1.3二次函数的性质 同步练习 2026-2027学年 浙教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“1.3二次函数的性质”，通过基础巩固、能力提升、综合探究三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数对称轴、顶点坐标、开口方向等基本性质|选择填空结合图像辨析（如第2题比较函数值、第7题由坐标表求对称轴），强化概念理解| |提升层|函数与坐标轴交点、简单参数计算|解答题（如第13题求交点及面积、第14题参数范围），训练运算能力与几何直观| |综合层|含参二次函数最值、分类讨论、实际应用|解答题（如第15题含参顶点分析、第16题实际刹车距离模型），发展推理能力与模型意识|

1.3二次函数的性质 同步练习 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，函数.y=x2-4x+k|x-1|+3的图象与x轴恰好有2个交点，则k的取值范围是（　　） A．k<-2 B．-2<k<2 C．k<2 D．2<k<4 2．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 3．若二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 4．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象与x轴有两个交点 B．当时，y随x的增大而减小 C．函数值的最大值为－5 D．图象顶点坐标为 5．已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是－4 C．当时，y随x的增大而增大 D．－1和3是方程的两个根 6．关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6 7． 二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的对称轴是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝0 8． 函数与的图象如图所示，当（　　）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 二、填空题 9． 已知二次函数的图象开口向下，则m的值是　 　． 10．已知，，满足，，则二次函数的图像的对称轴为直线　 　． 11．如图，抛物线与轴交于点，则下列结论中正确的是　 　.（填序号） ①； ②； ③； ④. 12．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来。经测试，在急刹车时，汽车刹车距离与滑行时间的满足函数关系式为：．则急刹车时汽车最远要滑行　 　才能停下． 三、解答题 13．抛物线 与 轴交点为 ，与y轴交点为 ，求 两点坐标及 的面积． 14．已知，点在二次函数的图象上. （1）当时，求此时二次函数的表达式. （2）若时，求的取值范围. 15．已知二次函数（a为实数，）． （1）求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）． （2）设二次函数在时的最大值为p，最小值为q，，求a的值． 16．在直角坐标系中，抛物线（a，b是常数，）与y轴相交于A点． （1）若抛物线经过点，，求a，b的值； （2）已知，若，y有最大值9，求a的值； （3）①求A点坐标； ②已知，，若抛物线经过，和，且，求t的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：当x≥1时，|x-1|=x-1，此时，y=x2+（k-4）x+3-k=(x-1)(x-3+k)； 函数与x轴相交时，纵坐标为0，可得(x-1)(x-3+k)=0，解得x=1或x=3-k； 当x＜1时，|x-1|=1-x，此时，y=x2-(4+k)x+3+k=(x-1)(x-3-k)； 函数与x轴相交时，纵坐标为0，可得(x-1)(x-3-k)=0，可得x=1（舍去）或x=3+k； ∵与x轴有2个交点，其中一个是1 ∴3-k≥1且3+k＜1，解得-2＜k≤2； 又∵b2-4ac＞0，可得k≠2； ∴-2＜k＜2 故答案为：B. 【分析】根据绝对值的非负性，分类讨论；根据因式分解分别求出x≥1和x＜1时x的解，根据x的取值范围和根的判别式即可求出k的取值范围. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点， ∴y1＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+2＝2，y2＝﹣1﹣2+2＝﹣1，y3＝﹣22﹣2×2+2＝﹣6， ∴y1＞y2＞y3， 故答案为：A. 【分析】分别将A，B，C三点的横坐标代入函数解析式，算出对应的函数值，进而比大小即可. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：由图像可知，图像关于直线x=1对称，且与x轴的一个交点为（3，0）； ∴1×2-3=-1 ∴图像与x轴的另一个交点为（-1，0） ∴x1=-1，x2=3 故答案为：D. 【分析】根据二次函数图象和点的对称性即可直接解题. 4．【答案】B 【解析】【解答】 函数图象与x轴没有交点，故A说法错误； 对称轴为直线a=-1<0， 当时，y随x的增大而减小，故B说法正确； 对称轴为直线a=-1<0， 函数有最大值，最大值为故C说法错误； 由对称轴和最大值可得顶点坐标为（-2，-1），故D说法错误； 故答案为：B. 【分析】利用可判断A说法错误；利用对称轴和开口方向可判断B说法正确；利用对称轴和开口方向可判断C说法错误；根据对称轴和最大值可判断D说法错误；从而得出结论. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：通过图像可知，二次函数的对称轴是x=1，当x=1时，函数取到最小值-4，故A、B正确， 当x＜1时，y随着x的增大而减少，故C错误， 二次函数关于x=1对称，所以-1，3是方程 的两个根 ，故D正确， 故答案为：C. 【分析】根据二次二次函数的特点判断即可. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵在二次函数 中，a=2>0，顶点坐标为（4，6）， ∴函数有最小值为6. 故答案为：D. 【分析】该二次函数表达式为顶点式，由于张口向上，即可得出函数有最小值，结合顶点坐标即可解答. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵当与时，y值相等， ∴二次函数图象的对称轴为直线． 故答案为：B. 【分析】根据二次函数图象的对称性求解。由当与时y值相等，利用二次函数图象的对称性即可求出二次函数图象的对称轴为直线，此题得解． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：由函数图象可知，当x>1时，y1随着x的增大而减小； y2位于一、三象限内，且在每一象限内y2均随着x的增大而减小， ∴当x>1时，y1、y2均随着x的增大而减小. 故答案为：D. 【分析】由函数图象可知，当x>1时，y1随着x的增大而减小；y2图象的两支分别位于在一、三象限内，在每一个象限内y2均随着x的增大而减小，据此即可得到答案. 9．【答案】 【解析】【解答】 二次函数的图象开口向下， m-1<0， 解得m=-2， 故答案为：-2 【分析】根据二次函数的定义与开口方向得到关于m的方程和不等式，解方程和不等式即可求解. 10．【答案】 【解析】【解答】解：，， c=-4a-b=a-2b， 5a=b， 二次函数的图像的对称轴为直线 故答案为： . 【分析】根据，，得到5a=b，再根据抛物线的对称轴为直线，代入即可求解. 11．【答案】②④ 【解析】【解答】解：由图象可知，，①错误，故不符合要求； 当时，，②正确，故符合要求； 函数图象与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根，即，③错误，故不符合要求； 将代入得，，④正确，故符合要求； 故答案为：②④． 【分析】开口向下可得a<0，可判断①的正误；当x=0时，y=c>0，可判断②的正误；由函数图象与x轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即判别式的值大于零，可判断③的正误；将（3，0）代入得，9a+3b+c=0，可判断④的正误． 12．【答案】15 【解析】【解答】解：， 当t=2时，函数取最大值，s=15， 故急刹车时汽车最远要滑行15米才能停下． 故答案为：15. 【分析】由题意求出二次函数的最值，即可得解. 13．【答案】解：令y=0，则 解得：x=3， ∴点A的坐标为（3，0）， 令x=0，则 ∴点B的坐标为（0，27）， ∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，27）， ∴OA=3，OB=27． ∴ =40.5． 【解析】【分析】将x=0和y=0分别代入，求出点A、B的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可。 14．【答案】（1）解： 点在二次函数的图象上 ， 当时，（-2）2-2m-3=12+m-3， 解得：m=1， 二次函数的表达式为y=x2+x-3. （2）解：把点 代入 ， 得p=4-2m-3=1-2m，q=1+m-3=m-2， ， 1-2m<m-2， 解得：m>1， 若时，的取值范围为m>1. 【解析】【分析】（1）根据，可知当x=-2，x=1时，对应的函数值相同，据此列式求解即可； （2）把点 代入 中，得出p=1-2m，q=m-2，再根据，列出不等式求解即可. 15．【答案】（1）解：法一：当y=0时，，对称轴直线 将代入，得，∴顶点坐标为 法二： ∴对称轴直线，顶点坐标为． （2）解：由已知可得：点关于对称轴对称，关于对称轴的对称点为，，抛物线开口向上，∴时，函数取得最大值． 时，函数取得最小值．- ，.解得：（不合题意，舍去） ∴ 【解析】【分析】（1）方法一：求出二次函数图象与x轴的两个交点，求出抛物线的对称轴后，再求顶点坐标；方法二：将两点式转化为一般式，再转化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的对称性和增减性，表示出，再进一步列方程求出的值即可． 16．【答案】（1）解：抛物线经过点，， ∴解这个方程，得，∴a，b的值分别为2，3 （2）解：∵3a+b=0，∴b=－3a， ，∴抛物线顶点坐标为， ①当a＞0时，抛物线开口向上，， ∴x=－1时，y=a+3a+1=4a+1为最大值，即4a+1=9，解得a=2． ②当a＜0时，抛物线开口向下，x＝时，y取最大值． ，解得． 综上所述，a＝2或 （3）解：①当x=0时，y= 1，所以A点坐标为 ②，均在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线。 ∵抛物线经过，，∴m=4 a－2b+1，n=9 a－3b+1，1＜n＜m， ∴1＜9 a－3b+1＜4 a－2b+1 ∴－3a＜－b＜－5a ∵a＜0， ， ， 【解析】【分析】（1）将点，代入二次函数解析式即可求解； （2）先根据题意得到，进而得到二次函数的顶点坐标，再分类讨论：①当a＞0时，②当a＜0时，从而根据二次函数的最值结合题意即可求解； （3）①根据二次函数与坐标轴的交点问题即可求解； ②先根据二次函数的性质结合点的坐标即可得到对称轴，进而结合题意即可得到m=4 a－2b+1，n=9 a－3b+1，1＜n＜m，从而代入得到3a＜－b＜－5a，再根据a＜0得到，化简即可求解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $