专题03 函数的概念与性质（期中真题汇编，安徽专用）高一数学上学期

专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）（多选）下列各组函数为同一个函数的是（        ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数 ，则（       ） A. 15 B. 8 C. 1 D. 0 3．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）下列四组函数中，表示同一函数的是（       ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）若函数的定义域是，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）已知函数，则的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）设函数f(x)＝ 则f(f(3))＝(　　) A.  B. 3 C.  D.  12．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）已知，，下列对应关系不能作为从集合到集合的函数的是（       ） A. ： B. ： C. ： D. ： 14．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 函数和函数是同一个函数 B. 若，则 C. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 D. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 15．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）（多选）下列函数中，定义域与值域均相同的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，若在上的值域为，则的最大值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 19．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）若函数在其定义域内对任意的不相等的实数都有，则称这个函数为下凸函数，以下为下凸函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，若对，都有，则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C. 函数为奇函数 D. 函数的最大值为 22．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知为二次函数，且，求的解析式. 24．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）函数的值域为　　　　　　　　. 25．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知全集，集合. （1）求； （2）若⫋，求实数的取值范围. 26．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）已知函数的定义域为，函数的值域为． （1）求集合； （2）若，求实数的最小值． 27．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（1）已知为二次函数，且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知（），求的解析式. 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（     ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 2．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）已知 在上是单调函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）已知幂函数，则（       ） A. 8 B. 4 C.  D.  5．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）若函数 是上的单调函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）（多选）已知幂函数的图象与坐标轴有交点，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 对定义域内任意实数，都有 C. 对定义域内任意实数，都有 D. 函数在上单调递增 7．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）若函数是幂函数，则的取值为　　　　　　. 8．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则　　　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）已知幂函数满足，则的值是　　　　　. 10．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）已知幂函数的图象经过点和点，则　　　　　　． 11．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）已知幂函数在区间内是减函数． （1）求实数的值； （2）求方程的解集． 12．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． （1）求和的值； （2）若实数满足，求的最小值. 13．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）已知幂函数在上单调递增． （1）求的解析式； （2）设，试比较与的大小关系． 14．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，则的值为　　　　　　　. 15．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）已知幂函数在上单调递减．的值为　　　　　　　　　． 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本万元， ，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完． （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式； （2）年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大． 2．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）某地政府为方便市民出行，计划在本市的市民中心站到机场开通特快轻轨专线列车.已知机场到市民中心站最快需要30分钟，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为640人；当时，载客量会减少，减少的人数为（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客量为493人.记列车载客量为，为连续函数. （1）求的解析式； （2）为响应低碳出行，若载客量至少达到532人时，列车才发车，问列车发车时间间隔至少为多少分钟? （3）若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 3．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）某文具店销售笔记本，根据销售数据，日均销量与售价存在分段规律．该文具店每日的固定成本为20元，每本笔记本的进价为2元．设笔记本的售价为每本元，日均销量为本．当时，；当时，． （1）写出该文具店的日均利润（元）的解析式．（利润=销售收入-成本） （2）当笔记本的售价定为每本多少元时，该文具店的日均利润最大？最大日均利润是多少？ 4．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）某科技公司有100名研发人员，平均每人每年创造利润100万元.为了进一步提高经济效益，调整名研发人员的岗位，改为从事技术指导工作，则剩余的研发人员平均每人每年创造的利润可提高25%，而从事技术指导工作的人员平均每人每年创造的利润为万元. （1）若要使这100人每年创造的总利润比原来至少增加2000万元，求x的取值范围； （2）求这100人每年创造的总利润的最大值. 5．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂.经市场调研，生产需投入年固定成本为万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元，且该厂生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．CD 2．A 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．BC 9．A 10．D 11．D 12．D 13．A 14．AB 15．B 16．AD 17．A 18．D 19．D 20．D 21．ABD 22．【答案】 【分析】 在等式中，令，可得出的值. 【详解】 在等式中，令，有． 故答案为：. 23．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）已知的解析式，求，只需将替换为，然后按照代数运算规则展开、化简即可. （2）已知为二次函数，设其一般式为，将和分别代入该式，然后将两个式子相加，展开并合并同类项， 再与已知的对比对应项的系数，得到关于的方程组，解方程组即可求出的值，即可得的解析式. 【详解】 （1）由题意得. （2）设，则， 整理可得. 由题意得, 所以 ，解得 ， 所以. 24．【答案】 【分析】 根据反比例函数的单调性即可求得其值域. 【详解】 因为函数， 又因为，所以； 故答案为： 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由求解一元二次不等式确定，再由交集运算即可求解； （2）求得，由函数的定义域确定，再由集合的包含关系列不等式求解. (1) 小问详解： 依题意，或； 又， ； (2) 小问详解： 由（1）可知，， 故， 而， ⫋，∴， 故实数的取值范围为. 26．【答案】（1）     （2）2      【分析】 （1）利用根式要求可得，结合函数单调性可求出； （2）由题意可得，计算即可得. (1) 小问详解： 由，可得，解得，所以； 因为，则在上单调递减， 所以值域； (2) 小问详解： 因为，所以， 于是，即，解得或， 又，所以． 故实数的最小值是2. 27．【答案】（1）；（2），；（3），. 【分析】 （1）已知函数类型，设，，代入已知条件可求的值. （2）利用换元法求函数的解析式，注意自变量的取值范围. （3）用代替，构造函数方程，解方程组可得的解析式. 【详解】 （1）由题意，可设，. 由. 由， 所以 . 所以. （2）设，则且. 所以，. 所以，. （3）因为①. 用代替，可得②. ①②得：，. 考点02 幂函数 1．A 2．D 3．D 4．A 5．D 6．BC 7．【答案】 【分析】 由幂函数定义可得结果. 【详解】 由幂函数定义可知，，解得， 故答案为：. 8．【答案】 【分析】 根据幂函数的定义和单调性列出关系式求解即可. 【详解】 因为幂函数在区间上单调递增， 所以 ，解得. 故答案为： 9．【答案】32 【分析】 先结合待定系数法求解幂函数的解析式，再求函数值即可. 【详解】 由题，设，则， 所以，即， 所以. 故答案为： 10．【答案】4 【分析】 依次代入点和点即可求解. 【详解】 由题意，所以， 所以，所以. 故答案为：4 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的特征求值，利用幂函数的性质判断所求值； （2）由绝对值的定义求解. (1) 小问详解： 得，，解得或 当时，，在区间内是增函数，舍去． 当时，，在区间内是减函数，符合．故 (2) 小问详解： 就是， 等价于，即， 解得或． 故方程的解集是． 12．【答案】（1）或1，     （2）2      【分析】 （1）根据幂函数的概念和性质求解； （2）由（1）得，变形可得，然后利用基本不等式中1的妙用求出最小值． (1) 小问详解： 幂函数，则，解得或1， 又幂函数在上是减函数，故，解得， 因为，故或， 当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意； 当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或1，； (2) 小问详解： ∵实数满足， ∴，则， ∴ . 当且仅当且，即时等号成立. 所以的最小值是2. 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用幂函数的定义及性质即可求解； （2）根据（1）的结论及幂函数的性质，结合函数的单调性即可求解. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以，解得或． 当时，，此时在上单调递减，不满足题意； 当时，，满足在上单调递增． 所以； (2) 小问详解： ，， 因为， 所以，即． 14．【答案】 【分析】 先根据在上的单调性确定出的可取值，然后代入解析式逐一检验图象的对称性，由此可求结果. 【详解】 因为在上单调递增，所以，所以， 又因为，所以或或， 当时，为奇函数，图象关于原点成中心对称，不符合， 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合， 当时，为奇函数，图象关于原点成中心对称，不符合， 所以， 故答案为：. 15．【答案】 【分析】 根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】 因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递减， 当时，在上单调递增，不满足题意， 故． 故答案为： 考点03 函数的应用（一） 1．【答案】（1）     （2）14      【分析】 （1）根据题意分段讨论即可得； （2）利用二次函数的性质及基本不等式求得两段函数的最大值，取其中最大即可得. (1) 小问详解： 由题意，年销售收入万元， 当时，； 当时，， 所以 ． (2) 小问详解： 当时，是二次函数，开口向下， 对称轴为：， 所以（万元）． 当时，， 当且仅当，即时，（万元）， 因为，所以，当时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大为78万元． 2．【答案】（1）     （2）4     （3）3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为72元      【分析】 （1）当时，，且，代入求得值，即可解； （2）分段求解不等式； （3）因为 ，当时，利用基本不等式求最值，当时，利用单调性求最值. (1) 小问详解： 由题意得，当时，； 当时，，且， 则，解得， 此时， 综上， (2) 小问详解： 由题意得，， 当时，，满足题意； 当时，， 即，解得，所以. 综上，要使载客量至少达到532人时，列车才发车，则列车发车时间间隔至少为4分钟. (3) 小问详解： 由（1）知， 当时，，当且仅当等号成立， 所以当时，. 当时，单调递减，则， 又，所以当时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为72元. 3．【答案】（1）     （2）当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元．      【分析】 （1）依题意,当时，当时，根据利润与售价的关系即可求得解析式； （2）根据相应解析式利用二次函数与基本不等式得最值，比较可得结论． (1) 小问详解： 当时， 当时， 综上， (2) 小问详解： 当时，， 图象的对称轴为， 所以在上单调递增，最大值在处取到，为220； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，且； 因为，所以当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元． 4．【答案】（1）     （2）最大值为12100万元      【分析】 （1）由题意可得，解不等式可求出x的取值范围， （2）设这100人每年创造的总利润为y万元，则，化简后利用基本不等式可求得结果 (1) 小问详解： 由题意得， 整理可得，解得4≤x≤16. 所以x的取值范围是. (2) 小问详解： 设这100人每年创造的总利润为y万元， 则， 因为，当且仅当x=8时，取等号， 所以， 即这100人每年创造的总利润的最大值为12100万元. 5．【答案】（1）     （2）年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元      【分析】 （1）根据年利润的定义，分别考虑时年利润的表达式，由此可知结果； （2）当时，利用二次函数性质分析的最大值；当时，利用基本不等式求出的最大值，由此可知结果. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 . (2) 小问详解： 当时，， 因为，所以； 当时，， 当且仅当，即时取等号，所以； 综上所述，当年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）（多选）下列各组函数为同一个函数的是（        ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】CD 【分析】 根据同一函数的定义域和对应法则相同判断各项中函数是否相同. 【详解】 A：定义域为R，定义域为，不为同一函数； B：与的对应法则不同，不为同一函数； C：，的定义域和对应法则均相同，为同一函数； D：，的定义域和对应法则均相同，为同一函数； 故选：CD 2．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数 ，则（       ） A. 15 B. 8 C. 1 D. 0 【答案】A 【分析】 由分段函数的函数值的计算可得结果. 【详解】 因为，故. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意直接列出不等式组，解得的取值范围，再写出定义域即可. 【详解】 由题知 ，即且，故函数的定义域为. 故选：C. 4．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据同一函数满足定义域与解析式相同判断即可. 【详解】 对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，的定义域为，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D 5．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）下列四组函数中，表示同一函数的是（       ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【分析】 由同一函数的定义域和对应法则都相同，依次判断各项即可. 【详解】 A：和的定义域和对应法则都相同，符合； B：定义域为R，定义域为，不符合； C：定义域为，定义域为R，不符合； D：定义域为R，定义域为，不符合. 故选：A 6．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）若函数的定义域是，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】根据函数有意义可得：恒成立，解出即可. 【详解】 解：由的定义域是知：恒成立， 即无解， 若，则知方程无解； 若，则， 解得：， 综上所述：. 故选：C. 7．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）已知函数，则的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 换元法求解出的解析式. 【详解】 令，则，所以， 所以，所以， 故选：B. 8．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【分析】 定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数. 【详解】 对于A，的定义域为，的定义域为，则两函数不为同一函数，故A错误； 对于B，，，则两函数为同一函数，故B正确； 对于C，，，则两函数为同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，则两函数不为同一函数，故D错误. 故选：BC. 9．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据复合函数定义域的求法求解. 【详解】 由题意得， ，解得. 故选：A. 10．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域. 【详解】 由函数的定义域为，函数有意义， 得 ，解得， 所以所求定义域为. 故选：D 11．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）设函数f(x)＝ 则f(f(3))＝(　　) A.  B. 3 C.  D.  【答案】D 【详解】, ,故选D. 12．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数的解析式，列出不等式组，即可求解. 【详解】 要使函数有意义，则满足 ，解得且， 所以定义域为． 故选：D. 13．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）已知，，下列对应关系不能作为从集合到集合的函数的是（       ） A. ： B. ： C. ： D. ： 【答案】A 【分析】 根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】 对于A，当时，；当时，；当时，，， 所以：不能作为从集合到集合的函数， 对于B，当时，；当时，；当时，， 所以：能作为从集合到集合的函数， 对于C，当时，；当时，；当时，， 所以：能作为从集合到集合的函数， 对于D，当时，；当时，；当时，， 所以：能作为从集合到集合的函数. 故选：A. 14．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 函数和函数是同一个函数 B. 若，则 C. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 D. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 【答案】AB 【分析】 对A：根据函数定义域和对应关系是否相同，即可判断；对B：利用换元法，即可求得函数解析式；对C：根据抽象函数定义域求解方法，直接求解即可；对D：由的单调性，结合题意，列出关于的不等式，求解即可. 【详解】 对A：由，且两个函数定义域相同，均为， 故函数和函数是同一个函数，A正确； 对B：令，则，故1，即，B正确； 对C：由，得，故函数的定义域为，C错误； 对D： ，故的单调递增区间为， 若函数在区间上单调递增，则有，即，D错误. 故选:AB. 15．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】 因为的定义域为，所以中，所以， 在中令，解得， 所以的定义域为， 故选：B. 16．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）（多选）下列函数中，定义域与值域均相同的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 分析各选项中函数的定义域和值域可得结果. 【详解】 A：的定义域为，值域为，满足； B：的定义域为，值域为，不满足； C：的定义域为，值域为，不满足； D：作出函数图象如下图所示，    由图象可知，定义域为，值域为，满足； 故选：AD. 17．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先计算出的取值范围，再根据的取值范围与的取值范围相同以及分母不为，即可求解出的定义域. 【详解】 因为的定义域为，所以， 所以中 ，解得， 所以的定义域为， 故选：A. 18．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，若在上的值域为，则的最大值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 借助分段函数、二次函数及反比例型函数的性质计算即可得． 【详解】 由题意知，解得或， 当时，的图象在处断开，不符合题意； 当时，符合题意，当时，令，得， 令，得或； 当时，令，得； 如图，作出的大致图象，    由图可知，当时，取得最大值，为4． 故选：D. 19．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用给定的函数有意义，列不等式求解作答. 【详解】 由题意知，解得，所以的定义域为. 故选：D. 20．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）若函数在其定义域内对任意的不相等的实数都有，则称这个函数为下凸函数，以下为下凸函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据下凸函数的定义逐项分析即可. 【详解】 对于A：， 函数图象为直线，不为下凸函数图象，故A不符合； 对于B： ， 所以，故B不符合； 对于C： ， 因为，所以，所以，故C不符合； 对于D： ， 因为，所以，所以，故D符合； 故选：D. 21．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，若对，都有，则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C. 函数为奇函数 D. 函数的最大值为 【答案】ABD 【分析】 通过取特殊值得，，，再根据解析式判断BCD. 【详解】 令，，则， 因为，所以. 令，，得， 又，则，因为，所以，故A正确； 令，则，又， 所以，则，，故B正确； 不是奇函数，故错误； ，最大值为，故D正确. 故选：ABD. 22．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 在等式中，令，可得出的值. 【详解】 在等式中，令，有． 故答案为：. 23．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知为二次函数，且，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）已知的解析式，求，只需将替换为，然后按照代数运算规则展开、化简即可. （2）已知为二次函数，设其一般式为，将和分别代入该式，然后将两个式子相加，展开并合并同类项， 再与已知的对比对应项的系数，得到关于的方程组，解方程组即可求出的值，即可得的解析式. 【详解】 （1）由题意得. （2）设，则， 整理可得. 由题意得, 所以 ，解得 ， 所以. 24．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）函数的值域为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据反比例函数的单调性即可求得其值域. 【详解】 因为函数， 又因为，所以； 故答案为： 25．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知全集，集合. （1）求； （2）若⫋，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由求解一元二次不等式确定，再由交集运算即可求解； （2）求得，由函数的定义域确定，再由集合的包含关系列不等式求解. (1) 小问详解： 依题意，或； 又， ； (2) 小问详解： 由（1）可知，， 故， 而， ⫋，∴， 故实数的取值范围为. 26．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）已知函数的定义域为，函数的值域为． （1）求集合； （2）若，求实数的最小值． 【答案】（1）     （2）2      【分析】 （1）利用根式要求可得，结合函数单调性可求出； （2）由题意可得，计算即可得. (1) 小问详解： 由，可得，解得，所以； 因为，则在上单调递减， 所以值域； (2) 小问详解： 因为，所以， 于是，即，解得或， 又，所以． 故实数的最小值是2. 27．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）（1）已知为二次函数，且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知（），求的解析式. 【答案】（1）；（2），；（3），. 【分析】 （1）已知函数类型，设，，代入已知条件可求的值. （2）利用换元法求函数的解析式，注意自变量的取值范围. （3）用代替，构造函数方程，解方程组可得的解析式. 【详解】 （1）由题意，可设，. 由. 由， 所以 . 所以. （2）设，则且. 所以，. 所以，. （3）因为①. 用代替，可得②. ①②得：，. 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（     ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 【答案】A 【分析】 根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】 由题意可得 . 故选：A 2．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）已知 在上是单调函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据分段函数的单调性建立关于a的不等式组，解之即可求解. 【详解】 因为为R上单调函数， 则 或 ， 解得或． 故选：D． 3．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由两段函数各自递减，且满足在左段的右端点函数值大于等于右段的左端点函数值，即可求得实数的取值范围. 【详解】 依题意，在上单调递减，在上单调递减，且分界点处函数值左边较大， 故 ， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 4．（25-26学年高一上·安徽宿州部分中学·期中）已知幂函数，则（       ） A. 8 B. 4 C.  D.  【答案】A 【分析】 由幂函数的定义，知，解得：，再解出，求解即可. 【详解】 由幂函数的定义，知，解得：， 所以，. 故选：A. 5．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）若函数 是上的单调函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由函数解析式知函数在上单调递减，建立不等关系解出即可. 【详解】 因为函数在上单调，由在上不可能单调递增， 则函数在上不可能单调递增，故在R上单调递减， 所以 ，解得，所以的取值范围是. 故选：D. 6．（25-26学年高一上·安徽华师联盟·期中）（多选）已知幂函数的图象与坐标轴有交点，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 对定义域内任意实数，都有 C. 对定义域内任意实数，都有 D. 函数在上单调递增 【答案】BC 【分析】 由函数为幂函数以及图象与坐标轴有交点，分析得出参数即可判断选项A，利用函数单调性判断选项B，利用作差法和分析法判断即可得出选项C，在内取特殊值根据单调性分析即可得出选项D. 【详解】 对于A，由题意知，解得， 又的图象与坐标轴有交点， 所以，故A错误； 对于B，由A选项知函数， 且函数在上单调递增， 所以对于定义域内任意实数， 当时，，则， 当时，，则，故B正确； 对于C，由函数，设， 所以 ， 所以，故C正确， 对于D， ， 由， 要证明， 即， 即， 所以即， 由，， 所以函数在上不单调递增，故D选项不正确. 故选：BC． 7．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）若函数是幂函数，则的取值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由幂函数定义可得结果. 【详解】 由幂函数定义可知，，解得， 故答案为：. 8．（25-26学年高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据幂函数的定义和单调性列出关系式求解即可. 【详解】 因为幂函数在区间上单调递增， 所以 ，解得. 故答案为： 9．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）已知幂函数满足，则的值是　　　　　. 【答案】32 【分析】 先结合待定系数法求解幂函数的解析式，再求函数值即可. 【详解】 由题，设，则， 所以，即， 所以. 故答案为： 10．（25-26学年高一上·安徽皖南八校·期中）已知幂函数的图象经过点和点，则　　　　　　． 【答案】4 【分析】 依次代入点和点即可求解. 【详解】 由题意，所以， 所以，所以. 故答案为：4 11．（25-26学年高一上·安徽皖江名校联考·期中）已知幂函数在区间内是减函数． （1）求实数的值； （2）求方程的解集． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂函数的特征求值，利用幂函数的性质判断所求值； （2）由绝对值的定义求解. (1) 小问详解： 得，，解得或 当时，，在区间内是增函数，舍去． 当时，，在区间内是减函数，符合．故 (2) 小问详解： 就是， 等价于，即， 解得或． 故方程的解集是． 12．（25-26学年高一上·安徽黄山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． （1）求和的值； （2）若实数满足，求的最小值. 【答案】（1）或1，     （2）2      【分析】 （1）根据幂函数的概念和性质求解； （2）由（1）得，变形可得，然后利用基本不等式中1的妙用求出最小值． (1) 小问详解： 幂函数，则，解得或1， 又幂函数在上是减函数，故，解得， 因为，故或， 当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意； 当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或1，； (2) 小问详解： ∵实数满足， ∴，则， ∴ . 当且仅当且，即时等号成立. 所以的最小值是2. 13．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）已知幂函数在上单调递增． （1）求的解析式； （2）设，试比较与的大小关系． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用幂函数的定义及性质即可求解； （2）根据（1）的结论及幂函数的性质，结合函数的单调性即可求解. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以，解得或． 当时，，此时在上单调递减，不满足题意； 当时，，满足在上单调递增． 所以； (2) 小问详解： ，， 因为， 所以，即． 14．（25-26学年高一上·安徽阜阳·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，则的值为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先根据在上的单调性确定出的可取值，然后代入解析式逐一检验图象的对称性，由此可求结果. 【详解】 因为在上单调递增，所以，所以， 又因为，所以或或， 当时，为奇函数，图象关于原点成中心对称，不符合， 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合， 当时，为奇函数，图象关于原点成中心对称，不符合， 所以， 故答案为：. 15．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）已知幂函数在上单调递减．的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】 因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递减， 当时，在上单调递增，不满足题意， 故． 故答案为： 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·安徽滁州·期中）深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本万元， ，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完． （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式； （2）年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大． 【答案】（1）     （2）14      【分析】 （1）根据题意分段讨论即可得； （2）利用二次函数的性质及基本不等式求得两段函数的最大值，取其中最大即可得. (1) 小问详解： 由题意，年销售收入万元， 当时，； 当时，， 所以 ． (2) 小问详解： 当时，是二次函数，开口向下， 对称轴为：， 所以（万元）． 当时，， 当且仅当，即时，（万元）， 因为，所以，当时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大为78万元． 2．（25-26学年高一上·安徽联盟·期中）某地政府为方便市民出行，计划在本市的市民中心站到机场开通特快轻轨专线列车.已知机场到市民中心站最快需要30分钟，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为640人；当时，载客量会减少，减少的人数为（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客量为493人.记列车载客量为，为连续函数. （1）求的解析式； （2）为响应低碳出行，若载客量至少达到532人时，列车才发车，问列车发车时间间隔至少为多少分钟? （3）若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】（1）     （2）4     （3）3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为72元      【分析】 （1）当时，，且，代入求得值，即可解； （2）分段求解不等式； （3）因为 ，当时，利用基本不等式求最值，当时，利用单调性求最值. (1) 小问详解： 由题意得，当时，； 当时，，且， 则，解得， 此时， 综上， (2) 小问详解： 由题意得，， 当时，，满足题意； 当时，， 即，解得，所以. 综上，要使载客量至少达到532人时，列车才发车，则列车发车时间间隔至少为4分钟. (3) 小问详解： 由（1）知， 当时，，当且仅当等号成立， 所以当时，. 当时，单调递减，则， 又，所以当时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为72元. 3．（25-26学年高一上·安徽皖豫·期中）某文具店销售笔记本，根据销售数据，日均销量与售价存在分段规律．该文具店每日的固定成本为20元，每本笔记本的进价为2元．设笔记本的售价为每本元，日均销量为本．当时，；当时，． （1）写出该文具店的日均利润（元）的解析式．（利润=销售收入-成本） （2）当笔记本的售价定为每本多少元时，该文具店的日均利润最大？最大日均利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元．      【分析】 （1）依题意,当时，当时，根据利润与售价的关系即可求得解析式； （2）根据相应解析式利用二次函数与基本不等式得最值，比较可得结论． (1) 小问详解： 当时， 当时， 综上， (2) 小问详解： 当时，， 图象的对称轴为， 所以在上单调递增，最大值在处取到，为220； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，且； 因为，所以当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元． 4．（25-26学年高一上·安徽合肥·期中）某科技公司有100名研发人员，平均每人每年创造利润100万元.为了进一步提高经济效益，调整名研发人员的岗位，改为从事技术指导工作，则剩余的研发人员平均每人每年创造的利润可提高25%，而从事技术指导工作的人员平均每人每年创造的利润为万元. （1）若要使这100人每年创造的总利润比原来至少增加2000万元，求x的取值范围； （2）求这100人每年创造的总利润的最大值. 【答案】（1）     （2）最大值为12100万元      【分析】 （1）由题意可得，解不等式可求出x的取值范围， （2）设这100人每年创造的总利润为y万元，则，化简后利用基本不等式可求得结果 (1) 小问详解： 由题意得， 整理可得，解得4≤x≤16. 所以x的取值范围是. (2) 小问详解： 设这100人每年创造的总利润为y万元， 则， 因为，当且仅当x=8时，取等号， 所以， 即这100人每年创造的总利润的最大值为12100万元. 5．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂.经市场调研，生产需投入年固定成本为万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元，且该厂生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） （2）当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元      【分析】 （1）根据年利润的定义，分别考虑时年利润的表达式，由此可知结果； （2）当时，利用二次函数性质分析的最大值；当时，利用基本不等式求出的最大值，由此可知结果. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 . (2) 小问详解： 当时，， 因为，所以； 当时，， 当且仅当，即时取等号，所以； 综上所述，当年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $