专题02 圆中面积问题的解题方法（专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

专题02 圆中面积问题的解题方法 常考题型·精准突破 考点一 扇形与弧相关面积计算 题型1 利用扇形面积公式求扇形面积（高频） 题型2 利用弧长、扇形面积与圆面积的关系求未知量（高频） 考点二 阴影面积的基本求法 题型3 利用“整体面积－部分面积”求阴影面积（高频） 题型4 利用割补法求弓形及不规则图形面积（高频） 题型5 利用圆、三角形、扇形之间的面积转化求阴影面积（高频） 考点三 运动与旋转中的面积问题 题型6 动点运动形成的阴影面积计算（重、高频） 题型7 图形旋转扫过面积的计算（重、高频） 题型8 复杂阴影面积的综合转化与分类讨论（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 扇形与弧相关面积计算 ◆题型1 利用扇形面积公式求扇形面积 1．如图，四边形的面积为，扇形的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，不规则图形的面积，先根据扇形面积公式：求出扇形的面积，然后根据阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积求解即可． 【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为， ∴扇形的面积为， 又四边形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 2．如图，正八边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，先求解，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，，， ， 故答案为：． 3．如图，半径为3的扇形中，，C是上一点，于D，于E，连接，若，图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质得出圆心角的度数和阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴四边形为矩形，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． ◆题型2 利用弧长、扇形面积与圆面积的关系求未知量 4．如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得到，再由弧长公式求解即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴．故选：B． 5．一个扇形的圆心角为，扇形的弧长等于，则该扇形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再利用扇形的面积公式计算面积． 本题考查了弧长计算，扇形面积计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的半径为， ∵ ，，， ∴ ， 化简得 ，即， ∴ ， ∴ 扇形的面积，故选：C． 6．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度， 侧面展开扇形的面积为：， 解得， 故答案为：． 考点二 三角形与圆的综合计算 ◆题型3 利用“整体面积－部分面积”求阴影面积 7．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为______．（取） 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，根据扇形的面积公式可得：，根据三角形的面积公式可得，根据即可求出结果． 【详解】解：在中，， ， ，， ， ， 又， ． 8．如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆O与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）． 【答案】 【分析】根据题意，可证出，然后依次求出、扇形、的面积，由组合图形的面积公式求出答案． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∵为直径的半圆O， ∴， ∴， ∴， ∴，扇形的面积， ∴可得阴影部分的面积． 故答案为：． 9．如图，点是以为直径的半圆的圆心，以点为圆心，的长为半径的弧交半圆于点，以点为圆心，的长为半径的弧交半圆于点是上一点．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理以及勾股定理，关键是不规则图形面积的求法；根据进行计算即可． 【详解】解：是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ，故选：A ． ◆题型4 利用割补法求弓形及不规则图形面积 10．如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到，由是直径推出，再利用勾股定理即可求解； （2）连接，根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 是的中位线， ． 是直径， ， ． （2）解：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 11．如图，点，，为上的三个点，，． (1)求的长； (2)求弦和它所对的劣弧围成的弓形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了扇形面积、勾股定理，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握圆的相关性质定理是解题的关键． （1）作于，根据圆周角定理得到，根据等边对等角求出 ，在中，，由勾股定理求出，根据垂径定理即可得到的长；（2）根据进行解答即可． 【详解】（1）解：作于， ， ， ， ， 在中，， ，     ，过圆心， ； （2）由（1）得到，     ， ． 12．《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载了勾股定理这一重要的数学原理，吴国数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“赵爽弦图（也称勾股圆方图），在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形．分别以，为圆心，长为半径作弧，若，为的中点，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】先利用全等直角三角形的性质，得出线段之间的数量关系，求出小正方形边长，再分别计算扇形面积和小正方形中相关三角形（或直接小正方形）面积，通过面积和差求出阴影部分面积． 本题主要考查赵爽弦图的性质、扇形面积公式，熟练掌握全等三角形对应边关系求小正方形边长，以及利用“扇形面积和—重叠部分面积（小正方形）”计算阴影面积是解题关键． 【详解】解：根据题意得：，点G为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即小正方形的边长． ∴．故答案为： ◆题型5 利用圆、三角形、扇形之间的面积转化求阴影面积 13．如图，直径，弦，且C、D是半圆的三等分点，则弦、、弧所围成的阴影部分的面积等于_________． 【答案】 【分析】根据半圆弧的三等分点，可得的度数，再根据平行线的性质得出，进而将问题转化为即可． 【详解】解：如图，连接，， 点，点是半圆弧的三等分点， ， ∵直径， ∴， ∵， ， ． 14．如图，是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，根据垂径定理，勾股定理计算圆的半径，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，设、的交点为， ∵是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点， ∴，，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理，首先过点作，设，利用切线长定理可得：，从而解出，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，可得三角形另外两边的长，再根据计算即可． 【详解】解：如下图所示， 过点作， 又∵， ∴四边形是矩形 ， ∵是的内切圆，半径为， ∴ ， 设， 则有， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ， 解得：， ， ， ∴．故选：B． 考点三 运动与旋转中的面积问题 ◆题型6 动点运动形成的阴影面积计算 16．如图，点C为扇形的弧上一个动点，连接、，若，，则阴影部分面积的最小值为______． 【答案】 【分析】设弧的中点为，连接，，，根据等边三角形的性质求出，进而得到的长，根据扇形面积公式，三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图，设弧的中点为，连接，，，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形的面积最大，只需满足的面积最大即可，从而可得当点位于弧的中点时，的面积最大 ，连接，则于，且垂直平分， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵扇形的面积， ∴阴影部分面积的最小值， 故答案为：． 17．如图，矩形中，AB=2，，动点P从点A出发向终点 D运动，连接BP，并过点C作CHBP，垂足为H．以下结论：①；②AH的最小值为；③在运动过程中，BP扫过的面积等于；④在运动过程中，点H的运动路径的长为，其中正确的有（填写序号）__________________． 【答案】①②③④ 【分析】由四边形是矩形，，得，则，即可证明 ，可判断①正确；取的中点，连接，，可求得，由勾股定理求得，因为，所以，则，即可求得的最小值是，可判断②正确；当点与点重合时，则与矩形的对角线重合，可求得扫过的面积为，可判断③正确；可求得，则点的运动路径的长为，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图1，取的中点，连接，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故②正确； 如图，点的运动路径为以的中点为圆心，半径长为的一段圆弧， 当点与点重合时，则为与矩形的对角线重合， ∴扫过的面积为， 故③正确； ∵由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动路径的长为，故④正确， 故答案为：①②③④． 18．如图，点是与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和），于点．半径为2，．点从到运动中，线段扫过面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求扇形面积，直径所对的弦是圆的直径；连接，设是的中点．点在第一象限从到运动过程中，点的运动路径（轨迹）圆弧的圆心为，半径为，．根据线段扫过面积即可求解． 【详解】连接，设是的中点． ∵半径为2，． ∴， 中，； 中，． 点在第一象限从到运动过程中，点的运动路径（轨迹）圆弧的圆心为，半径为，． 线段扫过面积 ◆题型7 图形旋转扫过面积的计算 19．如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)在（1）中，求线段扫过部分的面积． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出的长，再根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得：， 由旋转可得，， 线段扫过部分的面积为： ． 20．如图，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B，点C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到． (1)若反比例函数的图象经过点，求k的值； (2)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质、图形旋转的性质、反比例函数的解析式以及扇形面积的计算，解题的关键是确定旋转后点的坐标，并利用旋转性质将阴影面积转化为两个扇形面积的差． （1）先求出、、的坐标，再根据旋转的性质求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式求； （2）阴影部分的面积等于以为圆心、为半径的扇形面积减去以为圆心、为半径的扇形面积，利用扇形面积公式计算． 【详解】（1）解：在中， 当时，，解得，故； 当时，，故 ∵点为线段的中点， ∴． 将绕点顺时针旋转得到，作，垂足为点， ∵， ∴， ∴，， 故． ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得． （2）解：∵，，旋转角为， 通过下图所示的割补法可知： ∴阴影部分的面积 ． 21．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则扫过的面积为_____． 【答案】 【分析】根据题意可以求得和的长，再根据旋转的性质即可求得扫过的面积． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴扫过的面积为：， 故答案为：． ◆题型8 复杂阴影面积的综合转化与分类讨论 22．材料：梯形面积公式 梯形面积公式为 ，其中，为上底长，为下底长，为高．其推导方法有很多，其中一种方法是通过把梯形转化为两个三角形面积的差，并借助相似三角形的性质得到证明的． 如图，，对于梯形，上底，下底，高为，为了得到梯形的面积，延长和交于点，过点作于点并交于点，不难证明，则，所以， 材料：扇形面积公式 如图，半径为，圆心角为的扇形面积公式为 ，其中为弧长，而 弧长半径，形式上与 底高类似 材料：扇环 如图，扇环是指两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分，即图中阴影部分． (1)结合材料和材料的相关内容，类比猜想材料中扇环的面积 请用含有、和的代数式表示，其中的长度为，的长度为，线段的长为，即两个同心圆的半径之差，并证明你的猜想； (2)用一段长为米的篱笆围成一个如图所示的扇环形花园，线段的长为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)， 证明：设半径，圆心角，则， 由弧长计算公式得， ， ， 由扇形面积计算公式得 (2)当线段的长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【分析】（1）根据弧长公式和扇形面积公式表示出对应弧长和扇形面积，注意到，以及，化简；（2）根据及得出，利用二次函数性质即可求出当时，花园的面积最大且面积是． 【详解】（1）略 （2）解：由对称性得， ， ， 当时，， 由二次函数的性质知当线段的长为时，花园的面积最大，最大面积是． 23．图①，矩形纸片的边，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图②，将绕点逆时针方向旋转，（，且）得到，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)当时，求四边形的面积． (3)当四边形有一个角是度时，直接写出线段扫过的面积． 【答案】(1)证明： ，， 四边形是平行四边形， 由旋转可得， 四边形是菱形； (2) (3)线段扫过的面积为或或或 【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，由旋转得，即可得证； （2）根据勾股定理求出，当时，四边形是正方形，即可求解； （3）分当时，当时，当时，当时，四种情况求解． 【详解】（1）略 （2）解：矩形纸片的边，， ， 当时，四边形是正方形， 四边形的面积为； （3）当时，，线段扫过的面积为； 当时，，线段扫过的面积为， 当时，，则，线段扫过的面积为； 当时，，线段扫过的面积为； 线段扫过的面积为或或或． 24．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，连接和交于点E，分别过点A，E，B和点B，E，C作弧如图所示，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，标记字母F，H．易证，得出，求出，从而可得，分别为，所在圆的直径，由网格特点可得，，，，则，最后由计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，标记字母F，H． 由网格特点可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，分别为，所在圆的直径． 由网格特点可得，，，， ∴， ∴． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 2．已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【答案】/30度 【分析】根据扇形面积公式结合已知弧长和面积求出扇形半径，再利用弧长公式计算得到圆心角度数． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角为， 由扇形面积公式，将，代入得：， 解得， 将，代入弧长公式得：， 解得， 即该扇形的圆心角为． 3．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 【答案】68.56 【分析】通过观察可以发现圆转动时四个角上各转动了个圆，利用弧长公式即可计算，然后再加上矩形的周长即可． 【详解】解： 答：圆心所经过的路线长度是． 4．如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 【答案】 【分析】阴影部分面积等于四边形面积减去扇形面积．四边形的面积通过利用六边形性质求得与的度数，证明与为直角三角形且全等，利用三角函数计算直角边长度后可得到直角三角形面积，进而得到四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接． 六边形是正六边形，边长为2， ， ． 又在中，，， 为等腰三角形，即， ， 同理可得，． 又在与中， ，， ， ． 在中， ， ， ． ， ， ， ， ． 5．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 6．“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 【答案】/ 【分析】根据题意，分别算出，，，4个空白半圆的面积为，结合图形即可求解． 【详解】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为， 如图所示， 根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E， ∴，则， ∴，，，4个空白半圆的面积为， ∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：， ∴在中，弓形的面积为， 同理，大圆内4个花瓣的面积和为， ∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ． 7．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】过C作交的延长线于点F，先利用平行四边形的性质得到，，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，由阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：过C作交的延长线于点F，如图所示， ∵四边形是平行四边形，，， ，， ， ， ，， ， ∴阴影部分的面积为 ． 8．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的全面积是________ 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长求出底面半径，再分别计算侧面积与底面积，求和得到全面积． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，侧面展开扇形的半径，圆心角为， 由圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，得 解得， 圆锥侧面积为：， 圆锥底面积为：， 因此圆锥的全面积为：． 9．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 10．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆中面积问题的解题方法 常考题型·精准突破 考点一 扇形与弧相关面积计算 题型1 利用扇形面积公式求扇形面积（高频） 题型2 利用弧长、扇形面积与圆面积的关系求未知量（高频） 考点二 阴影面积的基本求法 题型3 利用“整体面积－部分面积”求阴影面积（高频） 题型4 利用割补法求弓形及不规则图形面积（高频） 题型5 利用圆、三角形、扇形之间的面积转化求阴影面积（高频） 考点三 运动与旋转中的面积问题 题型6 动点运动形成的阴影面积计算（重、高频） 题型7 图形旋转扫过面积的计算（重、高频） 题型8 复杂阴影面积的综合转化与分类讨论（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 扇形与弧相关面积计算 ◆题型1 利用扇形面积公式求扇形面积 1．如图，四边形的面积为，扇形的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和） 2．如图，正八边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，求阴影部分的面积（结果保留）． 3．如图，半径为3的扇形中，，C是上一点，于D，于E，连接，若，图中阴影部分的面积为________． ◆题型2 利用弧长、扇形面积与圆面积的关系求未知量 4．如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．一个扇形的圆心角为，扇形的弧长等于，则该扇形的面积等于（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为________°． 考点二 三角形与圆的综合计算 ◆题型3 利用“整体面积－部分面积”求阴影面积 7．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为______．（取） 8．如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆O与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）． 9．如图，点是以为直径的半圆的圆心，以点为圆心，的长为半径的弧交半圆于点，以点为圆心，的长为半径的弧交半圆于点是上一点．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． ◆题型4 利用割补法求弓形及不规则图形面积 10．如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 11．如图，点，，为上的三个点，，． (1)求的长； (2)求弦和它所对的劣弧围成的弓形面积． 12．《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载了勾股定理这一重要的数学原理，吴国数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“赵爽弦图（也称勾股圆方图），在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形．分别以，为圆心，长为半径作弧，若，为的中点，则图中阴影部分的面积为____________． ◆题型5 利用圆、三角形、扇形之间的面积转化求阴影面积 13．如图，直径，弦，且C、D是半圆的三等分点，则弦、、弧所围成的阴影部分的面积等于_________． 14．如图，是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 考点三 运动与旋转中的面积问题 ◆题型6 动点运动形成的阴影面积计算 16．如图，点C为扇形的弧上一个动点，连接、，若，，则阴影部分面积的最小值为______． 17．如图，矩形中，AB=2，，动点P从点A出发向终点 D运动，连接BP，并过点C作CHBP，垂足为H．以下结论：①；②AH的最小值为；③在运动过程中，BP扫过的面积等于；④在运动过程中，点H的运动路径的长为，其中正确的有（填写序号）__________________． 18．如图，点是与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和），于点．半径为2，．点从到运动中，线段扫过面积是（    ） A． B． C． D． ◆题型7 图形旋转扫过面积的计算 19．如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)在（1）中，求线段扫过部分的面积． 20．如图，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B，点C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到． (1)若反比例函数的图象经过点，求k的值； (2)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．（结果保留） 21．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则扫过的面积为_____． ◆题型8 复杂阴影面积的综合转化与分类讨论 22．材料：梯形面积公式 梯形面积公式为 ，其中，为上底长，为下底长，为高．其推导方法有很多，其中一种方法是通过把梯形转化为两个三角形面积的差，并借助相似三角形的性质得到证明的． 如图，，对于梯形，上底，下底，高为，为了得到梯形的面积，延长和交于点，过点作于点并交于点，不难证明，则，所以， 材料：扇形面积公式 如图，半径为，圆心角为的扇形面积公式为 ，其中为弧长，而 弧长半径，形式上与 底高类似 材料：扇环 如图，扇环是指两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分，即图中阴影部分． (1)结合材料和材料的相关内容，类比猜想材料中扇环的面积 请用含有、和的代数式表示，其中的长度为，的长度为，线段的长为，即两个同心圆的半径之差，并证明你的猜想； (2)用一段长为米的篱笆围成一个如图所示的扇环形花园，线段的长为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 23．图①，矩形纸片的边，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图②，将绕点逆时针方向旋转，（，且）得到，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)当时，求四边形的面积． (3)当四边形有一个角是度时，直接写出线段扫过的面积． 24．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，连接和交于点E，分别过点A，E，B和点B，E，C作弧如图所示，则图中阴影部分的面积为________． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 2．已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 3．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 4．如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 5．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 6．“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 7．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积是______． 8．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的全面积是________ 9．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 10．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $