1.3 二次函数的性质【分层作业】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念梳理到综合应用探究，对接中考，培养数学抽象、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|二次函数概念与性质|填空形式系统梳理基础考点| |基础达标|性质辨析、解析式求解等|分题型夯实单一知识点应用| |能力提升|函数值比较、区间最值|突破易错点，强化逻辑推理| |素养探究|函数与几何综合|结合图形面积等实现知识整合| |中考链接|中考真题|对接考试，培养综合应用能力|

1.3 二次函数的性质【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】二次函数基础性质辨析 2 【题型2】待定系数法求二次函数解析式 5 【题型3】二次函数增减性基础应用 10 【题型4】二次函数最值基础计算 13 【题型5】二次函数图象基础特征判断 15 三.能力提升 19 【题型1】二次函数函数值大小比较 19 【题型2】限定自变量范围求最值 23 四.素养探究 27 【题型】二次函数性质几何综合探究 27 五.中考链接 31 六.自我评价 46 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空，系统梳理二次函数完整图象与性质考点： 1. 二次函数一般式 ，对称轴为直线____，顶点坐标为_____。 2. 当 时，抛物线开口___，函数在 处取得最____值，最值为______；对称轴左侧随增大而________，对称轴右侧随增大而________。 3. 当 时，抛物线开口____，函数在 处取得最____值，最值为______；对称轴左侧随增大而________，对称轴右侧随增大而________。 4. 越大，抛物线开口越______； 越小，抛物线开口越______。 5. 抛物线与轴交点坐标为________，交点位置由字母________决定。 【参考答案】 1. ； 2. 向上；小；；减小；增大 3. 向下；大；；增大；减小 4. 小；大 5. ； 二.基础达标 【题型1】二次函数基础性质辨析 核心考点：根据解析式快速判断开口方向、对称轴、顶点坐标、最值，熟练掌握二次函数基础性质。 1．（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 2．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项即可． 解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，B选项说法正确， 顶点坐标为，不是，C选项说法错误， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，D选项说法正确． 3．（2026·河南驻马店·三模）请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点； ②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数的一般式为，若图象经过原点，将，代入，得，解得，因此，函数表达式可简化为； 二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定：当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小，题目中“时随的增大而增大”，说明抛物线开口向上（即），且对称轴需在或其左侧，对称轴公式为，因此需满足． 解：设该二次函数表达式为， 由题意，可知该二次函数图象开口向上（即），对称轴（即）， 且，则满足题意．（答案不唯一，符合题意即可） 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为____； （2）把抛物线沿y轴向下平移个单位长度，若抛物线的顶点落在x轴上，则a的值为____； （3）设点、在抛物线上，若，则a的取值范围是____． 【答案】 或 【分析】（1）根据抛物线的性质进行求解即可； （2）根据抛物线的顶点落在x轴上，得出，求出a的值即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别列出不等式，求出不等式的解集即可． 解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴为：直线； （2）抛物线沿y轴向下平移个单位，可得， ∵抛物线的顶点落在x轴上， ∴， 解得：或； （3）①当时，则抛物线开口向上，若，则点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离， ∴，即， ∴或， 解得：或， 又∵， ∴． ②当时，则抛物线开口向下，若，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离， ∴，即， ∴， 解得：， 又∵，故此情况不成立； 综上：． 【题型2】待定系数法求二次函数解析式 先根据已知条件设出合适形式的二次函数解析式，再把图像上点的坐标代入解析式，得到关于待定系数的方程或方程组，解方程求出系数的值，最后将系数代回所设式子，写出函数解析式。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果一个二次函数的图象经过三点，那么这个二次函数的解析式为______． 【答案】 【分析】已知二次函数图象经过三个点，可设二次函数一般式，利用待定系数法代入坐标列方程组求解系数，即可得到解析式． 解：设二次函数的解析式为， 将三个点分别代入解析式， 得， ，得 解得， 将代入方程组得，， ，得 解得， 将代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）若抛物线的顶点是，并且抛物线经过点，则该抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】已知抛物线顶点坐标，设抛物线顶点式解析式，代入已知点坐标用待定系数法求解系数，即可得到抛物线解析式． 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 4．（2026·广东珠海·三模）二次函数的最小值为，当时，随增大而增大，请写出一个满足条件的二次函数解析式_________（请写顶点式）． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定顶点式中各参数的取值范围，再选取符合条件的参数得到解析式． 解： 有最小值， 因此对于，可得，顶点纵坐标； 当 时 随增大而增大，开口向上的二次函数，对称轴右侧随增大而增大， 因此对称轴； 取，，得二次函数解析式为（答案不唯一）． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据下列条件，求二次函数的解析式． （1）图像的对称轴是，与x轴的一个交点为，与y轴交于点； （2）图像与x轴的交点坐标是，且函数有最小值； （3）当时，函数取得最大值1，且图像与x轴两个交点之间的距离为2． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，先设解析式，代入点坐标求二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知二次函数的顶点坐标为，根据顶点坐标先设解析式，代入点坐标求二次函数解析式即可； （3）利用二次函数的图像的性质得到抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的两交点坐标为，根据顶点坐标先设解析式，代入点坐标求二次函数解析式即可． （1）解：根据题意，该二次函数的图像的对称轴是直线， ∴设该二次函数的解析式为， ∵该图像与x轴的一个交点为，与y轴交于点， ∴，解得 ∴该二次函数的解析式为； （2）∵该二次函数的图像与x轴的交点坐标是， ∴其对称轴为， 又∵函数有最小值， ∴该函数图像的顶点坐标为， 设该二次函数解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （3）根据题意，当时，函数取得最大值1， 则该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 又∵抛物线与轴两个交点之间的距离为2， ∴抛物线与轴的两交点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 【题型3】二次函数增减性基础应用 核心考点：根据对称轴划分增减区间，判断自变量变化对应的函数值变化规律，区分开口向上、向下两种情况。 1．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．随着的增大先减小后增大 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，对称轴右侧部分y随x增大而减小． 解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下． ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小． 故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小；当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1）该抛物线的顶点坐标为；（2）当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将二次函数的一般式化为顶点式． （1）将二次函数的一般式化为顶点式，即可得顶点坐标； （2）由解析式可知开口方向和对称轴，结合图象求解即可． （1）解：∵， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵，， ∴抛物线的开口向下，且对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 3．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）已知二次函数的图象经过，两点． （1）求二次函数的解析式； （2）用配方法将该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）求出图象与轴的交点坐标，与轴的交点坐标； （4）当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，随的增大而减小？ （5）当取何值时，函数有最大（或小）值？并求出最大（或小）值？ 【答案】（1）二次函数解析式为；（2），开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；（3）与轴交点坐标为 和 ，与轴交点坐标为；（4）当 时， 随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（5）当时，最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的性质，与坐标轴交点，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）通过配方配成顶点式，由即可求解； （）令 ，则 ，令 ，则 ，即可求出与坐标轴的交点坐标； （）根据二次函数的性质即可求解； （）根据二次函数的性质即可求出最小值． （1）解：∵二次函数的图象经过点和， ∴，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：由， ∵， ∴开口向上， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：令，则， ， ∴或， ∴与轴交点坐标为和， 令，则， ∴与轴交点坐标为； （4）解：∵开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （5）解：∵开口向上， ∴函数有最小值，即当时，最小值为． 【题型4】二次函数最值基础计算 核心考点：利用顶点公式或配方法求解二次函数最大值、最小值，掌握最值求解通用方法。 1．（2026·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【答案】C 【分析】先根据二次函数与y轴交点位置得到a的取值范围，判断二次函数开口方向，再对二次函数配方得到顶点纵坐标，即可求出函数最值． 解：将代入，得， ∵二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴， 解得， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∴该二次函数的最大值为． 2．（2026·河南三门峡·二模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，利用二次函数的性质即可得出答案． 解：∵， ∴， ∴． ∴顶点坐标为． ∴的最小值为． 3．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若二次函数有最大值7，则的值为________． 【答案】6 【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数有最大值，列出关于的方程，求解即可得到的值. 解：， ， 二次函数开口向下， 二次函数的最大值为， 二次函数的最大值为， ， 解得. 【题型5】二次函数图象基础特征判断 核心考点：结合符号，简单判断函数图象大致形状、位置，夯实数形结合基础。 1．（25-26九年级上·湖北随州·期末）已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ）． A． B． C． D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，能从图象中获取有效信息是解答的关键． A选项考查的取值范围，相乘即可求解，B选项考查当时，的取值范围即可求解，C选项考查图像与轴的交点个数即可求解，D选项考查二次函数的增减性，观察图像即可求解． 解：选项A：由图可知开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，即，，，那么，故不符合题意； 选项B：当时，，由图可知，当时，，即，故不符合题意； 选项C：由图可知，抛物线与轴有两个交点，即，故不符合题意； 选项D：由图可知，当时，随的增大而减小，故符合题意． 故选：D． 2．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 3．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③．其中，错误的结论是________（只填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断二次函数系数的符号，以及式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出的符号，即可得到的符号；②根据抛物线与轴的交点个数，进行判断即可；③求出二次函数的最值，进行判断即可． 解：∵由图可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴故①正确，不符合题意； ∵由图可知抛物线与轴有两个交点， ∴，即， ∴故②正确，不符合题意； ∵由图可知，当时，有最大值， 可以将看成，即当时，有最大值， 将看成，即当时，其值不是最大值， ∴， ， 即． ∴故③错误，符合题意． 故答案为：③． 4．（2026·湖南长沙·二模）已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 【答案】①②③④ 【分析】根据图象得到抛物线开口向下，顶点纵坐标为3，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间，然后逐项判断即可． 解：由图象可得，抛物线开口向下，顶点纵坐标为3 ∴y的最大值为3，故①正确； ∵对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②③④． 三.能力提升 【题型1】二次函数函数值大小比较 核心考点：根据点到对称轴的距离，结合开口方向，灵活比较多个点的函数值大小，突破易错题型。 1．（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点和点在抛物线上．已知点，，在该抛物线上．若，比较，，的大小（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．分类讨论的正负情况，根据可得对称轴在与直线之间，再根据各点到对称轴的距离判断值大小． 解：， 抛物线开口向上且经过原点， 当时，抛物线顶点为原点，时随增大而增大，不满足题意， 当时，抛物线对称轴在轴左侧，同理，不满足题意， ，抛物线对称轴在轴右侧，时，时， 即抛物线和轴的2个交点，一个为，另外一个在1和3之间， 抛物线对称轴在直线与直线之间， 即， 点与对称轴距离最近，点与对称轴距离最远， ． 故选：D 2．（2026·浙江宁波·二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，． 解：∵， ∴， ∴当时，有最大值为， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线， 设的对称点为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小． 3．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线，结合题意得出抛物线开口向上，再将点求得关于对称轴对称的点，利用增减性即可得出答案． 解：∵， ∴图象的对称轴是直线， ∵当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：C． 4．（2024·浙江杭州·二模）已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，依题意画出函数和的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解． 解：依题意，画出函的图象，如图所示． 函数图象为抛物线，开口向下，与x轴两个交点的横坐标分别为， 方程的两根是抛物线与直线的两个交点． 由，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N． 由图象可知，， 故选：C． 【题型2】限定自变量范围求最值 核心考点：区别全体实数范围最值与自变量限定区间最值，结合图象判断区间内最大、最小值，高频易错考点。 1．（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 【答案】D 【分析】先对二次函数配方得到对称轴，再根据给定区间的增减性确定开口方向，最后根据最值条件确定k的取值范围，选出符合条件的选项． 解：对二次函数配方得：， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，随的增大而增大，且，说明对称轴左侧随增大而增大， ∴抛物线开口向下，即． 当时，代入得， 关于对称轴的对称点为， 即时． ∵开口向下时，点离对称轴越远函数值越小，且时，函数最大值为，最小值为， ∴， 观察选项，只有在范围内． 2．（2026·辽宁大连·二模）当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值和最小值，最后计算即可． 解：∵， ∴该二次函数二次项系数为，则开口向上，对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在给定区间内， 当时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，； 比较得，二次函数的最大值， 因此． 三、解答题 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． （1）当时，求函数的最大值； （2）若函数的最大值为，求h的值． 【答案】（1）当时，函数有最大值0；（2）6或1 【分析】（1）由题意得，由二次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解； （2）分、及三种情况，利用二次函数的性质即可求解． （1）解：， ∴二次函数的解析式为． ∴当时，函数有最大值0． （2）解：二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数值y的最大值为， 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去）； 若，则函数的最大值为0，与题意不符． 综上所述，h的值是6或1． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求，的值． （2）当时，求的最大值． （3）当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）6；（3） 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． （1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 四.素养探究 【题型】二次函数性质几何综合探究 核心考点：结合顶点、交点坐标求解几何图形面积、线段长度，实现函数性质与几何图形综合应用。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后设，则，然后再分情况或，分别计算即可． （1）解：∵抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将分别代入， 得，解得， 直线的解析式为， 设，则， 为的三等分点， 或， 即或， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去） 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）求抛物线与x轴的交点的坐标； （3）在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在满足条件的点P，其坐标为或 【分析】（1）根据二次函数顶点式直接将顶点坐标代入即可； （2）根据二次函数与x轴的交点的纵坐标为0，令，解一元二次方程即可； （3）根据平面直角坐标系中点的位置关系求出的面积，从而确定的面积，求出点的纵坐标，将点的纵坐标代入抛物线的解析式中求解即可． （1）解：将顶点代入中， 得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴令，则， 解得， ∵点A在点B的左边， ∴点的坐标为，点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： 由（2）知，, ∴，则， ∴，解得． ∵点P在抛物线上， ∴， ∴， 由，解得， ∴存在满足条件的点P，其坐标为或． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 2．（2026·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 3．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 二、填空题 4．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 5．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 6．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可． 解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形，边长为6， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得 ， ∵，， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为． 三、解答题 7．（2026·湖北·中考真题）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点在直线上，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当时，求点的坐标； （3）点在直线上且位于点的右上方，．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，，记，的纵坐标之和为． ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②，， 【分析】（1）把点代入抛物线表达式中可解出的值； （2）由（1）求出点和点的坐标，从而求出直线的表达式，得出当时，点的坐标，由平行关系和抛物线表达式可推出点的坐标； （3）利用结合点在直线上且位于点的右上方用表示出点的坐标，从而可得到四边形是边长为的正方形，接着可表示出点和点的运动轨迹，求出当四边形的边与抛物线有两个交点，时，的取值范围；①分情况讨论当点在线段上时，的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式；②在①的基础上分情况讨论剩余的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式． （1）解：把点代入抛物线得， 解得，； （2）解：由（1）得， 令得， 因式分解得， 解得或， 令得， ，， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 当时，， 当时，， 平行于轴， 的纵坐标为， 点是抛物线上位于第四象限的点， 又，化简得，， 解得， ； （3）解：由（2）知直线的表达式为， ， 设点的坐标为， ， ， 化简得， 解得， 点在直线上且位于点的右上方， ， ，即， ， 四边形是边长为的正方形， 如图，当沿移动时，点沿移动，点沿移动， 上图中点和点重合， ， ， ，，，， 当时，， 点在抛物线上， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把，，代入得，解得， 直线的表达式为， 点在直线上运动，点在直线上运动， 如图， 令，化简得，，解得， 令，化简得，因式分解得，解得或， 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， 当四边形的边与抛物线有两个交点，时，， ①当点在线段上时，， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段上时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段右上方时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点纵坐标， ， 综上所述，当点在线段上时，； ②当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 综上所述，， 当时，分情况讨论： 当时，，化简得，，解得不符合，舍去； 当时，，解得符合； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，解得不符合，舍去； 当时，，化简得，，无解； 综上所述，当时，的值为或或． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 二次函数的性质【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】二次函数基础性质辨析 2 【题型2】待定系数法求二次函数解析式 3 【题型3】二次函数增减性基础应用 3 【题型4】二次函数最值基础计算 4 【题型5】二次函数图象基础特征判断 5 三.能力提升 6 【题型1】二次函数函数值大小比较 6 【题型2】限定自变量范围求最值 7 四.素养探究 8 【题型】二次函数性质几何综合探究 8 五.中考链接 9 六.自我评价 11 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空，系统梳理二次函数完整图象与性质考点： 1. 二次函数一般式 ，对称轴为直线____，顶点坐标为_____。 2. 当 时，抛物线开口___，函数在 处取得最____值，最值为______；对称轴左侧随增大而________，对称轴右侧随增大而________。 3. 当 时，抛物线开口____，函数在 处取得最____值，最值为______；对称轴左侧随增大而________，对称轴右侧随增大而________。 4. 越大，抛物线开口越______； 越小，抛物线开口越______。 5. 抛物线与轴交点坐标为________，交点位置由字母________决定。 二.基础达标 【题型1】二次函数基础性质辨析 核心考点：根据解析式快速判断开口方向、对称轴、顶点坐标、最值，熟练掌握二次函数基础性质。 1．（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 2．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 3．（2026·河南驻马店·三模）请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点； ②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为____； （2）把抛物线沿y轴向下平移个单位长度，若抛物线的顶点落在x轴上，则a的值为____； （3）设点、在抛物线上，若，则a的取值范围是____． 【题型2】待定系数法求二次函数解析式 先根据已知条件设出合适形式的二次函数解析式，再把图像上点的坐标代入解析式，得到关于待定系数的方程或方程组，解方程求出系数的值，最后将系数代回所设式子，写出函数解析式。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果一个二次函数的图象经过三点，那么这个二次函数的解析式为______． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）若抛物线的顶点是，并且抛物线经过点，则该抛物线的解析式为______． 4．（2026·广东珠海·三模）二次函数的最小值为，当时，随增大而增大，请写出一个满足条件的二次函数解析式_________（请写顶点式）． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据下列条件，求二次函数的解析式． （1）图像的对称轴是，与x轴的一个交点为，与y轴交于点； （2）图像与x轴的交点坐标是，且函数有最小值； （3）当时，函数取得最大值1，且图像与x轴两个交点之间的距离为2． 【题型3】二次函数增减性基础应用 核心考点：根据对称轴划分增减区间，判断自变量变化对应的函数值变化规律，区分开口向上、向下两种情况。 1．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．随着的增大先减小后增大 2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小；当x为何值时，y随x的增大而增大？ 3．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）已知二次函数的图象经过，两点． （1）求二次函数的解析式； （2）用配方法将该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）求出图象与轴的交点坐标，与轴的交点坐标； （4）当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，随的增大而减小？ （5）当取何值时，函数有最大（或小）值？并求出最大（或小）值？ 【题型4】二次函数最值基础计算 核心考点：利用顶点公式或配方法求解二次函数最大值、最小值，掌握最值求解通用方法。 1．（2026·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 2．（2026·河南三门峡·二模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若二次函数有最大值7，则的值为________． 【题型5】二次函数图象基础特征判断 核心考点：结合符号，简单判断函数图象大致形状、位置，夯实数形结合基础。 1．（25-26九年级上·湖北随州·期末）已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ）． A． B． C． D．当时，随的增大而减小 2．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③．其中，错误的结论是________（只填序号）． 4．（2026·湖南长沙·二模）已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 三.能力提升 【题型1】二次函数函数值大小比较 核心考点：根据点到对称轴的距离，结合开口方向，灵活比较多个点的函数值大小，突破易错题型。 1．（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点和点在抛物线上．已知点，，在该抛物线上．若，比较，，的大小（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江宁波·二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江杭州·二模）已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【题型2】限定自变量范围求最值 核心考点：区别全体实数范围最值与自变量限定区间最值，结合图象判断区间内最大、最小值，高频易错考点。 1．（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 2．（2026·辽宁大连·二模）当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 三、解答题 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． （1）当时，求函数的最大值； （2）若函数的最大值为，求h的值． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求，的值． （2）当时，求的最大值． （3）当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 四.素养探究 【题型】二次函数性质几何综合探究 核心考点：结合顶点、交点坐标求解几何图形面积、线段长度，实现函数性质与几何图形综合应用。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）求抛物线与x轴的交点的坐标； （3）在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 5．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 6．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 三、解答题 7．（2026·湖北·中考真题）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点在直线上，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当时，求点的坐标； （3）点在直线上且位于点的右上方，．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，，记，的纵坐标之和为． ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $