专题04 函数的基本性质（期中真题汇编，安徽专用）高一数学上学期

专题04 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．B 2．C 3．D 4．C 5．C 6．C 7．ACD 8．A 9．C 10．A 11．C 12．B 13．D 14．BCD 15．C 16．ACD 17．D 18．A 19．ACD 20．A 21．ABD 22．D 23．C 24．BCD 25．ACD 26．A 27．ABD 28．AD 29．D 30．AC 31．A 32．D 33．C 34．ACD 35．C 36．AC 37．AD 38．D 39．ACD 40．C 41．AD 42．ACD 43．【答案】 【分析】 先求出函数的定义域，然后换元后利用复合函数“同增异减”的方法求解即可 【详解】 由，得，解得或， 所以的定义域为， 令，则， 因为在上递减，在上递增，而在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增， 所以的单调递增区间是或， 故答案为： 44．【答案】（1），     （2）         （3）单调减区间为，；单调增区间为；函数的值域为      【分析】 （1）由的解析式计算即可； （2）描点作图； （3）结合（2）中图象写出结论. (1) 小问详解： ， ， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数的单调减区间为，；单调增区间为； 函数的值域为. 45．【答案】和 【分析】 作出的函数图象，根据图象可判断出单调递减区间. 【详解】 因为 ，作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递减区间是和， 故答案为：和. 46．【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）由奇函数的性质可得、，代入即可得解； （2）由可判断函数单调递减，结合奇函数的性质可得恒成立，即可得解. 【详解】 （1）因为函数为奇函数，故，则， 所以， 又恒成立，所以； （2）因为，函数单调递减， 又恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以. 【点睛】 本题考查了利用奇函数的性质求参数，考查了利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，属于中档题. 47．【答案】（1）     （2） 在和单调递减，在和单调递增， 证明：任取，且， 则， 因为，且， 所以，，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减， 任取，且， 则， 因为，且， 所以，， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 又函数为奇函数， 所以在单调递减，在单调递增， 综上在和单调递减，在和单调递增.      【分析】 （1）根据函数是奇函数，由，得，两者联立解得a，b，进而可得函数的解析式； （2）利用单调性的定义证明函数的单调性. (1) 小问详解： 因为，且是奇函数， 所以， 所以 ，解得 ， 此时，定义域为，关于原点对称， 且，满足题意， 所以. (2) 小问详解： 略 48．【答案】（1），     （2）      【分析】 (1)由函数奇偶性构造方程组即可求解； (2)由(1)将转换成，再构造函数，由其单调性得到最值，即可求解. (1) 小问详解： 依题意，① ，， 依题意可知， ② ， 由①—② 得，， 由①+② 得，； (2) 小问详解： ∴由（1）得，，整理得， ； 令， 根据指数函数性质可知在上单调递减， ， ∴实数的取值范围为. 49．【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 的定义域为，所以定义域关于原点对称， 因为，所以为奇函数.     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增.      【分析】 （1）先判断定义域的对称性，然后根据的关系可证明奇偶性； （2）通过取值、作差、变形、判断符号、下结论，证明在上的单调性. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 50．【答案】 【分析】 根据为奇函数求出的值，则的值可求. 【详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，所以， 因为为奇函数，所以， 所以，所以，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 51．【答案】（1）     （2） 在上单调递增.证明如下： 由（1）知，，设， 则， 因为，所以，， 所以， 即，故函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法求得，再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可证明； （3）根据，再利用函数的单调性与定义域列出关于的不等式组，求解即可． (1) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数， 所以，解得. 当时，，此时， 经验证满足题意，则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，所以不等式化为， 因为在上单调递增，所以， 解得或， 故不等式的解集为. 52．【答案】（1），     （2）在上单调递增，证明：因为，， 任取，且， 则 因为， 所以，， 所以， 即在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）通过几何关系确定，利用R的三边关系建立，的关系，再利用，进而确定的范围即可. （2）应用函数单调性的定义证明即可； （3）设，将面积表示为，适当变形应用基本不等式求解最值即可. (1) 小问详解： 解：根据题意，由，得， 由已知，故， 又因为 故在中，则， 即，整理得 又，则，故， ，所以，定义域为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：易知，当点位于点时，面积最大. 此时再设，，那么， 由得，， 所以，的面积， 令，则，， 故 ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 故当时，的面积的最大值为. 53．【答案】（1）     （2） 设， 则， 由，可得， 则，即， 所以在上单调递增；     （3）．      【分析】 （1）由函数奇偶性及题干得，解方程组即可求解； （2）按照单调性的定义证明即可； （3）参变分离得在时有解，，然后利用基本不等式求解最值即可求解. (1) 小问详解： 由，得， 又因为是偶函数，是奇函数，所以， 与联立解得； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由条件知，，得在时有解，所以， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以， 即的取值范围为. 54．【答案】 【分析】 根据奇偶性可得函数对称中心，利用对称性求函数值即可. 【详解】 因为是上的奇函数， 所以的图象关于对称． 故 故答案为： 55．【答案】（1）     （2）33     （3）      【分析】 （1）令，由二次函数性质计算可解； （2）由二次函数性质求解即可； （3）由函数单调可知在上恒成立，采用分离常数法令，由二次函数性质求解即可. (1) 小问详解： 令， 则开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； (2) 小问详解： 由（1）知，时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又，所以最大值为. (3) 小问详解： 由（1）知，在上单调递增， 又， 由， 得在上恒成立， 所以问题即为在上恒成立， 所以， 设，令，则， 所以. 由二次函数性质可知函数在区间上单调递减， 所以当时，， 所以，即的取值范围为. 56．【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增     （2）     （3）.      【分析】 （1）利用函数单调性的定义以及一次函数的性质判断即可； （2）根据题意建立不等式，解不等式分析即可； （3）根据题意利用基本不等式和函数单调性求最值分析得出结论. (1) 小问详解： 当时，令， 任取，且， 所以 ， 因为，所以， 即， 所以， 又，所以， 所以， 所以函数在上单调递增， 当时，在上单调递减. (2) 小问详解： 当时，令， 即， 整理得， 解得， 结合，可得满足不等式， 当时，令，解得， 结合，得到， 所以能维持有效净化作用的时间为. (3) 小问详解： 由（1）知，当时函数单调递增， 当时函数单调递减， 所以当时，第一次投放的净化剂浓度开始下降， 第二次投放后，当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 当时，. 综上，净化剂浓度的最大值为. 57．【答案】（1）图象：      （2）证明：任取，且， 则， 因为，则，可得， 则，即， 所以在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）根据题意作出函数图形； （2）根据单调性的定义分析证明即可； （3）根据（2）中单调性取最值即可. (1) 小问详解： 画出函数的图像，如图所示： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为在上单调递增，则在上单调递增， 所以. 58．【答案】 【分析】 分别求出和的值域，进而求解. 【详解】 当时，．当时，． 故函数的值域是． 故答案为：. 59．【答案】 【分析】 由函数为奇函数，求得时，，转化为，得到，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】 设，则， 因为函数为奇函数，可得， 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为恒成立，即， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 60．【答案】① ④ 【分析】 首先判断定义域是否关于原点对称，然后判断是否相等或者互为相反数，从而即可求解. 【详解】 ① 因为，所以的定义域为，关于原点对称， 且，所以是奇函数，故① 满足题意； ②的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数，故② 不满足题意； ③ 由可得， 而且，故不是偶函数也不是奇函数，故③ 不满足题意； ④ 当为有理数时，也为有理数，此时， 当为无理数时，也为无理数，此时， 所以对任意是偶函数，故④ 满足题意. 故答案为：① ④. 61．【答案】（1）     （2） ，的值域为      【分析】 （1）根据对称轴位于区间之间可得结果； （2）根据以及的单调性求解出的表达式，然后分段讨论的值域，由此可求结果. (1) 小问详解： 因为的对称轴， 若在上不单调，则， 所以实数的取值范围是. (2) 小问详解： 当时，在上单调递增，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当时，在上单调递减，所以， 所以 ； 当时，，所以的值域为， 当时，在上单调递减，所以的值域为，即为； 当时，在上单调递减，所以的值域为，即为， 综上所述，的值域为. 62．【答案】（1）     （2） 函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下： ，且， 有， 当时，，所以，则， 所以在上单调递增； 当时，，所以，则， 所以在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）利用奇函数的性质得到关于的方程，解后再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （3）根据题意，将问题转化为，结合（2）中结论得到关于的不等式，解之即可得解. (1) 小问详解： 由为奇函数，定义域为，可得， 即，解得， 此时，又，满足为奇函数，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若对任意的，都有， 只需， 由（2）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 所以， 所以，解得或， 故的取值范围是. 63．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）构造函数，由列方程组，从而求得对称中心. （2）先求得在区间上的值域，根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式，从而求得的取值范围. (1) 小问详解： 假设的图象存在对称中心， 则的图象关于原点中心对称， 因为的定义域为，所以恒成立， 即恒成立， 所以 ，解得 ， 所以的图象存在对称中心. (2) 小问详解： 函数在区间上单调递减，在区间上值域为， 由题意可知：对恒成立， 因为开口向下，对称轴为， 若，即时，则在上单调递减， 则，解得，不合题意； 若，即时，则在上单调递增，在上单调递减， 则，解得； 若，即时，则在上单调递增， 则，解得，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 64．【答案】（1） 单调递增，证明如下： 设，则， 化简得：， 因为，所以，，， 那么，即， 所以函数在上单调递增；     （2）；     （3） 或.      【分析】 （1）通过作差比较函数值大小来判断； （2）结合单调性确定函数取值范围； （3）解不等式则依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，即， 则，可得， 所以， 因此函数在区间上的值域为. (3) 小问详解： 因为在上单调递增，且，所以可得 ， 解，，； 解，，； 解，即，因式分解得， 则 或 ， 时， ，取； 时， ，取； 综合可得或. 65．【答案】（1） 由题意 ，所以. 因为函数的定义域为， 且，所以函数为奇函数.     （2） 函数在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为，所以，，， 所以，所以即. 所以函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据已知条件求的值，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性. （2）利用函数单调性的概念证明函数在给定区间上的单调性. （3）根据函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为， 所以 . 故不等式的解集为. 66．【答案】 【分析】 根据条件先判断出的周期性，然后化简可得，由此可计算出结果. 【详解】 因为，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以是周期为的周期函数， 所以， 又因为，所以，所以， 故答案为：. 67．【答案】（1） 当时，， 所以， 所以成立；     （2）      【分析】 （1）代入，计算出的值即可完成证明； （2）将问题转化为“”，再结合对勾函数性质可求解出的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，即， 令，则， 由对勾函数函数性质可知，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，故的取值范围是. 68．【答案】（1） 函数的定义域是， ， 所以函数是奇函数；     （2） 函数，，， 令，得，其中，方程无解， 所以定义域内不存在实数，使， 所以不是“局部反比例对称函数”；     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，即可判断； （2）根据“局部反比例对称函数”的定义，列方程，转化为一元二次方程是否有实数根的问题，即可求解； （3）首先根据新定义，列方程，再利用换元设，转化为一元二次方程在给定区间有解问题，讨论对称轴和定义域的关系，列式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数，， 若函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以，得， 即，其中， 令， 得，， 设，可知函数的对称轴为，开口向上， 当时，由，解得， 当时，由得，得， 综上可知，当时，方程在上有解， 即在上有解， 即是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以的取值范围是. 69．【答案】 【分析】 先对进行化简，然后利用单调性的定义判断是增函数，进而可求出其范围. 【详解】 .设， . 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以. 而，所以. 故答案为：. 70．【答案】（1） 不存在“类对称点”； 理由如下： ∵易知在上均单调递增， 在上单调递增； 则时，对，有， 不存在“类对称点”；     （2）当时，不存在“类对称点”；当时，存在无数个“类对称点”.理由如下： 当时，在上单调递增，由（1）易知其不存在“类对称点”； 当时，，化简可得（*）， ① 若恒成立，式无解，即不存在“类对称点”； ② 若，方程化为， ，只需（即）， ∴满足条件的有无数个， 故有无数个“类对称点”， 综上所述，当时，不存在“类对称点”；当时，存在无数个“类对称点”.     （3） 依题意，为的一个类对称点，则存在实数，使得， ∵易知的定义域为，即， 由代入得： 化简得， 等式两边平方后有， 即， 又平方得， 即， 即“为的一个‘类对称点’”的充要条件是在时有解， 在上单调递增，解得， 由得，即，恒成立， 又的正数解为且， ，即， 综上所述，得证“为的一个‘类对称点’”的充要条件是“”.      【分析】 （1）由“类对称点”的定义即可求证； （2）由“类对称点”的定义，结合和，分类讨论求解； （3）由“类对称点”的定义，得到“为的一个‘类对称点’”的充要条件是在时有解，进而可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 71．【答案】（1）     （2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形，理由：函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形． 理由如下：假设，使得，解得，与矛盾， 所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形；     （3）      【分析】 （1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据反证法，以及“弱对称中心图形”定义即可证明； （3）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解. (1) 小问详解： 由，解得． 当时，，对于任意的， 都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增，所以， 所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以． 综上可知，实数的取值范围为． 72．【答案】（1） 因为是函数的一个“不动点”，所以， 又因为为奇函数，所以， 所以也是函数的一个“不动点”.     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）利用奇函数的性质即可证明； （2）（i）由题意有实数根，利用可求解；（ii）由题意可得，进而利用判别式可求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）因为对任意实数，都有“不动点”， 所以方程，即有实数根， 所以对任意实数，恒成立， 所以， 解得，即实数的取值范围为. （ii）函数恰有两个不同的“不动点”， 即方程恰有两个不同的实根. 又，即 ， 两式作差得：， 即， 即. 方程的判别式， 方程的判别式， 且，所以当时，一定有. 要使方程（*）恰有两个不同的实根，则只可能是下面两种情况： ① ，解得或. ② 且方程的解也是方程的一个解， 由此解得 综上，实数的取值范围为. 73．【答案】（1） 由题意得，. 所以的值为常数.     （2），，，     （3）      【分析】 （1）本题考查函数值的计算与化简，解题思路是先分别求出, 和的表达式，再计算它们的差，并化简； （2）本题考查方程的求解以及集合子集的求法，解题思路是先根据已知条件求出集合M，再根据集合M的元素个数求出其所有子集； （3）先将转化为，利用换元法令，转化为二次不等式在区间上得能成立问题. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意得，， 由，得， 得到，解得，则. 的子集为：，，，. (3) 小问详解： 由题意得，等价于， 即. 易得在上单调递增，则当时，. 令，则问题转化为存在，使得成立， 则当时，， 所以，解得，即实数的取值范围为. 74．【答案】（1）函数是上的“1级优函数”．理由如下： 因为当时，有，所以是上的“1级优函数”．     （2）（ⅰ）因为是上的“2级优函数”，由定义可得对任意，， 当时，有， 所以， 又， 所以． （ⅱ） ，或 ．      【分析】 （1）根据“级优函数”的定义，即可求解. （2）根据定义可得，即可采用迭代相加法求解（ⅰ），根据（ⅰ）的思想可证明，故，进而可得，进而可判定是上的“2级优函数”，且是上单调递增函数，对分类讨论，结合函数的单调性及可列方程求解（ⅱ）. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可得 由（ⅰ）可得，， 以上两式相减可得， 在上式中，以x代可得， 再令，可得， 又对任意，，当时，有， 因为是上的“2级优函数”，所以， 又，所以，所以， 即对任意，，当时，都有， 故是上的“2级优函数”， 由上述分析可得，且是上单调递增函数． 当时，，其中a，，有， 当时，，此时在上单调递增，满足题意； 当时，则 或 解得 ； 当时，则 此时无解； 综上所述， ，或 ． 【点睛】 求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 75．【答案】（1）     （2）     （3）．      【分析】 （1）由题意得到，和即可求解； （2）由中心对称的充要条件代入计算即可； （3）通过分参得到，再分和令，求最值即可. (1) 小问详解： 由题意，可得，即， 又的图象无限接近直线但又不与该直线相交， 可得， 所以函数的解析式； (2) 小问详解： 令，解得， 可知的定义域为， 又因为， 所以函数的图象关于点对称． 故答案为：． (3) 小问详解： 不等式对任意的恒成立， 等价于恒成立． 令，则， 当时，， 令， 当时，取最大值为， 当时，， 令， 当时，取最大值68， 综上，． 76．【答案】（1）     （2）（i）； （ii）当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为， 当时，函数在上的最小值为.      【分析】 （1）画出图象，结合图象写出单调区间； （2）（i）求出的解析式，分、、三种情况，结合单调性求解； （ii）求出的解析式，分、、三种情况，当时，再按照、分类讨论即可. (1) 小问详解： 时， ，画出图象如图， 则单调增区间为 (2) 小问详解： 设 ， （i）方程有3个不同的实根，即函数与轴有3个不同的交点， 当时， ，在上单调递增， 函数与轴只有1个交点，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以时，有1个根， 时，有2个根， 故 ，解得； 当时，当时， 方程的判别式， 可知无解， 所以函数不可能与轴有3个不同的交点，所以不符合题意． 综上的取值范围是； （ii）① 当时， ，在上单调递增， 函数在的最小值为； ② 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 函数在的最小值为； ③ 当时，在上单调递增，在上单调递减， 令，得或（舍）， 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减， 则在的最小值为； 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减， 则在的最小值为； 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减， 则在的最小值为； 当时，在上单调递增， 则在的最小值为； 综上所述， 当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为， 当时，函数在上的最小值为. 77．【答案】（1） 在中，将用替代， 则，即. 联立和， 解得. 因此.     （2）在上单调递增，在上单调递减，理由如下： 因为函数的定义域为，， 所以是偶函数， 又， 因为在内单调递增， 所以在内单调递减，因此在内单调递减. 由于是偶函数，所以在内单调递增.     （3）.      【分析】 （1）在条件式中将用替代，联立方程组求得，计算得证； （2）先判断是偶函数，再根据复合函数的单调性判断； （3）设函数图象上任意一点的坐标为，点关于点的对称点的坐标为，可得，由运算得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设函数图象上任意一点的坐标为，点关于点的对称点的坐标为. 由，得. 因为点在函数的图象上，所以. 即，. 故. 78．【答案】 【分析】 由题求出，，再根据判断函数的奇偶性，利用单调性的定义判断函数的单调性，进而解不等式. 【详解】 令，则，得； 令，则，得； 令，则，所以． 又函数的定义域关于原点对称，所以函数为偶函数． 因为，又1，所以． 因为， 所以原不等式等价于． 当时，，因为当时，， 所以，因为， 所以， 所以，所以函数在上是增函数， 又函数为偶函数，所以原不等式又等价于， 即或-16，解得或， 所以不等式的解集为． 79．【答案】（1）     （2）（i）; （ii） ， 故，当且仅当时取等号.      【分析】 （1）分类讨论取绝对值后可得，即可得实数的取值范围； （2）（i）利用基本不等式计算可得，则，再分类讨论即可得；（ii）化简后借助基本不等式计算即可得. (1) 小问详解： 因为 ， 所以，因此时不等式的解集是空集， 故实数的取值范围是； (2) 小问详解： （i）因为， 所以， 即，当且仅当时取等号， 因此的最小值是，即有， 所以，当时，有，解得，又，故； 当时，有恒成立，故； 当时，有，解得，又，故； 综上可知，实数的取值范围是； （ii）略 80．【答案】（1）     （2） 由（1）可得． 任取，且， 则 因为，可得， 所以，即， 所以在区间上单调递减．     （3），      【分析】 （1）由，求得，再由为偶函数，列出方程，求得，即可得到答案； （2）由（1）可得，结合函数的单调性的定义与判定方法，即可得证； （3）当时，得到，把不等式转化为，再由为偶函数，且在上单调递减，得到，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数，因为，可得， 又因为为偶函数，有，即，解得， 综上可得：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，，所以， 由可得， 因为，所以不等式等价于， 因为为偶函数，且在上单调递减， 所以，即，即，解得． 又因为，所以所求不等式的解集为． 81．【答案】（1）     （2） 证明：，不妨设. ， 又，在区间上单调递增， ，易知， ，则， 因此函数在区间上单调递增.     （3）      【分析】 （1）借助函数的奇偶性即可求解解析式， （2）根据函数单调性定义即可证明单调性. （3）由题意及第（1）可得恒成立，分离参数，结合分类讨论，求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 设，有，所以， 又函数为偶函数， 故， 从而有的解析式为 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意及第（1）问可知： . 恒成立，即 ① 当时，有，即； ② 当时，有显然成立，即， 综上所述，实数的取值范围为. 82．【答案】 【分析】 根据条件，逐步计算出的值，然后根据结合奇偶性即可求解出结果. 【详解】 由条件可知，，， ，， ，， ，， 因为是偶函数，所以， 故答案为：. 83．【答案】 【分析】 将问题分为对，均有或和存在当时，两部分进行求解． 【详解】 首先分析对，均有或，令，解得， 故当时需要， 易得二次函数的对称轴为， 故需确保且右边根， ,解得， ，解得， 综上，① ； 再分析存在当时，， 故存在，， 故左边根，解得② ， 综合① ②取交集，可得， 故答案为：． 84．【答案】（1）     （2）存在，     （3）      【分析】 （1）由二元函数的定义求解即可； （2）根据基本不等式即二次函数的性质判断即可； （3）根据二元函数在定义域上单调递增的定义求解即可； (1) 小问详解： 由可得，， 由可得，， 由 又， 所以； (2) 小问详解： 由可得，， 由可得，，所以， ， 当且仅当，即，时取等号. (3) 小问详解： 因为在上是关于单调递增， 所以， 即存在，对于任意的，，都有， 化简可得，即， 下面求函数的最小值， 设，， ， 当时，若时，； 若，此时，可得， 令， 因为，由可知，在递增， ， 当时，， 当时，； 同理，当时，在上单调递增且函数值为负， 在上单调递增，函数值为正， 所以， 综上，当时，， 即存在，使得， 设，， ①当时，， ②当时，， 设，， 所以， 综上，， 所以的取值范围是. 【点睛】 关键点点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 85．【答案】 【分析】 分类讨论t的范围，结合因式解高次不等式计算即可. 【详解】 若，则恒成立，此时不等式的解集为， 与矛盾，舍去； 若，则不等式， ① 当，即时， 此时原不等式的解集为， 要满足题意需（区间恒正），即； ② 当，即，此时原不等式的解集为， 要满足题意需，即， ； ③ 当，即时， 此时不等式的解集为， 要满足题意需 （区间恒正）， 即时，， 易知单调递减，可知，即， ； ④ 当，即，此时不等式的解集为， 而要满足题意需，显然不符合题意，舍去， ； ⑤，即，此时不等式的解集为， 同上需满足，仍不符合题意，舍去， ； 综上：实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】 思路点睛：根据高次不等式的解法，分类讨论三个根的大小关系，结合题意分析即可，要注意讨论不重不漏. 86．【答案】 【分析】 先根据偶函数和零点判断取正值、负值的区间范围，然后将不等式进行化简，进而通过讨论，得到的关系式，最后根据二次函数的性质求出最小值即可. 【详解】 因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增， 且， 可知当时，；当时，； 那么当时，；当时，； 当时，； 由可得， 因为. 由题意可知不等式的解集为， 显然不恒为0，可知当时，； 当时，；当时，. 可知一次函数的零点为2，且图象是由左向右下降的， 则，所以. 所以，当时，取最小值为. 故答案为：. 87．【答案】（1）     （2）2.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的性质建立关于a，b的方程组，解之即可求解； （2）根据函数的对称性可知的图象关于点对称，进而，求得，结合基本不等式计算可得，即可求解； （3）根据不等式的性质可得，由（1），结合函数的单调性可得 ，进而的方程有两个互异实根，利用换元法（）可知关于的方程有两个互异正根，结合根的判别式计算即可求解. (1) 小问详解： 因为是上的奇函数，所以， 由 可得， 因为，所以， 即，验证知是奇函数，符合题意. (2) 小问详解： 把区间等分成份， 则等分点的横坐标为， 又为奇函数， 所以的图象关于点对称， 所以， 所以 因为， 当且仅当即时，等号成立. 由，得. 又，所以的最大值为2. (3) 小问详解： 因为，所以，所以， 由，得，所以， 由（1）知，函数为上的增函数. 因为函数在区间上的值域是， 所以 ，即 ， 所以关于的方程有两个互异实根. 令，所以关于的方程有两个互异正根， 所以 ，解得， 所以. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）已知定义在上的偶函数在上单调，且，则，的大小顺序是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用偶函数的性质将自变量转化到同一单调区间，再根据单调性比较函数值大小. 【详解】 因为是偶函数，所以， 已知，由偶函数性质，因此， 所以在上单调递减； 数值大小关系为， 所以， 所以即. 故选：B. 2．（25-26学年高一上·安徽皖中名校联盟合肥第八中学·期中）设是定义在上的奇函数，且当时，，则（　　） A. 3 B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 根据奇函数的性质计算可得. 【详解】 因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以， 所以． 故选：C． 3．（25-26学年高一上·安徽皖中名校联盟合肥第八中学·期中）函数的图象不可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 对分类讨论，分析函数的单调性，即可判断. 【详解】 当时， 由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故当时，选项A符合； 当时，在，上单调递增， 又在定义域上单调递增， 所以在，上单调递增，故当时，选项B符合； 当时，，定义域为，选项C符合； 综上可得无论为何值，D选项均不符合题意. 故选：D． 4．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）若、，且，则函数的图象可能是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 分析函数函数值的符号变化，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 当时，由知，，排除AD选项． 当时，由知，，排除B． 故选：C. 5．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】 当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 故选：C 6．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）若，且，则函数的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数解析式确定函数零点，从而确定，时函数值的正负从而排除选项即可得结论. 【详解】 由于时，， 当时，由知，，排除AD． 当时，由知，，排除B． 故选：C． 7．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）（多选）下列命题中，正确的是（     ） A. 函数在内单调递减 B. 函数在内没有最小值 C. 函数的图象关于点对称 D. 对，函数均为偶函数 【答案】ACD 【分析】 由幂函数定义可得A；借助基本不等式计算可得B；借助对称性定义可得C；由偶函数定义判断D. 【详解】 对A：幂函数在内单调递减，故A正确； 对B：函数，当且仅当时等号成立， 故在内有最小值，故B错误； 对C：因为， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对D：对， 又定义域为关于原点对称，故对，均为偶函数，故D正确． 故选：ACD． 8．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）已知函数 若在上单调递减，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据一次函数和指数函数的单调性列不等式组求解即可. 【详解】 因为在上单调递减，所以 ，解得， 故选：A 9．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当，，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用奇函数的性质求出的单调性，分情况拆绝对值求解 【详解】 由题意可知在上单调递增，，且， 又函数是定义在上的奇函数，，则有在上单调递增， 则是在上的增函数，， 则不等式等价于 或 解得或． 故选：C. 10．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 结合函数的奇偶性和周期性，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解即可. 【详解】 因为定义在上的奇函数，所以， 又对任意的，都有，即，即， 所以是以4为周期的周期函数， 所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 又， 而当时，， 所以， 故选：A 11．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）函数的图象大致是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 根据定义域可排除D，根据的函数值正负可排除A，根据的函数值正负可排除B． 【详解】 可得的定义域为，故D错误； ∵，∴是奇函数，图象关于原点对称， 当时，，，则＞0，图象在轴上方，故A错误， 当时，，，则＜0，图象在轴下方，故B错误． 故选：C 12．（25-26学年高一上·安徽阜新·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分、、三种情况讨论，当时结合对勾函数的性质得到不等式组，解得即可. 【详解】 若，则在上单调递增，符合题意； 若，则，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，符合题意； 当，则，则， 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 要使函数在上单调递增， 则 ，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故选：B 13．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先去绝对值分段，画出图象，进而判断选项区间是否单调递减. 【详解】 依题意， ，画出图象， 观察可知在和上单调递增，在上单调递减. 故选：D. 14．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.依据推广结论，则（       ） A. 若的图象关于点中心对称，则 B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 若的图象关于点中心对称，则 【答案】BCD 【分析】 根据题中函数性质的新定义，结合选项，逐项计算、判断，即可求解. 【详解】 对于A，由函数为奇函数， 可得，解得，所以A错误； 对于B，由函数， 所以为奇函数，所以B正确； 对于C，由函数 ， 不妨设，则，可得， 且，所以函数为奇函数，所以C正确； 对于D，由， 因为函数为奇函数，可得，解得，所以D正确. 故选：BCD. 15．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数为奇函数，则（       ） A. 3 B. 1 C.  D. 2 【答案】C 【分析】 由求解，并验证即可. 【详解】 因是定义域上的奇函数， 所以，得， 经验证时，是奇函数，故. 故选：C 16．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）（多选）已知函数 ，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 若，则的值是或 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】ACD 【分析】 A：根据自变量所对应范围直接计算出函数值；B：分类讨论求解出自变量的值；C：分别求解出两段函数的值域，然后取并集可得结果；D：分别计算出每段函数所对应不等式的解集，然后取并集可得结果. 【详解】 对于A：因为，故正确； 对于B：当时，，解得(舍去)； 当时，，解得或(舍去)， 所以的值是，故错误； 对于C：当时，；当时，， 且，所以的值域为，故正确； 对于D：当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集是，故正确； 故选：ACD. 17．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）已知定义域为的偶函数满足，且时，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用函数的性质及偶函数的性质得解. 【详解】 根据为偶函数及， . 故选：D 18．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）已知函数，定义在上的函数满足，若函数的图象与函数的图象有且仅有三个交点，，，其中，则（       ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -2 【答案】A 【分析】 由题可得和的图象关于点对称，根据函数的对称性即可求解. 【详解】 函数的定义域为， ， 所以，的图象关于点对称， 由，得的图象也关于点对称， 因此，，则. 故选：A. 19．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）（多选）下列命题中，正确的是（     ） A. 函数在内单调递减 B. 函数在内没有最小值 C. 函数的图象关于点对称 D. 对，函数均为偶函数 【答案】ACD 【分析】 由幂函数单调性可判断A，由基本不等式可判断B，由对称性和奇偶性概念可判断CD. 【详解】 因为，幂函数在内单调递减，A对． 函数，当且仅当取等号，在内有最小值，B错． 因为，所以的图象关于点对称，C对． 对均为偶函数，D对． 故选：ACD． 20．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由二次函数的图象与性质及函数图象的翻折可求解. 【详解】 ， 当时，在内单调递增，满足题意． 当时，令，其对称轴为，零点为和， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，不合题意， 当，时，因为，所以， 所以， 所以函数在内单调递增，满足题意． 综上知，实数的取值范围是． 故选：A 21．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）（多选）已知，函数 的图象类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，“囧函数”的图象与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，则当时，下列结论正确的是（     ） A. 函数是偶函数 B. 函数的“囧点”为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 当时，的最大值为 【答案】ABD 【分析】 由，可得，再确定定义域，即可判断A，由“囧点”的概念即可确定B；根据与的关系判断C； 再根据单调性确定最值即可． 【详解】 当时， ，， 对于A的定义域为，定义域关于原点对称，且， 所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，当时，，所以函数的图象与轴的交点为， “囧点”为，故B正确； 对于C，由，得， 时，， 所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D，当时， ， 所以在上，单调递增，在上，单调递减， 所以当时，的最大值为，故D正确， 故选：ABD． 22．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用函数单调性的定义与奇偶性分析得的性质，从而得到的正负情况，再将题设不等式转化为，进而得到相关不等式，解之即可得解. 【详解】 对任意的，都有， 不妨设，则，则， 所以函数在上单调递增， 又函数为偶函数，则该函数在上单调递减， 又，则 所以当时，，当或时，， 由，得， 所以 或 ，解得或， 则不等式的解集为. 故选：D. 23．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知 在上满足，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 依题意可得在上单调递减，则函数在各段单调递减且断点左侧函数值不小于右侧函数值，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】 因为在上满足， 所以在上单调递减， 又 ，则 ，解得， 则实数的取值范围为. 故选：C 24．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）（多选）已知函数的定义域为，且对任意的实数x，y，都有，且，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 为偶函数 C.  D.  【答案】BCD 【分析】 利用赋值法可判断AC，利用赋值法与奇偶函数的定义可判断B，利用赋值法得到，再依次赋值可判断D，从而得解. 【详解】 对于A，因为， 令，，则， 又，所以，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为， 又令，得， 所以，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，则， 即，所以，故C正确； 对于D，令，得， 所以， 所以当时，得，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，故D正确. 故选：BCD. 25．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）（多选）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（       ） A.  B. 在上为增函数； C.  D. 解集为或 【答案】ACD 【分析】 对于A，用赋值法即可求值；对于B，根据增函数的定义证明即可；对于C，对条件进行适当变形即可得结论；对于D，对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】 对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，，即， 所以函数为减函数，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，由得到，所以， 于是 ，解得或，故D正确. 故选：ACD. 26．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果. 【详解】 若，则等价于，因是偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选：A. 27．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（多选）下列结论正确的是（     ） A. 函数与函数是同一函数 B. 若且，则的最小值为 C. 函数是奇函数也是单调递减函数 D. 函数，的最大值为，则 【答案】ABD 【分析】 A：根据两个函数的定义域和对应关系是否相同作出判断；B：将原式化为，利用基本不等式求解出最小值；C：根据的解析式直接作出判断即可；D：分类讨论时在上的最大值，由此求解出的取值范围并判断. 【详解】 对于A：因为，所以的定义域和对应关系都相同， 所以是同一函数，故正确； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时取等号，此时，所以的最小值为，故正确； 对于C：是奇函数但在定义域上不是单调递减函数，故错误； 对于D：的对称轴为， 当时，在上单调递增，所以，符合条件， 当时，在上单调递减，所以，不符合条件， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若使得最大值为，则，解得，即， 由上可知，满足条件的的取值范围是，故正确； 故选：ABD. 28．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（多选）已知定义在上的函数满足以下条件：①对任意，，都有；②当时，；③.则下列说法正确的是（     ） A. 且函数是奇函数 B. 函数是上的单调递增函数 C. 当时， D. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】AD 【分析】 A：令可求，令可证明奇偶性；B：根据结合条件构造出，然后判断出正负即可知的单调性；C：根据条件将变形，结合可求；D：根据单调性和奇偶性先将问题转化为“”，构造新函数并求出，则的取值范围可求. 【详解】 对于A：令，则，所以， 令，则，所以， 且定义域为关于原点对称，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B：对任意且， 因为，所以， 因为当时，，且，所以， 所以，所以， 所以函数是上的单调递减函数，故B错误； 对于C：由条件可知，， 所以，故C错误； 对于D：因为，且函数是上的单调递减函数， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立，所以， 令，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，所以，故D正确； 故选：AD. 29．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）若函数 是单调递增函数，则的取值集合是（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 考虑在所给区间上的单调性以及分段点处函数值的大小关系，由此可得结果. 【详解】 因为在上单调递增，所以对称轴，即， 因为，即在上单调递增，所以，即， 还需满足，解得， 由上可知，若是单调递增函数，则， 故选：D. 30．（2026·安徽县域联盟·质量检测）（多选）已知函数 则下列结论正确的是（       ） A.  B. 若，则的值是1或 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】AC 【分析】 根据函数 逐一分析选项即可. 【详解】 因为，则，A正确； 当时，，解得1（舍去），当时，，解得或（舍去），B错误； 当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，C正确； 当时，，解得，当时，，解得，所以的解集为D错误. 故选：AC. 31．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数的最小值为5，则关于的不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由基本不等式求得，进而得到，令，结合函数单调性、奇偶性，化简不等式求解即可. 【详解】 由题意可知，，则， ，解得， 当且仅当，即时等号成立； 所以， 令，原式化为， 由对勾函数单调性可知：，在单调递增，在单调递减， 函数在上单调递增，且当时，， 所以函数在上单调递增， 令，则函数在上单调递增， 因为 所以为偶函数，且函数在上单调递减， 不等式， 则 解得或. 故选：A 32．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）已知是定义在上的偶函数，若对任意的，，都有，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题中条件得到在上单调递增．由函数为偶函数得到该函数在上单调递减，由，得到当时，当或时，由得，从而得到 或 解这个不等式组就是所求. 【详解】 对任意的，，都有， 不妨设，则，，则， 所以函数在上单调递增． 又函数为偶函数，则该函数在上单调递减，又， 所以当时，， 当或时，， 由，得， 所以 或 解得或， 即不等式的解集为． 故选:D． 33．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）已知函数 是上的增函数，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据分段函数的性质，结合函数在上单调递增，分段讨论求出的取值范围． 【详解】 函数 是上的增函数， 当时，函数单调递减，单调递增，，解得， 当时，单调递增，当且仅当时成立，，解得； 当时，需满足，由上述分析知，故不等式转化为，解得． 综上可得，，故C正确． 故选：C． 34．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，则（　　） A.  B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 的值域为 【答案】ACD 【分析】 由，求出，通过二次函数图像法求出单调性，值域 ，即可得解. 【详解】 ，，故选项A正确； 的对称轴为， 在上是单调递增函数，故选项C正确； 当时，取最小值为，的值域为，故选项B不正确； 的值域为，的值域为，故选项D正确. 故选：ACD. 35．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）存在且，对于任意的，使得；在上单调递减，且恒成立；在上单调递增，且存在使得；下列说法成立的是（     ） A. 只有是的充分条件 B. 只有是的充分条件 C. 、都是的充分条件 D. 、都不是的充分条件 【答案】C 【分析】 根据函数单调性的定义及充分条件的定义判断即可. 【详解】 对于命题在上单调递减，且恒成立， 当时，此时， 又因为在上单调递减，所以， 又因为恒成立，所以， 所以，所以命题⇒命题， 对于命题在上单调递增，且存在使得， 当时，此时，， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以命题⇒命题， 所以、都是的充分条件， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题解决的关键在于熟练掌握函数单调性的定义，找到相应的值，从而得解. 36．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，则（　　） A.  B. 函数在上单调递增 C.  D.  【答案】AC 【分析】 对于A，令，即可求出；对于B，采用举反例来进行判断；对于C，先证明，再令，得到，从而判断；对于D，采用赋值法，求出和，再结合进行比较. 【详解】 对于A，令，则，故A正确； 对于B，因为，而，不符合单调递增的定义，故B错误； 对于C，令，则，则， ，则， 又，则， 令，，则，故C正确； 对于D，由，则， 所以，， 又，则，即，故D错误. 故选：AC. 37．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）（多选）已知函数的定义域是，对任意实数都有，且，则（     ） A.  B.  C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】AD 【分析】 利用赋值法逐项分析判断. 【详解】 对于A：令，则．对． 对于B：令，则，所以．错． 对于C：赋为，为，则， 又，所以， 所以． 若，则，与不符，所以． 于是，即为偶函数．C错D对. 故选:． 38．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（     ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】D 【分析】 应用待定系数法求函数解析式和定义域，再由奇偶性的定义判断，根据解析式判断区间单调性，进而确定最值情况，最后代入自变量求函数值判断各项正误. 【详解】 由题意得 ，解得 ，则且， 因为，所以是奇函数，① 错． 因为均在内单调递减，所以在内单调递减，没有最小值，② 对③ 错， 由得，，④ 对. 故选：D 39．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）（多选）已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（       ） A.  B.  C.  D. 为奇函数 【答案】ACD 【分析】 根据题意，令，求得，可判定A正确；令，求得，可判定B错误；令，得到，可判定C正确；令，得到 分别令和，结合函数奇偶性的性质，可判定D正确． 【详解】 对于A，令，则有，两式相减可得，所以，所以A正确； 对于B，令，有， 因为不是常函数，所以，所以B错误； 对于C，令，有，所以， 所以，所以C正确； 对于D，两式相加，可得， 令，则有，可得，所以是偶函数， 因为， 令，可得，整理得，又因为， 令，可得，所以， 当时，可得，即， 当时，由C知：，可得， 因为是偶函数，可得， 又因为，可得，即， 所以，即， 综上可得，函数满足，所以为奇函数； 因为奇函数与偶函数的乘积是奇函数，所以是奇函数，所以D正确． 故选：ACD. 40．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数m的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 整理不等式得，然后构造函数，由函数大致图像推理出不等式解集中的2个整数解，从而知道实数m的取值范围. 【详解】 ，即， ，令 ， 由二次函数的图像可作函数的大致图像为： ∵，，，， 由题意可知不等式解集中有且仅有2个整数解为， ∴， 故选：C. 【点睛】 41．（25-26学年高一上·安徽阜新·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，下列结论正确的是（       ） A.  B.  C. 是偶函数 D. 在上单调递增 【答案】AD 【分析】 采用赋值法计算可得，，且可知当时，；结合函数满足的表达式可推出以及，所以是奇函数，即C错误；由可得，即B错误，利用赋值法计算可得得，所以A正确，利用单调性定义以及时，即可证明在上单调递增. 【详解】 令，可得， 令，可得，因为当时，，所以. 令，可得， 因为，所以当时，； 又因为当时，，所以当时，； 令，可得， 所以当时，，也即， 两式相加可得； 令，可得； 可得，化简可得， 所以是奇函数，即C错误； 由可得，因此B错误； 根据即以及得 可得， 解得，可知A正确； 不妨取，令，可得， 则， 因为时，，所以, 因此，即； 所以在上单调递增,又因为是奇函数， 可知在上单调递增，即D正确. 故选：AD 42．（25-26学年高一上·安徽皖中名校联盟合肥第八中学·期中）（多选）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当1时，，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C. 函数为偶函数 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】 对于A：赋值令，代入运算即可；对于B：根据题意赋值分析即可；对于C：构造，结合奇偶性的定义分析判断；对于D：分析可知函数在上为增函数，结合单调性分析求解. 【详解】 对任意的实数、满足， 对于选项A： 令，可得，解得，故A正确； 对于选项B：令，可得， 用代，，可得， 则， 即，故B错误； 对于选项C：令， 由，可得， 即，且， 令，则， 即，所以， 所以函数为偶函数，故C正确； 对于选项D：对于， 令，可得， 即，解得， 由题意可知，当时，， 则，， 可知当时，， 任取，且， 则， 可知函数在上为增函数， 因为， 则， 可得，解得， 所以不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD． 43．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）函数的单调递增区间是　　　　　　. 【答案】 【分析】 先求出函数的定义域，然后换元后利用复合函数“同增异减”的方法求解即可 【详解】 由，得，解得或， 所以的定义域为， 令，则， 因为在上递减，在上递增，而在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增， 所以的单调递增区间是或， 故答案为： 44．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）已知函数 （1）求，的值; （2）在给定的坐标系中，画出的图象无需列表 （3）根据（2）中的图象，写出的单调区间和值域. 【答案】（1），     （2）         （3）单调减区间为，；单调增区间为；函数的值域为      【分析】 （1）由的解析式计算即可； （2）描点作图； （3）结合（2）中图象写出结论. (1) 小问详解： ， ， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数的单调减区间为，；单调增区间为； 函数的值域为. 45．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间是　　　　　　 【答案】和 【分析】 作出的函数图象，根据图象可判断出单调递减区间. 【详解】 因为 ，作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递减区间是和， 故答案为：和. 46．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）已知函数是定义域为的奇函数. （1）求，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）由奇函数的性质可得、，代入即可得解； （2）由可判断函数单调递减，结合奇函数的性质可得恒成立，即可得解. 【详解】 （1）因为函数为奇函数，故，则， 所以， 又恒成立，所以； （2）因为，函数单调递减， 又恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以. 【点睛】 本题考查了利用奇函数的性质求参数，考查了利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，属于中档题. 47．（25-26学年高一上·安徽阜新·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并证明函数在定义域上的单调性. 【答案】（1）     （2） 在和单调递减，在和单调递增， 证明：任取，且， 则， 因为，且， 所以，，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减， 任取，且， 则， 因为，且， 所以，， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 又函数为奇函数， 所以在单调递减，在单调递增， 综上在和单调递减，在和单调递增.      【分析】 （1）根据函数是奇函数，由，得，两者联立解得a，b，进而可得函数的解析式； （2）利用单调性的定义证明函数的单调性. (1) 小问详解： 因为，且是奇函数， 所以， 所以 ，解得 ， 此时，定义域为，关于原点对称， 且，满足题意， 所以. (2) 小问详解： 略 48．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数的定义域均为，且的图象分别关于原点､轴对称. （1）求函数的解析式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），     （2）      【分析】 (1)由函数奇偶性构造方程组即可求解； (2)由(1)将转换成，再构造函数，由其单调性得到最值，即可求解. (1) 小问详解： 依题意，① ，， 依题意可知， ② ， 由①—② 得，， 由①+② 得，； (2) 小问详解： ∴由（1）得，，整理得， ； 令， 根据指数函数性质可知在上单调递减， ， ∴实数的取值范围为. 49．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）已知函数. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并证明. 【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 的定义域为，所以定义域关于原点对称， 因为，所以为奇函数.     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增.      【分析】 （1）先判断定义域的对称性，然后根据的关系可证明奇偶性； （2）通过取值、作差、变形、判断符号、下结论，证明在上的单调性. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 50．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）已知定义域为的奇函数，则的值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据为奇函数求出的值，则的值可求. 【详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，所以， 因为为奇函数，所以， 所以，所以，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 51．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）已知是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1）     （2） 在上单调递增.证明如下： 由（1）知，，设， 则， 因为，所以，， 所以， 即，故函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法求得，再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可证明； （3）根据，再利用函数的单调性与定义域列出关于的不等式组，求解即可． (1) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数， 所以，解得. 当时，，此时， 经验证满足题意，则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，所以不等式化为， 因为在上单调递增，所以， 解得或， 故不等式的解集为. 52．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）设矩形的周长为，其中.如图所示，为边上一动点，把四边形沿折叠，使得与交于点.设，. （1）若，将表示成的函数，并求定义域； （2）在（1）条件下，判断并证明的单调性； （3）求面积的最大值. 【答案】（1），     （2）在上单调递增，证明：因为，， 任取，且， 则 因为， 所以，， 所以， 即在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）通过几何关系确定，利用R的三边关系建立，的关系，再利用，进而确定的范围即可. （2）应用函数单调性的定义证明即可； （3）设，将面积表示为，适当变形应用基本不等式求解最值即可. (1) 小问详解： 解：根据题意，由，得， 由已知，故， 又因为 故在中，则， 即，整理得 又，则，故， ，所以，定义域为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：易知，当点位于点时，面积最大. 此时再设，，那么， 由得，， 所以，的面积， 令，则，， 故 ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 故当时，的面积的最大值为. 53．（25-26学年高一上·安徽皖中名校联盟合肥第八中学·期中）设是偶函数，是奇函数，且， （1）求函数的解析式； （2）证明在区间上单调递增； （3）若存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2） 设， 则， 由，可得， 则，即， 所以在上单调递增；     （3）．      【分析】 （1）由函数奇偶性及题干得，解方程组即可求解； （2）按照单调性的定义证明即可； （3）参变分离得在时有解，，然后利用基本不等式求解最值即可求解. (1) 小问详解： 由，得， 又因为是偶函数，是奇函数，所以， 与联立解得； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由条件知，，得在时有解，所以， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以， 即的取值范围为. 54．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）已知是上的奇函数，且当时，，则的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据奇偶性可得函数对称中心，利用对称性求函数值即可. 【详解】 因为是上的奇函数， 所以的图象关于对称． 故 故答案为： 55．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）已知函数，且在上的最小值为． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值； （3）当，且时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）33     （3）      【分析】 （1）令，由二次函数性质计算可解； （2）由二次函数性质求解即可； （3）由函数单调可知在上恒成立，采用分离常数法令，由二次函数性质求解即可. (1) 小问详解： 令， 则开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； (2) 小问详解： 由（1）知，时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又，所以最大值为. (3) 小问详解： 由（1）知，在上单调递增， 又， 由， 得在上恒成立， 所以问题即为在上恒成立， 所以， 设，令，则， 所以. 由二次函数性质可知函数在区间上单调递减， 所以当时，， 所以，即的取值范围为. 56．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）由于某种有害化学物质泄漏对湖泊造成了污染，现决定向湖中投放净化剂，1个单位的净化剂在水中逐步溶化，水中的净化剂浓度与时间的关系，可近似地表示为 只有当湖泊中净化剂的浓度不低于2时，才能对污染产生有效的净化作用． （1）判断函数的单调性（不必证明）； （2）如果只投放1个单位的净化剂，则能够维持有效净化作用的时间有多长？ （3）若一共投放两次净化剂，第一次投放1个单位的净化剂，当湖泊中的净化剂浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的净化剂，此后，每一时刻湖泊中的净化剂浓度认为是各次投放的净化剂在该时刻相应的净化剂浓度的和，求第二次投放净化剂后湖泊中净化剂浓度的最大值． 【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增     （2）     （3）.      【分析】 （1）利用函数单调性的定义以及一次函数的性质判断即可； （2）根据题意建立不等式，解不等式分析即可； （3）根据题意利用基本不等式和函数单调性求最值分析得出结论. (1) 小问详解： 当时，令， 任取，且， 所以 ， 因为，所以， 即， 所以， 又，所以， 所以， 所以函数在上单调递增， 当时，在上单调递减. (2) 小问详解： 当时，令， 即， 整理得， 解得， 结合，可得满足不等式， 当时，令，解得， 结合，得到， 所以能维持有效净化作用的时间为. (3) 小问详解： 由（1）知，当时函数单调递增， 当时函数单调递减， 所以当时，第一次投放的净化剂浓度开始下降， 第二次投放后，当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 当时，. 综上，净化剂浓度的最大值为. 57．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）已知函数. （1）画出函数图像 （2）根据定义证明函数在区间上单调递增 （3）求函数在区间上的最大值和最小值 【答案】（1）图象：      （2）证明：任取，且， 则， 因为，则，可得， 则，即， 所以在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）根据题意作出函数图形； （2）根据单调性的定义分析证明即可； （3）根据（2）中单调性取最值即可. (1) 小问详解： 画出函数的图像，如图所示： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为在上单调递增，则在上单调递增， 所以. 58．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）函数 的值域是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 分别求出和的值域，进而求解. 【详解】 当时，．当时，． 故函数的值域是． 故答案为：. 59．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）已知为奇函数，且当时，．若恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由函数为奇函数，求得时，，转化为，得到，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】 设，则， 因为函数为奇函数，可得， 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为恒成立，即， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 60．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）给出下列函数：①②；③，其中表示不超过的最大整数； ，其中是奇函数或偶函数的序号为　　　　　　　　　　. 【答案】① ④ 【分析】 首先判断定义域是否关于原点对称，然后判断是否相等或者互为相反数，从而即可求解. 【详解】 ① 因为，所以的定义域为，关于原点对称， 且，所以是奇函数，故① 满足题意； ②的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数，故② 不满足题意； ③ 由可得， 而且，故不是偶函数也不是奇函数，故③ 不满足题意； ④ 当为有理数时，也为有理数，此时， 当为无理数时，也为无理数，此时， 所以对任意是偶函数，故④ 满足题意. 故答案为：① ④. 61．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知函数. （1）若在上不单调，求实数的取值范围； （2）若，求的最小值，并写出的值域. 【答案】（1）     （2） ，的值域为      【分析】 （1）根据对称轴位于区间之间可得结果； （2）根据以及的单调性求解出的表达式，然后分段讨论的值域，由此可求结果. (1) 小问详解： 因为的对称轴， 若在上不单调，则， 所以实数的取值范围是. (2) 小问详解： 当时，在上单调递增，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当时，在上单调递减，所以， 所以 ； 当时，，所以的值域为， 当时，在上单调递减，所以的值域为，即为； 当时，在上单调递减，所以的值域为，即为， 综上所述，的值域为. 62．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知函数为奇函数. （1）求a的值； （2）判断函数在和上的单调性并证明； （3）若对任意的，，都有，求m的取值范围. 【答案】（1）     （2） 函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下： ，且， 有， 当时，，所以，则， 所以在上单调递增； 当时，，所以，则， 所以在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）利用奇函数的性质得到关于的方程，解后再进行检验即可得解； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （3）根据题意，将问题转化为，结合（2）中结论得到关于的不等式，解之即可得解. (1) 小问详解： 由为奇函数，定义域为，可得， 即，解得， 此时，又，满足为奇函数，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若对任意的，都有， 只需， 由（2）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 所以， 所以，解得或， 故的取值范围是. 63．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为y关于x的奇函数，给定函数． （1）求的对称中心； （2）已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）构造函数，由列方程组，从而求得对称中心. （2）先求得在区间上的值域，根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式，从而求得的取值范围. (1) 小问详解： 假设的图象存在对称中心， 则的图象关于原点中心对称， 因为的定义域为，所以恒成立， 即恒成立， 所以 ，解得 ， 所以的图象存在对称中心. (2) 小问详解： 函数在区间上单调递减，在区间上值域为， 由题意可知：对恒成立， 因为开口向下，对称轴为， 若，即时，则在上单调递减， 则，解得，不合题意； 若，即时，则在上单调递增，在上单调递减， 则，解得； 若，即时，则在上单调递增， 则，解得，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 64．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）已知函数，定义域为． （1）试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． （2）求函数的值域； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） 单调递增，证明如下： 设，则， 化简得：， 因为，所以，，， 那么，即， 所以函数在上单调递增；     （2）；     （3） 或.      【分析】 （1）通过作差比较函数值大小来判断； （2）结合单调性确定函数取值范围； （3）解不等式则依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，即， 则，可得， 所以， 因此函数在区间上的值域为. (3) 小问详解： 因为在上单调递增，且，所以可得 ， 解，，； 解，，； 解，即，因式分解得， 则 或 ， 时， ，取； 时， ，取； 综合可得或. 65．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知函数，，且，. （1）求，的值；判断并证明该函数的奇偶性. （2）判断函数的单调性，并用定义法证明该函数单调性； （3）解关于（）的不等式. 【答案】（1） 由题意 ，所以. 因为函数的定义域为， 且，所以函数为奇函数.     （2） 函数在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为，所以，，， 所以，所以即. 所以函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据已知条件求的值，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性. （2）利用函数单调性的概念证明函数在给定区间上的单调性. （3）根据函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为， 所以 . 故不等式的解集为. 66．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知是定义在上的奇函数，满足，且时，，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据条件先判断出的周期性，然后化简可得，由此可计算出结果. 【详解】 因为，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以是周期为的周期函数， 所以， 又因为，所以，所以， 故答案为：. 67．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知函数，为常数. （1）若，证明：； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，， 所以， 所以成立；     （2）      【分析】 （1）代入，计算出的值即可完成证明； （2）将问题转化为“”，再结合对勾函数性质可求解出的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，即， 令，则， 由对勾函数函数性质可知，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，故的取值范围是. 68．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由： （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数的定义域是， ， 所以函数是奇函数；     （2） 函数，，， 令，得，其中，方程无解， 所以定义域内不存在实数，使， 所以不是“局部反比例对称函数”；     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，即可判断； （2）根据“局部反比例对称函数”的定义，列方程，转化为一元二次方程是否有实数根的问题，即可求解； （3）首先根据新定义，列方程，再利用换元设，转化为一元二次方程在给定区间有解问题，讨论对称轴和定义域的关系，列式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 函数，， 若函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以，得， 即，其中， 令， 得，， 设，可知函数的对称轴为，开口向上， 当时，由，解得， 当时，由得，得， 综上可知，当时，方程在上有解， 即在上有解， 即是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以的取值范围是. 69．（25-26学年高一上·安徽阜新·期中）已知，则的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 先对进行化简，然后利用单调性的定义判断是增函数，进而可求出其范围. 【详解】 .设， . 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以. 而，所以. 故答案为：. 70．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数的定义域为，若给定，总存在正实数，使得，则称函数的一个“类对称点”为.基于上述事实，完成如下问题. （1）已知函数，判断是否存在“类对称点”，并说明理由； （2）已知函数，讨论的“类对称点”的个数，并说明理由； （3）已知函数，若“为的一个‘类对称点’”，求证：“”. 【答案】（1） 不存在“类对称点”； 理由如下： ∵易知在上均单调递增， 在上单调递增； 则时，对，有， 不存在“类对称点”；     （2）当时，不存在“类对称点”；当时，存在无数个“类对称点”.理由如下： 当时，在上单调递增，由（1）易知其不存在“类对称点”； 当时，，化简可得（*）， ① 若恒成立，式无解，即不存在“类对称点”； ② 若，方程化为， ，只需（即）， ∴满足条件的有无数个， 故有无数个“类对称点”， 综上所述，当时，不存在“类对称点”；当时，存在无数个“类对称点”.     （3） 依题意，为的一个类对称点，则存在实数，使得， ∵易知的定义域为，即， 由代入得： 化简得， 等式两边平方后有， 即， 又平方得， 即， 即“为的一个‘类对称点’”的充要条件是在时有解， 在上单调递增，解得， 由得，即，恒成立， 又的正数解为且， ，即， 综上所述，得证“为的一个‘类对称点’”的充要条件是“”.      【分析】 （1）由“类对称点”的定义即可求证； （2）由“类对称点”的定义，结合和，分类讨论求解； （3）由“类对称点”的定义，得到“为的一个‘类对称点’”的充要条件是在时有解，进而可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 71．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； （2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； （3）若函数 的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形，理由：函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形． 理由如下：假设，使得，解得，与矛盾， 所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形；     （3）      【分析】 （1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据反证法，以及“弱对称中心图形”定义即可证明； （3）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解. (1) 小问详解： 由，解得． 当时，，对于任意的， 都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增，所以， 所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以． 综上可知，实数的取值范围为． 72．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）对于函数，若存在实数，使得，则称为函数的“不动点” （1）若是奇函数的一个“不动点”，求证：也是函数的一个“不动点”； （2）已知函数. （i）若对任意实数，函数都有“不动点”，求实数的取值范围； （ii）若，且函数恰有两个不同的“不动点”，求实数的取值范围. 【答案】（1） 因为是函数的一个“不动点”，所以， 又因为为奇函数，所以， 所以也是函数的一个“不动点”.     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）利用奇函数的性质即可证明； （2）（i）由题意有实数根，利用可求解；（ii）由题意可得，进而利用判别式可求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）因为对任意实数，都有“不动点”， 所以方程，即有实数根， 所以对任意实数，恒成立， 所以， 解得，即实数的取值范围为. （ii）函数恰有两个不同的“不动点”， 即方程恰有两个不同的实根. 又，即 ， 两式作差得：， 即， 即. 方程的判别式， 方程的判别式， 且，所以当时，一定有. 要使方程（*）恰有两个不同的实根，则只可能是下面两种情况： ① ，解得或. ② 且方程的解也是方程的一个解， 由此解得 综上，实数的取值范围为. 73．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）已知函数，. （1）求证：的值为常数； （2）记集合，求集合的所有子集； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由题意得，. 所以的值为常数.     （2），，，     （3）      【分析】 （1）本题考查函数值的计算与化简，解题思路是先分别求出, 和的表达式，再计算它们的差，并化简； （2）本题考查方程的求解以及集合子集的求法，解题思路是先根据已知条件求出集合M，再根据集合M的元素个数求出其所有子集； （3）先将转化为，利用换元法令，转化为二次不等式在区间上得能成立问题. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意得，， 由，得， 得到，解得，则. 的子集为：，，，. (3) 小问详解： 由题意得，等价于， 即. 易得在上单调递增，则当时，. 令，则问题转化为存在，使得成立， 则当时，， 所以，解得，即实数的取值范围为. 74．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）已知函数的定义域为，给定集合D，若满足对任意，，存在实数，当时，都有，则称是D上的“级优函数”． （1）请写出一个上的“1级优函数”，并说明理由； （2）已知是上的“2级优函数”， （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，，其中a，，求a，b的值． 【答案】（1）函数是上的“1级优函数”．理由如下： 因为当时，有，所以是上的“1级优函数”．     （2）（ⅰ）因为是上的“2级优函数”，由定义可得对任意，， 当时，有， 所以， 又， 所以． （ⅱ） ，或 ．      【分析】 （1）根据“级优函数”的定义，即可求解. （2）根据定义可得，即可采用迭代相加法求解（ⅰ），根据（ⅰ）的思想可证明，故，进而可得，进而可判定是上的“2级优函数”，且是上单调递增函数，对分类讨论，结合函数的单调性及可列方程求解（ⅱ）. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可得 由（ⅰ）可得，， 以上两式相减可得， 在上式中，以x代可得， 再令，可得， 又对任意，，当时，有， 因为是上的“2级优函数”，所以， 又，所以，所以， 即对任意，，当时，都有， 故是上的“2级优函数”， 由上述分析可得，且是上单调递增函数． 当时，，其中a，，有， 当时，，此时在上单调递增，满足题意； 当时，则 或 解得 ； 当时，则 此时无解； 综上所述， ，或 ． 【点睛】 求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 75．（25-26学年高一上·安徽皖中名校联盟合肥第八中学·期中）已知函数的图象过原点，且当趋向于正无穷大时，函数图象无限接近直线，但又不与该直线相交． （1）求该函数的解析式； （2）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．若的图象关于点对称，求出点的坐标； （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）．      【分析】 （1）由题意得到，和即可求解； （2）由中心对称的充要条件代入计算即可； （3）通过分参得到，再分和令，求最值即可. (1) 小问详解： 由题意，可得，即， 又的图象无限接近直线但又不与该直线相交， 可得， 所以函数的解析式； (2) 小问详解： 令，解得， 可知的定义域为， 又因为， 所以函数的图象关于点对称． 故答案为：． (3) 小问详解： 不等式对任意的恒成立， 等价于恒成立． 令，则， 当时，， 令， 当时，取最大值为， 当时，， 令， 当时，取最大值68， 综上，． 76．（25-26学年高一上·安徽皖中名校联盟合肥第八中学·期中）已知函数． （1）若，直接写出函数的单调增区间（无需证明）； （2）设． （i）若有3个不同的实根，求实数的取值范围； （ii）求在上的最小值． 【答案】（1）     （2）（i）； （ii）当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为， 当时，函数在上的最小值为.      【分析】 （1）画出图象，结合图象写出单调区间； （2）（i）求出的解析式，分、、三种情况，结合单调性求解； （ii）求出的解析式，分、、三种情况，当时，再按照、分类讨论即可. (1) 小问详解： 时， ，画出图象如图， 则单调增区间为 (2) 小问详解： 设 ， （i）方程有3个不同的实根，即函数与轴有3个不同的交点， 当时， ，在上单调递增， 函数与轴只有1个交点，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以时，有1个根， 时，有2个根， 故 ，解得； 当时，当时， 方程的判别式， 可知无解， 所以函数不可能与轴有3个不同的交点，所以不符合题意． 综上的取值范围是； （ii）① 当时， ，在上单调递增， 函数在的最小值为； ② 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 函数在的最小值为； ③ 当时，在上单调递增，在上单调递减， 令，得或（舍）， 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减， 则在的最小值为； 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减， 则在的最小值为； 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减， 则在的最小值为； 当时，在上单调递增， 则在的最小值为； 综上所述， 当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为， 当时，函数在上的最小值为. 77．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）已知函数满足． （1）证明：； （2）判断的单调性，并写出推理过程； （3）若函数的图象与函数的图象关于点对称，求的解析式． 【答案】（1） 在中，将用替代， 则，即. 联立和， 解得. 因此.     （2）在上单调递增，在上单调递减，理由如下： 因为函数的定义域为，， 所以是偶函数， 又， 因为在内单调递增， 所以在内单调递减，因此在内单调递减. 由于是偶函数，所以在内单调递增.     （3）.      【分析】 （1）在条件式中将用替代，联立方程组求得，计算得证； （2）先判断是偶函数，再根据复合函数的单调性判断； （3）设函数图象上任意一点的坐标为，点关于点的对称点的坐标为，可得，由运算得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设函数图象上任意一点的坐标为，点关于点的对称点的坐标为. 由，得. 因为点在函数的图象上，所以. 即，. 故. 78．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）已知函数的定义域为，对定义域内任意实数，都有，当时，，且，则不等式的解集为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题求出，，再根据判断函数的奇偶性，利用单调性的定义判断函数的单调性，进而解不等式. 【详解】 令，则，得； 令，则，得； 令，则，所以． 又函数的定义域关于原点对称，所以函数为偶函数． 因为，又1，所以． 因为， 所以原不等式等价于． 当时，，因为当时，， 所以，因为， 所以， 所以，所以函数在上是增函数， 又函数为偶函数，所以原不等式又等价于， 即或-16，解得或， 所以不等式的解集为． 79．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）函数． （1）若不等式的解集是空集，求实数的取值范围； （2）已知，且． （i）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）     （2）（i）; （ii） ， 故，当且仅当时取等号.      【分析】 （1）分类讨论取绝对值后可得，即可得实数的取值范围； （2）（i）利用基本不等式计算可得，则，再分类讨论即可得；（ii）化简后借助基本不等式计算即可得. (1) 小问详解： 因为 ， 所以，因此时不等式的解集是空集， 故实数的取值范围是； (2) 小问详解： （i）因为， 所以， 即，当且仅当时取等号， 因此的最小值是，即有， 所以，当时，有，解得，又，故； 当时，有恒成立，故； 当时，有，解得，又，故； 综上可知，实数的取值范围是； （ii）略 80．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）已知为偶函数，且． （1）求； （2）用定义证明在区间上单调递减； （3）探究当时，与的关系，并求的解集． 【答案】（1）     （2） 由（1）可得． 任取，且， 则 因为，可得， 所以，即， 所以在区间上单调递减．     （3），      【分析】 （1）由，求得，再由为偶函数，列出方程，求得，即可得到答案； （2）由（1）可得，结合函数的单调性的定义与判定方法，即可得证； （3）当时，得到，把不等式转化为，再由为偶函数，且在上单调递减，得到，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数，因为，可得， 又因为为偶函数，有，即，解得， 综上可得：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，，所以， 由可得， 因为，所以不等式等价于， 因为为偶函数，且在上单调递减， 所以，即，即，解得． 又因为，所以所求不等式的解集为． 81．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）已知定义在上的偶函数满足：当时，. （1）求的解析式； （2）用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2） 证明：，不妨设. ， 又，在区间上单调递增， ，易知， ，则， 因此函数在区间上单调递增.     （3）      【分析】 （1）借助函数的奇偶性即可求解解析式， （2）根据函数单调性定义即可证明单调性. （3）由题意及第（1）可得恒成立，分离参数，结合分类讨论，求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 设，有，所以， 又函数为偶函数， 故， 从而有的解析式为 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意及第（1）问可知： . 恒成立，即 ① 当时，有，即； ② 当时，有显然成立，即， 综上所述，实数的取值范围为. 82．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是偶函数，，且当时，，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据条件，逐步计算出的值，然后根据结合奇偶性即可求解出结果. 【详解】 由条件可知，，， ，， ，， ，， 因为是偶函数，所以， 故答案为：. 83．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）已知函数．若对，均有或，且使得成立，则实数a的取值范围为 　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将问题分为对，均有或和存在当时，两部分进行求解． 【详解】 首先分析对，均有或，令，解得， 故当时需要， 易得二次函数的对称轴为， 故需确保且右边根， ,解得， ，解得， 综上，① ； 再分析存在当时，， 故存在，， 故左边根，解得② ， 综合① ②取交集，可得， 故答案为：． 84．（25-26学年高一上·安徽阜新·期中）设A，B是非空实数集，如果对于集合A中的任意两个实数x，y，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个二元函数，记作，，，其中A称为二元函数f的定义域． （1）已知，若，，，求． （2）设二元函数f的定义域为I，如果存在实数M满足①，都有，②，，使得，那么我们称M是二元函数的下确界．若，，且，判断函数是否存在下确界．若存在，求出此函数的下确界；若不存在，说明理由． （3）设的定义域为R，若，，．，则称f在D上关于m单调递增．已知在上关于单调递增，求实数k的取值范围． 【答案】（1）     （2）存在，     （3）      【分析】 （1）由二元函数的定义求解即可； （2）根据基本不等式即二次函数的性质判断即可； （3）根据二元函数在定义域上单调递增的定义求解即可； (1) 小问详解： 由可得，， 由可得，， 由 又， 所以； (2) 小问详解： 由可得，， 由可得，，所以， ， 当且仅当，即，时取等号. (3) 小问详解： 因为在上是关于单调递增， 所以， 即存在，对于任意的，，都有， 化简可得，即， 下面求函数的最小值， 设，， ， 当时，若时，； 若，此时，可得， 令， 因为，由可知，在递增， ， 当时，， 当时，； 同理，当时，在上单调递增且函数值为负， 在上单调递增，函数值为正， 所以， 综上，当时，， 即存在，使得， 设，， ①当时，， ②当时，， 设，， 所以， 综上，， 所以的取值范围是. 【点睛】 关键点点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 85．（25-26学年高一上·安徽阜新·期中）若，对，不等式恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 分类讨论t的范围，结合因式解高次不等式计算即可. 【详解】 若，则恒成立，此时不等式的解集为， 与矛盾，舍去； 若，则不等式， ① 当，即时， 此时原不等式的解集为， 要满足题意需（区间恒正），即； ② 当，即，此时原不等式的解集为， 要满足题意需，即， ； ③ 当，即时， 此时不等式的解集为， 要满足题意需 （区间恒正）， 即时，， 易知单调递减，可知，即， ； ④ 当，即，此时不等式的解集为， 而要满足题意需，显然不符合题意，舍去， ； ⑤，即，此时不等式的解集为， 同上需满足，仍不符合题意，舍去， ； 综上：实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】 思路点睛：根据高次不等式的解法，分类讨论三个根的大小关系，结合题意分析即可，要注意讨论不重不漏. 86．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据偶函数和零点判断取正值、负值的区间范围，然后将不等式进行化简，进而通过讨论，得到的关系式，最后根据二次函数的性质求出最小值即可. 【详解】 因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增， 且， 可知当时，；当时，； 那么当时，；当时，； 当时，； 由可得， 因为. 由题意可知不等式的解集为， 显然不恒为0，可知当时，； 当时，；当时，. 可知一次函数的零点为2，且图象是由左向右下降的， 则，所以. 所以，当时，取最小值为. 故答案为：. 87．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）已知奇函数的定义域为，且． （1）求的解析式； （2）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，记，若存在，求的最大值； （3）若，函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）2.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的性质建立关于a，b的方程组，解之即可求解； （2）根据函数的对称性可知的图象关于点对称，进而，求得，结合基本不等式计算可得，即可求解； （3）根据不等式的性质可得，由（1），结合函数的单调性可得 ，进而的方程有两个互异实根，利用换元法（）可知关于的方程有两个互异正根，结合根的判别式计算即可求解. (1) 小问详解： 因为是上的奇函数，所以， 由 可得， 因为，所以， 即，验证知是奇函数，符合题意. (2) 小问详解： 把区间等分成份， 则等分点的横坐标为， 又为奇函数， 所以的图象关于点对称， 所以， 所以 因为， 当且仅当即时，等号成立. 由，得. 又，所以的最大值为2. (3) 小问详解： 因为，所以，所以， 由，得，所以， 由（1）知，函数为上的增函数. 因为函数在区间上的值域是， 所以 ，即 ， 所以关于的方程有两个互异实根. 令，所以关于的方程有两个互异正根， 所以 ，解得， 所以. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）已知定义在上的偶函数在上单调，且，则，的大小顺序是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·安徽皖中名校联盟合肥第八中学·期中）设是定义在上的奇函数，且当时，，则（　　） A. 3 B.  C. 1 D.  3．（25-26学年高一上·安徽皖中名校联盟合肥第八中学·期中）函数的图象不可能是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）若、，且，则函数的图象可能是（     ） A.      B.      C.      D.      5．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）若，且，则函数的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）（多选）下列命题中，正确的是（     ） A. 函数在内单调递减 B. 函数在内没有最小值 C. 函数的图象关于点对称 D. 对，函数均为偶函数 8．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）已知函数 若在上单调递减，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当，，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）函数的图象大致是（     ） A.      B.      C.      D.      12．（25-26学年高一上·安徽阜新·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.依据推广结论，则（       ） A. 若的图象关于点中心对称，则 B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 若的图象关于点中心对称，则 15．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数为奇函数，则（       ） A. 3 B. 1 C.  D. 2 16．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）（多选）已知函数 ，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 若，则的值是或 C. 的值域为 D. 的解集为 17．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）已知定义域为的偶函数满足，且时，，则（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）已知函数，定义在上的函数满足，若函数的图象与函数的图象有且仅有三个交点，，，其中，则（       ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -2 19．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）（多选）下列命题中，正确的是（     ） A. 函数在内单调递减 B. 函数在内没有最小值 C. 函数的图象关于点对称 D. 对，函数均为偶函数 20．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）（多选）已知，函数 的图象类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，“囧函数”的图象与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，则当时，下列结论正确的是（     ） A. 函数是偶函数 B. 函数的“囧点”为 C. 函数的图象关于直线对称 D. 当时，的最大值为 22．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知 在上满足，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）（多选）已知函数的定义域为，且对任意的实数x，y，都有，且，则下列说法正确的是（       ） A.  B. 为偶函数 C.  D.  25．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）（多选）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（       ） A.  B. 在上为增函数； C.  D. 解集为或 26．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（多选）下列结论正确的是（     ） A. 函数与函数是同一函数 B. 若且，则的最小值为 C. 函数是奇函数也是单调递减函数 D. 函数，的最大值为，则 28．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（多选）已知定义在上的函数满足以下条件：①对任意，，都有；②当时，；③.则下列说法正确的是（     ） A. 且函数是奇函数 B. 函数是上的单调递增函数 C. 当时， D. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是 29．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）若函数 是单调递增函数，则的取值集合是（     ）. A.  B.  C.  D.  30．（2026·安徽县域联盟·质量检测）（多选）已知函数 则下列结论正确的是（       ） A.  B. 若，则的值是1或 C. 的值域为 D. 的解集为 31．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数的最小值为5，则关于的不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）已知是定义在上的偶函数，若对任意的，，都有，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）已知函数 是上的增函数，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，则（　　） A.  B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 的值域为 35．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）存在且，对于任意的，使得；在上单调递减，且恒成立；在上单调递增，且存在使得；下列说法成立的是（     ） A. 只有是的充分条件 B. 只有是的充分条件 C. 、都是的充分条件 D. 、都不是的充分条件 36．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，则（　　） A.  B. 函数在上单调递增 C.  D.  37．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）（多选）已知函数的定义域是，对任意实数都有，且，则（     ） A.  B.  C. 为奇函数 D. 为偶函数 38．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（     ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 39．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）（多选）已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（       ） A.  B.  C.  D. 为奇函数 40．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数m的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年高一上·安徽阜新·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，下列结论正确的是（       ） A.  B.  C. 是偶函数 D. 在上单调递增 42．（25-26学年高一上·安徽皖中名校联盟合肥第八中学·期中）（多选）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当1时，，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C. 函数为偶函数 D. 不等式的解集为 43．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）函数的单调递增区间是　　　　　　. 44．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）已知函数 （1）求，的值; （2）在给定的坐标系中，画出的图象无需列表 （3）根据（2）中的图象，写出的单调区间和值域. 45．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间是　　　　　　 46．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）已知函数是定义域为的奇函数. （1）求，的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 47．（25-26学年高一上·安徽阜新·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并证明函数在定义域上的单调性. 48．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数的定义域均为，且的图象分别关于原点､轴对称. （1）求函数的解析式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 49．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）已知函数. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并证明. 50．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）已知定义域为的奇函数，则的值为　　　　　　　　　　. 51．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）已知是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 52．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）设矩形的周长为，其中.如图所示，为边上一动点，把四边形沿折叠，使得与交于点.设，. （1）若，将表示成的函数，并求定义域； （2）在（1）条件下，判断并证明的单调性； （3）求面积的最大值. 53．（25-26学年高一上·安徽皖中名校联盟合肥第八中学·期中）设是偶函数，是奇函数，且， （1）求函数的解析式； （2）证明在区间上单调递增； （3）若存在，使成立，求实数的取值范围． 54．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）已知是上的奇函数，且当时，，则的值是　　　　　　　　　　　． 55．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）已知函数，且在上的最小值为． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值； （3）当，且时，不等式恒成立，求的取值范围． 56．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）由于某种有害化学物质泄漏对湖泊造成了污染，现决定向湖中投放净化剂，1个单位的净化剂在水中逐步溶化，水中的净化剂浓度与时间的关系，可近似地表示为 只有当湖泊中净化剂的浓度不低于2时，才能对污染产生有效的净化作用． （1）判断函数的单调性（不必证明）； （2）如果只投放1个单位的净化剂，则能够维持有效净化作用的时间有多长？ （3）若一共投放两次净化剂，第一次投放1个单位的净化剂，当湖泊中的净化剂浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的净化剂，此后，每一时刻湖泊中的净化剂浓度认为是各次投放的净化剂在该时刻相应的净化剂浓度的和，求第二次投放净化剂后湖泊中净化剂浓度的最大值． 57．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）已知函数. （1）画出函数图像 （2）根据定义证明函数在区间上单调递增 （3）求函数在区间上的最大值和最小值 58．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）函数 的值域是　　　　　　　　　　　． 59．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）已知为奇函数，且当时，．若恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 60．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）给出下列函数：①②；③，其中表示不超过的最大整数； ，其中是奇函数或偶函数的序号为　　　　　　　　　　. 61．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知函数. （1）若在上不单调，求实数的取值范围； （2）若，求的最小值，并写出的值域. 62．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知函数为奇函数. （1）求a的值； （2）判断函数在和上的单调性并证明； （3）若对任意的，，都有，求m的取值范围. 63．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为y关于x的奇函数，给定函数． （1）求的对称中心； （2）已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 64．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）已知函数，定义域为． （1）试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． （2）求函数的值域； （3）若，求实数的取值范围． 65．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知函数，，且，. （1）求，的值；判断并证明该函数的奇偶性. （2）判断函数的单调性，并用定义法证明该函数单调性； （3）解关于（）的不等式. 66．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知是定义在上的奇函数，满足，且时，，则　　　　　　. 67．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知函数，为常数. （1）若，证明：； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 68．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由： （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 69．（25-26学年高一上·安徽阜新·期中）已知，则的取值范围为　　　　　　． 70．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数的定义域为，若给定，总存在正实数，使得，则称函数的一个“类对称点”为.基于上述事实，完成如下问题. （1）已知函数，判断是否存在“类对称点”，并说明理由； （2）已知函数，讨论的“类对称点”的个数，并说明理由； （3）已知函数，若“为的一个‘类对称点’”，求证：“”. 71．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； （2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； （3）若函数 的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 72．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）对于函数，若存在实数，使得，则称为函数的“不动点” （1）若是奇函数的一个“不动点”，求证：也是函数的一个“不动点”； （2）已知函数. （i）若对任意实数，函数都有“不动点”，求实数的取值范围； （ii）若，且函数恰有两个不同的“不动点”，求实数的取值范围. 73．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）已知函数，. （1）求证：的值为常数； （2）记集合，求集合的所有子集； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 74．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）已知函数的定义域为，给定集合D，若满足对任意，，存在实数，当时，都有，则称是D上的“级优函数”． （1）请写出一个上的“1级优函数”，并说明理由； （2）已知是上的“2级优函数”， （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，，其中a，，求a，b的值． 75．（25-26学年高一上·安徽皖中名校联盟合肥第八中学·期中）已知函数的图象过原点，且当趋向于正无穷大时，函数图象无限接近直线，但又不与该直线相交． （1）求该函数的解析式； （2）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．若的图象关于点对称，求出点的坐标； （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 76．（25-26学年高一上·安徽皖中名校联盟合肥第八中学·期中）已知函数． （1）若，直接写出函数的单调增区间（无需证明）； （2）设． （i）若有3个不同的实根，求实数的取值范围； （ii）求在上的最小值． 77．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）已知函数满足． （1）证明：； （2）判断的单调性，并写出推理过程； （3）若函数的图象与函数的图象关于点对称，求的解析式． 78．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）已知函数的定义域为，对定义域内任意实数，都有，当时，，且，则不等式的解集为　　　　　　　　　　　． 79．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）函数． （1）若不等式的解集是空集，求实数的取值范围； （2）已知，且． （i）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （ii）证明：． 80．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）已知为偶函数，且． （1）求； （2）用定义证明在区间上单调递减； （3）探究当时，与的关系，并求的解集． 81．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）已知定义在上的偶函数满足：当时，. （1）求的解析式； （2）用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增； （3）若，求实数的取值范围. 82．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是偶函数，，且当时，，则　　　　　　. 83．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）已知函数．若对，均有或，且使得成立，则实数a的取值范围为 　　　　　　　． 84．（25-26学年高一上·安徽阜新·期中）设A，B是非空实数集，如果对于集合A中的任意两个实数x，y，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个二元函数，记作，，，其中A称为二元函数f的定义域． （1）已知，若，，，求． （2）设二元函数f的定义域为I，如果存在实数M满足①，都有，②，，使得，那么我们称M是二元函数的下确界．若，，且，判断函数是否存在下确界．若存在，求出此函数的下确界；若不存在，说明理由． （3）设的定义域为R，若，，．，则称f在D上关于m单调递增．已知在上关于单调递增，求实数k的取值范围． 85．（25-26学年高一上·安徽阜新·期中）若，对，不等式恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　. 86．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 87．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）已知奇函数的定义域为，且． （1）求的解析式； （2）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，记，若存在，求的最大值； （3）若，函数在区间上的值域是，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $