第二十八章 旋转 单元卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十八章 旋转（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、纹样是我国古代艺术的瑰宝，下列图形中不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，符合题意． 2、如图，P是等边内的一点，连接．若将绕点B旋转到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵将绕点B旋转到， ∴旋转角为或， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 3、如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（　　） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， ①②③正确，④错误， 4、已知点与点关于原点对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 5、如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：∵与关于点A成中心对称， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 6、如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（   ） A．点A与点D是对称点 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与点D是对称点，，，， 而不一定成立． 7、如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在同一条直线上，且，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ， 是等腰直角三角形，则， ，即， 连接，如图所示： 由选转性质可知，，，且， 是等腰直角三角形，是直角三角形， 在中，，，则由勾股定理可得， 在中，，，，则由勾股定理可得， 8、如图，在等边△ABC中，是上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得△BAE，连接，若，，则下列说法：①；②；③△BDE是等边三角形；④△ADE的周长是9，其中正确的有（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】 C 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转，得， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵将绕点逆时针旋转，得， ∴，， ∴△BDE是等边三角形，故③正确； ∵在中，， ∴，即， ∴，故②错误； ∵，， ∴△ADE的周长，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 9、在平面直角坐标系中，将直线沿坐标轴方向平移后，得到直线与关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（ ） A. 将向右平移4个单位长度 B. 将向左平移6个单位长度 C. 将向上平移6个单位长度 D. 将向上平移4个单位长度 【答案】D 【详解】解：如图，把y=0代入得到，把x=0代入得到y=-2， ∴直线与x轴、y轴的交点分别为A、B（0,-2）， ∵直线与关于坐标原点中心对称， ∴点A关于原点对称的点D的坐标为，点B关于原点对称的点C的坐标为（0,2） 设的解析式为， 则， 解得 ∴的解析式为 ∴直线可以看做直线向上平移4个单位得到． 10、如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，交x轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得：、、⋯、都是等腰直角三角形，，…， ∴，，，…， ∵， ∴点在第一象限，坐标为即， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则旋转角的度数为_______． 【答案】 【详解】解：将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， 即旋转角的度数为， 故答案为： 12、已知点关于原点对称的点为，则的值为 . 【答案】1 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：1． 13、 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是　　 ． 【答案】45° 【详解】解：∵∠AOC的度数为105°， 由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°， ∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°， ∵△AOD中，AO＝DO， ∴∠A（180°﹣40°）＝70°， ∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°， 由旋转可得，∠C＝∠B＝45°， 故答案为：45°． 14、如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：设相交于点， 由旋转可得，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 15、如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴ ∴ 故答案为：. 16、如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是_________． 【答案】①③④ 【详解】解：由旋转的性质可得：， ，， ， ，故①正确； ， ，即：平分，故③正确； ， ， 在中，，即：，故④正确； 与不一定相等，故②不正确， 综上所述，①③④正确， 故答案为：①③④ 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的． 【答案】(1)如图所示； (2)如图所示． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示； 18、如图，在△ABC中，为上一动点，△DEF与△ABC关于点中心对称，连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【详解】证明：∵△DEF与△ABC关于点中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 19、如图，点E与F分别在正方形的边与上，，以点A为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到．已知，，求的长． 【答案】 【详解】解：四边形为正方形， ，， ∵将按顺时针方向旋转得到． ，，， 点在的延长线上， ， ， 在和中， ， ， ． 20、如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． (1)求证：； (2)若，当四边形是平行四边形时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：连接． 将绕点沿顺时针旋转得到， ，，， ， 又， ， ． ． ，， ． ． 在和中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ． ． ， ． ． 由勾股定理，可求得． ， ． 21、在正方形中，、分别是、上的点，且，将线段以为旋转中心顺时针旋转90°，得到线段． （1）如图1所示，求证：是等腰直角三角形； （2）若是的中点，试判断线段与线段的关系． 【答案】（1）见详解； （2）与的数量关系是：，与的位置关系是： 【详解】（1）如图，连接， 线段以为旋转中心顺时针旋转90°，得到线段， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）如图，过作于点，过于点，交于点，连接，设与分别交于点， 四边形是正方形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，，， 为的中点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 三点共线， ， 四边形是矩形， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 在中，， ， 与的数量关系是：， 与的位置关系是：． 22、实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是教材中我研究过的图形，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正万形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等．那么正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又，， 又，且， 【初步感知】 （1）请你补全以上证明过程； （2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心O，直线m分别与、交于点E、F，直线n分别与、交于点G、H，且若正方形的面积是36，求四边形的面积（请写出详细过程）． 【深入探究】 （3）受图③的启发，探究组思考把图④中的四边形转化为图③正方形中的一部分，从而求出图④中四边形的面积．现若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【详解】（1）证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又， ， 又， 且， ∴， ∴， ∴， 即正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一； （2）解：由（1）的结论可得，， 故答案为：9； （3）解：如图④，构造正方形，点B为正方形对角线的交点， 则， ， ∵， ∴， 由（1）可得，． 23、如图①，E是AB延长线上一点，分别以AB、BE为一边在直线AE同侧作正方形ABCD和正方形BEFG，连接AG、CE． (1)试探究线段AG与CE的大小关系，并证明你的结论； (2)若AG恰平分∠BAC，且BE=1，试求AB的长； (3)将正方形BEFG绕点B逆时针旋转一个锐角后,如图②,问(1)中结论是否仍然成立，说明理由. 【答案】（1）AG=CE.，理由见详解；（2）+1；;（3）AG=CE仍然成立，理由见详解； 【详解】(1)AG=CE. 理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°， 在△ABG和△CBE中， ∵ ， ∴△ABG≌△CBE(SAS)， ∴AG=CE； (2)过点G作GM⊥AC于点M， ∵AG恰平分∠BAC，MG⊥AC，GB⊥AB， ∴BG=MG， ∵BE=1， ∴MG=BG=1， ∵AC平分∠DCB， ∴∠BCM=45°， ∴MC=MG=1， ∴GC= ， ∴AB的长为：AB=BC=+1； (3)AG=CE仍然成立. 理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABC=∠EBG=90°， ∵∠ABG=∠ABC−∠CBG， ∠CBE=∠EBG−∠CBG， ∴∠ABG=∠CBE， 在△ABG和△CBE中， ∵ ， ∴△ABG≌△CBE(SAS)， ∴AG=CE. 24、阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【答案】（1）150°；（2）见详解 （3） 【详解】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 旋转（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、纹样是我国古代艺术的瑰宝，下列图形中不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2、如图，P是等边内的一点，连接．若将绕点B旋转到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3、如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（　　） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 4、已知点与点关于原点对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 5、如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 6、如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（   ） A．点A与点D是对称点 B． C． D． 7、如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在同一条直线上，且，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 8、如图，在等边△ABC中，是上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得△BAE，连接，若，，则下列说法：①；②；③△BDE是等边三角形；④△ADE的周长是9，其中正确的有（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 9、在平面直角坐标系中，将直线沿坐标轴方向平移后，得到直线与关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（ ） A. 将向右平移4个单位长度 B. 将向左平移6个单位长度 C. 将向上平移6个单位长度 D. 将向上平移4个单位长度 10、如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则旋转角的度数为_______． 12、已知点关于原点对称的点为，则的值为 . 13、 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是　　 ． 14、如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，则的长为 ． 15、如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是 ． 16、如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的． 18、如图，在△ABC中，为上一动点，△DEF与△ABC关于点中心对称，连接，，求证：四边形是平行四边形． 19、如图，点E与F分别在正方形的边与上，，以点A为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到．已知，，求的长． 20、如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． (1)求证：； (2)若，当四边形是平行四边形时，求的长． 21、在正方形中，、分别是、上的点，且，将线段以为旋转中心顺时针旋转90°，得到线段． （1）如图1所示，求证：是等腰直角三角形； （2）若是的中点，试判断线段与线段的关系． 22、实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是教材中我研究过的图形，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正万形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等．那么正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又，， 又，且， 【初步感知】 （1）请你补全以上证明过程； （2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心O，直线m分别与、交于点E、F，直线n分别与、交于点G、H，且若正方形的面积是36，求四边形的面积（请写出详细过程）． 【深入探究】 （3）受图③的启发，探究组思考把图④中的四边形转化为图③正方形中的一部分，从而求出图④中四边形的面积．现若，，，求四边形的面积． 23、如图①，E是AB延长线上一点，分别以AB、BE为一边在直线AE同侧作正方形ABCD和正方形BEFG，连接AG、CE． (1)试探究线段AG与CE的大小关系，并证明你的结论； (2)若AG恰平分∠BAC，且BE=1，试求AB的长； (3)将正方形BEFG绕点B逆时针旋转一个锐角后,如图②,问(1)中结论是否仍然成立，说明理由. 24、阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $