1.3 二次函数的性质 同步训练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

1.3 二次函数的性质 一、知识梳理 1. 一般地,二次函数 ()有以下性质:(1) ,当 时, 随 的增大而 ________;当 时, 随 的增大而 ________. 当 时, 达到最 ________ 值: ________;无最大值. (2) ,当 时, 随 的增大而 ________;当 时, 随 的增大而 ________. 当 时, 达到最 ________ 值: ________;无最小值. 2. 方程 ()的解是函数 ()的图象与 轴交点的 ________;若方程 ()无解,则函数 ()的图象与 轴 ________ 交点. 二、基础巩固 1. 对于函数 ,下列说法正确的是（ ） A．有最小值 B．有最大值 C．函数图象与 轴没有交点 D．函数图象均位于 轴的上方 2. [2025 威海]已知点 ,, 都在二次函数 的图象上,则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 3. 如图所示为二次函数 的图象,使 成立的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 或 4. 已知抛物线的顶点坐标是 ,且经过点 ,则抛物线对应的函数表达式为 ____________. 当 ________ 时, 随 的增大而减小;当 ________ 时, 随 的增大而增大. 5. 已知在二次函数 中,函数 与自变量 的部分对应值如下表: 则当 时, 的取值范围是 ________. 6. 已知函数 是关于 的二次函数. (1) 求满足条件的 的值. (2) 当 为何值时,该二次函数的图象有最低点? 求出这个最低点的坐标. 此时若 随 的增大而增大,求 的取值范围. (3) 当 为何值时,函数有最大值? 求出这个最大值. 此时若 随 的增大而减小,求 的取值范围. 三、能力提升 7. 关于二次函数 ,下列说法不正确的是（ ） A．图象与 轴的交点坐标为 B．图象的对称轴在 轴左侧 C．当 时, 随 的增大而减小 D．函数的最小值为 8. [2025 广安]如图,二次函数 ( 为常数,)的图象交 轴于 , 两点,点 的坐标是 ,点 的坐标是 ,有下列结论:① ;② ;③ 关于 的方程 的解是 ,;④ . 其中,正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9. 已知二次函数 ,当 时, 随 的增大而减小,则实数 的取值范围是 ________. 10. 已知二次函数 的图象的对称轴为直线 ,则 ________,该函数存在最 ________ 值,为 ________. 若点 , 在此函数的图象上,且 ,则 与 之间的大小关系为 ________ (填“”或“”). 11. 新情境 生活实际 有一个抛物线形蔬菜大棚,将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中,抛物线对应的函数表达式可以用 来表示. 已知大棚在地面上的宽度 为 m,在距坐标原点 m 的地方,棚高 为 m. (1) 求该抛物线对应的函数表达式; (2) 求蔬菜大棚离地面的最大高度; (3) 若借助横梁 建一个门,要求门的高度不小于 m,则横梁 的宽度最大为多少米? 四、创新拓展 12. 如图,二次函数 的图象与坐标轴交于点 和点 . (1) 求该二次函数的表达式; (2) 已知该函数图象的对称轴上存在一点 ,使得 的周长最小,请求出点 的坐标. 参考答案 知识梳理 1. (1) 减小；增大；小； (2) 增大；减小；大； 2. 横坐标 没有 基础巩固·能力提升·创新拓展 1. B 2. C 3. D 4. ；； 5. 解析:当 时, 或 ,所以二次函数的图象关于直线 对称,且 是抛物线的顶点坐标. 由抛物线的轴对称性可知,当 时,. 易得抛物线开口向上. 所以当 时, 的取值范围是 . 6. (1) 根据题意,得 所以 (2) 当 时,该二次函数的图象有最低点,最低点的坐标为 . 当 时, 随 的增大而增大 (3) 当 时,函数有最大值,最大值为 . 当 时, 随 的增大而减小 7. C 8. C 9. 10. ；小；； 11. (1) 由题意,得抛物线经过点 , . 所以 解得 所以抛物线对应的函数表达式为 (2) 因为 , 所以二次函数的最大值为 . 所以蔬菜大棚离地面的最大高度为 m (3) 由题意,得当 时,横梁 的宽度最大,令 , 解得 , . 所以 . 所以横梁 的宽度最大为 m 12. (1) 根据题意,得 解得 所以二次函数的表达式为 (2) 设二次函数的图象与 轴的另一个交点为 . 令 , 则 , 解得 , . 因为点 的坐标为 , 所以点 的坐标为 . 所以点 , 关于二次函数的图象的对称轴对称. 所以 . 因为 的周长 , 所以当 , , 三点共线时, 的周长最小. 易得直线 对应的函数表达式为 , 二次函数的图象的对称轴为直线 , 当 时, , 所以点 的坐标为 学科网（北京）股份有限公司 $