抛物线专项训练 -2027届高三数学一轮复习

抛物线（考点导航与跟踪训练） -2027届高三数学上学期专项复习 考点汇总 · 考点：抛物线的标准方程 · 考点：抛物线的焦点与准线 · 考点：直线与抛物线的综合 跟踪训练 · 考点：抛物线的标准方程 1．（2026•湖南模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），过其准线上一点T（t，﹣1）作C的两条切线，切点分别为A，B，则： （1）求抛物线C的方程； （2）求证：TA⊥TB； （3）若t＝1，求直线AB的斜率． 2．（2025秋•鸡冠区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l与C交于A，B两点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为45°，求|AB|． 3．（2026•吉林模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到直线y＝x+2的距离为． （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点A（4，0）的直线l与抛物线C交于M、N两点，O为坐标原点，且△OMN的面积为，求直线l的方程． 4．（2025秋•内江期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）第一象限上的点M到焦点F的距离，点M到x轴的距离为． （1）求抛物线C的方程和点M的坐标； （2）若直线l：x﹣y﹣1＝0与抛物线C相交于A，B两点，求的值． 5．（2025秋•衡阳县校级期中）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线A1OA及一个矩形A1C1CA的三边组成，尺寸如图（单位：m）． （1）以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，求该段抛物线A1OA所在抛物线的方程； （2）若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽3m，车与集装箱总高4m，此车能否安全通过隧道？请说明理由． 6．（2025秋•顺德区校级月考）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（3，t）是C上的一点，且|PF|＝5． （1）求C的方程； （2）若过点D（1，0）的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程． · 考点：抛物线的焦点与准线 7．（2025秋•麟游县期末）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，M是C上一点． （1）若F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，且满足∠MFO＝120°，求|MF|； （2）若点A的坐标为（12，6），求点M到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值． 8．（2026春•黄浦区校级期中）已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，一条直线与抛物线交于A、B两点． （1）若直线斜率为1，证明线段AB中点的横坐标为定值； （2）若直线过F，且|AB|＝4，求直线方程． 9．（2026•锦江区校级模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，直线与l，C的交点分别为P，Q，且|FP|＝|FQ|． （1）求p； （2）若过点D（4，0）的直线m交C于A，B两点，且|AD|•|BD|＝24，求的值． 10．（2026•云南模拟）已知点F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，点M（3，m）在抛物线上，且|MF|＝4． （1）求抛物线的方程； （2）若一条斜率为的直线l与抛物线相交于不同的两点A，B，O为坐标原点， （ⅰ）当时，求以线段AB为直径的圆的面积； （ⅱ）若在抛物线上存在点C（位于直线l的左侧），使得以A，B，C为顶点的△ABC满足，求△ABC重心G的坐标． 11．（2026•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l．直线l1与抛物线C相切于点P且与x轴交于点E，点M是点E关于点F的对称点． （1）证明：直线l1⊥直线MP； （2）设直线MP与抛物线C交于另一点Q，与准线l交于点N，设△MEQ，△PNF的面积分别为S1，S2，若，求点M的横坐标的取值范围． 12．（2026•长沙模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为1． （1）求抛物线C的方程； （2）若过点F作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|•|NF|的最小值． · 考点：直线与抛物线的综合 13．（2026•杭州校级模拟）设抛物线C：y2＝4x，Q是直线m：x+y+2＝0上的动点，QS，QT是抛物线C的两条切线，且与抛物线C分别相切于S，T两点． （1）设P是抛物线C上任意一点，求|PQ|最小值； （2）记S，T的中点是M，求M的轨迹方程； （3）记抛物线C的焦点是F，记∠QFS＝α，∠QFT＝β，证明：cos（α﹣β）＝1． 14．（2026春•咸阳校级月考）已知直线l与抛物线E：y2＝2x相切，且切点为B（2，2），抛物线焦点F． （1）求|BF|； （2）求直线l的斜率k1的值； （3）M，N是x轴上两个不同的动点，且满足|BM|＝|BN|，直线BM，BN与抛物线E的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为k2，求k2的值． 15．（2026秋•武汉月考）已知圆M：（x﹣1）2+y2＝1与抛物线E：y2＝2px（p＞0）的三个公共点恰好构成等腰直角三角形． （1）求抛物线E的标准方程； （2）过抛物线上一点A引射线，该射线与圆M相切且与抛物线E交于另一点B，记该射线与x轴的交点为N． （i）若∠AMB＝60°，求AB所在直线的斜率； （ii）若|AM|2＝|AN|•|AB|，求|AM|•|BM|． 16．（2026秋•宝山区校级同步）设抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点． （1）若p＝2，求线段AF中点M的轨迹方程； （2）若直线AB的法向量为，当焦点为时，求△OAB的面积； （3）若M是抛物线Γ准线上的点，直线MA，MB，MF的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k3为k1，k2的等差中项． 17．（2026•河南校级三模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，T（4，t）为C上一点，且|TF|＝4． （1）求C的方程； （2）过点T作两条相互垂直的直线分别与C交于B，D两点． （i）证明：直线BD过定点； （ii）若直线TB，TD分别与x轴交于M，N两点，记△TBD，△TMN的面积分别为S1，S2，当|MN|≤5时，求的取值范围． 18．（2026•蓬江区校级开学）已知椭圆E：经过点，离心率为．抛物线C：x2＝4y的焦点为点F． （1）求椭圆E的方程． （2）设点P是C上的动点，C在点P处的切线l与E交于不同的两点M，N，直线l上一点D满足，直线OD与直线y＝﹣1相交于点Q．求证：直线PQ平行于抛物线C的对称轴． （3）若点P位于第一象限．切线l交y轴于点G，记点G到直线PF的距离为d1，点D到直线PQ的距离为d2，求的范围． 抛物线（考点导航与跟踪训练） -2027届高三数学上学期专项复习 参考答案与试题解析 1．（2026•湖南模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），过其准线上一点T（t，﹣1）作C的两条切线，切点分别为A，B，则： （1）求抛物线C的方程； （2）求证：TA⊥TB； （3）若t＝1，求直线AB的斜率． 【解答】解：（1）抛物线的准线为，由题可得：1，解得p＝2， 所以抛物线C的方程为x2＝4y． （2）证明：由（1）知，抛物线C：，设，求导得， 直线TA的斜率，整理得，同理， 因此x1，x2为方程x2﹣2tx﹣4＝0的两个根，x1x2＝﹣4，而直线TB斜率， 则，所以TA⊥TB． （3）若点A（x1，y1），B（x2，y2），即， 则由（2）知，4y1﹣2tx1﹣4＝0，4y2﹣2tx2﹣4＝0， 因此点A，B的坐标满足方程4y﹣2tx﹣4＝0，即2tx﹣4y+4＝0， 则直线AB的方程为2tx﹣4y+4＝0，其斜率为， 所以当t＝1时，直线AB的斜率为． 2．（2025秋•鸡冠区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l与C交于A，B两点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为45°，求|AB|． 【解答】解：（1）根据抛物线的性质可知，p＝2，故抛物线C：y2＝4x； （2）由直线l的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为y＝x﹣1， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立， x1+x2＝6， 故|AB|＝x1+x2+2＝8． 3．（2026•吉林模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到直线y＝x+2的距离为． （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点A（4，0）的直线l与抛物线C交于M、N两点，O为坐标原点，且△OMN的面积为，求直线l的方程． 【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为， 所以焦点到直线x﹣y+2＝0的距离为， 解得p＝4，则抛物线C的标准方程为y2＝8x． （2）由题意设过点A（4，0）的直线l方程为x＝my+4， 原点O到直线l：x﹣my﹣4＝0的距离为． 设M（x1，y1），N（x2，y2）． 联立方程，消去x得：y2﹣8my﹣32＝0， 所以y1+y2＝8m，y1y2＝﹣32， 所以， 由弦长公式，． 所以， 解得m2＝1，即m＝±1． 故直线l方程为：x＝y+4或x＝﹣y+4，即x﹣y﹣4＝0或x+y﹣4＝0． 4．（2025秋•内江期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）第一象限上的点M到焦点F的距离，点M到x轴的距离为． （1）求抛物线C的方程和点M的坐标； （2）若直线l：x﹣y﹣1＝0与抛物线C相交于A，B两点，求的值． 【解答】解：（1）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）第一象限上的点M到焦点F的距离，点M到x轴的距离为， 设点M（x0，y0），因为M在第一象限且到x轴的距离为， 所以． 又因为点M到焦点的距离等于点M到准线的距离，且， 所以． 同时M（x0，y0）在抛物线上，则，解得x0＝2． 又因为，所以p＝1，从而得到y0＝2． 所以抛物线方程为y2＝2x，M点的坐标为（2，2）． （2）将直线与抛物线联立：， 设A（x1，y1），B（x2，y2）． 所以y1+y2＝2，y1y2＝﹣2． 由x＝y+1可以得到x1+x2＝4，x1x2＝（y1+1）（y2+1）＝（y1+y2）+y1y2+1＝1． 已知M（2，2）， 则，， 则1﹣2×4﹣2﹣2×2+8＝﹣5． 5．（2025秋•衡阳县校级期中）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线A1OA及一个矩形A1C1CA的三边组成，尺寸如图（单位：m）． （1）以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，求该段抛物线A1OA所在抛物线的方程； （2）若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽3m，车与集装箱总高4m，此车能否安全通过隧道？请说明理由． 【解答】解：（1）以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy， 设抛物线方程为x2＝2py，由图知抛物线经过点A1（﹣3，﹣3）， 代入方程可得﹣6p＝9，解得， 故抛物线A1OA所在抛物线的方程为x2＝﹣3y． （2）若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽3m，车与集装箱总高4m， 在抛物线上取点，代入x2＝﹣3y，解得， 要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使4＜5+y，即y＞﹣1， 因，故此车能安全通过隧道． 6．（2025秋•顺德区校级月考）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（3，t）是C上的一点，且|PF|＝5． （1）求C的方程； （2）若过点D（1，0）的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程． 【解答】解：（1）由题意F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（3，t）是C上的一点，且|PF|＝5， 可知，得p＝4， 所以抛物线方程为y2＝8x； （2）设直线l：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），D（1，0）， 联立y2＝8x，得y2﹣8my﹣8＝0， y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8，① 由，可得y1＝﹣8y2，② 由①②可知，y2＝1，y1＝﹣8或y2＝﹣1，y1＝8， 所以8m＝﹣7或8m＝7，得或， 即直线l的方程为，即8x+7y﹣8＝0或，即8x﹣7y﹣8＝0． 7．（2025秋•麟游县期末）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，M是C上一点． （1）若F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，且满足∠MFO＝120°，求|MF|； （2）若点A的坐标为（12，6），求点M到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值． 【解答】解：（1）圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心为（2，0），半径为1，抛物线C：x2＝2py的准线方程为， 由抛物线C的准线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，得，解得p＝2， 抛物线C：x2＝4y的准线为y＝﹣1，焦点F（0，1）， 过点M作准线的垂线，垂足为N，过F作FH⊥MN于H， 由∠MFO＝120°，得∠MFH＝30°，在Rt△MFH中，， 所以|MF|＝4． （2）在抛物线C的方程x2＝4y中，令x＝12，得y＝36＞6，则点A与焦点F在抛物线C的两侧， 设点M到x轴距离为d，则|MA|+d＝|MA|+|MN|﹣1＝|MA|+|MF|﹣1 ，当且仅当M是线段FA与抛物线C的交点时取等号， 所以点M到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值为12． 8．（2026春•黄浦区校级期中）已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，一条直线与抛物线交于A、B两点． （1）若直线斜率为1，证明线段AB中点的横坐标为定值； （2）若直线过F，且|AB|＝4，求直线方程． 【解答】解：（1）证明：由题意设直线AB的方程为y＝x+m， 联立，得x2﹣4x﹣4m＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2＝4， 所以线段AB中点的横坐标为（定值）． （2）抛物线C：x2＝4y，焦点为F（0，1）， 设直线AB的方程为y＝kx+1，与抛物线x2＝4y联立， 得y2﹣（2+4k2）y+1＝0，则， 由抛物线的定义得， 解得k＝0， 所以直线方程为y＝1． 9．（2026•锦江区校级模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，直线与l，C的交点分别为P，Q，且|FP|＝|FQ|． （1）求p； （2）若过点D（4，0）的直线m交C于A，B两点，且|AD|•|BD|＝24，求的值． 【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l， 直线与l，C的交点分别为P，Q，且|FP|＝|FQ|， 由抛物线定义得|QP|＝|FQ|， ∵|FP|＝|FQ|，∴△PQF为等边三角形， ∴， 设准线为l与x轴交于点，且P的纵坐标为， ∴， ∴，解得p＝2； （2）设m：x＝ty+4，A（x3，y3），B（x4，y4）， 联立得，∴y2﹣4ty﹣16＝0， 由韦达定理得y3+y4＝4t，y3y4＝﹣16， ∴， ∴|AD|•|BD|＝（1+t2）×|﹣16|＝24，∴，则， 由韦达定理得，y3y4＝﹣16， ∴，∴， ∴， 或， ∴ 或， ∴的值为或2． 10．（2026•云南模拟）已知点F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，点M（3，m）在抛物线上，且|MF|＝4． （1）求抛物线的方程； （2）若一条斜率为的直线l与抛物线相交于不同的两点A，B，O为坐标原点， （ⅰ）当时，求以线段AB为直径的圆的面积； （ⅱ）若在抛物线上存在点C（位于直线l的左侧），使得以A，B，C为顶点的△ABC满足，求△ABC重心G的坐标． 【解答】解：（1）因为点M（3，m）在抛物线上，所以由焦半径公式得：， 所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x． （2）设直线l的方程为：，点， （i）联立得：，化简得：． 当，即时， 由韦达定理得：． 因为，所以， 所以n2﹣4n+4＝（n﹣2）2＝0，所以n＝2，符合条件． 由弦长公式得：． 所以以线段AB为直径的圆的面积． （ii）不妨设点A在x轴上方，如图： 因为， 由余弦定理得，即，． 直线l倾斜角为，结合角度约束得BC⊥x轴，即． 直线AC的斜率， 得． 联立，解得． 可得，，． 由重心坐标公式， ， ， 因此，△ABC重心G的坐标为． 11．（2026•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l．直线l1与抛物线C相切于点P且与x轴交于点E，点M是点E关于点F的对称点． （1）证明：直线l1⊥直线MP； （2）设直线MP与抛物线C交于另一点Q，与准线l交于点N，设△MEQ，△PNF的面积分别为S1，S2，若，求点M的横坐标的取值范围． 【解答】（1）证明：不妨设P（x0，y0）且x0＞0，而在x＞0上，则， 所以切线斜率为，，则切线为， 整理得l1：y0y＝2（x0+x），令y＝0得：E（﹣x0，0），由题意F（1，0），则M（2+x0，0）． 所以，则直线l1⊥直线MP，得证． （2）解：由（1）知：∠MPF＝∠FMP，|ME|＝2|PF|， 所以，则， 直线 将代入y2＝4x得：， ∴y0yQ＝﹣（4x0+8），即， 在（*）中取x＝﹣1得：， 所以，又x0＞0， 化简得：，解得， ∴0＜x0＜4，故M的横坐标的取值范围（2，6）． 12．（2026•长沙模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为1． （1）求抛物线C的方程； （2）若过点F作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|•|NF|的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线C上的点到准线的最小距离为1， ∴，解得p＝2， ∴抛物线C的方程为：y2＝4x； （2）由（1）可知焦点为F（1，0）， 由已知可得AB⊥CD，∴两直线AB，CD的斜率都存在且均不为0， 设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为， ∴直线AB的方程为y＝k（x﹣1）， 联立方程，消去x得：ky2﹣4y﹣4k＝0， 设点A（x1，y1），B（x2，y2），则， ∵M（xM，yM）为弦AB的中点，所以， 由yM＝k（xM﹣1），得， ∴点， 同理可得：N（2k2+1，﹣2k）， ∴，， ∴， 当且仅当，即k＝±1，等号成立， ∴|MF|•|NF|的最小值为8． 13．（2026•杭州校级模拟）设抛物线C：y2＝4x，Q是直线m：x+y+2＝0上的动点，QS，QT是抛物线C的两条切线，且与抛物线C分别相切于S，T两点． （1）设P是抛物线C上任意一点，求|PQ|最小值； （2）记S，T的中点是M，求M的轨迹方程； （3）记抛物线C的焦点是F，记∠QFS＝α，∠QFT＝β，证明：cos（α﹣β）＝1． 【解答】解：（1）由P是抛物线C上任意一点，设， 点P到直线m：x+y+2＝0的距离为， 当y0＝﹣2时，d取得最小值为， 故|PQ|最小值为； （2）设S（x1，y1），T（x2，y2），M（x，y）， 抛物线C：y2＝4x上任一点（x0，y0）， 当过点（x0，y0）的切线的斜率存在时，设切线方程为：y﹣y0＝k（x﹣x0）， 与抛物线C：y2＝4x联立，消去x，得， 整理得， 则，即k2x0﹣ky0+1＝0， 而，代入得，即， 则切线方程为，即， 而，代入上式，得y0y＝2（x+x0）； 当过点（x0，y0）的切线的斜率不存在时，切线方程为：x＝x0， 此时切点为坐标原点，也满足上式， 故抛物线C：y2＝4x上过点（x0，y0）的切线方程为：y0y＝2（x+x0）； 由点Q是直线m：x+y+2＝0上的动点，设Q（t，﹣t﹣2），则切线QS，QT均过点Q， 即，又， 代入得， 即， 同理，， 所以y1，y2是方程y2+2（t+2）y+4t＝0的两根， 由韦达定理得：y1+y2＝﹣2（t+2），y1y2＝4t， 因为S，T的中点是M，所以， ， 联立，消去t，得y2+2y+4＝2x， 故M的轨迹方程为：y2+2y+4＝2x； （3）证明：过点S，T分别作准线：x＝﹣1的垂线，垂足分别为S1，T1， 由点S（x1，y1），得S1（﹣1，y1），而F（1，0），得， 由（2）知，由y1+y2＝﹣2（t+2），y1y2＝4t，及Q（t，﹣t﹣2）， 可得，即， 而S（x1，y1），则， 则 ，则，即S1F⊥QS， 由抛物线的定义得|SS1|＝|SF|，则QS为线段S1F的垂直平分线， 得|QS1|＝|QF|，同理可得|QT1|＝|QF|， 则|QS1|＝|QT1|，所以∠QS1T1＝∠QT1S1， 则， 同理，则∠QFS＝∠QFT， 由∠QFS＝α，∠QFT＝β，得α﹣β＝0， 故cos（α﹣β）＝1． 14．（2026春•咸阳校级月考）已知直线l与抛物线E：y2＝2x相切，且切点为B（2，2），抛物线焦点F． （1）求|BF|； （2）求直线l的斜率k1的值； （3）M，N是x轴上两个不同的动点，且满足|BM|＝|BN|，直线BM，BN与抛物线E的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为k2，求k2的值． 【解答】解：（1）由题意，可得p＝1， 又抛物线焦点为F，则由抛物线定义， 可得； （2）显然直线l的斜率k1存在且不为0， 设直线l的方程为：y﹣2＝k1（x﹣2）， 与y2＝2x联立，消去x整理得， 由题意有Δ＝0，即， 解得； （3）由题意知，两直线BM，BN的斜率互为相反数， 设直线BM的方程为y﹣2＝t（x﹣2）， 与y2＝2x联立，消去x整理得， 所以，从而， 将t换成﹣t，得， 所以． 15．（2026秋•武汉月考）已知圆M：（x﹣1）2+y2＝1与抛物线E：y2＝2px（p＞0）的三个公共点恰好构成等腰直角三角形． （1）求抛物线E的标准方程； （2）过抛物线上一点A引射线，该射线与圆M相切且与抛物线E交于另一点B，记该射线与x轴的交点为N． （i）若∠AMB＝60°，求AB所在直线的斜率； （ii）若|AM|2＝|AN|•|AB|，求|AM|•|BM|． 【解答】解：（1）联立， 得（x﹣1）2+2px＝1，即x2+（2p﹣2）x＝0， 所以x＝0或x＝2﹣2p． 故圆M与抛物线E的三个公共点分别为（0，0），， 这三点恰好构成等腰直角三角形， 所以， 解得或p＝1（舍去）． 故E的标准方程为y2＝x； （2）易知AB的斜率不为0， 设直线AB方程为x＝my+t，，B，M（1，0）． 联立， 得y2﹣my﹣t＝0， 所以Δ＝m2+4t＞0，y1+y2＝m，y1y2＝﹣t． （i）因为∠AMB＝60°，M到AB距离d1，m2＝t2﹣2t， 因为∠AMB＝60°， 所以． 而1， 且， 所以， 解得t＝﹣3或t＝1， 但t＝1时，m2＝﹣1＜0，故舍去， 所以t＝﹣3，， 故直线AB的斜率． （ii）由|AM|2＝|AN|•|AB|， 得， 所以△AMN∽△ABM， 从而∠ANM＝∠AMB． 由（i）知， 而． 所以， 解得且． 又由， 即|AM||•|BM|＝|AB|•|MN|， 由弦长公式知， 所以|AM|•|BM|＝|AB|•|MN|＝|t+1|•|t﹣1|＝t2﹣1＝1． 16．（2026秋•宝山区校级同步）设抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点． （1）若p＝2，求线段AF中点M的轨迹方程； （2）若直线AB的法向量为，当焦点为时，求△OAB的面积； （3）若M是抛物线Γ准线上的点，直线MA，MB，MF的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k3为k1，k2的等差中项． 【解答】解：（1）设A（x1，y1）（y1≠0），M（x，y），焦点F（1，0），B（x2，y2）， 则由题意，即，故A（2x﹣1，2y）， 将其代入抛物线y2＝4x中得：4y2＝4（2x﹣1）（y≠0），即y2＝2x﹣1（y≠0）， 故所求的轨迹方程y2＝2x﹣1（y≠0）； （2）设B（x2，y2），A（x1，y1），y2＝2x，， 因为直线AB的法向量为， 故直线AB的方向向量为（1，2），所以直线AB的斜率为2， 故直线AB的方程为：，即y＝2x﹣1， 联立，消去x化简得y2﹣y﹣1＝0，Δ＝5＞0， 所以y1+y2＝1，y1y2＝﹣1， 则， 又点O到直线AB：y＝2x﹣1的距离为， 所以； （3）证明：设点A、B、M的坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），， 设直线，（k≠0），代入抛物线得， 所以Δ0，则， 又， 因而， ， 因而， 而， 故k1+k2＝2k3， 当直线AB⊥x轴时，，，， 所以k1+k2， 又， 故k1+k2＝2k3， 综上，k3为k1，k2的等差中项． 17．（2026•河南校级三模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，T（4，t）为C上一点，且|TF|＝4． （1）求C的方程； （2）过点T作两条相互垂直的直线分别与C交于B，D两点． （i）证明：直线BD过定点； （ii）若直线TB，TD分别与x轴交于M，N两点，记△TBD，△TMN的面积分别为S1，S2，当|MN|≤5时，求的取值范围． 【解答】（1）解：因为点T（4，t）在C上，所以pt＝8． 因为|TF|＝4，所以， 则，解得p＝4， 所以C的方程为x2＝8y． （2） （i）证明：法一：由题意知T（4，2），设B（x1，y1），D（x2，y2）， 则， 同理可得． 由TB⊥TD，得， 整理得x1x2+4（x1+x2）+80＝0①． 直线BD的方程为， ， 两式相加得， 即， 即． 由①得，故直线BD过点（﹣4，10）． 法二：由题意知直线BD的斜率存在，T（4，2）． 设直线BD的方程为y＝kx+m，B（x1，y1），D（x2，y2）， 联立）得x2﹣8kx﹣8m＝0， 则Δ＝64k2+32m＞0，x1+x2＝8k，x1x2＝﹣8m， ， ， 所以 ＝m2﹣12m﹣16k2﹣32k+20＝0， 解得m＝2﹣4k或m＝10+4k． 当m＝2﹣4k时，直线BD的方程为y＝k（x﹣4）+2，过点T，不符合题意，舍去； 当m＝10+4k时，直线BD的方程为y＝k（x+4）+10，恒过点（﹣4，10）． 综上，直线BD过定点（﹣4，10）． （ii）解：设B（x1，y1），D（x2，y2），易知直线TB和TD的斜率均存在且不为0， 设直线TB的方程为y﹣2＝k1（x﹣4），直线TD的方程为y﹣2＝k2（x﹣4）， 此时， 则． 由|MN|≤5，得． 联立得x2﹣8k1x﹣16+32k1＝0， 由，得k1≠1， 同理，所以k1≠±1， 则xT＝4，x1＝8k1﹣4， 同理可得x2＝8k2﹣4， 所以x1+x2＝8（k1+k2）﹣8，x1x2＝﹣48﹣32（k1+k2）， |（4﹣xM）（4﹣xN）|＝4， 由题意得 ． 因为在和上均单调递增， 所以， 又k1≠±1， 即16， 所以． 18．（2026•蓬江区校级开学）已知椭圆E：经过点，离心率为．抛物线C：x2＝4y的焦点为点F． （1）求椭圆E的方程． （2）设点P是C上的动点，C在点P处的切线l与E交于不同的两点M，N，直线l上一点D满足，直线OD与直线y＝﹣1相交于点Q．求证：直线PQ平行于抛物线C的对称轴． （3）若点P位于第一象限．切线l交y轴于点G，记点G到直线PF的距离为d1，点D到直线PQ的距离为d2，求的范围． 【解答】解：（1）因为椭圆经过点A，所以，解得（负值舍）， 所以离心率，解得c＝1， 则，故椭圆E的方程为． （2）证明：设点，M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0）， 由抛物线C：，得，所以切线l的斜率为， 切线l的方程为，联立， 消去y整理得（8+4t2）x2﹣4t3x+t4﹣16＝0， 则，故，， 直线OD的方程为， 联立直线OD与直线y＝﹣1，得点Q（t，﹣1）， 所以直线PQ的方程为x＝t，又因为抛物线的对称轴为y轴，故直线PQ平行于抛物线的对称轴， 当t＝0时，点P（0，0），此时抛物线在顶点处的切线l的方程为y＝0， 代入到，解得，进而y＝0， 不妨令，，MN的中点D（0，0）， 此时无法构成直线OD，不合题意，舍去． （3）因为点P位于第一象限，所以设，切线l的方程为， 易得，直线PF的方程为，即（t2﹣4）x﹣4ty+4t＝0， 则， 由（2）可知，， 所以， 由（2）可知，Δ＝16t6﹣4（t4﹣16）（4t2+8）＞0， 解得， 又因为t＞0，故， 故， 则， 所以的取值范围是． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $