安徽合肥卓越中学2024-2025学年高一第一学期期中教学质量检测数学试题

合肥卓越中学2024-2025学年度第一学期期中教学质量检测 高一数学学科试题 第一部分（选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2}，则AUB=() A.{x-1<x<2 B.{x-1<x≤2} C.{x0≤x<1} D.{x0≤x≤2} 2.不等式2-x≥0的解为( A.0<x≤2 B.x<0或x≥2 C.0≤x≤2 D.x≤0或x≥2 3.下列各组函数是同一个函数的是( ) A.f=+x与g)=x x2+1 B.f(x)=Vx+1Vx-1与g(x)=√x2-1 C.f(x)=Vx2与g(x)=(N)月 D.f(x)=Vx+10)2与g(x)=x+10 4设实数r清足>0，函数y=3x+的最小值为( A.4N5-3 B.45 C.45+3 D.6 5.已知函数是定义在0，+)上的增函数，则满足f2x-)<f兮的x的取值范围是 ( ) 「12 B.33 C 6.已知命题p:x∈R,ax2+2x+3>0为真命题，则实数a的取值范围是( A.Salo<as B.{al0<a<3 c.{ala≥ D.jala (1-a)x+3,x≤2， 7.已知函数f(x)= 2-号+2x>2 减函数，则a的取值范围为( A.(1,7) B.(1,7] C.(1,8) D.(1,8] 8.已知函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),对任意x,x2∈（-0，-2]，且x≠x2,都有 试卷第1页，共3页 f()-f(>0成立，且f(0)=0,则()>0的解集是（ 大-x3 A.（-∞，-2)U(2,+∞） B.（-2,2) C.（-o,-4)U(0,+∞) D.（-4,0) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列不等关系成立的是( ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,1<1,则b>0 a b C.若a>b, a>6'则a>0>b 11 2 D.若a>b,a2>b2,则a>0>b 10.已知x>0,y>0,且x+y=1,则下列结论正确的是（ A.y的最大值为月 B.上+4的最大值为4 x V C。+)产的最小值为 -x的最小值为0 D.4y 11.下列选项正确的是( Af)=+1+,2的定义域是[-1,2U(2,o】 B.若函数f(2x-1)的定义域为(-1,3]，则函数f(3x+1)的定义域为(1,7] C.函数f(x)=x2-x+2在[-2,1]的值域为[2,8] D.函数y=2x+V-x的值域为-0,8对 17 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.命题：“3x∈R,x2-2x-1<0”的否定是 13.已知f(x)是二次函数，且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)= 14.已知1≤a-b≤2,3≤a+b≤4则9a+3b的取值范围为 试卷第2页，共3页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15(13分) 已知集合A={x-2≤x-1≤5}，集合B={xm+1≤x≤2m-1(m∈R). (1)若m=4,求C(AUB): (2)设命题p:x∈A;命题q:x∈B,若命题P是命题9的必要不充分条件，求实数m的取值 范围 16.(15分) 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x. (1)求函数f(x)的解析式： (2)求不等式f(x)≥3的解集. 17.(15分) 已知函数()=x+ (1)请用定义证明函数f(x)在(0.1)上单调递减： (2)若存在x∈ 117 4'2 使得x2-ar+1≥0成立，求实数a的取值范围. 18.(17分) 已知幂函数f(x)=(m2+3m-9xm+在(0，+o)上是减函数，meR. (1)求f(x)的解析式： (2)若(2-a)>(2a-1)片3，求实数a的取值范围。 19.(17分) 若函数G在m≤x≤n(m<n)上的最大值记为ymax,最小值记为ymin,且满足ymx一ymin=1, 则称函数G是在m≤x≤n上的“美好函数”. (1)函数①y=x+1；②y=2x;③y=x2,哪个函数是在1≤x≤2上的“美好函数”，并说 明理由； (2)已知函数G:y=ar2-2ax-3d(a≠0). ①函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”，求a的值： ②当a=1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”，求t的值， 试卷第3页，共3页合肥卓越中学2024-2025学年度第一学期期中教学质量检测 高一数学学科试题 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.己知集合A={x-1<x<1},B={x0≤x≤2，则AUB=() A.{x-1<x<2} B.{x-1<x≤2} C.{x0≤x<1} D.{x0≤x≤2} 【答案】B 【分析】根据并集的运算法则求AUB即可得结果。 【详解】因为A={x-1<x<1},B={x0≤x≤2}，所以AB={x|-1<x≤2} 故选：B 2.不等式2-x≥0的解为（) A.0<x≤2 B.x<0或x≥2 C.0≤x≤2 D.x≤0或x≥2 【答案】A 【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可解得。 【详解】由原式得x(2-x)20且x≠0，解得0<x≤2， 即不等式的解集为{x0<x≤2} 故选：A 3.下列各组函数是同一个函数的是() A.fx)=与g四=V B.f(x)=x+1.x-1g(x)=Vx2-1 C.fx)=VF与g(x)=() D.f(x)=Vx+10)2与g(x)=x+10 【答案】A 【分析】根据定义域与对应关系判定同一函数即可 【详解】对于A易知两函数定义域均为R,且)-：.？+ =x=g(x), x2+1x2+1 试卷第1页，共12页 故A正确： 对于B,f(x)=√x+1Vx-i的定义域为[l,+o), 而g()=√2-1的定义域为(-0，-1U[1,+∞)，两函数定义域不同，故B错误： 对于C,f(x)=√x2的定义域为R,g(x)=(W)2的定义域为[0，+∞)， 两函数定义域不同，故C错误： 对于D,易知两函数定义域均为R,但f(x)=V(x+10)2=x+10≠g(x), 故D错误 故选：A 4.设实数x满足x>0,函数y=3x+4 的最小值为() +1 A.4V5-3 B.45 C.4W5+3 D.6 【答案】A 【分析】变形函数y=3x+4 r)=3x+)+43,再利用基本不等式求解即可 x+1 【详解】因为y=3x+4 +1 =3(x+1)+ 4-3 x+1 22+小车-3=45-3 x+1 当且仅当3x+)=4 ,,即x=2-1>0时，等号成立， 3 故选：A. 5.己知函数f(x)是定义在[0，+o)上的增函数，则满足f(2x-1)<f 的x的取值范围是 () A. 「121 33 B c引 【答案】D 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 2x-1≥0 【详解】由题意可知} 1,解不等式得xe [12 2x-1< 23} 3 故选：D 试卷第2页，共12页 6.已知命题p:Vx∈R,ax2+2x+3>0为真命题，则实数a的取值范围是() D.ala> 【答案】D 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】问题转化为不等式ax2+2x+3>0的解集为R,根据一元二次不等式解集的形式求 参数的值 【详解】因为命题p:Vx∈R,ax2+2x+3>0为真命题，所以不等式ax2+2x+3>0的解集为 R 以若a=0,则不等式a2+2x+3>0可化为2x+3>0=x>号，不等式解集不 a>0 1 若a≠0，则根据一元二次不等式解集的形式可知： A=22-12a<0→a> 3 综上可知：a> 故选：D (1-a)x+3,x≤2， 7.已知函数f(x)= a 是减函数，则a的取值范围为() -x- x+2,x>2 2 A.(1,7) B.(（1,7] C.(1,8) D.(1,8] 【答案】B 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，结合两段分界处的关系，即可求 解。 [1-a<0 (1-a)x+3,x≤2， 【详解】函数f(x) l-x2- a x+2,x>2 是减函数，则有-骨2 12(1-a)+32-4-a+2 解得1<a≤7，则a的取值范围为(1,7] 故选：B 8.已知函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),对任意x,x2∈（-0，-2]，且x≠x2,都有 西)-(>0成立，且f(0)=0,则(y)>0的解集是（） x1-X2 试卷第3页，共12页 A.（-o0,-2)U(2,+0) B.（-2,2) C.（-0,-4)U(0,+o) D.（-4,0) 【答案】D 【解析】因为函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),所以f(x)的图象关于x=-2对称. 因为函数f(x)对任意，5∈(0，-2]，且x≠6，都有)-(>0成立， x1-X2 所以f(x)在(-o,-2]上为增函数 又因为f(x)的图象关于x=-2对称，f(0)=0, 所以f(x)在(-2，+o)为减函数，且f(-4)=0. 用折线图表示函数f(x)的单调性，如图所示： 由图知：f(x)>0→-4<x<0.故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列不等关系成立的是() A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,<6,则ab>0 1、1 C.若a>h,。>6,则a>0>b D.若a>b,a2>b2,则a>0>b 【答案】BC 【解析】A选项：a>b,当c=0时，ac2=bc2,A选项错误； 合的的0，又6，即g-6>0,所眼的>0，B选 B选项：一< 试卷第4页，共12页 项正确： C选项： ，,即11b-a--a-b>0,又a>b,即a-b>0,所以ab<0D a b ab ab a>0>b,C选项正确： D选项：a2>b2,即a2-b2=(a+b)(a-b)>0,又a>b,即a-b>0,所以a+b>0,无 法判断a与b是否异号，D选项错误：故选BC, 10.已知x>0,y>0,且x+y=1,则下列结论正确的是() A:y的最大值为号 14 B. 二+—的最大值为4 x y C.+少的最小值为2 1 D.4y x的最小值为0 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断A,利用基本不等式“1”的妙用判断B,利用完全平方公式与 基本不等式判断C,利用代入消元法，结合基本不等式判断D,从而得解. 【详解】对于A因为>0，>0，且y=1,所以ws(= 1 当且仅当x=y=)时取等号，所以y的最大值为：，故A正确： 2 对于B,1+4=4Xx+0=5+2+4≥5+22.4=9， x yx y x y Vx y 当且仅当上红，即x=-子时取等号， x y 所以的最小值为9，显然其最大值不可能为4，故B错误： 14 对于C,因为2(x2+y2）=x2+y2+x2+y22x2+y2+2y=(x+y)2=1, 所以+y户≥分当且仅当x=y号时，等号成立， 所以子+严的最小值为)，故C正确： 对于D,由x>0,y>0,且x+y=1,可知0<y<1,x=1-y, 当且仅当，y,即y=x=时，等号成立。 1 2 所以)x的最小值为0，故D正确， 试卷第5页，共12页 故选：ACD 11.下列选项正确的是（) A.f(x)=V+i+1的定义域是[-1,2U(2,+o) x-2 B.若函数f(2x-1)的定义域为(-1,3]，则函数f(3x+1)的定义域为(1,7] C.函数f(x)=x2-x+2在[-2，刂的值域为[2,8 D.函数y=2x+√1-x的值域为 17] °，8y 【答案】AD 【分析】对于A根据被开偶次根式满足不小于零，分母不等于零求解， 对于B根据抽象函数的定义域求解， 对于C先把二次函数写成顶点式，然后根据二次函数的性质来求解， 对于D,把根式换元转化成二次函数求解 【详解】A函数()-中+2的定义城满足0则e[-12U(2+w) ,x+1≥0 所以函数)=+，2的定义域是-12U(2+o),故A正确 B若函数f(2x-1)的定义域为(-1,3]，所以满足x∈（-1,3]，2x-1∈（-3,5] 又因为函数2-)与函数73x+)为洞一对应法则，所以3x+1E(35列e(号》， 所以B不正确。 Q因为通数-产-2-(-子2训，所发-f)子 f=(-2)=(-2-(-2+2=8所以函数)=-x+2x-2刘的值域为[内故 C不正确. D令t=V1-x,t≥0，则x=1-2,所以y=2x+1-x变为 =0-=-〔-是e包e)即当子有装大为 7 17 所以函数y=2x+√-x的值域为 -0, 81 所以D正确. 试卷第6页，共12页 故选：AD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.命题：“3xeR,x2-2x-1<0”的否定是 【答案】x∈R,x2-2x-1≥0 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定。 【详解】“3xeR,x2-2x-1<0”的否定是“x∈R,x2-2x-1≥0”. 故答案为：x∈R,x2-2x-1≥0 13.己知f(x)是二次函数，且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)= 【1+ 【分析】根据题意，利用待定系数，设f(x)=ax2+bx+c(a≠O),准确运算，即可求解。 【详解】设f(x)=ax2+br+c(a≠0)， 因为f(0)=0,可得c=0, 又因为f(x+1)=f(x)+x+1,可得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即ax2+(2a+b)x+b+a=ax2+(b+1)x+1,所以2a+b=b+1,a+b=1, 解符a=b所以f)+ 故答案为： x2+x 2 2 14.己知1≤a-b≤2,3≤a+b≤4则9a+3b的取值范围为 【答案】[21,30] 【分析】把a-b,a+b看成一个整体变量来表示9a+3b,再利用同向不等式的可加性求解 元+4=9 =3 【详解】假设9a+3b=(a-b)+4(a+b),则 -+u=3'解得 4=61 因为1≤a-b≤2，所以3≤3(a-b)≤6： 试卷第7页，共12页 又因为3≤a+b≤4，所以18≤6(a+b)24: 由上两同向不等式相加得：21≤3(a-b)+6(a+b)≤30， 整理得：21≤9a+3b≤30 故答案为：[21,30] 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15(13分).已知集合A={x-2≤x-1≤5}，集合B={xm+1≤x≤2m-1(m∈R). (1)若m=4,求4（AUB): (2)设命题p:x∈A;命题q:x∈B,若命题P是命题9的必要不充分条件，求实数m的取值 范围 【答案】(1){xx<-1或x>7}. 2)ms2 【分析】(1)根据集合的并集和补集的定义即可求解， (2)根据B是集合A的真子集，讨论B=☑和B≠☑两种情况即可求解 【详解】(1)由题意可知A={x-2≤x-1≤5}={-1≤x≤6， 若m=4,B={x5≤x≤7，故AUB={x1≤x≤7}， R(4UB)={dx<-1或x>7}. (2)命题P是命题9的必要不充分条件，.集合B是集合A的真子集， 当B=☑时，m+1>2m-1,解得m<2, m+1≤2m-1 7 当B≠☑时， m+1≥-1 (等号不能同时成立)，解得2≤m≤ 2 12m-1≤6 综上所述，实数m的取值范围为m≤ 2 16.(15分) 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x. (1)求函数f(x)的解析式： (2)求不等式f(x)≥3的解集。 试卷第8页，共12页 【答案】（①）f(x)= x2+2x,x<0 x2-2x,x≥0 (2)(-∞，-3]J[3,+∞) 【分析】(1)根据题意结合偶函数的定义运算求解： (2)根据(1)中解析式，分x≥0和x<0两种情况，结合二次不等式运算求解. 【详解】(1)若x<0,则-x>0, 由题意可得：f(x)=f(-x)=(-x)}2-2(-x)=x2+2x, 所以f(x)= x2+2x,x<0 x2-2x,x≥01 (2)由(1)可知：f(x)= x2+2x,x<0 x2-2x,x≥0 若x≥0时，令f(x)=x2-2x23,即x2-2x-3≥0，解得x≥3或x≤-1（舍去）： 若x<0时，令f(x)=x2+2x23,即x2+2x-3≥0，解得x≤-3或x21（舍去)： 综上所述：不等式f(x)≥3的解集为(-∞，3小U[3,+∞) 17.(15分) 已知函数f(x)=x+ x (1)请用定义证明函数f(x)在(0.1)上单调递减： (2)若存在xe 「111 4'2 ,使得x2-ax+1≥0成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 2 【分析】(1)根据题意，利用函数单调性的定义与判定方法，即可求解； 2)根案题意，转化为存在[居引依得ax上由)得到在引上为单 「11] 调递减函数，求得f(x)的最大值，即可求解 【详解】(1)证明：任取x,x2∈(0.1)且x<x2, 则))5安哈安-传w经 x2 x1 x2 试卷第9页，共12页 因为x,x2∈(0.1)且x<x2,可得x2-x>0,且0<xx2<1,所以xx2-1<0, 所以)=，-x)5<0,即(s)》>), Xx2 所以函数f(x)在(0.1)上为单调递减函数. [117 (2)解：由xe42 不等式x2-ar+1≥0可化为a≤产+1-x 1 因为存在x 「117 42使得-ar+120成立，即a≤c+, 由①知，函数()=x+在x4引为单调递减函数， 「11 h=+4= 所以f(x)=f安=4 4所以as 4,即实数a的取值范围（←， 18.(17分) 己知幂函数f(x)=(m2+3m-9x-在(0，+∞)上是减函数，m∈R. (1)求f(x)的解析式： (2)若(2-a)片3>(2a-1)片，求实数a的取值范围， 【答案】(I)f(x)=x 25 【分析】(1)根据函数为幂函数，可列出关于m的方程，结合幂函数的单调性确定的值， 即可求得答案： (2)结合(1)中m的值，再结合幂函数y=x2的定义域以及单调性，可得相应不等式组， 即可求得答案。 【详解】(1)由于函数f(x)=（m2+3m-9)x-是幂函数，故m2+3m-9=1, 解得m=2或m=-5, 当m=2时，f(x)=x在(0，+∞)上是增函数，不合题意： 当m=-5时，f(x)=x在(0，+∞)上是减函数，符合题意， 故f(x)=x6. 试卷第10页，共12页 (2)由(1)知m=-5,则(2-a)2>(2a-1)， 结合幂函数y=在0，+o)上为增函数， [2-a20 得2a-1≥0，解得 5≤a<1, 2-a>2a-1 即ae). 19.(17分) 若函数G在m≤x≤n(m<n)上的最大值记为ymax,最小值记为ymn,且满足ymax-ymm=1, 则称函数G是在m≤x≤n上的“美好函数” (1)函数①y=x+1:②y=2x；③y=x2,哪个函数是在1≤x≤2上的“美好函数”，并说明理 由： (2)已知函数G:y=a2-2ax-3d(a≠0) ①函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”，求a的值： ②当a=1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”，求t的值 【解析】(1)①因为1≤x≤2，所以2≤x+1≤3，所以ymx=3,ymm=2, 得ymx-ymin=1,故y=x+1是在1≤x≤2上的“美好函数”： ②因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4→2≤2x≤4，所以ymax=4,ymm=2, 得ymx-ymm=2,故y=2x不是在1≤x≤2上的“美好函数”： ③因为1≤x≤2，所以1≤x2≤4，所以ymx=4,ymn=1, 得ymax-ymim=3,故y=x2不是在1≤x≤2上的“美好函数” (2)①由题得y=axr2-2ax-3a=a(x2-2x-3, 当1≤x≤2，可知-4≤x2-2x-3≤-3， 所以，当a>0时，-4a≤a(x2-2x-3)≤-3a，,此时ymx=-3a,ymin=-4a, 因为函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”， 所以有-3a-(-4a=1→a=1; 当a<0时，-4a≥a(x2-2x-3)≥-3a,此时ymx=-4a,ymin=-3a, 试卷第11页，共12页 因为函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”， 所以有-4a-（-3a)=1→a=-1: 故a=±1. ②由题可知此时，函数G:y=x2-2x-3,可知此时，函数y=x2-2x-3的对称轴为x=1 且开口向上： 当1+1≤1时，此时函数y2-2x-3在[%，t+刂上单调递减，此时ymx=-21-3, ymm=(t+1)2-2(t+1）-3, 因为函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”， 所以有(-21-3)-(+1)2-2+1)-3=1，解得1=0： 当t<1<t+1时，此时函数y=x2-2x-3在[t,1上单调递减，在(1，t+单调递增，所以 当x=1时，ymn=-4, 因为函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”， 所以有ymax=-3: 令x2-2x-3=-3,解得x=0或x=2, 所以此时t=0→x∈[0,1（舍去），t+1=2→x∈[1,2]（舍去）. 当t≥1时，此时函数y=x2-2x-3在[t,t+刂上单调递增，此时，yx=(t+1)2-2(t+1)-3, ymin =t2-2t-3 因为函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”， 所以有(t+1-2(t+)-3-(-21-3)=1,解得1=1： 综上所述：t=0或t=1. 试卷第12页，共12页