2026‑2027学年人教版九年级数学上册 第一次月考模拟卷（一元二次方程、二次函数）　

九年级上册数学月考试题 （人教版2024 前两章：一元二次方程、二次函数） （满分：120分 考试时间：120分钟） 班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将方程 3x(2x-1) = 4x - 1 化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ） A. 6，-7，1 B. 6，-7，-1 C. 6，-3，1 D. 6，-3，-1 2. 方程 (2x-1)² = 3(2x-1) 的解是（ ） A. x₁ = 1/2, x₂ = -1 B. x₁ = 1/2, x₂ = 2 C. x₁ = -1/2, x₂ = 2 D. x = 2 3. 若关于x的一元二次方程 x² + 2x + k - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则整数k的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. -1 4. 用配方法解方程 2x² - 4x - 1 = 0 时，配方结果正确的是（ ） A. (x-2)² = 3/2 B. (x-1)² = 1/2 C. (x-1)² = 3/2 D. (x-1)² = 3 5. 已知 x₁, x₂ 是一元二次方程 x² - 2x - 1 = 0 的两个实数根，则 1/x₁ + 1/x₂ 的值为（ ） A. 2 B. 1/2 C. -1/2 D. -2 6. 将抛物线 y = 2x² - 4x + 1 先向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得抛物线的顶点坐标为（ ） A. (2, -3) B. (2, -1) C. (0, -3) D. (1, -3) 7. 已知二次函数 y = x² + bx + c 的图像经过点 (1, 0) 和 (3, 0)，则该函数的顶点坐标为（ ） A. (2, 1) B. (4, 0) C. (-2, -1) D. (2, -1) 8. 已知点 A(-2, y₁) 和 B(3, y₂) 都在抛物线 y = -x² + 2x + 3 上，则 y₁ 与 y₂ 的大小关系为（ ） A. y₁ > y₂ B. y₁ < y₂ C. y₁ = y₂ D. 无法确定 9. 已知二次函数 y = -x² + 2x + 3 的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. a < 0, b > 0, c > 0 B. a > 0, b < 0, c > 0 C. a < 0, b < 0, c > 0 D. a < 0, b > 0, c < 0 10. 已知关于x的一元二次函数y=ax² + bx + c 如图所示，该函数与x轴交于A(-1,0)与B（3,0）两点，下列叙述正确的有（ ）个 ①abc＞0 ②2a+b=0 ③a-b+c＞0④4ac-b²＜0 ⑤有任意实数m，则m(am+b)≤a+b A. 4 B. 3 C. 2 D.1 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程 x² - 5x + 6 = 0 的两个根分别为________。 12. 若关于x的一元二次方程 x² + kx + 4 = 0 有两个相等的实数根，则k的值为_____。 13. 某地区中学要进行篮球比赛，规定每两个中学之间只比一场，最终比赛场次为55场，则该地区共有______个中学。 14. 已知关于x的一元二次方程 (m-1)x² + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________。 15. 已知二次函数 y = x² - 4x + m 的图像与x轴的两个交点之间的距离为2，则m的值为________。 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16.（本题共8分）计算：解下列方程 （1）x² - 4x - 5 = 0 （2）2x² - 3x - 2 = 0 （3） x² + 4x + 1 = 0 （4）(x-1)² = 9 17.（本题7分）已知一元二次方程 x² - 4x + k = 0 的一个根为1，求k的值及另一个根 18. （本题8分）已知一元二次方程 x² - 2x -2 = 0 。 （1） 求x1+x2与x1x2的值 （2） 求x1²+x2²的值 （3） 的值 19.（本题8分）某商店销售一种商品，每件进价为 30 元。市场调查发现：当每件售价为 40 元时，每天可售出 60 件；若每件售价每涨价 1 元，每天少售出 2 件。 （1）求每天的销售量 y（件）与售价 x（元）之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）当售价定为多少元时，每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？ 20.（本题8分）某公司在第一季度营收1亿元，第三季度营收为1.44亿元，设第一季度到第三季度的平均增长率为x。 （1）求平均增长率x值； （2）若继续按照平均增长率计算，那么第四季度营收额能超过1.8亿元吗？ 21.如图1，抛物线y= - x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y=-x+交于B、C两点，点C在y轴上，点B的纵坐标为- （1)求抛物线的解析式； （2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值； 22.（本题8分）已知二次函数 y = x² - 2x - 3 的图像与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C点。 （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积等于△ABC的面积？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。 23.（本题12分）已知二次函数 y = ax² + bx + 3 的图像经过点 A(-1, 0) 和 B(3, 0)。 （1）求该二次函数的解析式； （2）在-3＜x＜1范围内，求y 的取值范围； （3）点P是该二次函数图像上的一个动点，当△PAB的面积等于8时，求点P的坐标。 （4）在（3）的前提下，P是二次函数第四象限上的点，Q是坐标系内任一点，若以A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出Q点坐标 24. （12 分，附加压轴题）已知抛物线 y=x²-2mx+m²-2m-3（m 为常数）。 （1）求抛物线的顶点 D 的坐标（用含 m 的式子表示），并判断：当 m 变化时，点 D 是否总在一条直线上？若是，求出该直线的解析式； （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离为 4，求 m 的值； （3）在（2）的条件下，设该抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（如图 5）。若点 P 在该抛物线上，且 △PAB 与 △ABC 的面积相等（点 P 与点 C 不重合），求点 P 的坐标。 参考答案 一、选择题 1. A 2. B 3. A 4. C 5. D 6. A 7. D 8. B 9. A 10. B 二、填空题 11. x₁ = 2, x₂ = 3 12. k = ±4 13. 11 14.m < 2 且 m ≠ 1 15. m = 3 三、解答题 16.（8分） （1）x² - 4x - 5 = 0 因式分解：(x-5)(x+1) = 0 解得：x₁ = 5, x₂ = -1 （2）2x² - 3x - 2 = 0 由求根公式：x = (3 ± √(9+16))/4 = (3 ± 5)/4 解得：x₁ = 2, x₂ = -1/2 （3）x² + 4x + 1 = 0 配方：(x+2)² = 3 解得：x₁ = -2 + √3, x₂ = -2 - √3 （4）(x-1)² = 9 直接开方：x-1 = ±3 解得：x₁ = 4, x₂ = -2 17.（8分） （1）3x² = 27 x² = 9 x = ±3 解得：x₁ = 3, x₂ = -3 （2）x² - 7x + 12 = 0 因式分解：(x-3)(x-4) = 0 解得：x₁ = 3, x₂ = 4 18.（7分） （1） x1+x2=2 x1x2=-2 （2） x1²+x2²=8 （3） ==-4 19.（8分） （1）y=60-2(x-40)=140-2x（2 分），x 的取值范围为 40≤x≤70。 （2）设每天的销售利润为 w 元，则 w=(x-30)(140-2x)=-2x²+200x-4200， 配方得 w=-2(x-50)²+800（1 分），故当 x=50 时，w 最大=800。 答：当售价定为 50 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 800 元 20.（8分） （1）由题可得1（1+x）²=1.44 解得x=20%或-220%（舍） 所以x=20% （2）由题可得1.44*（1+20%）=1.728＜1.8 营收无法达到1.8亿元 21.（8分） （1）将B点代入一次函数中可得B点坐标为（4，- ），再将AB两点代入函数解析式中解得b=1，c= 所以函数解析式为y= （2）由题可知DE=- x2+x+ -(- x+ )=- x2+2x,即x=2时，DE最大，所以D坐标为（2，），A(3,2)关于对称轴直线x=1的对称点A1（-1,2），所以PA+PD=√5。 22.（8分） （1）令y = 0，x² - 2x - 3 = 0 (x-3)(x+1) = 0 x₁ = -1, x₂ = 3 因为A在B左侧，所以 A(-1, 0), B(3, 0) 令x = 0：y = 0 - 0 - 3 = -3 所以 C(0, -3) （2）AB = 3 - (-1) = 4 C到AB（x轴）的距离 = |-3| = 3 S△ABC = (1/2) × 4 × 3 = 6 （3）设P(x, y)在抛物线上，即 y = x² - 2x - 3 △ABP的底边AB = 4，高为|y_P| S△ABP = (1/2) × 4 × |y| = 2|y| 令 S△ABP = S△ABC = 6 2|y| = 6，|y| = 3 所以 y = 3 或 y = -3 当 y = 3 时：x² - 2x - 3 = 3 x² - 2x - 6 = 0 x = (2 ± √28)/2 = 1 ± √7 所以 P₁(1+√7, 3), P₂(1-√7, 3) 当 y = -3 时：x² - 2x - 3 = -3 x² - 2x = 0 x(x-2) = 0 x = 0 或 x = 2 当x = 0时，P(0, -3)即为C点 当x = 2时，P₃(2, -3) 综上，存在满足条件的点P，其坐标为： P₁(1+√7, 3), P₂(1-√7, 3), P₃(2, -3) （若要求P不与A、B、C重合，则P的坐标为(1+√7, 3), (1-√7, 3), (2, -3)） 23.（12分） （1）设 y = a(x+1)(x-3) 代入(0, 3)：3 = a(0+1)(0-3) = -3a a = -1 所以 y = -(x+1)(x-3) = -x² + 2x + 3 （3） （2）由题可知在-3＜x＜1范围内，当x=-3时有最小值-12，x=1时有最大值4 所以-12＜y≤4 （3）AB = 3 - (-1) = 4 设P(x, y)，则△PAB的面积 = (1/2) × AB × |y_P| = (1/2) × 4 × |y| = 2|y| 令 2|y| = 8，|y| = 4 所以 y = 4 或 y = - 当 y = 4 时：-x² + 2x + 3 = 4 -x² + 2x - 1 = 0 x² - 2x + 1 = 0 (x-1)² = 0 x = 1 所以 P₁(1, 4)（即顶点D） 当 y = -4 时：-x² + 2x + 3 = -4 -x² + 2x + 7 = 0 x² - 2x - 7 = 0 x = (2 ± √32)/2 = (2 ± 4√2)/2 = 1 ± 2√2 所以 P₂(1+2√2, -4), P₃(1-2√2, -4) 综上，满足条件的点P有三个： P₁(1, 4), P₂(1+2√2, -4), P₃(1-2√2, -4) （4） 满足条件的Q点坐标有(2√2-3, -4)(5+2√2, -4)(1-2√2, 4) 24.　（12 分） （1）y=x²-2mx+m²-2m-3=(x-m)²-(2m+3)（1 分），∴顶点 D 的坐标为 (m,-2m-3)（1 分）。当 m 变化时，y_D=-2x_D-3，故点 D 总在直线 y=-2x-3 上（1 分）。 （2）令 y=0，得 x²-2mx+m²-2m-3=0，Δ=(-2m)²-4(m²-2m-3)=8m+12（1 分）， ∴AB=|x₂-x₁|=√Δ=√(8m+12)=2√(2m+3)。由题意 2√(2m+3)=4（2 分），解得 m=1/2（1 分）。 （3）m=1/2 时，抛物线的解析式为 y=x²-x-15/4，故 A(-3/2,0)、B(5/2,0)、C(0,-15/4)（1 分）。 S△ABC=1/2×4×(15/4)=15/2。设 P(x,y)，则 S△PAB=1/2×4×|y|=15/2，故 |y|=15/4（1 分）。 ① 当 y=15/4 时，x²-x-15/4=15/4，即 2x²-2x-15=0，解得 x=(1±√31)/2； ② 当 y=-15/4 时，x²-x-15/4=-15/4，即 x²-x=0，解得 x=0 或 x=1，其中 x=0 对应点 C，舍去（2 分）。 ∴点 P 的坐标为 ((1+√31)/2,15/4)、((1-√31)/2,15/4)、(1,-15/4)（1 分）。 学科网（北京）股份有限公司 $