第二章 有理数（7考点+20易错+易错训练）（知识清单）数学新教材苏科版七年级上册

该初中数学第二章“有理数”知识清单系统梳理了有理数的核心内容，涵盖正数负数、有理数分类、数轴、绝对值与相反数、四则运算及科学记数法等知识范畴，搭建了从概念理解到运算应用的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点+对点训练”三级架构呈现知识体系，突出运算能力和抽象能力的培养，如将“绝对值的非负性”标注为易错点并配示例题，帮助学生建立符号意识。设计“数轴动点问题”等情境化训练，强化应用意识，教师可据此精准突破重难点，学生能自主查漏补缺，提升学习效率。

第二章 有理数 知识点一 正数与负数 正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数. 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 整数和分数 整数：正整数、负整数、零统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 易错点： 1.0不是分数，0是整数； 2.零和正整数又叫自然数； 3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（自然数），负整数和零统称为非负整数； 4.有限小数和无线循环小数都可以化成分数（见知识点五的拓展）. 用正负数表示误差范围 一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围. 知识点二 有理数的概念与分类 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：. （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：、等，混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．例如：，. 有理数的分类 由有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按定义分 2.按正负分 补充：有理数的分类原则 ①标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； ②分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； ③分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 知识点三 数轴的概念与画法 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 有理数与数轴上点的对应关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 知识点四 绝对值与相反数 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 相反数的意义 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 知识点五 比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 知识点六 有理数的四则混合运算 有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 有理数加减法混合运算 1.利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2.去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3.利用加法法则和加法运算律进行计算. 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 知识点七 科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 易错点1 正数与负数的概念、意义混淆 易错提醒 误把带 “+” 号就当正数、带 “‑” 号就是负数，忽略字母可代表任意数。0 是正负分界，既非正数也非负数。用正负数表示相反意义的量时，容易搞错基准，随意设定正负。注意正负数只表示相对意义，不是简单看符号外观。 【对点训练】1．在，，，，3.8，中，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对点训练】2．下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 易错点2 有理数的分类错误 易错提醒 易混淆整数、分数范畴，误将有限小数、无限循环小数排除在分数外；错把 π 这类无限不循环小数归为有理数。分类时重复或遗漏 0，混淆正负与整数分数的交叉关系，做题需牢记整数和分数统称有理数。 【对点训练】3．把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，0，（每两个1之间增加一个2），，，． 整数：； 负分数：； 正有理数：； 非负整数：． 【对点训练】4．把下列各数的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩． 正有理数集合：{                                                  …}； 非负数集合：{                                                  …}； 非正整数集合：{                                                  …}； 分数集合：{                                                  …}． 易错点3 数轴上两点之间距离不会表示 易错提醒 数轴两点距离易错，很多同学只会大数减小数，不会通用公式。忽略点的左右位置，直接用坐标相减，忘记加绝对值。已知距离求点时，常漏掉另一侧的解，只算出一个结果。要牢记两点距离等于两数差的绝对值|x1-x2|。 【对点训练】5．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【对点训练】6．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p． (1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值； (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p的值． 易错点4 数轴上整点覆盖问题 易错提醒 数轴整点覆盖问题易错，容易直接用右端点减左端点得到整点个数，忽略端点是否包含。若线段端点为整数，个数为右端-左端+1；端点不是整数则直接相减。做题常漏加 1，分不清包含与不包含端点，导致结果少算一个整点。 【对点训练】7．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 【对点训练】8．在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为____． 易错点5 数轴上的动点问题 易错提醒 数轴动点问题易错，容易忽略点运动方向，漏写向左移动时坐标的减法运算。计算两点距离忘记加绝对值，只考虑一种位置关系。求相遇、相距问题时常漏掉多解情况，忽略动点到达端点停止运动的限制条件，不检验结果是否符合题意。 【对点训练】9．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 【对点训练】10．如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 易错点6 绝对值的非负性问题 易错提醒 绝对值非负性易错，只记住绝对值是正数，忽略|a|可以等于 0。遇到多个绝对值相加为 0，容易只写一个未知数等于 0，遗漏另一个。做题切记每个绝对值结果都≥0，和为 0 则每一项必须同时为 0 【对点训练】11．已知，且，求___________． 【对点训练】12．已知，求下面各式的值： (1)； (2)． 易错点7 绝对值的几何意义 易错提醒 绝对值几何意义易错，易把|a|理解成 a 到原点距离，|a‑b|表示两数距离时常看错式子。已知距离求数，容易只写出一个解，漏掉另一侧对应点。不会转化几何语言，不会借助数轴分析，直接代数计算，忽略双解情况造成丢分。 【对点训练】13．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【对点训练】14．阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，； 当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边， ； 如图3，当点A、B都在原点的左边，； 如图4，当点A、B在原点的两边，． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和6的两点之间的距离是_______数轴上表示2和的两点之间的距离是________． (2)数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是_____，若，那么x为______． (3)当x是________时，代数式． 易错点8 绝对值中的最值 易错提醒 绝对值最值易错，容易直接凭代数判断，忽视数轴几何含义。求|x‑a|、|x‑a|+|x‑b|最值时，分不清取最小值的 x 取值。多个绝对值相加，不会利用分段点分析，易漏掉区间，误判最值结果，忽略有无最大值的情况。 【对点训练】15．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【对点训练】16．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 易错点9 绝对值的实际应用 易错提醒 绝对值实际应用易错，常用于误差、偏差问题，易混淆实际数据与偏差数值。做题时不会读懂题意，分不清哪个量取绝对值，忽略允许波动范围。求解合格范围容易漏边界，不会结合正负偏差分析，直接代数计算，脱离实际情境导致答案出错。 【对点训练】17．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 【对点训练】18．在活动课上，名同学用橡皮泥各做了个乒乓球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表所示： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 (1)哪些同学做的乒乓球是符合要求的？ (2)在符合要求的乒乓球中，哪名同学做的质量最好？这名同学中，哪名同学做的质量最差？ (3)请你对这名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差排名； (4)请你用学过的绝对值知识来说明解答以上问题的依据． 易错点10 有理数的大小比较 易错提醒 有理数大小比较易错，容易忽视数轴 “右大左小”。比较负数时，常直接比较数字大小，忘记绝对值大的负数反而小。混淆正数、0、负数的大小关系，多个数排序时符号处理失误，漏掉负号，未先区分正负再比较，造成排序错误。 【对点训练】19．如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 【对点训练】20．（1）把下列各式化为最简后，填在横线上； ①_____；②_____；③_____． （2）比较下各小题中两个数的大小，并简单的说明理由． ①与；   ②与；   ③与0 易错点11 有理数的四则混合运算错误 易错提醒 有理数四则混合运算易错，常颠倒运算顺序，先算加减再算乘方乘除。去括号时括号前为负号，部分项忘记变号。负因数个数统计失误，符号判断出错。乘方混淆(-a)n与-an，不注意分数线兼具括号作用，计算细节疏漏导致结果出错。 【对点训练】21．计算下列各题： (1) (2) 【对点训练】22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 易错点12 有理数的简便运算错误 易错提醒 有理数简便运算易错，乱用运算律，分配律漏乘括号内部分项。交换移动数时漏带前面符号，只挪动数字。凑整、分组时分组不合理，符号处理不到位。分数运算通分约分出错，盲目套用简便方法，忽略优先顺序，造成计算失误。 【对点训练】23．用简便的方法计算 (1) (2) 【对点训练】24．用运算律简便运算 (1) (2) 易错点13 含乘方的有理数混合运算错误 【对点训练】25．计算： (1)． (2)． 【对点训练】26．【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）写作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_________，__________； (2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式．_________，_________． (3)算一算：． 易错点14 有理数四则混合运算的实际应用 易错提醒 有理数四则混合运算实际应用易错，容易看错题干正负意义，混淆相反意义量。列式时符号设置出错，忽略单位与实际限制条件。计算过程只顾数值，不检验结果是否符合现实情境，作答遗漏单位，审题不清直接套公式，导致列式与题意不匹配。 【对点训练】27．冬季来临，小芳家为了节省取暖费用，将旧空调更换为节能空调．她记录了一星期内每天节能空调的运行时长（如下表，单位：小时）．以5小时为标准，超过的小时数记为正数，不足的小时数记为负数．其中，星期五比星期四多用小时． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长 a 0 (1)根据题意得： ______； (2)已知旧空调耗电每小时度，节能空调耗电每小时度，若电价为元/度，小芳家换成节能空调后，这一星期七天的电费比原来使用旧空调节省了多少元？ 【对点训练】28．下表是九年级某班50位同学参加某次一分钟仰卧起坐比赛的情况，规定标准数量为每人每分钟50个． 实际数量与标准数量的差值 0 1 3 4 人数 6 8 3 10 9 8 6 (1)50名学生中一分钟做仰卧起坐个数最多的学生比最少的学生多做多少个？ (2)该班所有同学一分钟共做仰卧起坐多少个？ (3)一分钟仰卧起坐比赛的计分方式为：刚好达到标准数量不得分，若每分钟仰卧起坐个数超过规定标准数量，每多做一个加3分，没有达到规定标准数量的，每少做1个扣2分，则该班50名学生的总积分是多少？ 易错点15 根据点在数轴的位置判断式子的正负 易错提醒 根据数轴点位置判断式子正负易错，常看错点的左右远近，搞错数的大小关系。判断两数和、差、积的符号时，忽略绝对值大小的影响。去绝对值化简时，不能准确判定内部式子正负，符号变换出错，遗漏相等特殊情况，直接主观臆断式子符号。 【对点训练】29．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“ ”或“”填： 0， 0； (2)求的值． 【对点训练】30．按下列要求解答： (1)已知，化简：； (2)若、、在数轴上对应位置如图所示，化简：． 易错点16 数轴的翻折 易错提醒 数轴翻折问题易错，容易找不准翻折中心点，中点公式运用出错。计算对称点时，不会利用 “两点到中点距离相等” 列式，只简单加减。经常漏解，忽略多段翻折情形，不会借助距离转化，仅凭直观想象，不列式计算，造成对称点求解错误。 【对点训练】31．操作与探究 对数轴上的点进行如下操作：先把这个点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到这个点的对应点．若点A、B在数轴上，对点A、B进行上述操作后得到对应点分别为． (1)若点A表示的数是，点表示的数是______； (2)若点表示的数是2，点B表示的数是______； (3)保持前两问的条件不变，点C是线段上的一个点，以点C为折点，将数轴对折，点B的对应点落在数轴上的处，若，求点C表示的数． 【对点训练】32．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_______． A．    B．    C．    D． ②有一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是_______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2025的点与表示_______的点重合； ②一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在数轴上，并且，求点C表示的数． 易错点17 科学记数法表示错误 易错提醒 科学记数法易错，容易搞错a的取值范围，出现a≥10或a<1。确定指数n时常数错位数，还原原数小数点移动出错。处理带单位的数据时忽略单位换算，负数科学记数法漏写负号。做题不核对数位，导致指数偏大或偏小。 【对点训练】33．淮安市是个旅游城市，其中河下古镇、周恩来纪念馆、周恩来故居、沈坤状元府等景点更是人来人往．据报道，2025年清明节期间，来淮旅游人数约753000人，将数据753000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【对点训练】34．年月日，神舟十九号载人飞船取得圆满成功．发射场受到我国超过人的关注，这个数字用科学记数法表示为______． 易错点18 程序流程图与有理数计算 易错提醒 程序流程图有理数计算易错，容易读不懂流程图的运算顺序，遗漏循环重复执行步骤。代入数值时符号抄写失误，忽略分支判断条件。多次循环运算，只计算一次结果，没有反复迭代。不看清输出条件，中途停止运算，忽视括号优先级，造成最终答案出错。 【对点训练】35．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去……第2025次输出的结果是 __________． 【对点训练】36．按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是72，则最后输出的结果是________ ． 易错点19 算24点 易错提醒 算 24 点题型易错，容易随意拼凑算式，忽略括号改变运算顺序。使用负数参与运算时符号频繁出错，不会灵活运用乘除构造 24。部分题目存在多组解法，做题容易漏看可行组合。常直接口算，缺少分步推演，忽视有理数运算规则，出现式子逻辑不成立的错误。 【对点训练】37．“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【对点训练】38．如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是__________； (2)取4张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式使结果为24． 易错点20 有理数的新定义运算问题 易错提醒 有理数新定义运算易错，容易直接套用四则运算法则，混淆题目自定义的运算规则。代入数值时常漏括号，负数代入时符号处理失误。分不清运算先后层级，不会分步拆解式子。多个字母运算，漏看限制条件，直接主观推导，忽略题干规定，造成列式与计算出现错误。 【对点训练】39．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【对点训练】40．a，b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”：定义a⊕b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5， 例如：2⊕3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1． 请根据“⊕”的定义计算： (1)﹣2⊕4； (2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）． 1．与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 2．在2026年春节档期，电影市场的热度持续高涨.电影《惊蛰无声》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 4．若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（   ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 6．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 7．在，，，中，结果是负数的有_________个． 8．计算：_______． 9．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 10．小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 11．数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 12．有理数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于______． 13．如图，点A、B、C表示的数分别是a、b、c，化简 ________ ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．下面各题怎么算简便就怎么算． (1) ； (2) ； (3)； (4)． 16．计算下列各式 (1) (2) (3) (4) 17．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 18．探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 19．规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 20．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数 知识点一 正数与负数 正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数. 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 整数和分数 整数：正整数、负整数、零统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 易错点： 1.0不是分数，0是整数； 2.零和正整数又叫自然数； 3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（自然数），负整数和零统称为非负整数； 4.有限小数和无线循环小数都可以化成分数（见知识点五的拓展）. 用正负数表示误差范围 一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围. 知识点二 有理数的概念与分类 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：. （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：、等，混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．例如：，. 有理数的分类 由有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按定义分 2.按正负分 补充：有理数的分类原则 ①标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； ②分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； ③分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 知识点三 数轴的概念与画法 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 有理数与数轴上点的对应关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 知识点四 绝对值与相反数 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 绝对值图示： 绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 相反数的意义 1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数. （1）0的相反数是0； （2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）. 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. （1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等； （2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数. 3相反数的性质 任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4.相反数的特征 若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数. （1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可； （2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！ 多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 知识点五 比较有理数的大小 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 知识点六 有理数的四则混合运算 有理数加法法则 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3.一个数与0相加，仍得这个数。 4.有理数加法运算步骤： （1）看：看两个加数是同号还是异号； （2）定：确定和的符号； （3）求：根据有理数加法法则求和. 有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 有理数加减法混合运算 1.利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2.去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3.利用加法法则和加法运算律进行计算. 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 知识点七 科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 易错点1 正数与负数的概念、意义混淆 易错提醒 误把带 “+” 号就当正数、带 “‑” 号就是负数，忽略字母可代表任意数。0 是正负分界，既非正数也非负数。用正负数表示相反意义的量时，容易搞错基准，随意设定正负。注意正负数只表示相对意义，不是简单看符号外观。 【对点训练】1．在，，，，3.8，中，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据负数的定义逐一判断即可； 【详解】解：在、、、、3.8、中， 负分数有、、共 3 个； 故选：C． 【点睛】本题考查了负数的定义：小于0的数是负数． 【对点训练】2．下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据整数、有理数、非负数的定义逐一判断各说法正误，统计正确结论个数即可． 【详解】解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误； ②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误； ③非负数就是正数和0，原说法错误； ④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确． 综上，正确的结论共有1个． 易错点2 有理数的分类错误 易错提醒 易混淆整数、分数范畴，误将有限小数、无限循环小数排除在分数外；错把 π 这类无限不循环小数归为有理数。分类时重复或遗漏 0，混淆正负与整数分数的交叉关系，做题需牢记整数和分数统称有理数。 【对点训练】3．把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，0，（每两个1之间增加一个2），，，． 整数：； 负分数：； 正有理数：； 非负整数：． 【答案】， ， 0；， ；， ， ； ， 0． 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 根据有理数的分类逐个解答即可． 【详解】解：，，，， 整数：{， ， 0}； 负分数：{， }； 正有理数集：{， ， }； 非负整数集：{， 0} 故答案为：， ， 0；， ；， ， ； ， 0． 【对点训练】4．把下列各数的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩． 正有理数集合：{                                                  …}； 非负数集合：{                                                  …}； 非正整数集合：{                                                  …}； 分数集合：{                                                  …}． 【答案】 正有理数集合：； 非负数集合：； 非正整数集合：； 分数集合：． 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正有理数就是大于的有理数；非负数就是正数和；非正整数包括负整数和；分数包括正分数和负分数． 【详解】解：正有理数包括：②，③，⑩， 非负数包括：②，③，⑦，⑨，⑩， 非正整数包括：⑤，⑦，⑧， 分数包括：①，②，③，④，⑥， 易错点3 数轴上两点之间距离不会表示 易错提醒 数轴两点距离易错，很多同学只会大数减小数，不会通用公式。忽略点的左右位置，直接用坐标相减，忘记加绝对值。已知距离求点时，常漏掉另一侧的解，只算出一个结果。要牢记两点距离等于两数差的绝对值|x1-x2|。 【对点训练】5．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 【对点训练】6．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p． (1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值； (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p的值． 【答案】(1)点C表示1，点A表示， (2) 【分析】本题考查数轴，有理数的加法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）以B为原点，先分别求出A，B，C三点对应的数即可解决问题； （2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且，分别求出A，B，C三对应的数即可． 【详解】（1）解：∵ B是原点，， ∴点C表示1，点A表示， ∴； （2）解：∵原点O在图中数轴上点C的右边，且， ∴点C表示， ∵， ∴点B表示，点A表示， ∴． 易错点4 数轴上整点覆盖问题 易错提醒 数轴整点覆盖问题易错，容易直接用右端点减左端点得到整点个数，忽略端点是否包含。若线段端点为整数，个数为右端-左端+1；端点不是整数则直接相减。做题常漏加 1，分不清包含与不包含端点，导致结果少算一个整点。 【对点训练】7．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为_____厘米． 【答案】3或2 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解． 【详解】解：长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，． ∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度厘米或，即厘米， 故答案为：3或2． 【对点训练】8．在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为____． 【答案】 【分析】根据可得当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，最少整数点为个， ∵若覆盖过程中包含原点，据题意整数点除原点外， ∴最少整数点为（个）． 易错点5 数轴上的动点问题 易错提醒 数轴动点问题易错，容易忽略点运动方向，漏写向左移动时坐标的减法运算。计算两点距离忘记加绝对值，只考虑一种位置关系。求相遇、相距问题时常漏掉多解情况，忽略动点到达端点停止运动的限制条件，不检验结果是否符合题意。 【对点训练】9．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 【答案】6 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，线段的中点，根据题意利用分类讨论思想解题是关键． 分点P，Q同时向右，同时向左两种情况，结合数轴上两点间的距离和线段中点的定义计算求解． 【详解】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； 故答案为： 6． 【对点训练】10．如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 易错点6 绝对值的非负性问题 易错提醒 绝对值非负性易错，只记住绝对值是正数，忽略|a|可以等于 0。遇到多个绝对值相加为 0，容易只写一个未知数等于 0，遗漏另一个。做题切记每个绝对值结果都≥0，和为 0 则每一项必须同时为 0 【对点训练】11．已知，且，求___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义和绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．由绝对值的意义和绝对值的非负性可确定m和n的值，再代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴当时， 当时，， 故答案为：或． 【对点训练】12．已知，求下面各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】()根据非负数的性质“几个非负数相加和为，这几个非负数的值都为”解出的值，再代入计算即可； ()根据绝对值的性质计算即可． 【详解】（1）依题意得，，， 解得，，， 将，，代入得： ， ； （2）将，，代入得： ， ， ． 【点睛】此题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 易错点7 绝对值的几何意义 易错提醒 绝对值几何意义易错，易把|a|理解成 a 到原点距离，|a‑b|表示两数距离时常看错式子。已知距离求数，容易只写出一个解，漏掉另一侧对应点。不会转化几何语言，不会借助数轴分析，直接代数计算，忽略双解情况造成丢分。 【对点训练】13．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 【对点训练】14．阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，； 当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边， ； 如图3，当点A、B都在原点的左边，； 如图4，当点A、B在原点的两边，． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和6的两点之间的距离是_______数轴上表示2和的两点之间的距离是________． (2)数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是_____，若，那么x为______． (3)当x是________时，代数式． 【答案】(1)5；5 (2)；或 (3)或3 【分析】本题考查了实数与数轴，学会利用两点间的距离是解题关键． （1）根据两点间的距离，可得答案； （2）根据两点间的距离，可得答案； （3）根据绝对值的性质，可化简为方程，再解方程，即可得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示1和6的两点之间的距离是， 数轴上表示2和的两点之间的距离是． 故答案为：5，5； （2）解：数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是， 则点A和B之间的距离是，若， 则 解得或， 故答案为：，或； （3）解：当时， ， ∴ 解得； 当时， ， ∴ 解得； 当时， ， 当或3时，代数式， 故答案为：或3． 易错点8 绝对值中的最值 易错提醒 绝对值最值易错，容易直接凭代数判断，忽视数轴几何含义。求|x‑a|、|x‑a|+|x‑b|最值时，分不清取最小值的 x 取值。多个绝对值相加，不会利用分段点分析，易漏掉区间，误判最值结果，忽略有无最大值的情况。 【对点训练】15．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【答案】 【分析】的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，可得当x在1和9之间的5时距离的和最小，据此求解即可． 【详解】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和， ∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小， 那么当时，， ∴式子的最小值是． 【对点训练】16．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【答案】(1)，或 (2)，， (3)的最小值为． 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义． （1）根据阅读材料，即可得数轴上表示和的两点之间的距离，由， 可得或，即可得的值； （2）根据绝对值的几何意义，求解即可； （3），，，，，，共个数，中间两个数为和，根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，取，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：，或． （2）解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， 当点在点和点之间时取得最小值， 的最小值是， ∵表示数轴上点到点、点和点的距离之和， 当点在中间点处时取得最小值， ∴当时,的最小值是． 故答案为：，，． （3）解：，共个数，中间两个数为和， 根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， 当时， ， ∴的最小值为． 易错点9 绝对值的实际应用 易错提醒 绝对值实际应用易错，常用于误差、偏差问题，易混淆实际数据与偏差数值。做题时不会读懂题意，分不清哪个量取绝对值，忽略允许波动范围。求解合格范围容易漏边界，不会结合正负偏差分析，直接代数计算，脱离实际情境导致答案出错。 【对点训练】17．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 【答案】(1)2位 (2)蔡玮 【分析】本题考查绝对值的应用： （1）检查结果的绝对值小于或等于则合乎要求； （2）比较（1）中合乎要求的同学的乒乓球的检查结果的绝对值，绝对值越小，误差越小，质量越好． 【详解】（1）解：∵乒乓球直径可以有的误差， 故检查结果的绝对值小于或等于即为合乎要求， 下列数字的绝对值小于或等于：，， 故有2位同学做的乒乓球是合乎要求的； （2）解：∵， ∴张冰同学做出的乒乓球误差大于蔡玮做出的乒乓球， 故蔡伟同学做的质量更好． 【对点训练】18．在活动课上，名同学用橡皮泥各做了个乒乓球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表所示： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 (1)哪些同学做的乒乓球是符合要求的？ (2)在符合要求的乒乓球中，哪名同学做的质量最好？这名同学中，哪名同学做的质量最差？ (3)请你对这名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差排名； (4)请你用学过的绝对值知识来说明解答以上问题的依据． 【答案】(1)张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的 (2)蔡伟做的乒乓球质量最好，李明做的乒乓球质量最差 (3)按照做的乒乓球质量从最好到最差的排名为蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明 (4)这是绝对值在实际生活中的应用，对于误差来说，绝对值越小越好 【分析】本题考查绝对值的应用、正负数的应用，理解绝对值的意义是解答的关键． （1）求出每个数据的绝对值，再与0.02比较大小即可得出结论； （2）比较绝对值的大小即可得出结论； （3）比较绝对值的大小即可得出结论； （4）根据绝对值的性质可得结论． 【详解】（1）解：，，，，，． 因为，， 所以张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的． （2）解：绝对值越小，质量越好． 因为， 所以蔡伟做的乒乓球质量最好，李明做的乒乓球质量最差． （3）解：因为， 所以这6名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差的排名为蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明． （4）解：这是绝对值在实际生活中的应用，对于误差来说，绝对值越小越好． 易错点10 有理数的大小比较 易错提醒 有理数大小比较易错，容易忽视数轴 “右大左小”。比较负数时，常直接比较数字大小，忘记绝对值大的负数反而小。混淆正数、0、负数的大小关系，多个数排序时符号处理失误，漏掉负号，未先区分正负再比较，造成排序错误。 【对点训练】19．如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 【答案】(1)①，；② (2)表示数为8或 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，用数轴比较有理数的大小等知识点． （1）①根据数轴可得，即可求解； ②将，表示在数轴上，即可利用数轴比较大小； （2）先求出点B表示的数，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：①根据数轴知：， ∴，， 故答案为：，； ②把，在数轴上表示为： ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴点表示的数为或． 【对点训练】20．（1）把下列各式化为最简后，填在横线上； ①_____；②_____；③_____． （2）比较下各小题中两个数的大小，并简单的说明理由． ①与；   ②与；   ③与0 【答案】（1）①；②；③2； （2）①∵，，且， ∴． ②∵，， ∴． ③∵，， ∴． 【分析】本题考查了化简多重符号和绝对值、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键． （1）根据化简多重符号和绝对值的方法求解即可得； （2）有理数的大小比较法则：正数大于0、负数小于0、正数大于负数、负数绝对值大的反而小，据此逐个解答即可得． 【详解】解：（1）①；②；③， 故答案为：①；②；③2． （2）①略 ②略 ③略 易错点11 有理数的四则混合运算错误 易错提醒 有理数四则混合运算易错，常颠倒运算顺序，先算加减再算乘方乘除。去括号时括号前为负号，部分项忘记变号。负因数个数统计失误，符号判断出错。乘方混淆(-a)n与-an，不注意分数线兼具括号作用，计算细节疏漏导致结果出错。 【对点训练】21．计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【对点训练】22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)10 (2) (3)8 (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 易错点12 有理数的简便运算错误 易错提醒 有理数简便运算易错，乱用运算律，分配律漏乘括号内部分项。交换移动数时漏带前面符号，只挪动数字。凑整、分组时分组不合理，符号处理不到位。分数运算通分约分出错，盲目套用简便方法，忽略优先顺序，造成计算失误。 【对点训练】23．用简便的方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了四则运算和简便运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键； （1）利用加法交换律和结合律进行计算即可得解； （2）利用除法的性质和乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【对点训练】24．用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 易错点13 含乘方的有理数混合运算错误 【对点训练】25．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算有理数乘方，绝对值，再算有理数的乘法，再从左往右依次计算即可； （2）先算括号里的有理数乘方，将除法变为乘法，按照先乘除后加减的顺序计算，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【对点训练】26．【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）写作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_________，__________； (2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式．_________，_________． (3)算一算：． 【答案】(1)；4 (2)； (3) 【分析】（1）根据题中所给定义进行计算即可； （2）根据题中所给示例进行计算即可； （3）结合（1）和（2）的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解： ． 易错点14 有理数四则混合运算的实际应用 易错提醒 有理数四则混合运算实际应用易错，容易看错题干正负意义，混淆相反意义量。列式时符号设置出错，忽略单位与实际限制条件。计算过程只顾数值，不检验结果是否符合现实情境，作答遗漏单位，审题不清直接套公式，导致列式与题意不匹配。 【对点训练】27．冬季来临，小芳家为了节省取暖费用，将旧空调更换为节能空调．她记录了一星期内每天节能空调的运行时长（如下表，单位：小时）．以5小时为标准，超过的小时数记为正数，不足的小时数记为负数．其中，星期五比星期四多用小时． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长 a 0 (1)根据题意得： ______； (2)已知旧空调耗电每小时度，节能空调耗电每小时度，若电价为元/度，小芳家换成节能空调后，这一星期七天的电费比原来使用旧空调节省了多少元？ 【答案】(1)2 (2)节省了元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）先求出星期四节能空调的运行时长，然后根据星期五比星期四多用小时，求出星期五节能空调的运行时长，最后求出a的值即可； （2）先求出节约的电量，然后求出节省的钱数即可． 【详解】（1）解：． （2）解：（小时）， （小时）， （元）， 答：小芳家换成节能空调后，这一星期七天的电费比原来使用旧空调节省了元． 【对点训练】28．下表是九年级某班50位同学参加某次一分钟仰卧起坐比赛的情况，规定标准数量为每人每分钟50个． 实际数量与标准数量的差值 0 1 3 4 人数 6 8 3 10 9 8 6 (1)50名学生中一分钟做仰卧起坐个数最多的学生比最少的学生多做多少个？ (2)该班所有同学一分钟共做仰卧起坐多少个？ (3)一分钟仰卧起坐比赛的计分方式为：刚好达到标准数量不得分，若每分钟仰卧起坐个数超过规定标准数量，每多做一个加3分，没有达到规定标准数量的，每少做1个扣2分，则该班50名学生的总积分是多少？ 【答案】(1)9个 (2)2508个 (3)73分 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用以及有理数的混合运算．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数意义，用最大值减去最小值计算即可； （2）先计算出实际数量与标准数量的差值的和，再加上每人每分钟50个乘人数即可； （3）结合计分方式列式计算即可． 【详解】（1）解：（个）， 答：50名学生中一分钟做仰卧起坐个数最多的学生比最少的学生多做9个； （2）解： （个）， 答：该班所有同学一分钟共做仰卧起坐2508个； （3）解： （分）， 答：该班50名学生的总积分为73分． 易错点15 根据点在数轴的位置判断式子的正负 易错提醒 根据数轴点位置判断式子正负易错，常看错点的左右远近，搞错数的大小关系。判断两数和、差、积的符号时，忽略绝对值大小的影响。去绝对值化简时，不能准确判定内部式子正负，符号变换出错，遗漏相等特殊情况，直接主观臆断式子符号。 【对点训练】29．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“ ”或“”填： 0， 0； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质、整式的加减，根据点在数轴上的位置判断代数式的正负性并能正确去掉绝对值符号是解题的关键． （1）根据数轴得出，，即可判断出各式的答案； （2）根据点在数轴的位置判断各代数式的正负，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：观察数轴得：， ∴， ∴，； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴，，， ∴ ． 【对点训练】30．按下列要求解答： (1)已知，化简：； (2)若、、在数轴上对应位置如图所示，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有数轴判断式子的正负，化简绝对值，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）根据题意判断出，，再化简求值即可； （2）先根据数轴上字母的位置判断出，再得到，，，从而化简求出结果即可． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由数轴可知：， ，，， ． 易错点16 数轴的翻折 易错提醒 数轴翻折问题易错，容易找不准翻折中心点，中点公式运用出错。计算对称点时，不会利用 “两点到中点距离相等” 列式，只简单加减。经常漏解，忽略多段翻折情形，不会借助距离转化，仅凭直观想象，不列式计算，造成对称点求解错误。 【对点训练】31．操作与探究 对数轴上的点进行如下操作：先把这个点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到这个点的对应点．若点A、B在数轴上，对点A、B进行上述操作后得到对应点分别为． (1)若点A表示的数是，点表示的数是______； (2)若点表示的数是2，点B表示的数是______； (3)保持前两问的条件不变，点C是线段上的一个点，以点C为折点，将数轴对折，点B的对应点落在数轴上的处，若，求点C表示的数． 【答案】(1)0.4 (2)5 (3)1.5或0.5 【分析】本题考查数轴与有理数，数轴上的动点问题，有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意求解即可； （2）根据题意求解即可； （3）分类讨论：当点在点A的右侧时，点表示的数是，当点在点A的左侧时，点表示的数是，再根据点C是的中点，进而分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，点表示的数是， 故答案为：0.4； （2）解：点B表示的数是， 故答案为：5； （3）解：点A表示的数是，点B表示的数是5，， 当点在点A的右侧时，点表示的数是， ∵点C是的中点， ∴点C表示的数为， 当点在点A的左侧时，点表示的数是， ∵点C是的中点， ∴点C表示的数为， ∴点C表示的数为1.5或0.5． 【对点训练】32．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_______． A．    B．    C．    D． ②有一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2025次时，落在数轴上的点表示的数是_______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2025的点与表示_______的点重合； ②一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在数轴上，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①D；②； (2)①；②或． 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠与平移，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键． （1）①根据笔尖的移动方向和长度列式即可； ②根据机器人跳动的过程列式计算即可； （2）①根据题意求出折痕处的点表示的数，即可求解； ②分两种情况求解：当点在点的左侧和右侧时，根据，求出点表示的数，在根据折叠求出点C表示的数即可． 【详解】（1）解：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，用算式表示以上过程及结果是， 故选：D； ②机器人跳动的过程可以表示为 ； （2）解：①表示的点与表示3的点重合， 折痕处的点表示的数为， ， 表示2025的点与表示的点重合， 故答案为：； ②当点在点的左侧时， ，点B表示的数是8， 点表示的数为， 点A表示的数是，以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在数轴上， 点C表示的数为； 当点在点的右侧时， ，点B表示的数是8， 点表示的数为， 点A表示的数是，以点C为折点，将数轴向右对折，点A对应的点落在数轴上， 点C表示的数为； 综上可知，点C表示的数为或． 易错点17 科学记数法表示错误 易错提醒 科学记数法易错，容易搞错a的取值范围，出现a≥10或a<1。确定指数n时常数错位数，还原原数小数点移动出错。处理带单位的数据时忽略单位换算，负数科学记数法漏写负号。做题不核对数位，导致指数偏大或偏小。 【对点训练】33．淮安市是个旅游城市，其中河下古镇、周恩来纪念馆、周恩来故居、沈坤状元府等景点更是人来人往．据报道，2025年清明节期间，来淮旅游人数约753000人，将数据753000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法进行求解，将一个数表示为，其中，为整数． 【详解】解：将数据753000用科学记数法表示为， 故选D． 【对点训练】34．年月日，神舟十九号载人飞船取得圆满成功．发射场受到我国超过人的关注，这个数字用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 易错点18 程序流程图与有理数计算 易错提醒 程序流程图有理数计算易错，容易读不懂流程图的运算顺序，遗漏循环重复执行步骤。代入数值时符号抄写失误，忽略分支判断条件。多次循环运算，只计算一次结果，没有反复迭代。不看清输出条件，中途停止运算，忽视括号优先级，造成最终答案出错。 【对点训练】35．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去……第2025次输出的结果是 __________． 【答案】1 【分析】本题考查了程序运算中的循环规律探究，解题的关键是找出运算结果的循环周期． 先按程序依次计算输出结果，找出循环规律；再计算第2025次在循环中的位置，确定对应结果． 【详解】解：按程序计算后续输出第3次：（负数），输出； 第4次：（非负数），输出； 第5次：（负数），输出； 第6次：（非负数），输出； 可知从第3次起，循环周期为3：． 计算，即第2025次对应循环的第1个结果． 故答案为：． 【对点训练】36．按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是72，则最后输出的结果是________ ． 【答案】288 【分析】本题主要考查了实数的运算，代入输入的数，按给出的运算顺序进行运算并判断是输出还是输入，循环以上步骤． 【详解】解：当输入的数是72时， ， ， ∵， 当输入的数是时， ， ， ∵， ∴最后的输出结果是288． 故答案为：288． 易错点19 算24点 易错提醒 算 24 点题型易错，容易随意拼凑算式，忽略括号改变运算顺序。使用负数参与运算时符号频繁出错，不会灵活运用乘除构造 24。部分题目存在多组解法，做题容易漏看可行组合。常直接口算，缺少分步推演，忽视有理数运算规则，出现式子逻辑不成立的错误。 【对点训练】37．“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【详解】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【对点训练】38．如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是__________； (2)取4张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式使结果为24． 【答案】(1) (2)(答案不唯一) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． （1）根据3张卡片上数字乘积最小的数就是找一个负数和两正数且三数的绝对值较大的特征求解即可； （2）用加减乘除运算，只要答数是24即可． 【详解】（1）解：从中抽出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是： 故答案为：； （2）解：由题意可得(答案不唯一). 易错点20 有理数的新定义运算问题 易错提醒 有理数新定义运算易错，容易直接套用四则运算法则，混淆题目自定义的运算规则。代入数值时常漏括号，负数代入时符号处理失误。分不清运算先后层级，不会分步拆解式子。多个字母运算，漏看限制条件，直接主观推导，忽略题干规定，造成列式与计算出现错误。 【对点训练】39．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 【对点训练】40．a，b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”：定义a⊕b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5， 例如：2⊕3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1． 请根据“⊕”的定义计算： (1)﹣2⊕4； (2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）． 【答案】(1)﹣25 (2)59 【分析】（1）根据题目中的定义计算即可； （2）根据题目中的定义和运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：﹣2⊕4 ＝（﹣2）×4﹣2×[4﹣（﹣2）]﹣5 ＝（﹣8）﹣2×（4+2）﹣5 ＝（﹣8）﹣2×6﹣5 ＝（﹣8）﹣12﹣5 ＝﹣25． （2）解：（﹣1⊕1）⊕（﹣7） ＝{（﹣1）×1﹣2×[1﹣（﹣1）]﹣5}⊕（﹣7） ＝[（﹣1）﹣2×（1+1）﹣5]⊕（﹣7） ＝[（﹣1）﹣4﹣5]⊕（﹣7） ＝（﹣10）⊕（﹣7） ＝（﹣10）×（﹣7）﹣2×[（﹣7）﹣（﹣10）]﹣5 ＝70﹣2×（﹣7+10）﹣5 ＝70﹣2×3﹣5 ＝70﹣6﹣5 ＝59． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是能够用运算法则求新定义． 1．与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】需注意绝对值等于的数有两个，分两种情况计算和. 【详解】解：∵绝对值等于的数是或， ∴当这个数为时，； 当这个数为时，， ∴所求的和为或. 2．在2026年春节档期，电影市场的热度持续高涨.电影《惊蛰无声》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：亿， 前三日平均每天的票房为元， 元元． 3．下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：对于①：最大的负整数是，故①正确； 对于②：相反数是本身的数是，不是正数，故②错误； 对于③：有理数分为正有理数、负有理数和零，故③错误； 对于④：当时，在原点的右边，故④错误； 对于⑤：若因数中包含零，则乘积为零，不是负数，故⑤错误； ∴一共有4个错误结论． 4．若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先根据平方根和绝对值的性质，得到和的所有可能取值，再结合确定和异号，分情况计算的值即可． 【详解】解：∵，∴或， ∵，∴或， 又∵， ∴与异号， 分两种情况计算： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ∴的值为或． 5．有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（   ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴得出，，再逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①根据图示知，，故①正确； ②根据图示知，，故②错误； ③根据图示知，、，则．故③错误； ④根据图示知，，，则，，所以．故④正确． 综上所述，正确的结论是． 6．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 7．在，，，中，结果是负数的有_________个． 【答案】1 【分析】分别计算四个数的结果，判断正负性，统计负数的个数． 【详解】解：逐个计算各数并判断正负： ，结果为正数，不是负数； ，结果为负数，是符合要求的数； ，结果为正数，不是负数； ，结果为正数，不是负数； 统计可得，结果是负数的共有个． 8．计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 9．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 10．小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 【答案】1024 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数的加减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据有理数的加减运算规则，将收入视为正数，支出视为负数，计算所有收支后的净变化，再与原始金额相加． 【详解】原始金额为1000元，收入80元和30元，支出45元、23元和18元， 因此剩余零钱为： （元）． 故答案为1024． 11．数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 【答案】7 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义得到表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和，进而得到当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离． 【详解】解：由题意，表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和， ∴当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离； ∴的最小值是； 故答案为：7． 12．有理数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，根据数轴上点的位置得到式子的正负，再根据绝对值的性质化简求值即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，，， ， ∴， 故答案为：． 13．如图，点A、B、C表示的数分别是a、b、c，化简 ________ ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，数轴，根据点A、B、C所表示的数a、b、c在数轴上的位置可得，且，再根据有理数加法的计算方法得到，，，由绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：由点A、B、C所表示的数a、b、c在数轴上的位置可知，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 15．下面各题怎么算简便就怎么算． (1) ； (2) ； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先运用乘法分配律进行计算，再根据加减运算法则计算即可； （2）先算除法再算乘法，再根据加减运算法则计算即可； （3）先运用乘法分配律进行计算，再根据加减运算法则和通分的知识进行计算即可； （4）先运算小括号内，再运算中括号内，最后把除法化为乘法运算，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．计算下列各式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 17．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)； (2)会发出充电提示 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【详解】（1）解：第三天行驶了， 故应记作， ∴“■”处的数为； 第六天行驶了， 故应记作， ∴“●”处的数为； 故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比， ∴会发出充电提示． 18．探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）观察所给式子，得出规律求解即可； （2）将每个加数按照规律展开，求解即可． 【详解】（1）解：观察上述规律， ， ， 故答案为：；． （2）解：对原式进行变形化简如下， 19．规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 【答案】(1)23 (2)与的值不相等． 理由：∵， ∴， 由（1）知， ∵， ∴与的值不相等． 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算出的值，然后结合（1）中计算结果判断即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴； （2）略 20．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $