精品解析：安徽合肥卓越中学2024-2025学年高一第一学期期中教学质量检测数学试题

合肥卓越中学2024-2025学年度第一学期期中教学质量检测 高一数学学科试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合， 则. 2. 不等式的解为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可解得. 【详解】由原式得且，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域与对应关系判定同一函数即可. 【详解】对于A，易知两函数定义域均为R，且， 故A正确； 对于B，的定义域为， 而的定义域为，两函数定义域不同，故B错误； 对于C，的定义域为R，的定义域为， 两函数定义域不同，故C错误； 对于D，易知两函数定义域均为R，但， 故D错误. 故选：A 4. 设实数满足，函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】变形函数，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选： 5. 已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 【详解】由题意可知，解不等式得. 故选：D 6. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次不等式恒成立问题可转化为二次方程解的情况，可得不等式，解不等式即可. 【详解】因为命题：，为真命题，所以不等式的解集为. 若，则不等式可化为，解得，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得， 综上可知：， 故选：D. 7. 已知函数是减函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，结合两段分界处的关系，即可求解. 【详解】函数是减函数，则有， 解得，则a的取值范围为. 故选：B. 8. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【详解】因为数满足. 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数. 又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由图知：. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等关系成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等性质分别判断各选项. 【详解】A选项：，当时，，A选项错误； B选项：，即，又，即，所以，B选项正确； C选项：，即，又，即，所以，所以，C选项正确； D选项：，即，又，即，所以，无法判断与是否异号，D选项错误； 故选：BC. 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A，利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用完全平方公式与基本不等式判断C，利用代入消元法，结合基本不等式判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9，显然其最大值不可能为4，故B错误； 对于C，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，由，，且，可知，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为0，故D正确. 故选：ACD. 11. 下列选项正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数在的值域为 D. 函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A根据被开偶次根式满足不小于零，分母不等于零求解. 对于B根据抽象函数的定义域求解, 对于C先把二次函数写成顶点式，然后根据二次函数的性质来求解， 对于D，把根式换元转化成二次函数求解. 【详解】A函数的定义域满足则 所以函数的定义域是，故A正确. B若函数的定义域为,所以满足 又因为函数与函数为同一对应法则，所以，所以B不正确. C因为函数，所函数 所以函数的值域为故C不正确. D令，则，所以变为，即当，有最大值为 所以函数的值域为，所以D正确. 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题：“”的否定是______. 【答案】 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，存在改为任意并否定原结论即可. 【详解】“”的否定是“”. 13. 已知是二次函数，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用待定系数，设，准确运算，即可求解. 【详解】设， 因为，可得， 又因为，可得， 即，所以, 解得，所以． 故答案为：. 14. 已知则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】把看成一个整体变量来表示，再利用同向不等式的可加性求解. 【详解】假设，则，解得， 因为，所以； 又因为，所以； 由上两同向不等式相加得：， 整理得： 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合,集合． （1）若，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围 【答案】（1）或． （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集和补集的定义即可求解， （2）根据是集合的真子集，讨论和两种情况即可求解. 【小问1详解】 由题意可知， 若故， 或． 【小问2详解】 命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为 16. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义运算求解； （2）根据（1）中解析式，分和两种情况，结合二次不等式运算求解. 【小问1详解】 若，则， 由题意可得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若时，令，即，解得或（舍去）； 若时，令，即，解得或（舍去）； 综上所述：不等式的解集为. 17. 已知函数. （1）请用定义证明函数在上单调递减； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性定义证明即可； （2）利用参变分离法将不等式化成，依题意求函数在上的最大值，即得参数的取值范围. 【小问1详解】 任取且， 则， 因，可得，且，则， 于是，，即， 故函数在上单调递减. 【小问2详解】 由，不等式可化为， 因为存在，使得成立，即， 由（1）知，函数在单调递减，所以， 即得，故实数的取值范围. 18. 已知幂函数在上是减函数，. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为幂函数，可列出关于m的方程，结合幂函数的单调性确定m的值，即可求得答案； （2）结合（1）中m的值，再结合幂函数的定义域以及单调性，可得相应不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 由于函数是幂函数，故， 解得或， 当时，在上是增函数，不合题意； 当时，在上是减函数，符合题意， 故. 【小问2详解】 由（1）知，则， 结合幂函数在上为增函数， 得，解得， 即. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由； （2）已知函数. ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值. 【答案】（1）①是在上的“美好函数”；②不是在上的“美好函数”；③不是在上的“美好函数”. （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）直接利用“美好函数”定义判断即可； （2）①先提公因式，判断的范围，然后再讨论的范围，计算即可；②先讨论最大值和最小值，后建立等式计算即可. 【小问1详解】 ①因为，所以，所以，， 得，故是在上的“美好函数”； ②因为，所以，所以，， 得，故不是在上的“美好函数”； ③因为，所以，所以，， 得，故不是在上的“美好函数” 【小问2详解】 ①由题得， 当，可知 所以，当时，，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 当时，，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 故 ②由题可知此时，函数，可知此时，函数的对称轴为且开口向上； 当时，此时函数在上单调递减，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有，解得； 当时，此时函数在上单调递减，在单调递增，所以当时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 令，解得或 所以此时（舍去），（舍去） 当时，此时函数在上单调递增，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有，解得； 综上所述：或 【点睛】关键点点睛：函数新概念题型，需要去分析新概念的定义与性质等，然后结合新概念性质与已学知识相结合解答即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥卓越中学2024-2025学年度第一学期期中教学质量检测 高一数学学科试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 设实数满足，函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 5. 已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是减函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等关系成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为0 11. 下列选项正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数在的值域为 D. 函数的值域为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题：“”的否定是______. 13. 已知是二次函数，且，，则______． 14. 已知则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合,集合． （1）若，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围 16. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集． 17. 已知函数. （1）请用定义证明函数在上单调递减； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 18. 已知幂函数在上是减函数，. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由； （2）已知函数. ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $