BC上方作正方形 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CEFG (2)连接AF,DF,⊙O经过A,D,F三点(OO是△ADF的最小覆盖圆)，且与边AB,CD分别交于 点H,K,求OO的直径. (3)将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，分别取DB,BG,GE,ED的中点M,N,P,O,顺次连接各 中点，得到四边形MNP吧（如图(3）).在旋转过程中，四边形MNPO的最小覆盖圆的直径d的值是否 发生变化？如果不变，直接写出d的值；如果变化，直接写出d的取值范围。 题型四：遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 16.(2026甘肃武威三模)如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙0上位于AB异侧的两点，连接AC、 AD、CD.若∠CAB=36°，则∠ADC的度数为() A.540 B.58 C.64° D.72 17.(2026安徽合肥一模)如图，C,D是⊙0上直径AB两侧的点，若∠ABC=26°，则∠D=_°. B D 18.(2026辽宁抚顺·一模)如图，AB是半圆O的直径，∠CAB=60°，按如下步骤作图：①以点B为圆 心，任意长为半径画弧分别交AB'BC于点M,N;②分别以点M,N为圆心，大于2MN的长为半径画弧， BD 两弧相交于点P;③连接BP并延长分别交AC,半圆O于点D,B,连接AE·AE的值为 619 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O M B 19.(22-23九年级下·山东济南阶段检测)如图，已知△ABC是⊙0的内接三角形，AD是⊙0的直径， 连结BD,BC平分∠ABD, D (I)求证：∠CAD=∠ABC: (2)若AD=4,求CD的长. 20.(2026广西柳州二模)如图，AB为⊙0的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC=CD,连接DB 并延长，交⊙0于点E,连接CE. 0 (I)求证：CE=CD； (2)若AE所对圆心角的度数为108°，求∠E的度数. 题型五：遇90°的圆周角连直径 21.(2022山东济宁·模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙O,已知∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD, 且∠ADC=120°，若点E为弧BC的中点，连接DE,则∠CDE的大小是() 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A.30° B.45° C.40° D.35° 22.(2026陕西榆林·模拟预测)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺 五寸.欲为方版，令厚七寸，问广几何？”其大意是：今有圆形板材（如图所示的⊙0），直径为25寸， 要做成矩形板材ABCD,矩形ABCD的顶点均在⊙O上，使其完CD达到7寸，则BC的长是一寸. D 23. (2026河南驻马店三模)如图，⊙A过原点O,分别与x轴、y轴交于点C和点D,点B在⊙A上， 已知∠B=30,⊙A的半径为2，则圆心A的坐标是 B D ·A 24.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)已知P是⊙0上一点，过点P作不过圆心的弦P巴，在劣弧P№ 和优弧P№上分别有动点A、B(不与P,Q重合)，连接AP、BP,若∠APO=∠BPO 0 B 图1 图2 (1)如图1，当∠AP0=45°，AP=1,BP=2V2时，求⊙0的半径. (2如图2，连接AB,交P9于点M,点N在线段PM上（不与P、M重合），连接OW、OP,AB∥ON, 819 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 记∠OPN=a,用含a的代数式表示∠NOP 25.(25-26九年级上浙江台州期末)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=V6,点D为底边BC 上一点，OO是△ABD的外接圆，⊙O交AC于点F,过点A作AE∥BC,交⊙O于点E,连接EF,ED. D (I)求证：四边形AEDC为平行四边形： (2)当∠ADB=60°时， ①求⊙0的半径： ②求△AEF的面积. 9/9