第1、2章阶段复习讲义【导图知识卡片+知识梳理+20个考点讲练+实战演练 共60题】-2026-2027学年苏科版数学七年级上册第一次月考知识清单

nullnull 2026-2027学年苏科版数学七年级上册第一次月考知识清单培优讲义「新教材」 第1、2章 数学与我们同行、有理数 （知识梳理卡片+知识清单+25个重难点考点讲练+实战演练 共65题●解析版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】观察思考 6 【重难点考点二】正负数的实际应用 8 【重难点考点三】带“非”字的有理数 9 【重难点考点四】用数轴上的点表示有理数 10 【重难点考点五】利用数轴比较有理数的大小 11 【重难点考点六】数轴上两点之间的距离 13 【重难点考点七】数轴上点的平移（动点问题) 15 【重难点考点八】数轴上找原点 17 【重难点考点九】数轴上整点覆盖问题 18 【重难点考点十】数轴上的规律探究 19 【重难点考点十一】绝对值的几何意义 21 【重难点考点十二】绝对值非负性 21 【重难点考点十三】有理数大小比较的实际应用 23 【重难点考点十四】相反数的应用 24 【重难点考点十五】化简多重符号 26 【重难点考点十六】有理数四则混合运算 27 【重难点考点十七】有理数四则混合运算的实际应用 29 【重难点考点十八】根据点在数轴的位置判断式子的正负 31 【重难点考点十九】数轴上的翻折 32 【重难点考点二十】乘方运算的符号规律 34 【重难点考点二十一】用科学记数法表示绝对值大于1的数 36 【重难点考点二十二】将用科学记数法表示的数变回原数 37 【重难点考点二十三】程序流程图与有理数计算 38 【重难点考点二十四】算“24”点 40 【重难点考点二十五】含乘方的有理数混合运算 41 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 【第1章 数学与我们同行】 知识点一 生活中的图形与数字 生活中充满了图形和数字，多姿多彩的图形不仅美化了我们的生活，还包含着丰富的信息和数学知识. 在日常生活中，我们也经常使用数字进行统计和测量，例如：通过观察，估计两个三角形的边长和角度是否相等，一个正方形和一个长方形的面积大小是否相等，比较两个物体的形状、大小等特征可以判断它们之间的关系. 知识点二 图形与数字中的信息 在人类文明的发展过程中，图形和数字是人们表达和传递信息的重要载体. 几何图形可以把一些生活中存在的复杂而独特的精神、内容等赋予简化概括的视觉形态, 它是最简单的语言方式.在人类最早时期就利用符号化的图案来传递信息进行交流和联系，而后数字的产生给生活带来了极大的方便. 生活中的邮政编码、手机号码、汽车牌照号码、条形码等，传递着生活中重要的信息，以至于我们见到某一个特定的编号，就能迅速地知道编号表达的内容和代表的对象. 如学生的学籍号表达了学生的年级、班级、序号等信息. 数字已成为人们表达和交流的工具. 知识点三 操作思考 数学学习过程中不仅有计算，而且有动手操作、归纳与推断. 通过折叠、拼图、裁剪等活动感受图形的性质，培养空间想象能力，养成交流、合作、独立思考的学习习惯. 知识点四 探究数字规律 观察一组数字序列，通过练习和尝试，从中找出数字序列中的规律，进行推算. 知识点五 调查设计 在进行生产、生活和科学研究等活动时，往往需要通过调查来收集数据, 如开调查会、个别访谈、现场查访、统计调查、问卷调查等. 其中问卷调查是一种既省时省力，又能对事物进行比较全面系统调查的方法，在日常工作中备受青睐. 知识点六 图形的变化规律 观察一系列图形，找出它们内在的共同之处，从中归纳其蕴含的规律. 在活动的过程中，通过认真思考，交流、验证或证明所探索的结论，掌握探究问题的方法. 知识点七 水温的变化规律 一杯开水在室温下的温度会逐渐下降． 随着时间的变化，水温下降的速度是先快后慢，水自然冷却到与环境温度一样时，温度不再下降，此时水温等于室温． 一种量变化时，另一种量也随之变化． 如生活中汽车速度一定时，行驶的路程随着时间的增加而增加；购物总价一定时，购买的数量随着单价的增加而减少等. 【第2章 有理数】 知识点 重点归纳 常见易错点 正数 负数 正数、负数可以表示生活中具有相反意义的量 通常表示上升、盈利等用正数表示； 通常表示下降、亏损等用负数表示； 这只是一种规定，可以根据实际需要改变 数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度； 2.利用数轴比较两个有理数的大小：左<右 单位长度可以根据实际需要选择 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即。 1.化简含有字母的绝对值时，要借助分类讨论数学思想，对绝对值内的东西分三种情况讨论，然后利用 将绝对值符号去掉化简； 2.绝对值的几何意义非常重要，要灵活使用这一点解决问题。 3.绝对值的非负性最常见的应用： 由得出 有理数的加法 1. 有理数加法法则：（分类讨论思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：(作用：简化计算) 交换律： 结合律： 1.有理数加法法则是最基本的，符号弄错是最常见的错误。 法则理解记忆方法： 可以把两个相加的数想象成打仗时的敌我双方，数的符号表示双方的旗子，数的绝对值代表双方的人数力量。 有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 将减法转化成加法做，做熟练后就可以不转化了 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2.有理数乘法运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 1.有理数乘法法则简单好记，但写结果时，不要忘记符号，更不要与加法法则符号混淆！ 灵活利用有理数的乘法运算律，可以简化计算，减少计算错误。 有理数的除法 除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 乘除互为逆运算，可以相互转化 有理数的乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数；指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 3.科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 1.乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 2.当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 4.底数为-1的幂规律要理解记忆，这个最常考。 有理数的混合运算 有理数的混合运算解题步骤： 1.审题：包含哪些运算，能否使用运算律简化运算； 2.计算：按运算律和运算法则进行计算； 3.检查：注意检查符号。 1.有理数的混合运算主要是运算顺序的问题，每一步都要注意查看运算顺序该做哪一步； 2.另外还要注意使用运算法则时的符号问题。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】观察思考 【典型例题】（23-24七年级下·江苏镇江·期末）间隔问题是生活中很有趣的问题．例如，一共有棵树，每两棵树都间隔米，从第一棵树到第八棵树的距离就是（米）． (1)在一条长米的道路上，从起点到终点一共栽了棵（两边都栽），已知相邻两棵树的距离都相等，每两棵树之间的距离是多少米？ (2)一名外卖员从一楼到六楼跑到需要秒，那么他以同样的速度从二楼跑到五楼，耗时比从一楼到六楼少了多少秒？ (3)一根木头长厘米，要把它锯成一些厘米的小段，每锯一次要分钟，一共要锯多少分钟？ 【答案】(1)每两棵树之间的距离是米 (2)秒 (3)一共要锯分钟 【思路引导】本题考查了植树问题的应用，掌握植树问题的三种类型是解题的关键． （1）根据植树问题中的两端栽类型求解即可； （2）根据植树问题中的一端栽类型求解即可； （3）根据植树问题中的两端都不栽类型求解即可． 【规范解答】（1）解：道路一边栽了（棵）， 每两棵树之间的距离是（米）， 答：每两棵树之间的距离是米； （2）爬一层楼需要秒， 从二楼跑到五楼需要秒， 从二楼跑到五楼，耗时比从一楼到六楼少了秒， 答：从二楼跑到五楼，耗时比从一楼到六楼少了秒； （3）（段）， （次）， （分钟）， 答：一共要据分钟． 【举一反三练习】“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为___________，并可推断出5月30日应该是星期几____________． 【答案】 112 星期五或星期六或星期日 【思路引导】首先得出5月1日～5月28日，是四个完整的星期，即可得到这些天共用的宣纸张数；分别分析5月30日当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案． 【规范解答】解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期， ∴5月1日～5月28日写的张数为：（1+2+3+4+5+6+7）×4=112， 若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1=120， 若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120， 若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120， 若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120， 若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120， 若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120， 若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120， 故5月30日可能为星期五或星期六或星期日． 故答案为：112；星期五或星期六或星期日. 【考点剖析】此题主要考查了推理与论证，根据题意分别得出5月30日时所有的可能是解题关键． 【重难点考点二】正负数的实际应用 【典型例题】（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）《九章算术》中记载了我国古代的算筹记数法．为方便理解，本题按其位值思想简化规定如下：记数时把各数位按从左到右排列，每一数位上的数值由该位竖筹的根数直接读出；此外，若在整组算筹的最左端斜放1根筹，表示这组数是一个负数，斜放的这根筹不参与数位计数．某同学摆出的算筹，从左到右依次为：1根斜筹、2根竖筹、3根竖筹．按上述规定，这组算筹表示的负数写成现代数学符号是____________． 【答案】 【规范解答】解：由题意，最左端1根斜筹表示该数为负数，负号先记下． 其后从左到右依次是2根竖筹、3根竖筹： 按“每一数位上的数值由该位的筹数直接读出”， 所以这组算筹表示的负数写成现代数学符号是． 【举一反三练习】（26-27七年级上·山东聊城·开学考试）如果温度上升记作，那么温度下降记作( )℃；在数，，0，，，中，正数有( )个． 【答案】 2 【思路引导】温度上升与下降是相反意义的量，上升记为正，则下降记为负；大于的数是正数，据此求解即可． 【规范解答】解：∵温度上升记作 ∴规定温度上升记为正， ∴与上升意义相反的温度下降记为负， ∴温度下降记作． ∵，是负数；，是正数；既不是正数也不是负数；，是负数；，是正数；，是负数； ∴正数共有个． 【重难点考点三】带“非”字的有理数 【典型例题】（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，0，，2026， 负数集合：{__________________________…}； 整数集合：{__________________________…}； 正分数集合：{________________________…}； 非负数集合：{________________________…}； 【答案】负数集合：{，…}； 整数集合：{，0，2026，…}； 正分数集合：{，…}； 非负数集合：{，0，2026，…}． 【思路引导】掌握负数、整数、正分数、非负数的定义与特点．注意0是整数，但不是负数． 负数定义：小于0的数就是负数，直接筛选出题干里小于0的数即可． 整数定义：小学学的正整数、0、负整数统称整数，这里排除所有带分数/小数形式的数，剩下的（负整数）、0、2026（正整数）都属于整数． 正分数定义：大于0的分数，初中阶段有限小数、百分数都可以转化为分数，所以大于０的、（可转化为​）、都属于正分数． 非负数定义：指的是“不是负数”的数，也就是0和所有正数的总和． 【规范解答】解：负数集合：； 整数集合：； 正分数集合：； 非负数集合：． 【举一反三练习】（25-26七年级上·广东佛山·期中）现有一组数：，，，，，，，，． (1)请你把上述各数填入下列表示它所在的数集的圈里； (2)判断正误：有理数可分为分数、正整数、负整数．___________（填“正确”或“错误”） 【答案】(1) ，，， ，， ，， 分数 正整数 负整数 (2)错误 【思路引导】本题主要查了有理数的知识，熟练掌握其分类及定义是解题的关键． （1）根据有理数的分类及分数，正整数，负整数定义即可求得答案． （2）根据有理数还包括0，然后即可求解； 【规范解答】（1）解：分数：，，，； 正整数：，； 负整数：，，； 故答案为： ，，， ，， ，， 分数 正整数 负整数 ； （2）解：分数，正整数，负整数和0才是全体有理数， ∴ “有理数可分为分数、正整数、负整数．”这句话错误， 故答案为：错误； 【重难点考点四】用数轴上的点表示有理数 【典型例题】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路引导】根据整数、有理数、非负数的定义逐一判断各说法正误，统计正确结论个数即可． 【规范解答】解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误； ②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误； ③非负数就是正数和0，原说法错误； ④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确． 综上，正确的结论共有1个． 【举一反三练习】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）把下列各数填在相应的集合中． 15，，0.81，，，，，171，0，3.14，， (1)负数集合{________________________……} (2)正分数集合{________________________……} (3)非负整数集合{________________________……} 【答案】(1)负数集合{……} (2)正分数集合{0.81，，3.14……} (3)非负整数集合{15，171，0……} 【思路引导】本题考查了有理数分类，掌握负数、正分数、非负整数的定义是解题的关键． （1）根据负数就是小于0的数，解答即可； （2）根据正分数是分数并且还是正数，注意有限小数也是分数，解答即可； （3）根据非负整数是正整数和0，解答即可． 【规范解答】（1）解：负数集合{……}； （2）解：正分数集合{0.81，，3.14……}； （3）解：非负整数集合{15，171，0……}． 【重难点考点五】利用数轴比较有理数的大小 【典型例题】（26-27七年级上·江苏南京·单元测试）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． (1)由此可得， ，a的值为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】(1)21，7 (2)11，18 (3)如下图∶点表示孙子现在的年龄，点表示奶奶现在的年龄， 则孙子与奶奶的年龄差可以看作木棒，奶奶像孙子那么大时看作当点移动到处时，点与点重合，点所对应的数为；孙子像奶奶那么大时看作当点移动到处时，点与点重合，点所对应的数为； ∴奶奶比孙子大（岁）， ∵，， ∴孙子现在岁，奶奶现在岁． 【思路引导】（1）根据数轴上两点之间的距离公式可求，再根据题意可知，进而可求出的值； （2）由（1）可得出，再根据数轴上两点之间的距离公式即可得出答案； （3）根据方法画出图形求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为， ∴， ∵， ∴， 即： （2）解：由（1）可得：点所表示的数是：； 点所表示的数是：； 【举一反三练习】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）如图所示的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______． (2)点C表示的数是，点D表示的数是，请在数轴上分别画出点C和点D的位置． (3)将A，B，C，D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“>”连接． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】（1）观察数轴可得答案； （2）根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上的位置得出答案． 【规范解答】（1）解：点A表示的数是，点B表示的数是． （2）略 （3）解：由数轴可知，． 【重难点考点六】数轴上两点之间的距离 【典型例题】（24-25六年级上·山东烟台·期中）画出数轴，表示下列有理数， 并用“”将各数连接起来．   ，，0，， 【答案】， . 【思路引导】先化简题目给出的各有理数，再在数轴上表示出各数，利用数轴上右边的数总比左边的数大的性质，即可将各数按从小到大连接． 【规范解答】解 先化简各数：；， 画出数轴，在数轴上标出五个数对应的点，如图所示： 根据数轴上右边的数总比左边的数大，可得． 【举一反三练习】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【答案】(1) (2) (3) 将点表示在数轴上，如下： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为． 【思路引导】本题主要考查的是数轴的认识以及实数与数轴上点的对应关系，解题的关键是找出各点在数轴上的位置； （1）直接观察数轴即可解决； （2）分析题意可知点与点是关于点的对称点，由此可以求解； （3）先在数轴上标记点，，然后根据数轴上点的大小关系即可求解． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点到点的距离为， ∵点与点到点的距离相等且两点不重合， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是， 故答案为：； （3）略 【重难点考点七】数轴上点的平移（动点问题) 【典型例题】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】(1)秒 (2)表示的数为18 (3)动点运动的时间为秒或秒 【思路引导】（1）首先求出，，然后根据点P在段和段的速度求解即可； （2）求出，然后结合点B表示的数求解即可； （3）设秒后，根据题意分三种情况讨论，分别列式求解即可． 【规范解答】（1）解：点表示，点表示， ∴，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， ∴在段速度为个单位长度/秒， ∴从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：∵的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， ∴在段速度为个单位长度/秒， 由（1）可得：在段运动时间为：（秒）， ∴， 点表示， ∴表示的数为：； （3）解：设秒后， ①当在上时， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴（秒）； ②当在上时， ， ∴， ， ∴， ∴（秒）， ③当在上时， 此时不可能等于16，不符合题意舍去． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 【举一反三练习】（26-27七年级上·浙江·开学考试）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（     ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 【答案】D 【思路引导】根据数轴上的点及题意求解即可． 【规范解答】解：A．点M在和之间，离0大约2点多，比3离0近，说法正确； B．从点M到之间有、、0、1、2这5个整数，说法正确； C．M在与之间，说法正确； D．M到0之间只有和两个负整数，不是3个，所以D不正确． 【重难点考点八】数轴上找原点 【典型例题】如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【思路引导】（1）根据各点在数轴上的位置即可得出结论； （2）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论； （3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据数轴可得，点A、B、C三点表示的数分别为3； 故答案为：3 （2）∵， ∴将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是． 故答案为：； （3）将点A向右平移个单位长度，点A所表示的数是，将点A向左平移个单位长度，点A所表示的数是． 故答案为：或． 【举一反三练习】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【思路引导】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【规范解答】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 【重难点考点九】数轴上整点覆盖问题 【典型例题】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 【答案】2017或2018 【思路引导】本题主要考查数轴上线段与整点的关系，熟练掌握分情况讨论线段端点与整点的位置关系是解题的关键．分情况讨论线段的端点与整点重合和不重合两种情况，根据线段长度与整点个数的关系求解． 【规范解答】解：当线段的起点在整点时，盖住的整点个数为个； 当线段的起点不在整点时，盖住的整点个数为个． 故答案为：或． 【举一反三练习】（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【规范解答】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 【重难点考点十】数轴上的规律探究 【典型例题】（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【思路引导】根据正六边形翻转规律，确定数轴上整数点对应的顶点呈周期性变化，周期为6，据此解答即可． 【规范解答】解：由题意得，点，，，，，对应的数分别为0，1，2，3，4，5， 点再次对应的数为6，点再次对应的数为7， 顶点对应的数以6为周期循环， ， 数2026对应的顶点与数4对应的顶点相同，即为点． 【举一反三练习】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【思路引导】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【规范解答】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 【重难点考点十一】绝对值的几何意义 【典型例题】（26-27七年级上·内蒙古·单元测试）已知，是不为的有理数，且，，，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】结合绝对值判断字母符号，再根据绝对值大小判断数轴上点到原点距离，逐项判断即可． 【规范解答】解：∵，且，，且， ∴， ∴表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧， ∵， ∴表示数a的点到原点的距离比表示数b的点到原点的距离大， 故C选项符合题意． 【举一反三练习】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 【答案】 【思路引导】先区分四个数的正负，再根据绝对值比较同号数的大小，结合负数小于所有正数得到排序结果． 【规范解答】解：由题意得，，， 因此可得，， 比较两个负数：， 因此， 比较两个正数：， 因此， 综上所述，． 【重难点考点十二】绝对值非负性 【典型例题】（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【思路引导】由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而得出的值． 【规范解答】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为： 且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 【举一反三练习】已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 【重难点考点十三】有理数大小比较的实际应用 【典型例题】（26-27七年级上·全国·课后作业）某种食品包装袋上标注质量为，对6袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： ， 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 【答案】 解：检测结果为的那袋食品实际质量更接近标注质量，理由如下： ，，，，，， ∵偏差的绝对值表示实际质量与标注质量的相差程度，绝对值越小，实际质量越接近标注质量， ， ∴最小， ∴检测结果为的那袋食品实际质量更接近标注质量． 【思路引导】偏差的绝对值表示实际质量与标注质量的相差程度，绝对值越小，实际质量越接近标注质量，据此求解即可． 【举一反三练习】（25-26七年级下·河北唐山·期末）年月日～日嘉嘉与淇淇相约去跑步，两人手机“微信运动”的步数统计如下表（步数单位：千步），下列结论正确的是（     ） 日期 嘉嘉 淇淇 A．淇淇单日的步数最多是步 B．淇淇单日的步数高于嘉嘉的有天 C．月日，嘉嘉的步数一定比淇淇的多 D．月日，淇淇的步数低于嘉嘉的 【答案】D 【思路引导】根据表格数据逐一判断各选项正误即可． 【规范解答】解：表格中步数单位为千步，淇淇单日最多步数是千步，不是步， 故A错误； 逐天对比两人步数：：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，可得淇淇步数高于嘉嘉共天，不是天， 故B错误； 前10天的统计结果无法确定6月11日两人的步数， 故C错误； 由于6月5日嘉嘉步数为千步，淇淇步数为千步，， 则淇淇的步数低于嘉嘉， 故D正确． 【重难点考点十四】相反数的应用 【典型例题】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【规范解答】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 【举一反三练习】（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）在数学中，我们把“不大于x的最大整数”称为下取整函数（Floor Function），记为，也就是说表示取小于或等于x的最大整数．例如：，． (1)填空：______；______；______；______． (2)若x为整数，且，则x所有可能的取值为______． (3)若a，b都是整数，且和互为相反数，求代数式的值． 【答案】(1)10；；0； (2)，0，1，2 (3)2 【思路引导】本题考查新定义的运算，绝对值，相反数，代数式求值，理解“下取整函数”的定义是解题的关键． （1）根据“下取整函数”的定义，直接对给定的数取不大于它的最大整数； （2）根据x为整数可得，，则转化为，根据绝对值的意义求解即可； （3）根据a，b为整数可得，，根据相反数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：；；；． 故答案为：10；；0；． （2）解：∵x为整数， ∴，， ∵， ∴， 当时，， ∴，与矛盾，舍去； 当时，， ∴成立； 当时， ∴，与矛盾，舍去； 综上所述，， ∴x所有可能的取值为，0，1，2． 故答案为：，0，1，2． （3）解：∵a，b为整数， ∴，， ∵和互为相反数， ∴， ∴， ∴ ． 【重难点考点十五】化简多重符号 【典型例题】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【思路引导】（1）化简各数，再在数轴上标出各点即可； （2）根据数轴各点所在的位置，比较各数大小即可． 【规范解答】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， 【举一反三练习】（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】(1)①2；②；③；④3.5；⑤5；⑥． (2)当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【思路引导】（1）根据多重符号化简规则，数负号个数，偶数个负号结果为原数，奇数个负号结果为原数相反数； （2）用奇偶判断多负号化简结果，归纳通用规律． 【规范解答】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥ （2）解：当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律略 【重难点考点十六】有理数四则混合运算 【典型例题】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）简便运算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查运用乘法分配律进行简便计算． （1）运用乘法分配律，将括号中每一项乘以，再计算结果； （2）逆用乘法分配律即可； （3）运用乘法分配律，先将除以变为乘以，再将括号中每一项乘以计算结果． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【举一反三练习】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）先算乘法，除以转化为乘4，算出结果； （2）式子含乘数0，任何数乘0都得0，结果直接为0； （3）除法转乘法，提取公因数，括号内化简后相乘； （4）带分数化为假分数，约分后相乘得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【重难点考点十七】有理数四则混合运算的实际应用 【典型例题】（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）南通某文创商店在中秋假期销售A、B两款盲盒，A款每个售价30元，B款每个售价20元．商店用正数和负数记录三天的库存变化：标“”表示当天售出、其数值计入销售个数，标“”表示当天进货补货、不计入销售个数．三天记录如下： 周一：A款，B款； 周二：A款，B款； 周三：A款，B款． 已知每款盲盒的进价均为售价的一半，请按款式分别算出这三天A、B两款盲盒销售所获得的利润总额（利润总额销售额销售成本），并说明两款合计是盈利还是亏损． 【答案】A款盈利315元，B款盈利220元，三天合计盈利535元 【思路引导】正确统计A款三天售出21个，算出A款利润315元，B款三天售出22个，算出B款利润220元，然后相加即可． 【规范解答】解：A款三天售出（个），进价为（元）， ∴利润为（元）； B款三天售出（个），进价为（元）， ∴利润为（元）． ∴两款合计（元），结果为正数，说明这三天合计盈利． 【举一反三练习】（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）综合应用： (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M，点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N，且点N表示的数是5，那么a的值是 ； (2)如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点T、点S分别落在数轴上的A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应的数为6（单位：）．利用所学知识可以求出点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁；你若是我现在这么大，我就20岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第（2）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【答案】(1)2或8 (2)12；18 (3)如图， 小明与表姐的年龄差为： （岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为16岁，小明的年龄为12岁． 【思路引导】（1）分点M向右或向左移动两种情况讨论； （2）根据题意点到24的距离，到B的距离，到6的距离相等，即可求得答案； （3）借助数轴，把小明与表姐的年龄差看做木尺的长，由此可知小明与表姐的年龄． 【规范解答】（1）解：当点M向右移动时，； 当点M向左移动时，， 综上，a的值为：2或8； （2）解：由题意可知：点到24的距离，到B的距离，到6的距离相等， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； （3）略 【重难点考点十八】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典型例题】（26-27七年级上·内蒙古·单元测试）已知，，为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：____，_____，_____ (2)在数轴上标出，，的相反数所对应的点的位置． (3)若，，，求，，的值． 【答案】(1)＜；＞；＞； (2) (3)，，． 【思路引导】（1）根据数轴即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解 ； （3）根据数轴分类讨论即可． 【规范解答】（1）解：根据数轴可知：， （2）略 （3），，， ，，， ，，， ，，． 【举一反三练习】（25-26七年级上·四川眉山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1) ， ， ， ； （填或） (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值的意义，以及整式的加减等知识，利用绝对值的性质化简是解题关键． ()根据绝对值的性质，可得答案； ()根据绝对值的性质，化简绝对值得，结合整式的加减运算法则，得出，再根据代数式的值与字母的取值无关，得出，最后求出的值即可． 【规范解答】（1）解：从数轴上的位置可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由图可知：， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ∵代数式的值与字母的取值无关， ∴， 解得：． 【重难点考点十九】数轴上的翻折 【典型例题】如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【思路引导】根据数轴上两点间的距离公式即可求解； 根据题意列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解； 分点在点左侧时和点在点右侧时两种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：因为表示的数为，表示的数为， 所以、两点间的距离是， 故答案为：； （2）解：因为把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位， 所以此时点表示的数是， 故答案为：； （3）解：当点在点左侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 当点在点右侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 故答案为：或． 【举一反三练习】（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图：将下面的数轴进行对折，使表示的点与表示3的点重合，然后回答下列问题： (1)表示5的点与表示 的点重合，与重合的数是 ； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为9，点A在点B的一侧，且A、B两点折叠后重合，求A点和B点表示的数． 【答案】(1)， (2)点A表示的数为，点B表示的数为或点A表示的数为，点B表示的数为 【思路引导】本题主要考查数轴上数的表示、数轴的折叠，根据数轴的折叠求对称中心表示的数是解题的关键． （1）首先根据已知条件求出对称中心为1，即可求解与5和重合的点表示的数； （2）首先根据题意分两种情况进行讨论：①点B在点A右侧，即可得到求解A点和B点表示的数；②点A在点B右侧，即可得到求解A点和B点表示的数． 【规范解答】（1）解：∵折叠后表示的点与表示3的点重合， ∴对称中心为， 设与5重合的点表示的数为x，与重合的点表示的数为y， ∴，解得：；，解得：； ∴与5重合的点表示的数为，与重合的点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由①得：对称中心为1，设点A表示的数为a，点B表示的数为b， ∵A、B两点之间的距离为9， ∴a距离1的距离为，b距离1的距离为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为或点A表示的数为，点B表示的数为． 【重难点考点二十】乘方运算的符号规律 【典型例题】（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）如图，已知在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且． (1)点，点表示的数分别是 ； (2)若点是数轴上一动点，其表示的数为利用绝对值的几何意义，探索的最小值为 ； (3)若点，点同时沿数轴向正方向运动，点运动的速度为个单位长度秒，点运动的速度为个单位长度秒，若运动的过程中，当点、之间相距个单位长度时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2)7 (3)或 【思路引导】此题主要考查数轴上点的坐标与距离表示方法，绝对值的化简，一元一次方程的应用． （1）根据几个非负数和为0，则这几个非负数均为0，即可得出，，由此得答案； （2）数轴上两点之间的距离可知：表示的是点到、两点的距离之和，结合数轴可知点到、两点的距离之和最小，由此即可求出最小值； （3）表示出运动t秒时，点A，B，P表示的数，从而得到A，B的距离，根据该距离为6个单位长度可求得t的值． 【规范解答】（1）解：因为， 所以，， 解得，， 即点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：， （2）解：由（1）知，点表示的数是，点表示的数是， 所以表示的是点到、两点的距离之和． 当点在点，之间， 即时， 点到、两点的距离之和最小， 即， 最小值为． 故答案为： （3）解：点运动时表示的数为， 点运动时表示的数为， 所以， 即或， 解得或， 所以当运动过程中，点，之间相距个单位长度时，运动时间的值为秒或秒． 【举一反三练习】（25-26八年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【规范解答】解：原式 ， ． 故选：． 【重难点考点二十一】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典型例题】（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求解答下列问题： (1)一棵生长了年的大树，仅能制成双一次性筷子．假设每人每天用1双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）．如果是一个万人口的城市呢？ (2)根据（1）中的估算结果，你有何感想？ 【答案】(1)假设所在地区人口300万，一年需砍棵这样的大树 1000万人口的城市一年需砍棵这样的大树 (2)解：我们应减少一次性筷子的使用，保护森林资源，践行绿色生活（答案不唯一）． 【思路引导】（1）城市人口数乘以一年的天数分别除以和即可得到一年大约需要多少棵树，科学记数法的形式：，且n为整数； （2）从减少一次性筷子这方面提建议． 【规范解答】（1）解：假设所在地区人口约为万，一年按天计算， ， ， 所在地区一年需砍棵这样的大树； ， ， 1000万人口的城市一年需砍棵这样的大树． （2）略 【举一反三练习】（25-26九年级下·河北石家庄·阶段检测）神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【答案】C 【思路引导】先根据路程公式计算总路程的取值范围，再结合科学记数法的定义逐一判断选项即可． 【规范解答】解：首先单位换算，1小时=3600秒， ∴总路程， 又∵， ∴， 用科学记数法表示为， 选项A：科学记数法表示为“”时，，，不符合科学记数法对的要求，A错误； 选项B：若，则，科学记数法为，不是正整数，B错误； 选项C：，因此只能为4或5，C正确； 选项D：取，得，原数中0的个数为0，D错误， 故选：C． 【重难点考点二十二】将用科学记数法表示的数变回原数 【典型例题】（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【思路引导】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【规范解答】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 【举一反三练习】截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 【答案】B 【思路引导】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【规范解答】解：=5760000=576万． 故选：B． 【考点剖析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【重难点考点二十三】程序流程图与有理数计算 【典型例题】（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）执行如下的程序框图，若输入的，则输出的值为________． 【答案】 【思路引导】根据运算的程序进行计算，符合要求时输出即可． 【规范解答】解：当输入的时，，， 可得：， ， 再次输入计算， 可得：， 可得：， ， 再次输入计算， 可得：， 可得：， ， 输出，输出的值为． 【举一反三练习】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）根据如图所示的程序回答问题： (1)当凡凡输入和这两个数时，则输出的结果是___________； (2)当林林输入和这两个数时，求输出的结果． 【答案】(1) (2) 【思路引导】根据题意可得代数式，将值代入求解，得到正数直接得结果；得到负数取该数的绝对值． 【规范解答】（1）解：由题意得， ∵是正数， ∴输出的结果为． （2）解：由题意得， ∵为负数， ∴， ∴输出的结果为． 【重难点考点二十四】算“24”点 【典型例题】（2026七年级上·江苏·专题练习）如图，小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算点游戏：从中取出4张卡片，用学过的“，，，”运算，使结果为．请写出2个运算式并进行计算： ①_________________； ②__________________． 【答案】 15 【思路引导】（1）个数一组，找符号相同的情况下绝对值最大的两个数即可． （2）个数一组，先找符号不同的两个数，再用绝对值最大的数除以绝对值最小的数即可． （3）用加减乘除只要结果是24即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得，两个数同号的情况下，绝对值最大的一组数是和， 最大值是：． （2）解：由题意可得，两个数异号的情况下，绝对值最大的数是，最小的是， 最小值是：． （3）解：由题意可得，①； ②． 【举一反三练习】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【思路引导】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【规范解答】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 【重难点考点二十五】含乘方的有理数混合运算 【典型例题】（2026七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】（1） （2） 【思路引导】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【举一反三练习】（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）对于，，分别取，相加即可； （2）把各因数通分相乘得分子是从2开始的连续自然数的平方，分母是从1开始的相差2的两个自然数的积，再相乘并依次约分即可； （3）拆分带分数，利用乘法分配律简便计算； （4）利用乘法分配律展开，再把同分母分数相加减即可． 【规范解答】（1）解：当时，， 则 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 模块四 优选真题 实战演练 1．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【答案】A 【规范解答】解： P、Q相向而行相遇所用时间为（秒）． 点P从出发向右运动走过的路程为， 故相遇时点P表示的数为． 2．（26-27七年级上·江苏·阶段检测）（1）任何有理数都有相反数；（2）任何有理数都有倒数；（3）在任何一个数前面添上负号，就表示一个负数；（4）没有绝对值是的数，其中正确的是（     ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（4） 【答案】D 【规范解答】根据相反数、倒数、负数和绝对值的概念逐一进行判断． 【解答】解：（1）相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数还是， 任何有理数都有相反数， 故（1）正确； （2）倒数的定义为：乘积等于的两个数互为倒数，而乘以任何一个数积为， 没有倒数， 应为除以外，任何有理数都有倒数， 故（2）错误； （3）在一个数的前面添加负号表示求这个数的相反数， 在一个负数的前面添加负号得到一个正数， 应为在任何一个正数前面添上负号，就表示一个负数， 故（3）错误； （4）绝对值的定义为：数轴上表示一个数的点与原点之间的距离就是这个数的绝对值， 任何一个数的绝对值都不是负数， 没有绝对值是的数， 故（4）正确． 综上所述，正确的是（1）（4）两个． 3．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，四个有理数，，，在数轴上的对应点分别为，，，，若，则，，，中绝对值最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据可以得到的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决． 【规范解答】解：因为， 所以原点在线段的中点处， 通过观察数轴可知，点到原点的距离最远， 所以，，，中绝对值最大的数是． 4．（26-27七年级上·江苏·阶段检测）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【思路引导】先根据两点间的距离公式求出点A对应点所表示的数，再利用中点公式求出C表示的数． 【规范解答】解：，， 当A落在16对应的点时，点C表示的数为：， 当A落在4对应的点时，点C表示的数为：． 综上所述，点点C表示的数为1或． 5．（26-27七年级上·内蒙古·单元测试）小学时候大家喜欢玩的“幻方”游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏．现在将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圆上的个数字的和都相等．如图，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【思路引导】先算所有数字总和，推出每组和，再分类求与． 【规范解答】解：如图，设内圈上的数为，外圈上的数为， 所有数字总和：， ∵内外两圆总和相等， ∴每个圆 4 数和为， ∵竖线现有，和为， 又∵竖线 4 数和为 ， ∴，即， ∵内圆总和为， ∴， 解得， ∵外圆总和为， ∴，即， 又∵剩余未填数字为与， ∴或， ∴或． 6．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，科技人员正用玩具火车和玩具隧道实验，已知火车长米，而火车完全通过隧道需要秒，在某一光照处火车被光照射的时间为秒．那么一辆按照同样速度通行的米火车完全通过隧道需要___________秒． 【答案】 【思路引导】本题考查了路程问题，解题的关键是掌握相关知识．先求出火车速度，进而求出隧道的距离，再求出米长的火车完全通过隧道的距离，最后根据时间路程速度，即可求解． 【规范解答】解：火车速度为（米/秒）， 隧道的距离为（米）， 米长的火车完全通过隧道的距离是（米）， 需要的时间为（秒）， 故答案为：． 7．（26-27七年级上·山东济南·开学考试）如图，某工程队测得点P的海拔为，点Q的海拔为，则点P与点Q之间的高度差为______ 【答案】 【思路引导】求点P与点Q之间的高度差，即用点P的海拔减去点Q的海拔，列式为，计算即可． 【规范解答】解：由题意得，点P的海拔为，点Q的海拔为， ∴点P与点Q之间的高度差为：． 8．（26-27七年级上·全国·单元测试）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【答案】2025 【规范解答】解： ． 9．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）将不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记为，比如，那么______． 【答案】 【思路引导】先根据题目中的定义得到各数的整数部分，再进行有理数的加法运算求解即可． 【规范解答】解：由题意可得，． 10．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）有一条正方形赛车赛道，周长为4000米．两辆无人驾驶赛车正在做练习测试．甲赛车从出发，乙赛车从出发，同时出发顺时针匀速行驶．甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米．至少经过___________秒钟后，两辆车在同一条边上行驶．（注：若出现两者恰好都在顶角上的情况，不符合要求．） 【答案】 【思路引导】正方形赛道周长 4000米，则边长为 1000 米．甲从 B 出发，乙从 A出发，顺时针行驶，初始甲在乙前方 1000米．甲速度 100 米/秒，乙速度 88 米/秒，甲比乙快，当甲比乙多走的路程要满足大于2000米，且小于3000米时，相当于乙在甲前方 0到 1000米之间，此时若甲刚进入某条边且乙未离开该边，则两车在同一条边上．甲到达顶点的时间为 10 的倍数，据此求解即可． 【规范解答】解：∵正方形的周长为4000米， ∴正方形的边长为米， ∵甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米，且， ∴要使时间最少，则甲刚到某个顶点时，此时乙在该顶点所在的边上，且此时甲比乙多走的路程要满足大于2000米，且小于3000米， ∵，， ∴需要的时间满足大于秒，且小于秒， ∵甲每秒钟行驶100米，且， ∴甲每过10秒就从一个顶点运动到另一个顶点， ∴运动的时间一定要是10的倍数， ∴至少经过170秒钟后，两辆车在同一条边上行驶． 11．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）定义：表示正整数的所有正因数的个数，例如有个正因数：、、，则．设，其中表示取遍的所有正因数再求和．例如．则________． 【答案】 【思路引导】根据题意理解定义，找全正因数个数，相加计算即可． 【规范解答】解：根据题意可知，的正因数：、、、、、共有个 ∴， 根据题意可知，， ∴，，， ∵的正因数：、、、有个， ∴， ∵的正因数：、、有个， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）打印一部600页的稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成．现在，甲、乙两人轮流工作．甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此交替下去，打印这部书稿共要________小时． 【答案】 【思路引导】先计算出甲、乙每小时的工作效率，再根据给定的交替工作规律，计算多轮交替后完成的工作量，再对剩余工作量按顺序计算所需时间，最后求和得到总工作时间； 【规范解答】解：甲每小时打印页数：（页）， 乙每小时打印页数：（页）， 交替工作以“甲工作1小时，乙工作2小时，甲工作2小时，乙工作1小时”为一个完整周期，一个周期总时长为（小时）， 一个周期完成的工作量：（页）， 两个周期总时长为（小时），完成工作量（页）， 剩余工作量：（页）， 按顺序接下来轮到甲工作1小时，甲完成（页），剩余工作量：（页），剩余工作由乙完成，所需时间：（小时）， 总时间为：（小时）， 答：打印这部书稿共要小时． 13．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 14．（2026七年级上·河北·专题练习）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）观察已知的等式，可以发现：等式左边是两个连续偶数乘积的倒数，等式右边是这两个连续偶数倒数差的，按照此规律，可得第④个等式； （2）根据前面发现的规律，将原式中的每一项进行转化后代入原式，可以发现括号内很多项可以相互抵消，最后可计算得出结果； （3）把每一项提公因数，就变成第二问的规律，利用第二问的规律可求出本题的答案． 【规范解答】（1）解：根据第①②③个等式规律可知： 第④个等式为：． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 15．（2026七年级上·河北·专题练习）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 【答案】(1) (2)点表示的数为，点表示的数为 (3)或 【思路引导】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义得到点M到点A，点B的距离均为，根据两点间的距离进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，点表示的数为 （2）解：依题意，得点到点，点的距离均为：， 因为点表示的数为2，点在点的左侧， 所以点表示的数为， 点表示的数为； （3）解：根据题意知，当点运动到点处时，如图1， 则点表示的数为， 此时取得最小值，为， 当点运动到点处时，如图2， 则点表示的数为， 此时取得最大值，为， 所以可取的整数为或． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学七年级上册第一次月考知识清单培优讲义「新教材」 第1、2章 数学与我们同行、有理数 （知识梳理卡片+知识清单+25个重难点考点讲练+实战演练 共65题●原卷版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】观察思考 6 【重难点考点二】正负数的实际应用 7 【重难点考点三】带“非”字的有理数 7 【重难点考点四】用数轴上的点表示有理数 8 【重难点考点五】利用数轴比较有理数的大小 8 【重难点考点六】数轴上两点之间的距离 9 【重难点考点七】数轴上点的平移（动点问题) 10 【重难点考点八】数轴上找原点 11 【重难点考点九】数轴上整点覆盖问题 11 【重难点考点十】数轴上的规律探究 12 【重难点考点十一】绝对值的几何意义 12 【重难点考点十二】绝对值非负性 13 【重难点考点十三】有理数大小比较的实际应用 13 【重难点考点十四】相反数的应用 14 【重难点考点十五】化简多重符号 14 【重难点考点十六】有理数四则混合运算 15 【重难点考点十七】有理数四则混合运算的实际应用 15 【重难点考点十八】根据点在数轴的位置判断式子的正负 17 【重难点考点十九】数轴上的翻折 17 【重难点考点二十】乘方运算的符号规律 18 【重难点考点二十一】用科学记数法表示绝对值大于1的数 19 【重难点考点二十二】将用科学记数法表示的数变回原数 19 【重难点考点二十三】程序流程图与有理数计算 20 【重难点考点二十四】算“24”点 21 【重难点考点二十五】含乘方的有理数混合运算 21 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 【第1章 数学与我们同行】 知识点一 生活中的图形与数字 生活中充满了图形和数字，多姿多彩的图形不仅美化了我们的生活，还包含着丰富的信息和数学知识. 在日常生活中，我们也经常使用数字进行统计和测量，例如：通过观察，估计两个三角形的边长和角度是否相等，一个正方形和一个长方形的面积大小是否相等，比较两个物体的形状、大小等特征可以判断它们之间的关系. 知识点二 图形与数字中的信息 在人类文明的发展过程中，图形和数字是人们表达和传递信息的重要载体. 几何图形可以把一些生活中存在的复杂而独特的精神、内容等赋予简化概括的视觉形态, 它是最简单的语言方式.在人类最早时期就利用符号化的图案来传递信息进行交流和联系，而后数字的产生给生活带来了极大的方便. 生活中的邮政编码、手机号码、汽车牌照号码、条形码等，传递着生活中重要的信息，以至于我们见到某一个特定的编号，就能迅速地知道编号表达的内容和代表的对象. 如学生的学籍号表达了学生的年级、班级、序号等信息. 数字已成为人们表达和交流的工具. 知识点三 操作思考 数学学习过程中不仅有计算，而且有动手操作、归纳与推断. 通过折叠、拼图、裁剪等活动感受图形的性质，培养空间想象能力，养成交流、合作、独立思考的学习习惯. 知识点四 探究数字规律 观察一组数字序列，通过练习和尝试，从中找出数字序列中的规律，进行推算. 知识点五 调查设计 在进行生产、生活和科学研究等活动时，往往需要通过调查来收集数据, 如开调查会、个别访谈、现场查访、统计调查、问卷调查等. 其中问卷调查是一种既省时省力，又能对事物进行比较全面系统调查的方法，在日常工作中备受青睐. 知识点六 图形的变化规律 观察一系列图形，找出它们内在的共同之处，从中归纳其蕴含的规律. 在活动的过程中，通过认真思考，交流、验证或证明所探索的结论，掌握探究问题的方法. 知识点七 水温的变化规律 一杯开水在室温下的温度会逐渐下降． 随着时间的变化，水温下降的速度是先快后慢，水自然冷却到与环境温度一样时，温度不再下降，此时水温等于室温． 一种量变化时，另一种量也随之变化． 如生活中汽车速度一定时，行驶的路程随着时间的增加而增加；购物总价一定时，购买的数量随着单价的增加而减少等. 【第2章 有理数】 知识点 重点归纳 常见易错点 正数 负数 正数、负数可以表示生活中具有相反意义的量 通常表示上升、盈利等用正数表示； 通常表示下降、亏损等用负数表示； 这只是一种规定，可以根据实际需要改变 数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度； 2.利用数轴比较两个有理数的大小：左<右 单位长度可以根据实际需要选择 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即。 1.化简含有字母的绝对值时，要借助分类讨论数学思想，对绝对值内的东西分三种情况讨论，然后利用 将绝对值符号去掉化简； 2.绝对值的几何意义非常重要，要灵活使用这一点解决问题。 3.绝对值的非负性最常见的应用： 由得出 有理数的加法 1. 有理数加法法则：（分类讨论思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：(作用：简化计算) 交换律： 结合律： 1.有理数加法法则是最基本的，符号弄错是最常见的错误。 法则理解记忆方法： 可以把两个相加的数想象成打仗时的敌我双方，数的符号表示双方的旗子，数的绝对值代表双方的人数力量。 有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 将减法转化成加法做，做熟练后就可以不转化了 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2.有理数乘法运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 1.有理数乘法法则简单好记，但写结果时，不要忘记符号，更不要与加法法则符号混淆！ 灵活利用有理数的乘法运算律，可以简化计算，减少计算错误。 有理数的除法 除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 乘除互为逆运算，可以相互转化 有理数的乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数；指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 3.科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 1.乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 2.当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 4.底数为-1的幂规律要理解记忆，这个最常考。 有理数的混合运算 有理数的混合运算解题步骤： 1.审题：包含哪些运算，能否使用运算律简化运算； 2.计算：按运算律和运算法则进行计算； 3.检查：注意检查符号。 1.有理数的混合运算主要是运算顺序的问题，每一步都要注意查看运算顺序该做哪一步； 2.另外还要注意使用运算法则时的符号问题。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】观察思考 【典型例题】（23-24七年级下·江苏镇江·期末）间隔问题是生活中很有趣的问题．例如，一共有棵树，每两棵树都间隔米，从第一棵树到第八棵树的距离就是（米）． (1)在一条长米的道路上，从起点到终点一共栽了棵（两边都栽），已知相邻两棵树的距离都相等，每两棵树之间的距离是多少米？ (2)一名外卖员从一楼到六楼跑到需要秒，那么他以同样的速度从二楼跑到五楼，耗时比从一楼到六楼少了多少秒？ (3)一根木头长厘米，要把它锯成一些厘米的小段，每锯一次要分钟，一共要锯多少分钟？ 【举一反三练习】“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为___________，并可推断出5月30日应该是星期几____________． 【重难点考点二】正负数的实际应用 【典型例题】（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）《九章算术》中记载了我国古代的算筹记数法．为方便理解，本题按其位值思想简化规定如下：记数时把各数位按从左到右排列，每一数位上的数值由该位竖筹的根数直接读出；此外，若在整组算筹的最左端斜放1根筹，表示这组数是一个负数，斜放的这根筹不参与数位计数．某同学摆出的算筹，从左到右依次为：1根斜筹、2根竖筹、3根竖筹．按上述规定，这组算筹表示的负数写成现代数学符号是____________． 【举一反三练习】（26-27七年级上·山东聊城·开学考试）如果温度上升记作，那么温度下降记作( )℃；在数，，0，，，中，正数有( )个． 【重难点考点三】带“非”字的有理数 【典型例题】（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，0，，2026， 负数集合：{__________________________}； 整数集合：{__________________________}； 正分数集合：{________________________}； 非负数集合：{________________________}； 【举一反三练习】（25-26七年级上·广东佛山·期中）现有一组数：，，，，，，，，． (1)请你把上述各数填入下列表示它所在的数集的圈里； (2)判断正误：有理数可分为分数、正整数、负整数．___________（填“正确”或“错误”） 【重难点考点四】用数轴上的点表示有理数 【典型例题】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【举一反三练习】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）把下列各数填在相应的集合中． 15，，0.81，，，，，171，0，3.14，， (1)负数集合{________________________} (2)正分数集合{________________________} (3)非负整数集合{________________________} 【重难点考点五】利用数轴比较有理数的大小 【典型例题】（26-27七年级上·江苏南京·单元测试）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． (1)由此可得， ，a的值为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【举一反三练习】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）如图所示的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______． (2)点C表示的数是，点D表示的数是，请在数轴上分别画出点C和点D的位置． (3)将A，B，C，D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“>”连接． 【重难点考点六】数轴上两点之间的距离 【典型例题】（24-25六年级上·山东烟台·期中）画出数轴，表示下列有理数， 并用“”将各数连接起来．   ，，0，， 【举一反三练习】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【重难点考点七】数轴上点的平移（动点问题) 【典型例题】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【举一反三练习】（26-27七年级上·浙江·开学考试）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（     ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 【重难点考点八】数轴上找原点 【典型例题】如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 【举一反三练习】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【重难点考点九】数轴上整点覆盖问题 【典型例题】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 【举一反三练习】（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【重难点考点十】数轴上的规律探究 【典型例题】（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【举一反三练习】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【重难点考点十一】绝对值的几何意义 【典型例题】（26-27七年级上·内蒙古·单元测试）已知，是不为的有理数，且，，，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（     ） A． B． C． D． 【举一反三练习】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 【重难点考点十二】绝对值非负性 【典型例题】（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【举一反三练习】已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【重难点考点十三】有理数大小比较的实际应用 【典型例题】（26-27七年级上·全国·课后作业）某种食品包装袋上标注质量为，对6袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： ， 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 【举一反三练习】（25-26七年级下·河北唐山·期末）年月日～日嘉嘉与淇淇相约去跑步，两人手机“微信运动”的步数统计如下表（步数单位：千步），下列结论正确的是（     ） 日期 嘉嘉 淇淇 A．淇淇单日的步数最多是步 B．淇淇单日的步数高于嘉嘉的有天 C．月日，嘉嘉的步数一定比淇淇的多 D．月日，淇淇的步数低于嘉嘉的 【重难点考点十四】相反数的应用 【典型例题】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练习】（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）在数学中，我们把“不大于x的最大整数”称为下取整函数（Floor Function），记为，也就是说表示取小于或等于x的最大整数．例如：，． (1)填空：______；______；______；______． (2)若x为整数，且，则x所有可能的取值为______． (3)若a，b都是整数，且和互为相反数，求代数式的值． 【重难点考点十五】化简多重符号 【典型例题】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【举一反三练习】（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【重难点考点十六】有理数四则混合运算 【典型例题】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）简便运算 (1) (2) (3) 【举一反三练习】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算 (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【重难点考点十七】有理数四则混合运算的实际应用 【典型例题】（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）南通某文创商店在中秋假期销售A、B两款盲盒，A款每个售价30元，B款每个售价20元．商店用正数和负数记录三天的库存变化：标“”表示当天售出、其数值计入销售个数，标“”表示当天进货补货、不计入销售个数．三天记录如下： 周一：A款，B款； 周二：A款，B款； 周三：A款，B款． 已知每款盲盒的进价均为售价的一半，请按款式分别算出这三天A、B两款盲盒销售所获得的利润总额（利润总额销售额销售成本），并说明两款合计是盈利还是亏损． 【举一反三练习】（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）综合应用： (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M，点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N，且点N表示的数是5，那么a的值是 ； (2)如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点T、点S分别落在数轴上的A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应的数为6（单位：）．利用所学知识可以求出点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁；你若是我现在这么大，我就20岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第（2）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【重难点考点十八】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典型例题】（26-27七年级上·内蒙古·单元测试）已知，，为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)用“”或“”填空：____，_____，_____ (2)在数轴上标出，，的相反数所对应的点的位置． (3)若，，，求，，的值． 【举一反三练习】（25-26七年级上·四川眉山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1) ， ， ， ； （填或） (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 【重难点考点十九】数轴上的翻折 【典型例题】如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 【举一反三练习】（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图：将下面的数轴进行对折，使表示的点与表示3的点重合，然后回答下列问题： (1)表示5的点与表示 的点重合，与重合的数是 ； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为9，点A在点B的一侧，且A、B两点折叠后重合，求A点和B点表示的数． 【重难点考点二十】乘方运算的符号规律 【典型例题】（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）如图，已知在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且． (1)点，点表示的数分别是 ； (2)若点是数轴上一动点，其表示的数为利用绝对值的几何意义，探索的最小值为 ； (3)若点，点同时沿数轴向正方向运动，点运动的速度为个单位长度秒，点运动的速度为个单位长度秒，若运动的过程中，当点、之间相距个单位长度时，求运动时间的值． 【举一反三练习】（25-26八年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【重难点考点二十一】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典型例题】（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求解答下列问题： (1)一棵生长了年的大树，仅能制成双一次性筷子．假设每人每天用1双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）．如果是一个万人口的城市呢？ (2)根据（1）中的估算结果，你有何感想？ 【举一反三练习】（25-26九年级下·河北石家庄·阶段检测）神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【重难点考点二十二】将用科学记数法表示的数变回原数 【典型例题】（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【举一反三练习】截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 【重难点考点二十三】程序流程图与有理数计算 【典型例题】（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）执行如下的程序框图，若输入的，则输出的值为________． 【举一反三练习】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）根据如图所示的程序回答问题： (1)当凡凡输入和这两个数时，则输出的结果是___________； (2)当林林输入和这两个数时，求输出的结果． 【重难点考点二十四】算“24”点 【典型例题】（2026七年级上·江苏·专题练习）如图，小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算点游戏：从中取出4张卡片，用学过的“，，，”运算，使结果为．请写出2个运算式并进行计算： ①_________________； ②__________________． 【举一反三练习】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【重难点考点二十五】含乘方的有理数混合运算 【典型例题】（2026七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2) 【举一反三练习】（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 模块四 优选真题 实战演练 1．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 2．（26-27七年级上·江苏·阶段检测）（1）任何有理数都有相反数；（2）任何有理数都有倒数；（3）在任何一个数前面添上负号，就表示一个负数；（4）没有绝对值是的数，其中正确的是（     ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（4） 3．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，四个有理数，，，在数轴上的对应点分别为，，，，若，则，，，中绝对值最大的数是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27七年级上·江苏·阶段检测）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 5．（26-27七年级上·内蒙古·单元测试）小学时候大家喜欢玩的“幻方”游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏．现在将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圆上的个数字的和都相等．如图，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，科技人员正用玩具火车和玩具隧道实验，已知火车长米，而火车完全通过隧道需要秒，在某一光照处火车被光照射的时间为秒．那么一辆按照同样速度通行的米火车完全通过隧道需要___________秒． 7．（26-27七年级上·山东济南·开学考试）如图，某工程队测得点P的海拔为，点Q的海拔为，则点P与点Q之间的高度差为______ 8．（26-27七年级上·全国·单元测试）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 9．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）将不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记为，比如，那么______． 10．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）有一条正方形赛车赛道，周长为4000米．两辆无人驾驶赛车正在做练习测试．甲赛车从出发，乙赛车从出发，同时出发顺时针匀速行驶．甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米．至少经过___________秒钟后，两辆车在同一条边上行驶．（注：若出现两者恰好都在顶角上的情况，不符合要求．） 11．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）定义：表示正整数的所有正因数的个数，例如有个正因数：、、，则．设，其中表示取遍的所有正因数再求和．例如．则________． 12．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）打印一部600页的稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成．现在，甲、乙两人轮流工作．甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此交替下去，打印这部书稿共要________小时． 13．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 14．（2026七年级上·河北·专题练习）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 15．（2026七年级上·河北·专题练习）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学七年级上册第一次月考知识清单培优讲义「新教材」 第1、2章 数学与我们同行、有理数 （知识梳理卡片+知识清单+20个重难点考点讲练+实战演练 共60题●原卷版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】积的小数位数与乘数小数位数的关系 6 【重难点考点二】用“四舍五入”法求积的近似数 6 【重难点考点三】利用小数与小数的乘法解决问题 6 【重难点考点四】积的变化规律（小数乘法) 7 【重难点考点五】因数和积的大小关系（小数乘法） 7 【重难点考点六】用“四舍五入”法求商的近似数 8 【重难点考点七】除数是小数的小数除法的应用 8 【重难点考点八】用“去尾法”解决问题 9 【重难点考点九】用“进一法”解决问题 9 【重难点考点十】分数的四则混合运算 9 【重难点考点十一】整数乘法运算定律推广到分数乘法 10 【重难点考点十二】分数除法相关的简便计算 10 【重难点考点十三】小数的四则运算及法则 11 【重难点考点十四】整数乘法运算定律推广到小数乘法 11 【重难点考点十五】运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 12 【重难点考点十六】小数除法相关的简便计算 12 【重难点考点十七】利用小数四则混合运算解决问题 13 【重难点考点十八】已知总量及一部分分率，求另一部分量 14 【重难点考点十九】求比一个数多/少几分之几的数是多少 14 【重难点考二十】两人合作的工程问题 15 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 【第一单元 小数乘法和除法（二）】 知识点一 一个数乘小数 1. 乘法意义：一个数乘小数的本质是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几…… 是多少 2. 计算法则（竖式计算） 核心思路：先按整数乘法算积，再点小数点 算整数积：把两个乘数都看作整数，按照整数乘法的法则算出积 数小数位数：看两个乘数中一共有几位小数 点小数点：从积的右边起数出相同位数，点上小数点 两种特殊情况： 积的小数位数不够：在积的前面用0 补足，再点小数点 积的末尾有 0：先点小数点，再去掉小数末尾的 0化简 3. 积的小数位数规律：两个乘数一共有几位小数，积就有几位小数（末尾 0 化简前） 4. 积与因数的大小关系（0 除外） 一个数乘大于 1的数，积大于原数；一个数乘小于 1的数，积小于原数；一个数乘等于 1的数，积等于原数 5. 积的近似数 方法：四舍五入法 步骤：先算出完整的积，再按要求保留小数位数，保留到哪一位就看它的下一位 注意：人民币结算时，通常保留两位小数（精确到分） 6. 乘法验算方法 交换两个乘数的位置，重新列竖式计算，看积是否相等 用算出的积除以其中一个因数，看是否等于另一个因数 7. 小数连乘运算 运算顺序：和整数连乘一致，从左到右依次计算 知识点二 一个数除以小数 1. 除法意义：和整数除法意义相同：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算 2. 核心算理：依据商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。 通过移动小数点，把除数是小数的除法转化为除数是整数的除法计算。 3. 计算法则（三步法） 一看：看除数有几位小数 二移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同位数，使除数变成整数；被除数位数不够时，在末尾用0 补足 三算：按照除数是整数的小数除法法则计算（商的小数点要和转化后的被除数小数点对齐） 4. 商与被除数的大小关系（被除数不为 0） 除数大于 1，商小于被除数；除数小于 1（0 除外），商大于被除数；除数等于 1，商等于被除数 5. 商的近似数 常规方法：四舍五入法，计算时要比需要保留的小数位数多除出一位，再取近似值 注意：求商的近似数时，不需要算出完整的商，除到保留位数的下一位即可 6. 实际问题的取整方法 除四舍五入外，需结合生活场景选择取整方式： 进一法：不管尾数是多少，都向前一位进 1 适用场景：装东西、租船、运货等（剩下的部分也需要 1 个容器 / 1 次运输） 例：油桶装油，20 千克油，每桶装 6 千克，需要，实际需要 4 个桶 去尾法：不管尾数是多少，直接舍去 适用场景：做衣服、买东西、裁布料等（剩下的部分不够做 1 件 / 买 1 份） 7. 循环小数相关概念 有限小数：小数部分的位数是有限的小数，如、 无限小数：小数部分的位数是无限的小数，分为无限循环小数和无限不循环小数 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数 循环节：循环小数中依次不断重复出现的数字 简便写法：只写第一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上各点一个小圆点 8. 除法验算方法 用商 × 除数，看结果是否等于被除数；若有余数，用 “商 × 除数 + 余数 = 被除数” 验算 知识点三 小数乘除混合运算与简便计算 1. 四则混合运算顺序 和整数四则混合运算完全一致： 同级运算（只有乘除或只有加减）：从左到右依次计算 两级运算（既有乘除又有加减）：先算乘除，后算加减 有括号的：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外的 2. 简便运算（整数运算律推广到小数） 整数乘法的运算律对小数乘法同样适用： 乘法交换律： 乘法结合律： 常用组合：、，对应小数、 乘法分配律：， 【第二单元 混合运算与数量关系（三）】 知识点一 分数、小数混合运算 1. 不含括号的分数混合运算的运算顺序 在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运算，按照从左到右的顺序计算；如果含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。 2. 含有括号的分数混合运算的运算顺序 在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 3. 整数的运算定律在分数混合运算中的运用 在进行分数的混合运算中，可以利用加法、减法、乘法、除法的运算定律或运算性质，使计算简便。 知识点二 分数除法解决问题 1. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 （1）方程法：①找准单位“1”的量，设为x；②找出题目中的等量关系；③列出方程求解；④检验作答。 （2）算术法：单位“1”未知，用除法，分量÷分率=单位“1”。 ①找出单位“1”； ②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几（分率）； ③列出除法算式，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。 2. 已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几 求一个数比另一个数多或少几分之几，口诀是“作差除比后” 3. 已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数 （1）已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用分量÷（1+分率）=单位“1”。 （2）已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数，用分量÷（1－分率）=单位“1”。 4. 稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”。（量率对应问题） （1）稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题的结构特征：单位“1”是未知的，已知的比较量与所给的几分之几不对应。 （2）解题方法： ①用方程解：找到题中数量间的等量关系，设未知量为x，列出方程。 ②算术法解：找到题中单位“1”，计算出已知量占单位“1”的几分之几，利用已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量（标准量）列式解答。 （3）解题关键：找准单位“1”，弄清谁是谁的几分之几，谁比谁多几分之几，计算出已知量是单位“1”的几分之几。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典型例题】（26-27六年级上·江苏·课后作业）下面四个小数乘法的算式中，积是四位小数的是（    ）。 A．3.8×0.6 B．0.48×0.2 C．0.26×0.07 D．0.056×0.03 【举一反三练习】（26-27五年级上·河北·课后作业）先判断下列各式的积有几位小数，再列竖式计算。 （    ）位小数  （    ）位小数  （    ）位小数    （    ）位小数 2.4×3.6＝    4.8×1.35＝    15.5×0.42＝    2.75×0.6＝ 【重难点考点二】用“四舍五入”法求积的近似数 【典型例题】（26-27六年级上·辽宁·课后作业）用竖式计算。（带★的得数保留两位小数） 5×0.38＝        5.6×0.78＝        ★7.4×0.59≈ 【举一反三练习】（2026六年级上·江苏·专题练习）九龙壁是影壁的一种，是中国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁，位于紫禁城宁寿宫区皇极门外南三宫后。九龙壁正面是一个长29.47米，高3.59米的长方形，它的面积是( )平方米。（得数保留两位小数） 【重难点考点三】利用小数与小数的乘法解决问题 【典型例题】（26-27六年级上·江苏·课后作业）在学校开展的“变废为宝”活动中，四年级学生收集了12.5千克废纸，每千克废纸可制造再生纸0.8千克。废纸能制造多少千克再生纸？ 【举一反三练习】（25-26六年级下·湖北黄冈·期末）超市里苹果售价9.8元/千克，买3.5千克需多少钱？乐乐用竖式计算，图中的箭头所指的数表示购买苹果（    ）。 A．0.5kg需要490元 B．0.5kg需要4.9元 C．0.5kg需要49元 D．5kg需要490元 【重难点考点四】积的变化规律（小数乘法) 27．（26-27五年级上·全国·周测）已知35×26＝910，那么： 3.5×2.6＝( ) 0.35×0.026＝( ) 3.5×( )＝0.91 ( )×0.26＝0.091 【举一反三练习】（23-24五年级上·广东汕尾·期中）下面4个知识点，在笔算2.4×3.5的过程中，用到了哪几点？（    ） ①积的变化规律        ②小数的性质 ③转化策略            ④乘法分配律 A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【重难点考点五】因数和积的大小关系（小数乘法） 【典型例题】（2026六年级上·江苏·专题练习）列竖式计算。（带★的要验算，带●的结果保留两位小数） 3.38÷2.6＝    ★0.42×3.05＝    ●2.4÷0.26≈ 【举一反三练习】（2026六年级上·江苏·专题练习）用竖式计算。 0.85×0.23＝    6.72×0.18≈（保留两位小数）    1.5÷9.9≈（保留两位小数） 【重难点考点六】用“四舍五入”法求商的近似数 【典型例题】（26-27五年级上·河北·单元测试）我国是能源消费大国，发展新能源汽车是我国推动绿色发展的战略举措。一种新能源汽车每行驶1千米的耗电量为0.15千瓦·时，充满电大约30千瓦·时。这种新能源汽车最多能行驶多少千米？使用家用充电桩充电，价格是0.6元/千瓦·时，照这样计算，充满电的费用是多少元？ 【举一反三练习】（26-27六年级上·江苏·单元测试）温室效应是全球性的公害，其中汽车尾气的排放是造成温室效应的重要原因之一。经调查一辆小汽车行驶4.5千米将排放7.83克污染物，那么这辆小汽车行驶1千米将排放( )克污染物。 【重难点考点七】除数是小数的小数除法的应用 【典型例题】（26-27五年级上·河北·单元测试）下面说法正确的是（    ）。 A．制衣厂制作一套衣服需要2.5m的布料，现有布料302m，可以做121套衣服 B．李阿姨将2.5kg香油分装在可盛0.4kg的瓶子中，应该准备6个瓶子 C．要将680kg的苹果装进纸箱运走，每箱装15kg，应准备46个箱子 【举一反三练习】（26-27五年级上·全国·周测）房产开发商计划在2.2公顷的土地上建造商品房。若每幢楼房的地面占地的长是40米，宽是15米，楼房之间的间隔面积是120平方米。在这块土地上最多可以建造多少幢这样的楼房？ 【重难点考点八】用“去尾法”解决问题 【典型例题】（26-27五年级上·河北·单元测试）垃圾分类管理，能够最大限度地实现垃圾资源利用，减少垃圾处置量，改善生存环境质量。为了宣传垃圾分类，五年级同学组成垃圾清理小组，一共给864.8千克垃圾进行了分类。把这些垃圾装在垃圾袋里，每个垃圾袋最多可以装3.2千克，要准备多少个垃圾袋？ 【举一反三练习】（26-27五年级上·全国·周测）服装厂生产一套学生校服需用布2.4米，100米布可生产多少套这样的学生校服？如果每12套这样的校服装成一箱，一辆轻型货车一次能运货60箱，9600套校服用这辆轻型货车运，需几次能运完？ 【重难点考点九】用“进一法”解决问题 【典型例题】（23-24六年级上·云南玉溪·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ×( )÷     1÷( )÷1 【举一反三练习】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )   ( )   ( ) 【重难点考点十】分数的四则混合运算 【典型例题】（25-26六年级上·山东滨州·阶段检测）脱式计算，能简算的要简算。          【举一反三练习】（25-26六年级上·湖南永州·阶段检测）计算下面各题，能简算的要写出简算过程。 （－－）×32                 （＋）÷（×） ×2025＋                   [÷（＋）]× 【重难点考点十一】整数乘法运算定律推广到分数乘法 【典型例题】（25-26六年级上·江西景德镇·阶段检测）能简算的要简算。                                            【举一反三练习】（25-26六年级上·河北邯郸·阶段检测）计算下面各题，能简算的要简算。                   【重难点考点十二】分数除法相关的简便计算 【典型例题】（25-26六年级上·广东深圳·阶段检测）用你喜欢的方法计算。                      【举一反三练习】（24-25六年级下·全国·小升初复习）下面式子中错误的是（    ）。 A． B． C．÷2.3＋÷2.7＝÷（2.3＋2.7） D．4.8×（－）＝4.8×－4.8× 【重难点考点十三】小数的四则运算及法则 【典型例题】（25-26六年级上·福建龙岩·阶段检测）计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 （1）450÷18×32＋395        （2）590÷0.8÷12.5 （3） （50×0.28＋16）÷0.4        （4） （4）         （6） 【举一反三练习】（26-27六年级上·江苏·单元测试）在（    ）里填“＞”“＜”或“＝”。 7.6×0.8＋0.2( )7.6×（0.8＋0.2）   ( ) ( )   8.4÷0.4÷0.5( )8.4÷0.4×0.5 【重难点考点十四】整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典型例题】（26-27六年级上·江苏·课后作业）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 6.6÷（1.5×0.2）        9.09÷［16.5－（2.8＋4.7）］ 8.88×1.25        3.9×9.8＋0.78 【举一反三练习】（26-27六年级上·江苏·课后作业）计算下面各题，能简算的要简算。             6.6×3.7＋3.4×3.7            【重难点考点十五】运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典型例题】（25-26六年级上·湖南邵阳·开学考试）脱式计算，能简算的要简算。 5.39×43＋5.7×53.9            2＋4＋6＋8＋…＋98＋100       2.5×1.25×3.2       【举一反三练习】（2024·山西晋中·小升初真题）张丽用计算器计算“45.7×9.9”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（    ）。 A．45.7×3.3×3 B．45.7×10－0.1 C．45.7×8.8＋45.7×1.1 【重难点考点十六】小数除法相关的简便计算 【典型例题】（25-26六年级上·重庆南岸·期末）选择适当的方法计算。                                                  【举一反三练习】（25-26五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）请你根据（7.2－4.8）÷0.8的简便方法，计算（3.6＋8.1）÷0.9。 （7.2－4.8）÷0.8         ＝7.2÷0.8－4.8÷0.8     ＝9－6     ＝3         （3.6＋8.1）÷0.9 【重难点考点十七】利用小数四则混合运算解决问题 【典型例题】（26-27五年级上·全国·周测）李叔叔家有一口井，为了测量井的深度，他找来了一根绳子。绳子太长，他第一次把绳子折三折垂到井底，发现井口以外还多7.5米；第二次把绳子折四折垂到井底，发现井口以外还多2.5米。井有多深？绳子有多长？ 【举一反三练习】（25-26五年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）小轩搬新家了，他计划给自己房间的一面墙刷乳胶漆，下面是他收集的一些信息，算一算刷这面墙大约需要多少千克涂料用到的信息是( )。 ①这面墙长2.8米，宽2.6米。②这面墙上的窗户面积是2.6平方米。③每桶乳胶漆大约1.5千克。④每平方米大约需要乳胶漆0.9千克。⑤每桶乳胶漆240元。 【重难点考点十八】已知总量及一部分分率，求另一部分量 【典型例题】（25-26六年级上·陕西安康·阶段检测）一桶油净重100千克，用去这桶油的后，又买来这时桶里油的加进桶里，现在桶里有( )千克油。 【举一反三练习】（26-27六年级上·辽宁·单元测试）为庆祝建校80周年，光明小学开展“童眼看母校童心绘校园”的书画展。东西两个校区一共展出了315幅作品。展出的作品中东校区的数量占总数的，西校区展示的作品数量是多少幅？ 【重难点考点十九】求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典型例题】（2026六年级上·辽宁·专题练习）某小学科学组老师组织孩子们开展了“畅想科技，创想未来”科技馆科普研学活动，让学生们近距离体验了人工智能、虚拟现实、智能制造等领域的最新成果。有65位同学参加了无人机项目体验，参加机器人项目体验的人数比参加无人机项目体验的人数多，参加机器人项目体验的有多少位同学？ 【举一反三练习】（25-26六年级上·河南周口·阶段检测）小学生原来每天在校时间是6小时。为落实“双减”政策，学校实行了“课后延时服务”，小学生现在在校时间比原来延长了。小学生现在每天在校时间是多少小时？ 【重难点考二十】两人合作的工程问题 【典型例题】（25-26六年级上·河南南阳·期中）社区计划在河岸边修建一条环保步道。若由甲工程队单独施工，需要50天完成；若由乙工程队单独施工，则需要75天完成。为加快进度，社区决定让两队合作施工。施工过程中，乙工程队因设备维修休息了若干天，其余时间两队一起工作。最终，这项工程从开工到完工甲工程队共工作了40天，乙工程队工作了多少天？ 【举一反三练习】（25-26六年级上·福建厦门·阶段检测）一条路长360千米，若甲队单独修，12天修完；若乙队单独修，18天修完。若两队合修，9天能修完吗？解决这个问题，三位同学想到了不同的解法。 航航是这样列式的：360÷（360÷12＋360÷18） 小文是这样列式的： 芳芳是这样推理的：12÷2＝6（天），18÷2＝9（天），合作时间应该大于6天小于9天。 下面说法正确的是（    ）。 A．航航、小文和芳芳的解法都正确 B．只有航航和小文的解法正确 C．只有小文和芳芳的解法正确 D．只有航航和芳芳的解法正确 模块四 优选真题 实战演练 1．（25-26六年级上·四川成都·阶段检测）甲乙两地相距1500千米。飞机从甲地到乙地是顺风，需2小时；从乙地返回甲地是逆风，需2.5小时，则飞机往返的平均速度是（    ）千米/时。 A．700 B．667 C．675 D．650 2．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）小梦的房间是一个长3.8米，宽3.6米的长方形，如图所示。她列竖式计算了房间的面积，结合下图，可以发现她算错了，少算了（    ）的面积。 A．②和③ B．②和④ C．③和④ D．①和④ 3．（25-26六年级上·陕西延安·期中）宜川胸鼓刚劲矫捷、潇洒爽朗、节奏明快，深受人们喜爱。工厂接到一批制作胸鼓表演服装的订单，如果由甲组工人单独完成需要6天，如果由乙组工人单独完成需要8天，为了加快进度，现在由甲、乙两组工人合作完成，（    ）天能完成。 A．7 B． C． D． 4．（25-26六年级上·吉林长春·阶段检测）国家统计局数据显示，我国2023年第四季度GDP约是35万亿，___________，我国2024年第一季度GDP约是多少万亿？如果列式是，那么横线上应添加的条件是（    ）。 A．比2024年第一季度增长 B．比2024年第一季度减少 C．2024年第一季度比2023年第四季度多 D．2024年第一季度比2023年第四季度少 5．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）节约用水是保护水资源、维护生态平衡、保障人类生活的重要举措。浩浩家四月份平均每天的用水量是0.6立方米，五月份安装了节水水龙头，平均每天的用水量比上个月每天减少了。五月份浩浩家平均每天的用水量是( )立方米。 6．（2026六年级上·辽宁·专题练习）从知识科普到动手实践，知识性与趣味性结合让研学活动备受欢迎！六年级学生在研学实践中体验制作一批工艺品，计划完成90件，实际完成的比计划少，六年级学生实际完成了( )件工艺品。 7．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）在，，1.38382946…，1.3838，1.38中，有限小数有( )个，无限小数有( )个，循环小数有( )个，其中最大的循环小数是( )，最小的循环小数是( )。 8．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）一块长方形地砖长0.3米，宽0.2米，小红要计算这块地砖的面积，算式是0.3×0.2，但在计算时遇到了困难。下面是她想到的方法，请你将她的思考过程补充完整。 (1)她借助如图进行了思考：涂色部分表示的是长0.3米，宽0.2米的地砖，它的面积是6个小方格，每个小方格的边长是( )分米，面积是( )平方分米，6个小方格的面积一共是( )平方分米，也就是( )平方米，说明0.3×0.2＝( )。 (2)她把小数乘法转换成分数乘法：。 9．（2026六年级上·江苏·专题练习）列竖式计算。 0.36÷1.1＝（商用循环小数表示）    12.98÷0.16＝验算： 0.042×0.54≈（精确到千分位） 10．（2026六年级上·辽宁·专题练习）计算下面各题，能简算的要简算。                   11．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）为唤起公众的节水意识，加强水资源保护，解决日益严峻的缺水问题，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”。今年“世界水日”的主题为“水与性别”，为响应节水的号召，某小学将学校的30个普通水龙头换成了节水龙头。经测试，普通水龙头每分钟流水量为9升，节水龙头每分钟的流水量是普通水龙头的。该小学一分钟可以节约用水多少升？ 12．（26-27六年级上·辽宁·单元测试）学校组织“创建卫生城·绿色环保我先行”的宣传活动，六年级三个班到超市和菜市场向顾客赠送自制环保袋。1班赠送自制环保袋630个，2班赠送的个数是1班的，2班比1班少赠送了多少个自制环保袋？ 13．（26-27六年级上·江苏·单元测试）为了倡导低碳生活，共建美好家园，杨老师召开了“节约用电，低碳生活”的主题班会，下面是开班会时三个小朋友的对话： 谁家平均每天用电量最少？请计算说明。 14．（26-27六年级上·辽宁·课后作业）中老铁路（郑州－万象）国际货运列车开通啦！有19.9吨货物要出口，每辆小车能够装0.7吨的货物，用这辆小车运多少次才能把这些货物全部运到列车上？ 15．（26-27六年级上·江苏·单元测试）“低碳生活”是指人们在生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）排放量的一种生活方式。 (1)乐乐一家一月份开私家车的二氧化碳排放量是216千克，他家这个月开私家车耗油多少？ 碳排放量计算公式 自来水二氧化碳排放量（千克）＝使用量（吨）×0.91 私家车二氧化碳排放量（千克）＝耗油量（升）×2.7 (2)乐乐家一月份用自来水15吨，他家这个月用水的二氧化碳排放量为多少千克？ 16．（2026六年级上·江苏·专题练习）汽车导航系统为人们的生活带来很大的便利。甜甜一家自驾旅游，汽车的速度为63.5千米/时，他们已经行驶了2.2小时，此时导航显示距离目的地还有1.5小时的路程，则他们自驾游的出发点距离目的地一共多少千米？ 17．（26-27五年级上·全国·周测）张华和李斌两人拿出同样多的钱合买一箱梨子，张华拿了9 千克，李斌拿了4千克，结果张华要付给李斌5元。买这箱梨子共付了多少元？ 18．（25-26六年级上·山东济宁·期末）农耕馆参观活动，由四、五、六年级学生共同参与，其中五年级有240人。现有以下信息，请选择信息解答问题。 ①五年级人数占三个年级总人数的    ②四、五两个年级的人数比是 ③六年级人数比四年级人数多        ④六年级人数比三个年级总人数的40%少8人 六年级参观农耕馆的有多少人？ 可以选择的信息是（    ）和（    ）（填序号）。 列式解答。 19．（24-25六年级上·全国·单元复习）甲、乙、丙三人按约定分配劳务酬金。第一次：甲先取其中的，乙取剩下的，丙取乙取后剩下的。接着，按原次序和比率再分配两次。第四次，只有甲、乙还按原次序和原比率分配，而丙分得剩下的135元。则甲4次共分得多少元？ 20．（24-25六年级上·全国·单元复习）一组割草人要把两片草地的草割掉，大片草地面积是小片草地面积的2倍。上午大家在大片草地上割草，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割草，到傍晚收工时恰好割完；另一半人到小片草地上割草，到傍晚还剩一小块，这一小块第二天由一个人去割，恰好需要一天时间。请你算一下，这组割草人共有多少人？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学七年级上册第一次月考知识清单培优讲义「新教材」 第1、2章数学与我们同行、有理数 (知识梳理卡片+知识清单+25个重难点考点讲练+实战演练共65题●原卷版) 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】观察思考....… .......6 【重难点考点二】正负数的实际应用 ….7 【重难点考点三】带“非”字的有理数. ·.7 【重难点考点四】用数轴上的点表示有理数..· 【重难点考点五】利用数轴比较有理数的大小. 【重难点考点六】数轴上两点之间的距离. 9 【重难点考点七】数轴上点的平移（动点问题） ·…....10 【重难点考点八】数轴上找原点..... 【重难点考点九】数轴上整点覆盖问题.. ....11 【重难点考点十】数轴上的规律探究.. ....12 【重难点考点十一】绝对值的几何意义.. ·.12 【重难点考点十二】绝对值非负性.· ….13 【重难点考点十三】有理数大小比较的实际应用.· 【重难点考点十四】相反数的应用..…… ……….14 【重难点考点十五】化简多重符号.… 。....14 【重难点考点十六】有理数四则混合运算..... 【重难点考点十七】有理数四则混合运算的实际应用 .15 【重难点考点十八】根据点在数轴的位置判断式子的正负. ..17 【重难点考点十九】数轴上的翻折........ ….17 【重难点考点二十】乘方运算的符号规律... .18 【重难点考点二十一】用科学记数法表示绝对值大于1的数.· ..19 【重难点考点二十二】将用科学记数法表示的数变回原数..·. …….19 【重难点考点二十三】程序流程图与有理数计算....· 【重难点考点二十四】算“24”点...… ..21 第1页共25页 【重难点考点二十五】含乘方的有理数混合运算.. …….21 模块 知识梳理导图指引 1.1生活观察 第1章数学与我们同行 第2章有理数 1.正敬与负数 用数学的光现现实世界，发现慢出网题 正数：>0负数：<00不是正数他不是负数 用数学的思塘分析，解决问鹭： 2.有理酸的分类 数学韵语言表达姑黑 数学与生活 2.1有理数的认识 一正有甲回 有理数 欧学在健康、环保 航海尊领城的应用 3数袖 1.2活动思考 3210123 1.图形与变换 三要素：原点，正方向、单位长度 2.2数轴 数学与探索 2.图形与拼接 七年级上册 三尚影拥罐 △△ 2比较大小：在数地上表示钩再个数。右边的数单比左边韵数大 阶段复习知识点梳理 a<b如a在b的左边 多边彩罐 △ 、地对值：数链上表承数：的点到原点的至离 3密规律 a+b-b+a a-{828 面颗晚律 于服an 4数学与游戏 國 用通 数学与表达 2,3绝对值与相反数 M 1,3交流表达 用数学语言清晰 2.性：a≥0：lal-0a0 1.多种表达方式：文字，图表.符号、图形等 准确地表达思想 化：去绝对符号 2,5有理数的乘法与除法 4.相反数：a的相及数星一 △ ina 合清操表达方式 雨。准确地表达地 2.6有理数的乘方 2.4有理数的加法与减法 2除法法刺：就以一个不答于0的数，等于量这个数的侧数。 1定义家个圆钻勤职的话 1.加法法则：周号两数相加。取相周的符号，开把绝对值相加： g。aa￥-gaa个a 分配律ax+B+a 大 相得 2规定：=a,=1a0. 来于生。 负整数面数：。=(a去0叭， 4温合运第顺序：先罐，后加减：有活号元感号内，后括号外 3.运算律：的法交换律a+b=b+a:如法结合律(a+b)+c=a+(b+c, 有理数大小比较 滋值撞 绝时信的几何意义 乘方的意义 数地上的远镀 大质小 表示效轴上表示数：的 与原点的距底. ★★★☆ 2+3-1 -3-2-10121 1-21=2 131=3 2.2x2x2 -2-10123 模块二 知识清单温故知新 【第1章数学与我们同行】 知识点一生活中的图形与数字 生活中充满了图形和数字，多姿多彩的图形不仅美化了我们的生活，还包含着丰富的信息和数学知识 在日常生活中，我们也经常使用数字进行统计和测量，例如：通过观察，估计两个三角形的边长和角 度是否相等，一个正方形和一个长方形的面积大小是否相等，比较两个物体的形状、大小等特征可以 判断它们之间的关系 知识点二图形与数字中的信息 在人类文明的发展过程中，图形和数字是人们表达和传递信息的重要载体 几何图形可以把一些生活中存在的复杂而独特的精神、内容等赋予简化概括的视觉形态，它是最简单 的语言方式.在人类最早时期就利用符号化的图案来传递信息进行交流和联系，而后数字的产生给生活 第2页共25页 带来了极大的方便 生活中的邮政编码、手机号码、汽车牌照号码、条形码等，传递着生活中重要的信息，以至于我们见 到某一个特定的编号，就能迅速地知道编号表达的内容和代表的对象.如学生的学籍号表达了学生的 年级、班级、序号等信息.数字已成为人们表达和交流的工具 知识点三操作思考 数学学习过程中不仅有计算，而且有动手操作、归纳与推断.通过折叠、拼图、裁剪等活动感受图形 的性质，培养空间想象能力，养成交流、合作、独立思考的学习习惯 知识点四探究数字规律 观察一组数字序列，通过练习和尝试，从中找出数字序列中的规律，进行推算 知识点五调查设计 在进行生产、生活和科学研究等活动时，往往需要通过调查来收集数据，如开调查会、个别访谈、现 场查访、统计调查、问卷调查等.其中问卷调查是一种既省时省力，又能对事物进行比较全面系统调 查的方法，在日常工作中备受青睐 知识点六图形的变化规律 观察一系列图形，找出它们内在的共同之处，从中归纳其蕴含的规律.在活动的过程中，通过认真思 考，交流、验证或证明所探索的结论，掌握探究问题的方法 知识点七水温的变化规律 一杯开水在室温下的温度会逐渐下降.随着时间的变化，水温下降的速度是先快后慢，水自然冷却到 与环境温度一样时，温度不再下降，此时水温等于室温。 一种量变化时，另一种量也随之变化.如生活中汽车速度一定时，行驶的路程随着时间的增加而增加； 购物总价一定时，购买的数量随着单价的增加而减少等 【第2章有理数】 第3页共25页 知识 重点归纳 常见易错点 点 通常表示上升、盈利等用正数表示； 正数 正数、负数可以表示生活中具有相反意义的量 通常表示下降、亏损等用负数表示； 负数 这只是一种规定，可以根据实际需要改变 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度； 数轴 单位长度可以根据实际需要选择 2.利用数轴比较两个有理数的大小：左<右 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的 距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a. 3.绝对值的代数意义： 1.化简含有字母的绝对值时，要借助分类讨 (1)一个正数的绝对值是它本身； 论数学思想，对绝对值内的东西分三种情况 (2)一个负数的绝对值是它的相反数； 讨论，然后利用 (3)0的绝对值是0.即对于任何有理数a都有： a,当a>0 a,当a>0 0,当a=0将绝对值符号去掉化 绝对 0,当a=0 a,当a<0 -a,当a≤0 值 简； 4.绝对值的几何意义： 2.绝对值的几何意义非常重要，要灵活使用 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的 这一点解决问题。 距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点 3.绝对值的非负性最常见的应用： 的距离越近，绝对值越小 由lal+bl=0得出a=0,且b=0 lal的几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距 离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对 值总是正数或0即|al≥0。 1.有理数加法法则：（分类讨论思想) 1.有理数加法法则是最基本的，符号弄错是 （1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对 最常见的错误。 有理 值相加； 法则理解记忆方法： 数的 （2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值 可以把两个相加的数想象成打仗时的敌我 加法 较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小 双方，数的符号表示双方的旗子，数的绝对 的绝对值.互为相反数的两个数相加得0； 值代表双方的人数力量。 (3)一个数同0相加，仍得这个数 第4页共25页 知识 重点归纳 常见易错点 点 2.加法运算律：（作用：简化计算） 交换律：a十b=b十a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 有理 减去一个数，等于加这个数的相反数 将减法转化成加法做，做熟练后就可以不转 数的 a-b=a+(-b) 化了 减法 1. 有理数乘法法则： (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝 对值相乘； 1.有理数乘法法则简单好记，但写结果时， 有理 不要忘记符号，更不要与加法法则符号混 (2)任何数同0相乘，都得0. 数的 淆！ 2.有理数乘法运算律： 乘法 灵活利用有理数的乘法运算律，可以简化计 乘法交换律：ab=ba 算，减少计算错误。 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：a(b十c)=ab+ac 除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这 有理 个数的倒数， 即a÷6=a号6≠0。 数的 乘除互为逆运算，可以相互转化 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把 除法 绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都 得0 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘 1.乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂 方，乘方的结果叫做幂。 是乘方运算的结果。 底数a指数 2.当底数是以下几种情况时，要用括号括起 来： 有理 幕 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的 数的 即有：a…a…a=a”. 一个数而是含有运算的式子。 乘方 个 3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指 底数：在a”中，a叫做底数；指数：n叫做指数 数1通常省略不写. 特别地，当指数n=2时，一般成为平方；当指数 4.底数为-1的幂规律要理解记忆，这个最 n=3时，一般成为立方。 常考。 第5页共25页 知识 重点归纳 常见易错点 点 2.乘方的符号法则： 1,n为奇数时 (1)” (1)正数的任何次幂都是正数； 1,n为偶数时 (2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正 数； (3)0的任何正整数次幂都是0； (4)任何一个数的偶次幂都是非负数，即a2≥0， 3.科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示 成a×10”的形式（其中1≤|a|<10,n是正整 数)，这种记数法叫做科学记数法， 有理数的混合运算解题步骤： 1.有理数的混合运算主要是运算顺序的问 有理 1.审题：包含哪些运算，能否使用运算律简化运 题，每一步都要注意查看运算顺序该做哪一 数的 算； 步； 混合 2.计算：按运算律和运算法则进行计算； 2.另外还要注意使用运算法则时的符号问 运算 3.检查：注意检查符号。 题。 模块三 重难点讲练能力提升 【重难点考点一】观察思考 【典型例题】（23-24七年级下·江苏镇江·期末)间隔问题是生活中很有趣的问题.例如，一共有8棵树， 每两棵树都间隔4米，从第一棵树到第八棵树的距离就是4×(8-1)=28（米）· (1)在一条长42米的道路上，从起点到终点一共栽了14棵（两边都栽），已知相邻两棵树的距离都相等， 每两棵树之间的距离是多少米？ (②)一名外卖员从一楼到六楼跑到需要30秒，那么他以同样的速度从二楼跑到五楼，耗时比从一楼到六楼 少了多少秒？ (3)一根木头长81厘米，要把它锯成一些9厘米的小段，每锯一次要3分钟，一共要锯多少分钟？ 第6页共25页 【举一反三练习】“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每 星期一写1张，每星期二写2张，…，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月 30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 并可推断出5月30日应该是星期几」 【重难点考点二】正负数的实际应用 【典型例题】(26-27七年级上·江苏南通·阶段检测)《九章算术》中记载了我国古代的算筹记数法.为 方便理解，本题按其位值思想简化规定如下：记数时把各数位按从左到右排列，每一数位上的数值由该位 竖筹的根数直接读出；此外，若在整组算筹的最左端斜放1根筹，表示这组数是一个负数，斜放的这根筹 不参与数位计数.某同学摆出的算筹，从左到右依次为：1根斜筹、2根竖筹、3根竖筹.按上述规定，这 组算筹表示的负数写成现代数学符号是 【举一反三练习】(26-27七年级上·山东聊城·开学考试)如果温度上升3℃记作+3℃，那么温度下降5℃ 记作( )℃：在数-3，+2.5,0，-07，-4中，正数有( )个. 【重难点考点三】带“非”字的有理数 【典型例题】(26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测)把下列各数填在相应的大括号里： -6,3.14,35%,-033,0.5,0,-52026, 负数集合： 整数集合： } 正分数集合： }: 非负数集合： 【举一反三练习】(25-26七年级上·广东佛山·期中)现有一组数：-3，-40%，-0.26,10,19，-5， 3.9,-8. (1)请你把上述各数填入下列表示它所在的数集的圈里： 分数 正整数 负整数 (2)判断正误：有理数可分为分数、正整数、负整数. (填“正确”或“错误”) 第7页共25页 【重难点考点四】用数轴上的点表示有理数 【典型例题】(24-25七年级上·四川达州·阶段检测)下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数 就是负数：③非负数就是正数：④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数.其中正确的结论有( 个 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【举一反三练习】(25-26七年级上·云南玉溪·期中)把下列各数填在相应的集合中. 15,-2081,-3,号，-31，-4,171,0,3.14，m,-16 (1)负数集合{ (2)正分数集合{ (3)非负整数集合 【重难点考点五】利用数轴比较有理数的大小 【典型例题】(26-27七年级上·江苏南京·单元测试)【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为acm的木棒MN放在一条数轴（单位长度为1cm)上，它的两端%，N分别落在点A, B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点W对应的数为25，当点N 移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4. CMN 04 AB25→ (1)由此可得，CD=_cm,a的值为_cm. (2)图中点A所表示的数是，点B所表示的数是_· 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁：你若是我现在这么大，我已经是128岁 的老寿星了，”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路 第8页共25页 【举一反三练习】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末)如图所示的数轴上，每小格的宽度相等. 1 2→ (1)填空：数轴上点A表示的数是一，点B表示的数是 (②)点C表示的数是-，点D表示的数是-1，请在数轴上分别画出点C和点D的位置. (3)将A,BC,D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“>”连接. 【重难点考点六】数轴上两点之间的距离 【典型例题】(24-25六年级上·山东烟台·期中)画出数轴，表示下列有理数，并用“<”将各数连接 起来 -1-2.51,-1,0,-（)+3 【举一反三练习】(25-26七年级上·河北唐山·期末)如图，在数轴上有A、B、C三点. (1)点B表示的数是一一： (2)点D与点C到A点的距离相等且两点不重合，则点D表示的数是-一： (3)请在数轴上描出-用点E表示，将点C、D、E三个点表示的数用“<”连接. 第9页共25页 【重难点考点七】数轴上点的平移（动点问题） 【典型例题】(24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测)七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究， 他们决定研究“折线数轴”. 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点O,点B,点C处折一下，得到一条“折线数轴”.图 中点A表示-9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，点A与点D在数轴上的距离为45个单位长度，并表 示为AD=45 2 4→P -9 24 素材2动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动.当运动到点0 与点B之间时速度变为初始速度的一半.当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍.经过点C后立 刻恢复初始速度， 问题解决： (1)探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？ (2)探索2：动点P从点A出发，运动18秒至点B和点C之间时，求点P表示的数？ (3)探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足PB+PC=16时，求动点P运动的时间. 【举一反三练习】(26-27七年级上·浙江·开学考试)对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是 含210克3> A.与3相比，点M表示的数离0更近 B.2.1和点M表示的数之间有5个整数 C.点M表示的数在-3与-2之间 D.点M表示的数和0之间有3个负整数 第10页共25页 【重难点考点八】数轴上找原点 【典型例题】如图，在数轴上有三个点A、BC,请回答下列问题. A C 543克-1012方45→ (1)A、BC三点分别表示、-、-： (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是： (3)将点A平移m(m>0)个单位长度，点A所表示的数是_， 【举一反三练习】(25-26七年级上·四川乐山·期末)如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在 数轴上水平移动，当A点移动到B点时，B点所对应的数为15，当B点移动到A点时，A点所对应的数为3（单 位：单位长度)，由此可得 03 A B 15 (1)玩具火车的长为 个单位长度： (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么 大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为 【重难点考点九】数轴上整点覆盖问题 【典型例题】(25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测)数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度 是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数是 第11页共25页 【举一反三练习】(24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测)如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等 分点处依次标上数字0,1,2,3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数 轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数-2024将与圆周上的哪个数字重合() 0 012345 A.0 B.1 C.2 D.3 【重难点考点十】数轴上的规律探究 【典型例题】(25-26七年级上·河南信阳·阶段检测)正六边形ABCDEF(六条边相等)在数轴上的位置 如图所示，点A,F对应的数分别为1和O,若正六边形ABCDEF绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻 转1次后，点B所对应的数为2…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是( ) AFA 6内43210234对6 A.点A B.点B C.点C D.点D 【举一反三练习】(25-26七年级上·河北石家庄·期末)如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将 点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点A1,第2次从点A1向右移动4个单位长度至点A2, 第3次从点A2向左移动6个单位长度至点A3,…按照这种移动方式进行下去，如果点A与原点的距离等于 116,那么n的值是 g2-1013;。7 【重难点考点十一】绝对值的几何意义 【典型例题】(26-27七年级上·内蒙古·单元测试)己知a,b是不为0的有理数，且|a=-a,bl=b, la>bl,那么用数轴上的点来表示a,b时，正确的是( A.方0日 8.b0a D.a0方> 【举一反三练习】(25-26七年级上·山东德州·期中)已知ab为有理数，a<0,b>0,且la>b, 将a,-a,b,-b从小到大排列，用“<”连接： 第12页共25页 【重难点考点十二】绝对值非负性 【典型例题】(26-27七年级·全国·小升初衔接)已知x,y,z均为整数，且满足lx-y+y-z引=1， 则x-z的值为 【举一反三练习】已知la-2引+b-3引=0， (1)求a+b的值. (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数. 【重难点考点十三】有理数大小比较的实际应用 【典型例题】(26-27七年级上·全国·课后作业)某种食品包装袋上标注质量为450g,对6袋该种食品 的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： -25,+10,-20,+30,+15,-40, 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 【举一反三练习】(25-26七年级下·河北唐山·期末)2026年6月1日~10日嘉嘉与淇淇相约去跑步， 两人手机“微信运动”的步数统计如下表（步数单位：千步），下列结论正确的是( 日期 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 嘉嘉 3 5 5.1 5.5 6.8 7.7 8 9.2 11 淇淇 8.1 6 7.5 6.4 4.5 4.6 7.5 9 9.2 10.2 A.淇淇单日的步数最多是10.2步 B.淇淇单日的步数高于嘉嘉的有7天 C.6月11日，嘉嘉的步数一定比淇淇的多 D.6月5日，淇淇的步数低于嘉嘉的 第13页共25页 【重难点考点十四】相反数的应用 【典型例题】(25-26七年级上·湖北荆门·期中)我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少 数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来.如图，数轴上表示数a,b的点如图所示，把a,-a, b,一b按照从小到大的顺序排列，正确的是( a0b→ A.-b<-a<a<b B.-a<-b<a<b C.-b<a<-a<b D.-b<b<-a<a 【举一反三练习】(25-26七年级上·四川泸州·阶段检测)在数学中，我们把“不大于x的最大整数”称 为下取整函数(F1 por Function),记为lx,也就是说lx表示取小于或等于x的最大整数.例如：2.6=2， -3=-3. (1)填空：10=；-10=一-： (2)若x为整数，且x-2+儿x+1川=3，则x所有可能的取值为_一 (3)若a,b都是整数，且a+引利b-引互为相反数，求代数式3(a+b)2-b-a的值. 【重难点考点十五】化简多重符号 【典型例题】(25-26七年级上·山东德州·期中)已知点AB、CDB、F在数轴上分别对应下列各数： 0,-3.5,-3.75,-(+49,-(-5),-22 (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） B -5-4-3-2-1012345 (2)用“<”号把这些数连接起来. 第14页共25页 【举一反三练习】(26-27七年级上·全国·课后作业)按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①-(-2)：②+（-)：③-【-(-4：④-【-(+3.5：⑤-{-[-(-5：⑥-{-[-(+5}. (2)若+5前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若-5前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？ 你能总结出什么规律？ 【重难点考点十六】有理数四则混合运算 【典型例题】(26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)简便运算 (-名+)×24 (2)-5×（-7)+8×(-7)3)(G-+)÷ 【举一反三练习】(26-27七年级·浙江·暑假作业)计算 (1)(-13)×4÷ (2)(-1)×(-25)×0÷5: (2)-32×号+(-13)÷(-)-(-9)×3 (4)125×(-5). 【重难点考点十七】有理数四则混合运算的实际应用 【典型例题】(26-27七年级上·江苏南通·阶段检测)南通某文创商店在中秋假期销售A、B两款盲盒，A 款每个售价30元，B款每个售价20元.商店用正数和负数记录三天的库存变化：标“+”表示当天售出、 其数值计入销售个数，标“一”表示当天进货补货、不计入销售个数.三天记录如下： 第15页共25页 周一：A款+12，B款-8： 周二：A款-6，B款+15： 周三：A款+9，B款+7. 已知每款盲盒的进价均为售价的一半，请按款式分别算出这三天A、B两款盲盒销售所获得的利润总额（利 润总额=销售额-销售成本)，并说明两款合计是盈利还是亏损. 【举一反三练习】（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测)综合应用： -3-2-1012345678 图1 0 6A(0BS24→ 图2 04812162024→ 图3 (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M,点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N,且点W表示 的数是5，那么a的值是-； (2)如图2，有一根木尺PTSQ放置在数轴上，它的两个顶点，点不点S分别落在数轴上的AB两点处.将 木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应 的数为6（单位：cm),利用所学知识可以求出点A表示的数为一，点B表示的数为一； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁； 你若是我现在这么大，我就20岁啦.”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第(2)小 题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程， 第16页共25页 【重难点考点十八】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典型例题】(26-27七年级上·内蒙古·单元测试)已知a,b,c为有理数，且它们在数轴上的对应点的 位置如图所示。 a 0b (1)用“>”或“<”填空：0，b0,c0, (2)在数轴上标出a,b,c的相反数所对应的点的位置. (3)若la=5,bl=2.5,1c=7.5,求a,b,c的值. 【举一反三练习】(25-26七年级上·四川眉山·期中)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示. a 0 b (1)b+c_0,a-b_0,a+c_0,a_0;(填>、<或=) (2)若关于a,b,c的代数式lb+cl+la-bl-2la+c+mad的值与字母a的取值无关，求m的值. 【重难点考点十九】数轴上的翻折 【典型例题】如图，A、B两点在数轴上，A表示的数为-10，B表示的数为14. A B -10 0 (1)A、B两点间的距离是 (2)若把点A先向右移动15个单位，再向左移动12个单位，然后又向左移动1.5个单位，此时点A表示的数 是一一 (3)如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A和点B之间的距离是1，则C点表示的数是 A 第17页共25页 【举一反三练习】(2025七年级上·四川南充·专题练习)如图：将下面的数轴进行对折，使表示-1的点 与表示3的点重合，然后回答下列问题： 5-432寸012345> (1)表示5的点与表示_的点重合，与-2026重合的数是； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为9，点A在点B的一侧，且A、B两点折叠后重合，求A点和B点表示 的数. 【重难点考点二十】乘方运算的符号规律 【典型例题】(25-26七年级上·安徽铜陵·期中)如图，已知在数轴上，点A表示的数为a,点B表示的数 为b,且a+3+(b-42=0 -4-3-2-10123456→ (1)点A,点B表示的数分别是_： (2)若点P是数轴上一动点，其表示的数为x.利用绝对值的几何意义，探索x+3+x-4的最小值为_： (3)若点A,点B同时沿数轴向正方向运动，点A运动的速度为2个单位长度/秒，点B运动的速度为1个单位 长度/秒，若运动的过程中，当点A、B之间相距6个单位长度时，求运动时间的值. 【举一-反三练习】（25为八年级上·江西上饶·期末)计算（月06(）5的结果是（) A.-9 B.哥 c.号 D.9 第18页共25页 【重难点考点二十一】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典型例题】(26-27七年级上·全国·课后作业)按要求解答下列问题： (1)一棵生长了20年的大树，仅能制成5000∽8000双一次性筷子.假设每人每天用1双一次性筷子，调 查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示)，如果是一 个1000万人口的城市呢？ (2)根据(1)中的估算结果，你有何感想？ 【举一反三练习】(25-26九年级下·河北石家庄·阶段检测)神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之 一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时(1≤t≤10)飞行的距离用科学记 数法表示为“a×10n”公里，则下列说法正确的是( A.a的值为28.44 B.a为正整数 C.n的值为4或5 D.将“a×10n”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【重难点考点二十二】将用科学记数法表示的数变回原数 【典型例题】(24-25七年级下·河北张家口·期中)地球上水的总储量为1.39×1018m3,但目前能被人 们利用的水仅占总储量的0.77%，即约为0.0107×1018，关于数据“0.0107×1018”，下列说法正确的是 A.用科学记数法可以表示为1.07×1016 B.用科学记数法可以表示为1.07×1018 C.该数是一个18位数 D.该数是一个19位数 【举一反三练习】截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是5.76×106人份，实现了“应检尽检”、“愿 检尽检”.数据5.76×106原来的数是() A.576000 B.576万 C.57600000 D.57.6万 第19页共25页 【重难点考点二十三】程序流程图与有理数计算 【典型例题】(25-26七年级上·重庆渝北·开学考试)执行如下的程序框图，若输入的a=6,则输出的S 值为 开始 /输入a 3,S-a ii-1 S-S+5 =1> 否 Y是 /输出S 结束 【举一反三练习】(25-26七年级上·陕西西安·阶段检测)根据如图所示的程序回答问题： 输入a、b) 相乘 减1 结果是 否 正数吗？ 取绝对值 是 输出结果 (1)当凡凡输入-和-这两个数时，则输出的结果是 ②当林林输入-是和受这两个数时，求输出的结果。 第20页共25页 【重难点考点二十四】算“24”点 【典型例题】(2026七年级上·江苏·专题练习)如图，小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求 取出卡片，完成下列问题： -3 +2 +3 +4 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，用学过的“+，一，×，÷”运算，使结果为24.请写出2个运算式 并进行计算： ① ② 【举一反三练习】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： -3 -5 0 +3 +4 (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最 大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号）“+”、“一”、“×”、“÷” 运算，使其结果等于24.（写出一种情况即可） 【重难点考点二十五】含乘方的有理数混合运算 【典型例题】(2026七年级上·浙江·专题练习)计算： (1)(-3)2-(1)×号-6÷引 ②)-14-(G-)×[(-2)3-(-3)2] 第21页共25页 【举一反三练习】（25-26七年级上·河南郑州·期中)简便运算. 927+…+512+1 +++ 512-1 2)(1+)×(1+2)×(1+3)×…×(1+1007x100)) (3)97×+770×0+570× (4)68×(3-)+25×(g+)-43×(5-) 模块四 优选真题实战演练 1. (26-27七年级上·江苏南通·阶段检测)己知数轴上两点A、B分别表示数-3和5.数轴上两点的距 离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为5-(-3)川=8.点P从点A出发沿数 轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动.当两 点相遇时，点P表示的数是( A.0.2 B.1.8 C.2.6 D.3.2 2.(26-27七年级上·江苏·阶段检测)(1)任何有理数都有相反数；(2)任何有理数都有倒数；(3) 在任何一个数前面添上负号，就表示一个负数：(4)没有绝对值是-1的数，其中正确的是( ) A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(4) D.(1)(4) 3.(2026七年级上·全国·专题练习)如图，四个有理数m,n,p,q在数轴上的对应点分别为M,N,P, Q,若n+q=0,则m,n,p,q中绝对值最大的数是( 第22页共25页 M A.m B.n C.p D.q 4.(26-27七年级上·江苏·阶段检测)如图，一条数轴上有点A、RC,其中点AB表示的数分别是-14， 1O,现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 ( A B→ A.1 B.-3 C.1或-5 D.1或-4 5.(26-27七年级上·内蒙古·单元测试)小学时候大家喜欢玩的“幻方”游戏，老师稍加创新改成了“幻 圆”游戏.现在将-1,2，-3,4，-5,6，-7,8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圆上的 4个数字的和都相等.如图，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则a+b的值为( ) 7 A.-6或-3 B.-8或1 C.-1或-4 D.1或-1 6.（23-24七年级下·江苏镇江·期末)如图，科技人员正用玩具火车和玩具隧道实验，已知火车长6米， 而火车完全通过隧道需要8秒，在某一光照处火车被光照射的时间为2秒.那么一辆按照同样速度通行的9 米火车完全通过隧道需要 秒 7.(26-27七年级上·山东济南·开学考试)如图，某工程队测得点P的海拔为17m,点Q的海拔为-5m, 则点P与点Q之间的高度差为 海平面 第23页共25页 8.(26-27七年级上·全国·单元测试)用“→”，“←”定义新运算：对于任意有理数a,b,都有a←b=-a 和ab=b,例如：3←2=-3,3→2=2，则(2025←2023)←(2023→2024)=一一-· 9.(26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测)将不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记为x], 比如[2.5=2，目=0，那么[-3.5]+3.51= 10.(25-26七年级上·河南郑州·阶段检测)有一条正方形赛车赛道ABCD,周长为4000米.两辆无人驾 驶赛车正在做练习测试.甲赛车从B出发，乙赛车从A出发，同时出发顺时针匀速行驶.甲每秒钟行驶100 米，乙每秒钟行驶88米.至少经过 秒钟后，两辆车在同一条边上行驶.（注：若出现两者恰 好都在顶角上的情况，不符合要求.) D 11.(2026·新疆乌鲁木齐·三模)定义：r(d)表示正整数d的所有正因数的个数，例如4有3个正因数： 1、2、4,则（④=3.设yn=∑an(d),其中∑mr(d)表示d取遍n的所有正因数再求和.例如y4= r(1)+r(2)+r(4=1+2+3=6.则y50=--· 12.(25-26七年级上·四川成都·开学考试)打印一部600页的稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独 打要15小时完成.现在，甲、乙两人轮流工作.甲工作1小时，乙工作2小时：甲工作2小时，乙工作1 小时：甲工作1小时，乙工作2小时…如此交替下去，打印这部书稿共要 小时 13.(2026七年级上·全国·专题练习)计算： (1)(-3)2-(1)°×号-6÷引： (2)-14-(（G-)×[(-2)3-(-3)2] 第24页共25页 14.（2026七年级上·河北·专题练习)观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观 察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①4日)： ②=-)： ®8=()： … (1)按以上规律，第④个等式为： ②按此规律，计算+6+女十0+0的值： (3)探充计算：立+++高+4+品++的值. 15.(2026七年级上·河北·专题练习)我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点A、B,若数轴上存 在一点M,且点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”，根据上述定义， 解答下列问题： (1)若数轴上点A表示的数为-5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 (2)若数轴上点A与点B的“雅中点”M表示的数为2，A、B两点的距离为9（点A在点B的左侧)，求点A和 点B表示的数； (3)已知数轴上点A、C、D表示的数分别是-6，一4，一2，点B在点C、D之间运动（点B可与点C、D重合），设 点M表示的数为m,且点M为点A与点B的“雅中点”，求m可取的整数. 第25页共25页