抛物线分层专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层设计覆盖抛物线定义、方程及综合应用，以题载法提炼定义转化、焦半径公式等核心技巧，逻辑链清晰，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础闯关|单选8道、多选3道、填空4道|定义应用、焦半径公式、标准方程转化|从概念（标准方程）到性质（准线、焦点）再到简单应用| |拔尖闯关|解答题3道|韦达定理、定点问题探究、最值求解|综合应用（直线与抛物线位置关系、跨知识点结合）|

2027届高三数学上学期分层作业：抛物线 基础闯关 一、单选题 1．抛物线的准线纵截距为（    ） A． B． C． D．1 2．抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知是抛物线的焦点，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．点到抛物线的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 5．若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 6．设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 8．已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 9．已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（   ） A． B．的方程为 C．若圆心在上，则圆与相切 D．若圆与相切，则圆心在上 10．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过的直线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知抛物线的焦点为是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段的中点到轴的距离为6 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以点为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 三、填空题 12．已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 13．已知点为直线与抛物线的一个交点，则点P到抛物线C的焦点的距离为__________． 14．如图所示，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，，则曲线和的方程分别为________， ________． 拔尖闯关 四、解答题 15．已知抛物线：的焦点为F，A，B是C上不同的两点（其中A在第一象限），点．当A，B关于x轴对称，且时，． (1)求C的方程； (2)已知Q为轴上一点（点Q与F不重合），D，E是C上不同的两点（其中D在第一象限），且，若D，E，F三点共线，，求证：轴． 16．设抛物线的焦点为是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线的焦点作与垂直的直线，若直线与抛物线相交于，两点， ①求的最小值； ②设，分别是，的中点，过焦点作直线的垂线，垂足为，求证：存在一个定点，使得为定值. 17．已知抛物线过点，且它的焦点也是椭圆的一个焦点，椭圆上的点到焦点的最小值为2． (1)求抛物线和椭圆的标准方程； (2)设，是抛物线上的两个动点，且． ①求证：直线必过定点，并求定点坐标； ②直线交椭圆于两点，当最大时，求直线的方程． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《2027届高三数学上学期分层作业：抛物线》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B A A B D BCD BCD 题号 11 答案 CD 1．A 【分析】将给定抛物线方程转化为标准形式，结合抛物线标准方程的准线性质计算准线方程，最终得到纵截距. 【详解】首先将抛物线方程整理为标准形式： 变形得，所以，解得， 其准线方程为，代入得： ，该准线为平行于轴的直线，纵截距即为. 2．B 【分析】根据焦半径公式直接代入求解即可. 【详解】由题，抛物线：的焦点为， 因为点到焦点的距离为6，设， 所以，解得， 所以点的横坐标为4. 3．C 【详解】抛物线的焦点坐标为，已知焦点， 故，解得． 4．B 【详解】由题意得抛物线的焦点为， 由两点间距离公式得距离为，故B正确. 5．A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 6．A 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 7．B 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，故抛物线方程为， 设，因为，所以，可得， 代入抛物线方程可得，解得， 因为点在第一象限，所以， 所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 8．D 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 9．BCD 【详解】因抛物线的焦点为，则，解得，故A错误； 准线的方程为，故B正确； 当圆心在上时，设点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得， 又因圆过点，即点到准线的距离等于圆的半径，故圆与相切，即C正确； 反之，若圆与相切，则点到准线的距离等于圆的半径，又圆过点． 即，故点在上，即D正确. 10．BCD 【分析】根据已知条件求出抛物线方程，判断选项A；设过点的直线方程，联立抛物线方程结合韦达定理判断选项B，C；利用向量夹角余弦公式计算判断选项D． 【详解】 抛物线的焦点为，依题意，得，解得，故A错误； 抛物线方程为，其准线为，则，设过的直线方程为， 联立，消元得， 由韦达定理得，故C正确； 因，代入得，即， 解得或（舍去），则， ，即，故B正确； 取， 则，， ， ， 又，则， ． ，故D正确． 故选：BCD． 11．CD 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直线的距离等于半径可判断C和D. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误； 对于B，设点， 由抛物线的定义可得， 可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B错误； 对于C，因的中点为 该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切， 即D正确． 故选：CD. 12．5 【详解】抛物线：的准线为直线， 由上的一点到直线的距离为8，得点到直线的距离为5， 由抛物线定义得. 13．5 【分析】利用点为直线与抛物线的一个交点求出的值，然后根据焦点坐标及点的坐标求出距离. 【详解】因为点为直线与抛物线的一个交点， 所以，且，故，解得， 故抛物线C的焦点为，，. 14． 【分析】根据椭圆定义先求出椭圆方程，表示出焦点坐标. 法一：设，利用两点距离公式列方程组表示、，再根据为钝角求出，即可得到曲线和的方程. 法二：利用几何法，过作垂直于轴的直线，过点作于点，作轴于点，利用抛物线定义和勾股定理求出即可求出,进一步得到曲线和的方程. 【详解】设椭圆方程为，、， 则，即． 方法一：设，则，两式相减得． 由抛物线的定义可知，联立两式解得或， ，， 因为为钝角，则，所以，故，， 由，得．所以曲线的方程为，曲线的方程为； 方法二：如图所示，过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线， 过点作于点，作轴于点． 由抛物线的定义得， 所以， 所以，则，所以，， 设点，由抛物线的定义可得，解得， 所以曲线的方程为，曲线的方程为． 15．(1) (2)由题意得，与轴不垂直，不妨设直线，，，，， 联立，整理得，则， 所以，．取中点，连接，则，，由，，得，又，则， 所以，即，则，因为， 则，则，则轴，即轴． 【分析】（1）根据，关于轴对称得到轴，结合得到点纵坐标，进而得到直线过焦点，结合勾股定理求解即可. （2）设直线，，与抛物线联立，取中点，求出，结合几何关系得到，进而得到，代入推出，得到轴，即可得证. 【详解】（1）因为，关于轴对称，，所以轴，且点纵坐标为. 令，则，解得，于是直线过焦点． 在中，，， 则，解得， 故的方程为． （2）略. 16．(1) (2)①16； ②由①得，，， 则，同理， 因为，分别是，的中点，所以， 若，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 显然直线恒过定点， 由题意可知，为直角三角形，则为的中点，满足为定值，此时； 若，则直线的方程为，此时直线过点，也满足为定值1. 综上所述，存在一个定点，使得为定值1. 【分析】（1）由题设可得，再根据抛物线的焦半径公式求解即可； （2）①设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，设，同理可得，进而表示出，再根据基本不等式求解即可； ②结合①可得，再分、两种情况讨论求证即可. 【详解】（1）由，得， 则，即， 因为为抛物线上一点，所以，则，即， 所以抛物线的方程为. （2）①由（1）抛物线的方程为，则， 由题意，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，， 联立，得， 则， 由于，所以直线的斜率为， 设，同理可得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16. ②略，， 则，同理， 因为，分别是，的中点，所以， 若，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 显然直线恒过定点， 由题意可知，为直角三角形，则为的中点，满足为定值，此时； 若，则直线的方程为，此时直线过点，也满足为定值1. 综上所述，存在一个定点，使得为定值1. 17．(1)，； (2)①证明见解析，定点；②. 【分析】（1）由题意，抛物线过点，代入可得，进而可求得，再结合椭圆的性质，即可求得； （2）①设直线方程，与抛物线联立，结合向量的数量积，可求得，进而可确定直线所经过的定点； ②将直线与椭圆联立，利用弦长公式和点到直线距离公式表示出，再结合对勾函数的性质，即可求得最值. 【详解】（1）因为抛物线过点，所以可得，解得， 所以抛物线的方程为． 由抛物线的方程，可得， 又是椭圆的焦点，且椭圆上的点到焦点的最小值为2， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）①因为直线与抛物线交于，两点，所以直线的斜率必存在． 设直线的方程为，，， 联立方程组，消去可得：， 所以，， 又， 所以，即． 则直线的方程为，所以直线过定点． ②由①得，直线的方程为， 联立方程组，消去可得：， 设，，则，， 所以， 又到直线的距离， 所以， 令，则， 所以， 令，则， 当时，可得恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，所以取得最大值， 又，所以当时，可得， 所以直线的方程为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $