微专题 与余角和补角有关的计算问题（专项训练）数学人教版2024七年级上册

微专题 与余角和补角有关的计算问题 题型一 求一个角的余角 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．求一个角的余角就用90°减这个角即可解答. 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知和互余，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·一模）已知，则它的余角为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·全国·期末）若一个角的度数是，则它的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·云南昆明·期末）已知和两个角，且，，按题目要求完成下列两题： (1)求出的余角的度数； (2)求出的2倍与的的差． 题型二 求一个角的补角 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．求一个角的补角就用180°减这个角即可解答. 6．（23-24七年级上·四川乐山·期末）若，则的补角等于（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）与互补，若，则的余角的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·全国·单元测试）如果锐角的余角是，那么锐角的补角是 ． 题型三 根据余角或补角关系列方程求角度 设未知数法：在解决余角和补角的计算题目时，常设未知数，根据题意列出方程（组）求解.例如，可以设这个角为x，则其余角为(90-x)，其补角为(180-x)；或者设这个角的余角为y，则其补角为(90+y)，根据题目条件列出方程并求解. 11．（23-24七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角的度数是（    ） A．， B．， C．， D．， 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，求这个角的度数． 14．（2024秋•晋安区校级期末）一个角的补角加上30°，恰好等于这个角的余角的5倍，求这个角的 度数． 15．（23-24七年级上·全国·课后作业）一个锐角的补角比它的余角的4倍小，求这个锐角的度数和这个角的余角和补角的度数． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）一个角的余角比它的补角的多，求这个角的度数． （2）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 题型四 同（等）角的余角相等与角平线的应用 同角或等角的余角相等可以用来证明两个角相等或者是角度的计算. 17．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如图，点O是上一点，分别平分．则的余角为 ． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线上一点，且，，则 = ，的余角是 ． 19．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 20．如图，O为直线上一点，平分． (1)直接写出的余角是 ； (2)是的平分线吗？请说明理由． 21．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，点，，在同一直线上，，平分，平分，． (1)求的度数； (2)判断与是否互余，并说明理由． 22．（24-25七年级上·吉林通化·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，若，，平分，求α． (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 23．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）已知，以为边画． (1)请按照题意补全图形； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的余角的度数． 题型五 同（等）角的补角相等与角平线的应用 同角或等角的补角相等可以用来证明两个角相等或者是角度的计算. 24．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点O是直线上一点，点N、C、D为直线上方三点，，，，则的补角的度数是 ． 25．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，分别为内部三点，连接．已知平分平分．若，则的补角的度数为 ． 26．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，已知，，平分，平分． (1)求的补角的度数； (2)求的度数． 27．（2024秋•洪山区校级期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． （1）若∠AOB＝46°，∠DOE＝37°，求∠BOD的度数； （2）若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE＝24°，求∠AOC的度数． 28．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，点是直线上的一点，是任意一条射线，平分，平分． (1)图中的补角为　 　． (2)若，求的度数． (3)与存在怎样的数量关系？ 29．如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 30．（23-24七年级上·福建厦门·期末）已知是直线上一点，在内，平分． (1)如图1，当时，的度数是________； (2)如图2，平分． ①试说明； ②若与互为补角，求的度数． 题型六 在方位角问题中的应用 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角； 1.方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． 2.用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） 3.画方向角：以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 31．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24七年级上·广东深圳·期末）周末，小亮和同学相约上午去宝安图书馆学习，下午去乘坐湾区之光摩天轮，晚上观看庆典广场灯光水秀表演．点A，B，C分别表示地图中宝安图书馆、庆典广场、湾区之光摩天轮三个地点（如图）．小亮观察地图发现，，宝安图书馆在庆典广场北偏西方向，则湾区之光摩天轮在庆典广场的（   ） A．北偏西方向 B．南偏东方向 C．南偏东方向 D．南偏西方向 33．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 34．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． (1)求射线的方向． (2)求的度数． (3)若射线平分，求的度数． 35．（23-24七年级上·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 36．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，直线，相交于点，以为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1， ①若射线的方向为北偏东，则射线的方向为_______； ②请说明与互为补角． (2)如图2，平分，平分，求证：． 37．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西． (1)若，则的方向是 ． (2)若是的反向延长线，则的方向是 ． (3)在(2)的条件下，可以看作是由射线绕点O旋转至形成的，作的平分线，则的方向是 ． (4)在(1)(2)(3)的条件下，求的度数． 题型七 与余角和补角有关的计算的综合题 综合利用互余、互补两个角的性质，以及运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到方程思想和分类讨论的思想. 38．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线，，，，且和互余，与互余，平分． (1)判断和之间满足的数量关系，并说明理由． (2)判断是否平分，并说明理由． 39．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 40．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）如图，P为直线上一点，与互为余角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数；（用含的式子表示） (3)若是的三等分线，直接写出与的数量关系． 41．（24-25七年级上·山东济宁·期末）【定义】 从角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将该角分得的两个角中有一个角与该角互为余角，则称该射线为这个角的“分余线”． 【应用】 (1)如图1，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由； (2)如图2，射线平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图3，，在的内部作射线，使为的平分线，为的平分线．当为的“分余线”时，请直接写出的度数． 42．（24-25七年级下·北京·开学考试）设，，，分别是，的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)若，（其中），且，是一对“分补角”，求的值； (2)如图2，，，是一对“分补角”，请直接给出的所有可能值，对于每一个的值，要求画出相应的图形，并与之互补的两个角各自的值． 例如：其中一个解如下：如图3，其中．此时与（角不必画出）互补．请再写出（并画出）其它所有满足条件的情况． 43．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为 ； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 44．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，，射线在平面内． (1)若与互补，则 ； (2)射线在直线的上方时，射线的反向延长线与射线形成的夹角是α（），平分． ①若，求的度数为 ； ②是否存在α的值，使得与互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由． 45．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图1，直线与交于点O，且； (1)若点B在点O的正东方向上，点D在点O的北偏东方向上，则点C在点O的 方向上； (2)判断与的数量关系并说明理由； (3)如图2，是的平分线，设（）． ①求的度数（用含的代数式表示）； ②直线由如图2位置开始，绕O点以每的速度顺时针旋转t秒（旋转角度始终小于），请你直接写出的度数（用含、t的代数式表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 与余角和补角有关的计算问题 题型一 求一个角的余角 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．求一个角的余角就用90°减这个角即可解答. 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知和互余，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查“余角的定义”，正确计算角度是解题关键． 根据互余角的定义，之和为，代入计算即可． 【详解】∵ 互余， ∴ ． ∴ ． 故选：A． 2．（2025·云南·一模）已知，则它的余角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了互余角的数量关系．互余的两个角的和等于．根据余角定义直接解答． 【详解】解：， 的余角为． 故选：A． 3．（2024·广东·模拟预测）已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个角的余角，根据互余的定义，两个角的和为，直接计算即可得出结果． 【详解】解： 与互余， ， ， ， 故选：B． 4．（24-25七年级上·全国·期末）若一个角的度数是，则它的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了余角和补角，度分秒的换算，正确理解相关定义是解题关键． 根据两个角的和为，这两个角互为余角，即可求得答案． 【详解】解：的余角的度数是． 故选：A． 5．（24-25七年级上·云南昆明·期末）已知和两个角，且，，按题目要求完成下列两题： (1)求出的余角的度数； (2)求出的2倍与的的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了余角，角的运算． （1）根据余角的定义计算即可； （2）根据题意列出算式，再计算即可． 【详解】（1）的余角 ； （2）， ． 题型二 求一个角的补角 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．求一个角的补角就用180°减这个角即可解答. 6．（23-24七年级上·四川乐山·期末）若，则的补角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查补角的意义，利用两角和的固定度数解决问题．利用补角的意义：如果两角之和等于，那么这两个角互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．由此列式解答即可． 【详解】解：的补角 ． 故选：C． 7．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）与互补，若，则的余角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余角和补角的定义进行计算，即可解答． 本题考查了余角和补角，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：与互补，， ， 的余角， 故选：A． 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角、补角、角的单位换算等知识点，理解余角、补角的定义是解题的关键． 根据余角定义求出这个角的度数，再根据补角定义求出补角，并将小数度数转换为度分形式． 【详解】解：设这个角为， ∵余角为， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 9．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及余角和补角的概念；余角是指两个角的和为，补角是指两个角的和为，先根据与互补求出，再根据与互余求出． 【详解】解：∵与互补， ∴，即， ∵， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴． 故选：C． 10．（25-26七年级上·全国·单元测试）如果锐角的余角是，那么锐角的补角是 ． 【答案】/138度 【分析】本题考查了余角及补角，熟练掌握余角及补角的概念是解题关键． 根据余角的定义，两个角的和为，可求出锐角α的度数为；再根据补角的定义，两个角的和为180°，即可求出α的补角． 【详解】解：∵ 的余角是， ∴ ， ∴ 的补角为； 故答案为． 题型三 根据余角或补角关系列方程求角度 设未知数法：在解决余角和补角的计算题目时，常设未知数，根据题意列出方程（组）求解.例如，可以设这个角为x，则其余角为(90-x)，其补角为(180-x)；或者设这个角的余角为y，则其补角为(90+y)，根据题目条件列出方程并求解. 11．（23-24七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查补角、余角的概念、一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 设这个角为，根据补角和余角的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， 由题意可得：， ， ， ． 故选B． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角的度数是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查了补角的性质，一元一次方程的应用，设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，根据互为补角的两个角的度数相加为列方程求解即可． 【详解】解：设一个角的度数为x，则另一个角的度数为， 根据题意得：， 解得， ∴， ∴这两个角的度数是，． 故选：B． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，求这个角的度数． 【答案】 【分析】本题考查角度计算，余角，补角定义等．根据题意设这个角的度数为，则这个角的余角的度数为，补角的度数为，列式计算即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的余角的度数为，补角的度数为． 依题意得：，解得． 故这个角的度数为． 14． （2024秋•晋安区校级期末）一个角的补角加上30°，恰好等于这个角的余角的5倍，求这个角的 度数． 【答案】60°． 【分析】设这个角为α，则这个角的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α，根据题意可列等式180°﹣α+30°＝5（90°﹣α），求解即可得出答案． 【详解】解：设这个角为α，则这个角的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α， 根据题意可得，180°﹣α+30°＝5（90°﹣α）， 解得：α＝60°， ∴这个角的度数为60°． 【点睛】本题主要考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义进行求解是解决本题的关键． 15．（23-24七年级上·全国·课后作业）一个锐角的补角比它的余角的4倍小，求这个锐角的度数和这个角的余角和补角的度数． 【答案】这个锐角的度数为，这个角的余角的度数为，补角的度数为． 【分析】设这个锐角为度，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】设这个锐角为度，由题意得： ， 解得． 即这个锐角的度数为． ，． 答：这个锐角的度数为，这个角的余角的度数为，补角的度数为． 【点睛】本题考查了余角与补角，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）一个角的余角比它的补角的多，求这个角的度数． （2）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题重点考查余角和补角以及一元一次方程的实际应用，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据题意，先设这个角的度数为，再列方程进行计算． （2）根据题意，先设这个角的度数为，再列方程进行计算． 【详解】解：（1）设这个角的度数为，由题意得， ， 解得， 答：这个角的度数为． （2）设这个角的度数为，由题意得， ， 解得， 答：这个角的度数为． 题型四 同（等）角的余角相等与角平线的应用 同角或等角的余角相等可以用来证明两个角相等或者是角度的计算. 17．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如图，点O是上一点，分别平分．则的余角为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，余角的定义，解题的关键是求出，． 先根据角平分线的定义得出，，再由余角的定义即可得出结论． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴的余角是、． 故答案为：、． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线上一点，且，，则 = ，的余角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角，角的和差，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为．根据可知和互为余角，已知，根据互余两角之和为即可求解． 【详解】解： ， 和互为余角， ， =， 即的余角是， 故答案为：，． 19．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了互余的定义，角平分线的定义，角的和差； （1）由角平分线的定义得，由互余的定义得，由角的和差，即可求解； （2）由互余的定义得 ，再由角平分线的定义即可求解； 理解互余的定义，角平分线的定义，会用角的和差表示出所求的解是解题的关键． 【详解】（1）解： 平分， ， 与互余， ， ， ； （2）解： 与互余， ， ， 平分， ， ． 20．如图，O为直线上一点，平分． (1)直接写出的余角是 ； (2)是的平分线吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的有关计算和定义，余角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由平分得到，再由即可得到的余角； （2）根据同角的余角相等得到即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的余角是， 故答案为：； （2）解：是，理由如下： 由（1）得，， ∴， ∴是的平分线． 21．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，点，，在同一直线上，，平分，平分，． (1)求的度数； (2)判断与是否互余，并说明理由． 【答案】(1)； (2)与互余，理由见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中的角度计算，余角的定义等知识． （1）由角分线的定义计算出，再根据平角的定义得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． （2）由角分线的定义计算出，再根据角的和差关系得出，最后根据互余的定义求解即可． 【详解】（1）解：因为平分，， 所以． 所以． 因为， 所以． （2）解：与互余． 理由如下： 由（1）知，． 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以． 由（1）知， 所以． 所以与互余． 22．（24-25七年级上·吉林通化·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，若，，平分，求α． (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)图见解析，的度数为：或 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，余角的定义，解题的关键是数形结合，理解余角的定义，注意进行分类讨论． （1）根据余角与补角的定义进行运算即可； （2）由已知条件可求得，再由角平分线的定义可求得，从而可求的大小； （3）分两种情况进行讨论：①在的上方；②在的下方，结合图形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①当在的上方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴，， ∴； ②当在的下方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴，， ∴， 综上所述，的度数为：或． 23．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）已知，以为边画． (1)请按照题意补全图形； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的余角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了角的和差计算，角平分线定义，求一个角的余角，解题的关键是注意进行分类讨论． （1）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形即可； （2）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别求出结果即可； （3）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形，根据角平分线的定义和余角的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：当在内部时，如图所示： 当在外部时，如图所示： （2）解：当在内部时， ； 当在外部时， ； （3）解：当在内部时， ∵平分， ∴， ∴的余角度数为： ； 当在外部时， ∵平分， ∴， ∴的余角度数为： ； 综上分析可知：的余角度数为：或． 题型五 同（等）角的补角相等与角平线的应用 同角或等角的补角相等可以用来证明两个角相等或者是角度的计算. 24．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点O是直线上一点，点N、C、D为直线上方三点，，，，则的补角的度数是 ． 【答案】121 【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用平角定义可得：，从而再结合已知易得：，然后利用角的和差关系可得：，再利用补角定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的补角的度数， 故答案为：121． 25．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，分别为内部三点，连接．已知平分平分．若，则的补角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，求一个角的补角的度数，由角平分线的定义可得的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据度数之和为180度的两个角互补即可求出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的补角的度数为， 故答案为：． 26．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）如图，已知，，平分，平分． (1)求的补角的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，补角的定义． （1）先由即可求出，再根据补角的定义即可解答； （2）由角平分线的定义可求得，，进而根据角的和可求得． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴的补角为； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴． 27．（2024秋•洪山区校级期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． （1）若∠AOB＝46°，∠DOE＝37°，求∠BOD的度数； （2）若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE＝24°，求∠AOC的度数． 【答案】（1）83°；（2）88°． 【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠BOC和∠DOC的度数，再根据∠DOB＝∠BOC+∠DOC即可求解； （2）先根据互补的定义求出∠AOD+∠BOD＝180°，再利用角的加减运算即可求解． 【详解】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线， ∴∠AOB＝∠BOC＝46°，∠DOE＝∠DOC＝37°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝46°+37°＝83°； （2）由题意可知：∠AOD+∠BOD＝180°， ∵OD是∠COE的平分线，∠DOE＝24°， ∴∠COD＝∠DOE＝24°， 设∠AOB＝x， ∵OB是∠AOC的平分线， ∴∠AOC＝2x，∠BOC＝x， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝2x+24°，∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝x+24°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴2x+24°+x+24°＝180°， 解得：x＝44°， ∴∠AOC＝2×44°＝88°． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，补角的性质，掌握角平分线的定义和补角的性质是解题的关键． 28．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，点是直线上的一点，是任意一条射线，平分，平分． (1)图中的补角为　 　． (2)若，求的度数． (3)与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2) (3)与互余 【分析】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键． （1）根据互为补角的和等于找出即可； （2）先求出的度数，再根据角平分线的定义解答； （3）根据角平分线的定义表示出与，然后整理即可得解． 【详解】（1）解：的补角为 故答案为： （2）解：， ， 平分， ； （3）解：与互余或， 证明： ， ， 与互余． 29．如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 【答案】(1)①，的补角的度数为；②，；与互补； (2)与不一定互补，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义等等： （1）①根据角的和差关系可求出的度数，进而可求出的补角的度数；②先求出的度数，再根据角平分线的定义分别求出的度数，再求出的度数即可得到结论； （2）根据角平分线的定义分别表示出的度数，再表示出的度数即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴的补角的度数为； ②∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （2）解：与不一定互补，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵不一定为， ∴不一定为 ∴与不一定互补． 30．（23-24七年级上·福建厦门·期末）已知是直线上一点，在内，平分． (1)如图1，当时，的度数是________； (2)如图2，平分． ①试说明； ②若与互为补角，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义； （1）根据平角的定义可得，由角平分线的定义得到，则； （2）①由角平分线的定义得到，，则，进而得到，再求出，即可证明；②由（2）①得，，则，根据补角的定义得到，即可推出，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由（2）①得，， ∴， ∵与互为补角， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型六 在方位角问题中的应用 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角； 1.方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． 2.用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） 3.画方向角：以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 31．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与方位角有关的计算．熟练掌握方位角概念，余角补角有关计算，是解题的关键． 根据方位角的描述求出，根据求出，即可求的补角的度数． 【详解】解；∵A在北偏西， ∴， ∴， ∵B在南偏东， ∴， ∴． ∴的补角为：． 故选：C． 32．（23-24七年级上·广东深圳·期末）周末，小亮和同学相约上午去宝安图书馆学习，下午去乘坐湾区之光摩天轮，晚上观看庆典广场灯光水秀表演．点A，B，C分别表示地图中宝安图书馆、庆典广场、湾区之光摩天轮三个地点（如图）．小亮观察地图发现，，宝安图书馆在庆典广场北偏西方向，则湾区之光摩天轮在庆典广场的（   ） A．北偏西方向 B．南偏东方向 C．南偏东方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】本题考查方位角，角的和差计算，如图，先计算出，再计算出，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知，， ， ， ， 湾区之光摩天轮在庆典广场的南偏东方向， 故选：C． 33．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 【答案】(1)， (2)， (3)北偏东 【分析】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知易得∶ ，从而可得，，再根据余角定义即可解答； （2）根据已知易得∶ ，再根据等式的性质可得．然后利用平角定义可得．从而可得，再根据平角定义可得，最后根据补角定义即可解答； （3）利用角的和差关系可得∶ ，然后根据方向角的定义，即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ，， 图中与互余的角是，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ ， ， ， ， ， ， 图中与互补的角是，， 故答案为∶ ，； （3）解：，， ， 点在点的北偏东方向． 故答案为∶北偏东． 34．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． (1)求射线的方向． (2)求的度数． (3)若射线平分，求的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】本题考查方向角的概念以及角度的计算和角平分线的性质，解题的关键是理解方向角的含义，能正确根据已知条件进行角度的运算． （1）已知射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，可得出和的度数．通过两角相加求出的度数，再结合，计算出的度数； （2）已知的度数和，可算出的度数．因为射线是的反向延长线，根据平角的性质，用减去的度数，就能得出的度数； （3）已知射线平分，根据角平分线的性质，可求出的度数．再结合，通过两角相加得出的度数． 【详解】（1）解：射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西， ，， ， ， ， ， 射线的方向为北偏东． （2）解： ，， ， 又射线是的反向延长线， ， ． （3）解： ，平分， ， ， ． 35．（23-24七年级上·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据得出 ，进而求出的度数； （3）根据，射线平分，即可求出再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：如图： ∵射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西 ∴， ∵射线平分 ∴ ∴，即射线的方向是北偏东； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵射线的方向是东南方向， 36．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，直线，相交于点，以为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1， ①若射线的方向为北偏东，则射线的方向为_______； ②请说明与互为补角． (2)如图2，平分，平分，求证：． 【答案】(1)①南偏东；②见解析； (2)见解析 【分析】本题考查角平分线，互为余角，互为补角，掌握角平分线以及互为余角，互为补角的定义是正确解答的关键． （1）①根据角平分线的定义，互为余角、互为补角的定义进行计算即可； ②根据互为补角的定义进行解答即可； （2）根据角平分线以及互为余角的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：①由题意得， ∵，， ∴， ∴射线的方向为南偏东， 故答案为：南偏东； ②，， ， ，， ， ， 与互为补角； （2）证明：平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 即. ， ． 37．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西． (1)若，则的方向是 ． (2)若是的反向延长线，则的方向是 ． (3)在(2)的条件下，可以看作是由射线绕点O旋转至形成的，作的平分线，则的方向是 ． (4)在(1)(2)(3)的条件下，求的度数． 【答案】(1)北偏东 70° (2)南偏东40° (3)南偏西50°或北偏东 50° (4)或 【分析】本题主要考查了方位角，角的和差，角平分线的定义， 对于（1），先求出，可知的方向； 对于（2），根据的方向可解答； 对于（3），分两种情况得出答案； 对于（4），分两种情况：；，再代入度数计算． 【详解】（1）解：如图所示，根据题意，得， ∴， ∴， 所以的方向是北偏东； 故答案为：北偏东； （2）解：如图所示，根据题意可知， 所以的方向是南偏东； 故答案为：南偏东； （3）解：如图所示， ∵平分， ∴， ∴， 所以的方向是南偏西或北偏东． 故答案为：南偏西或北偏东； （4）解：； ． 所以的度数是或． 题型七 与余角和补角有关的计算的综合题 综合利用互余、互补两个角的性质，以及运算角的和差倍分进行相关的计算，有时要用到方程思想和分类讨论的思想. 38．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线，，，，且和互余，与互余，平分． (1)判断和之间满足的数量关系，并说明理由． (2)判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查了余角的性质． （1）利用余角的性质求得，，据此求解即可； （2）利用余角的性质求得，即可得到平分． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为和互余，与互余， 所以，， 所以； （2）解：平分，理由如下： 因为平分，所以， 因为和互余，与互余， 所以，， 即． 所以平分． 39．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 【答案】(1)的余角是；的补角是； (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由直角的定义可得，则由平角的定义可得，，再由度数之和为90度的两个角互为余角，度数之和为180度的两个角互为补角可得答案； （2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得，再由角的和差关系可得答案； （3）同（2）思路求解即可； （4）根据题意可得，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是； ∵， ∴的补角是； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）如图，P为直线上一点，与互为余角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数；（用含的式子表示） (3)若是的三等分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角的定义： （1）先由角平分线的定义得到，再由平角的定义得到，最后根据度数之和为90度的两个角互为余角即可得到答案； （2）先由余角和平角的定义得到，，则，再由角平分线的定义得到，则； （3）设，由（2）得，则，再分当靠近时，当靠近时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵与互为余角， ∴； （2）解；∵，与互为余角， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解；设，则由（2）得， 如图所示，当靠近时， ∴， ∴； 如图所示，当靠近时， ∴， ∴； 综上所述，或． 41．（24-25七年级上·山东济宁·期末）【定义】 从角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将该角分得的两个角中有一个角与该角互为余角，则称该射线为这个角的“分余线”． 【应用】 (1)如图1，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由； (2)如图2，射线平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图3，，在的内部作射线，使为的平分线，为的平分线．当为的“分余线”时，请直接写出的度数． 【答案】(1)是的“分余线”，理由见解析 (2)； (3)度数为或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角等，理解“分余线”的概念是解题的关键． （1）先求出的度数，根据，即可判断； （2）根据角平分线的定义和“分余线”的定义可知，进一步求解即可； （3）因未指定哪一个角与互余，故需要分类讨论，再根据角平分线定义和“分余线”定义求出． 【详解】（1）解：是的“分余线”，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是的“分余线”； （2）解：∵平分， ∴， ∵为的“分余线”， ∴， ∴； （3）解：∵为的“分余线”， ∴分两种情况： ①当时， ∵为的平分线，为的平分线． ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时， 由①知，， ∴； 综上所述，度数为或． 42．（24-25七年级下·北京·开学考试）设，，，分别是，的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)若，（其中），且，是一对“分补角”，求的值； (2)如图2，，，是一对“分补角”，请直接给出的所有可能值，对于每一个的值，要求画出相应的图形，并与之互补的两个角各自的值． 例如：其中一个解如下：如图3，其中．此时与（角不必画出）互补．请再写出（并画出）其它所有满足条件的情况． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由题意可知不可能在内部，再画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义求解即可； （2）分在内部和外部两种情况，分别画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵，，是一对“分补角”， ∴不可能在内部， 如图，∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵，是一对“分补角”， ∴，即，解得∶； （2）解：当在内部时，如图∶ ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， 当时，， ∴； 当时，； 当在外部时， ①当为钝角时，如图， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当为锐角时，如图， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴． 综上，的可能值为或或或． 43．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为 ； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1)70 (2) (3)或 【分析】（1）根据邻补角的性质求解即可； （2）首先由（1）可知，结合垂直的定义可得，再结合角平分线的定义可得，然后由求解即可； （3）由（2）知，结合与互余，可求得，然后分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：70； （2）由（1）可知，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）由（2）知， ∵与互余， ∴， ， 当射线在内部时，如下图， ； 当射线在外部时，如下图， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了补角和余角、垂直的定义、角平分线以及几何图形中角度计算，熟练掌握相关定义和性质是解题关键． 44．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，，射线在平面内． (1)若与互补，则 ； (2)射线在直线的上方时，射线的反向延长线与射线形成的夹角是α（），平分． ①若，求的度数为 ； ②是否存在α的值，使得与互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①；②或 【分析】本题主要考查了余角、补角，角平分线，解题的关键是读懂题意，确定射线位置，分情况讨论解决问题． 对于（1），根据题意可知的位置有两种情况，分情况讨论计算 的值； 对于（2）①，读懂题意，确定 的位置，根据角平分线定义，角的和差，计算的度数； ②读懂题意，根据的两种位置，分情况计算α的值． 【详解】（1）解： 如图，∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为或； 故答案为：或； （2）解：① ∵， ∴， ∴. ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②存在，理由如下： ∵与互余， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵与互余， ∴. ∵， ， ∴， ∴， ∴的值为或． 45．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图1，直线与交于点O，且； (1)若点B在点O的正东方向上，点D在点O的北偏东方向上，则点C在点O的 方向上； (2)判断与的数量关系并说明理由； (3)如图2，是的平分线，设（）． ①求的度数（用含的代数式表示）； ②直线由如图2位置开始，绕O点以每的速度顺时针旋转t秒（旋转角度始终小于），请你直接写出的度数（用含、t的代数式表示）． 【答案】(1)南偏西 (2)，理由见解析 (3)①②或或 【分析】本题主要考查了列代数式，正确理解对顶角以及角平分线的定义是本题解题的关键． （1）根据方向角的对称性质求解即可； （2）根据对顶角相等以及角的和差求解即可； （3）①由（2）可得，再根据平角的定义求解，再根据角平分线的定义求即可； ②用表示出，分情况讨论，当时，代入①所得代数式即可，当时，重新求解的代数式，根据①中和的关系求解即可，当旋转角大于等于时，先求出，从而得到，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：点D在点O的北偏东方向上， 在点的南偏西方向上； 故答案为∶南偏西； （2）解：，理由如下： ∵直线与交于点，且， ∵， ∴ ； （3）解：①由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴ ； ∵是的平分线， ∴ ； ②当点在直线下方时， 当点在直线上时， 当点在直线上方时， 理由：∵， ∴， ∴； 设旋转后得到，则是的平分线， 1．如图1，当点在下方， 则 ∵是的平分线 ∴ 2．当点在上时， ∵是的平分线 ∴； 3．如图2，当点在上方时， 则 ∵是的平分线 ∴ 综上所述，或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $