第五单元 平行四边形和梯形（培优讲义）数学人教版四年级上册（新教材）

知识建构 重点聚焦 典例精练 培优拓展 第五单元 平行四边形和梯形（培优讲义） （原卷版） 资 料 简 介 大家好！这份讲义专为人教版四年级上册的系统学习与复习编制，内容全面深入，能有效满足培优拓展需求，助力学生突破常规、冲刺更高水平，资料包含以下内容： 一、单元知识框架：通过导图形式，清晰呈现单元知识脉络，构建系统化的知识体系，明确学习重点与复习方向。 二、核心知识梳理：聚焦单元基础知识点，强化细节理解与记忆，助力深入学习并灵活运用知识点，夯实知识基础。 三、典例精讲巩固：围绕高频考点，精选典型例题、易错题及压轴题，通过例题拆解分析解题思路，实现“精耕细作”，做到事半功倍。 四、真题演练提升：精选近年各地名校真题，通过实战演练检验知识掌握水平，提升综合应试能力。 一、单元知识框架 二、核心知识梳理 知识点一：平行的定义及特征 1.定义：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 “同一平面内”是判断平行的前提，不在同一平面的直线即使不相交，也不叫互相平行。 2.符号表示：直线a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。 3.核心特征 （1）平行线无论怎样延长都不会相交； （2）两条平行线之间的垂直线段长度都相等，即平行线间的距离处处相等； （3）同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行； （4）两条平行线之间可以画无数条垂直线段，这些线段互相平行且长度相等。 4.生活实例： 铁轨轨道、黑板的上下对边、斑马线、双杠横杆等。 知识点二：垂直的定义及特征 1.定义：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。 2.符号表示：直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。 3.核心特征 （1）两条直线垂直时，相交形成的4个角都是直角，且只有1个垂足； （2）垂直是相交的特殊情况，判断垂直只看相交是否成直角，与直线的摆放方向无关； （3）一条直线有无数条垂线。 4.生活实例： 墙角的两条棱、课本相邻的两条边、十字路口的道路、桌角的边等。 知识点三：画垂线 1.作图工具：三角尺（利用直角边）、量角器，其中三角尺画法最简便。 2.过直线上一点画垂线 （1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合； （2）沿直线平移三角尺，使三角尺的直角顶点和已知点重合； （3）沿三角尺的另一条直角边画直线，最后标出直角符号。 3.过直线外一点画垂线 （1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合； （2）沿直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点； （3）沿该直角边画直线，最后标出直角符号。 4.结论：过一点（直线上或直线外），有且只有一条直线与已知直线垂直。 知识点四：点到直线的距离 1.定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 2.核心结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂直线段最短。 3.实际应用 （1）过马路时，走垂直于斑马线的路线路程最短； （2）从村庄修通往公路的最短水泥路，作垂直线段即可； （3）跳远成绩测量，是测量落脚点到起跳线的垂直线段长度。 知识点五：画平行线 1.作图工具：直尺或三角尺 2.画法一：沿着直尺两侧画直线或在方格纸上沿横线、竖线画，保证间距相等即可得到平行线。 3. 画法二：用两把三角尺 （1）固定一把三角尺（记为三角尺A），将另一把三角尺（记为三角尺B）的一条直角边紧贴三角尺A的某条边。 （2）沿三角尺B的另一条直角边画一条直线。 （3）保持三角尺A固定，沿三角尺A与三角尺B贴合的边平移三角尺B。 （4）沿三角尺B原来画线的直角边再画一条直线，这两条直线即为平行线。 知识点六：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 1.作图原理： 长方形对边平行且长度相等，相邻的两条边互相垂直，四个角都是直角；正方形四条边长度都相等，四个角都是直角，是特殊的长方形。 2.长方形的两种画法 方法一：尺规作图法（三角尺+圆规） （1）用三角尺先画出一个直角，确定长方形邻边的垂直关系； （2）用圆规在直角的两条边上，分别截出对应长度的长和宽，标记出两个端点； （3）分别过这两个端点作垂线，两条垂线相交形成第四个顶点； （4）标注直角符号，完成长方形绘制。 方法二：单三角尺作图法 （1）用三角尺测量出给定线段的长度，确定长方形的长和宽； （2）沿三角尺的两条直角边，画出对应的长和宽，作为长方形的一组邻边； （3）以画出的长和宽为基础，补画出另一组邻边，保证对边平行、四个角均为直角，即可画出长方形。 3.正方形的画法 正方形是特殊的长方形，以上两种画法均适用，只需保证边的长度相等： （1）尺规作图法：画出直角后，在两条直角边上截取长度相等的线段，再分别过端点作垂线相交即可。 （2）单三角尺作图法：沿三角尺直角边画出两条等长的邻边，再补全另外两条等长的边，确保四个角都是直角。 知识点七：平行四边形 1.平行四边形的概念及特点 （1）定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 （2）核心特点 边：两组对边分别平行，且长度相等； 角：两组对角分别相等，相邻两个角的和为180°，四边形内角和为360°； 稳定性：具有不稳定性（易变形），生活中的伸缩门、升降架、电动折叠门都利用了这一特性。 2.画平行四边形 方法一：先画一组平行且长度相等的对边，再连接剩余两条边，保证两组对边分别平行； 方法二：在方格纸上作图，横向、纵向格数对应相等，确保对边平行且相等； 3.平行四边形的切拼 （1）剪一刀得到两个梯形：在平行四边形的一组对边上各取一个非顶点的点，沿不平行于另一组对边的直线剪开，得到的两个图形都只有一组对边平行，均为梯形。 （2）剪一刀得到一个三角形和一个梯形：过平行四边形的一个顶点，向对边上的非顶点处剪开，可得到一个三角形和一个梯形。 （3）剪一刀得到两个平行四边形：沿平行于任意一组对边的直线剪开，得到的两个图形仍满足两组对边分别平行，都是平行四边形。 知识点八：梯形 1.梯形的概念及特点 （1）定义：只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。 （2）各部分名称 上底和下底：互相平行的一组对边； 腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰； （3）核心特点：只有一组对边平行；内角和为360°。 2.直角梯形和等腰梯形的概念及特点 （1）直角梯形 定义：有直角的梯形叫做直角梯形。 特点：有一条腰与上下底互相垂直，图形中有2个直角。 （2）等腰梯形 定义：两腰长度相等的梯形叫做等腰梯形。 特点：两腰长度相等；同一底上的两个底角相等；是轴对称图形。 3.画梯形 步骤：先画一组平行的线段作为上底和下底，再连接两条腰，保证只有一组对边平行； 知识点九：四边形的分类及关系 1.按对边平行情况分类 （1）两组对边分别平行：平行四边形（包含长方形、正方形）； （2）只有一组对边平行：梯形（包含直角梯形、等腰梯形）； （3）没有互相平行的边：一般四边形。 2.从属关系 （1）正方形是特殊的长方形，也是特殊的平行四边形； （2）长方形是特殊的平行四边形； （3）平行四边形和梯形都属于四边形，二者是并列关系，不存在包含关系。 三、典例精讲巩固 知识点一：平行的定义及特征 【例1】（23-24·山东菏泽·期末）在下图中，a和b( )，记作( )，读作( )。 【例2】（24-25·河北邯郸·期中）数一数。 上图中有_________组平行线。 【例3】（25-26·湖南长沙·期末）两条线段互相平行，我们说这是一组平行线段。下图中共有( )组平行线段。 知识点二：垂直的定义及特征 【例4】（25-26·江苏宿迁·期末）下列各组直线中，互相平行的是( )，相交的是( )，在相交直线中，互相垂直的是( )。 【例5】（25-26·贵州贵阳·期末）下列各图中既有互相平行又有互相垂直的线段是选项（    ）。 A． B． C． D． 【例6】（25-26·安徽合肥·期末）下面各图中，相交线、平行线和垂线分别有多少组？填一填。 图形 相交线的组数 平行线的组数 垂线的组数 知识点三：画垂线 【例7】（23-24·山东潍坊·期末）欢欢想利用三角板画出直线MN的垂线，以下方法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【例8】（25-26·河北唐山·期末）画一条长4厘米的线段AB，然后在线段AB上任选一点C，再过C点画它的垂线。 【例9】（25-26·河北邢台·期末）过点C画直线AB的垂线。     知识点四：点到直线的距离 【例10】（25-26·河南信阳·期末）如下图所示，在三角形ABC中，点C到线段AB最近的距离是线段( )。 【例11】（24-25·上海静安·期末）要从幸福新村修一条通往公路的水泥路，怎样修路最近呢？请把最短的路线画出来。                 【例12】（25-26·山西运城·期末）路线中的智慧。 周末，乐乐从家先到爷爷家，然后和爷爷一起去小河边钓鱼，乐乐怎样走最近？请你在下图中画出最短路线。 知识点五：画平行线 【例13】（24-25·陕西咸阳·期末）过M点分别作的垂线和平行线。 【例14】（24-25·海南省直辖县级单位·期末）如图，过A点画两条已知直线的平行线。 【例15】（24-25·河北保定·期末）画出直线a的一条平行线。 知识点六：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【例16】（25-26·山西临汾·期末）先过点A画已知直线的平行线，再在平行线间画一个最大的正方形。 【例17】（25-26·山东威海·期末）下图是用圆规和直尺测量长方形的长和宽的过程，把长方形画在方格纸上。 【例18】（25-26·安徽合肥·期末）用圆规和直尺，画一个长8厘米，宽5厘米的长方形。（留下作图痕迹） 知识点七：平行四边形 【例19】（24-25·四川雅安·期末）用一根48厘米的铁丝围成一个平行四边形，其中一条边长是11厘米，另外三条边长分别是( )厘米、( )厘米、( )厘米。 【例20】（24-25·全国·期末）画一画。 在下面的点子图中选择一个点D，把它分别与点A、C连接起来，使四边形ABCD成为一个平行四边形。 【例21】（24-25·吉林白城·期末）用完全相同的两个三角尺，（     ）拼成一个平行四边形。 A．不可以 B．不一定 C．可以 知识点八：梯形 【例22】（20-21·广东广州·期末）下列图形中，是平行四边形的有( )，是梯形的有( )，是直角梯形的有( )，是等腰梯形的有( )。（在括号里填序号） 【例23】（24-25·河南新乡·期末）下图中四边形ABCD是一个梯形，其中线段AB与线段CD的位置关系是( )，线段DC与线段AD的位置关系是( )。 【例24】（25-26·河北邢台·期末）如图，一个梯形的上底是4cm，下底是8cm。若将上底延长4cm，梯形就变成了( )形；若将上底缩短4cm，梯形就变成了( )形。 知识点九：四边形的分类及关系 【例25】（25-26·浙江金华·期末）生活中，有些事物之间存在着某种关系，如下①②③三个例子。那么下面四组选项中具有类似关系的一组是（    ）。 ①动物，鸡，母鸡 ②水果，苹果，青苹果 ③交通工具，汽车，小轿车 A．四边形，长方形，梯形 B．四边形，三角形，平行四边形 C．四边形，平行四边形，长方形 D．四边形，正方形，梯形 【例26】（25-26·广东深圳·期末）下图①②③④是把四边形的不同特征作为标准进行分类的，其中①的特征是（    ）。 A．两组对边分别平行 B．有一个角是直角 C．只有一组对边平行 D．四条边都相等 【例27】（22-23·河北唐山·期中）如图是我们学过的一些平面图形，回忆它们的特征，思考它们之间的关系，把它们分类整理到如图的集合圈中。 四、真题演练提升 1．（23-24·山东潍坊·期末）下列画垂线的方法不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（25-26·贵州贵阳·期末）下面的图形（    ）中，既有互相平行的线段，也有互相垂直的线段。 A． B． C． D． 3．（25-26·浙江金华·期末）下面关系图中每个圆圈代表一种图形的集合，那么它可以表示（    ）的关系。 A．四边形、平行四边形、梯形 B．平行四边形、正方形、长方形 C．三角形、等腰三角形、等边三角形 D．直角三角形、锐角三角形、钝角三角形 4．（25-26·广东深圳·期末）下面有八个图形，按（    ）的分类标准可以得到右边的两类。 A．四个角是否都相等 B．邻边是否相等 C．对边是否都互相平行 D．是不是轴对称图形 5．（24-25·河北邯郸·期中）下图中有( )组平行线，( )组垂线。 6．（25-26·湖南长沙·期末）如图：四边形ABCD中，，数一数，图中共有( )个梯形。 7．（20-21·山东菏泽·期末）如图4条直线中，( )和( )互相平行。 8．（20-21·广东广州·期末）图形之间通过点的运动是可以相互转换的，如图，如果点沿着梯形的下底向点移动最后重合，在这个过程中，梯形会先变成_____形，再变成梯形，最后变成_____形。 9．（25-26·江苏宿迁·期末）下面各组直线中，互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 10．（24-25·河南新乡·期末）下图是一个梯形，线段AD与BC的位置关系为( )，线段AB与BC的位置关系为( )。 11．（25-26·河北邢台·期末）莉莉说：“虽然四边形被遮住一部分（如图），但是我知道它一定是梯形。”你认为莉莉说得对吗？( )（填“对”或“错”） 你的理由是：_______________________________________________________________。 12．（25-26·安徽合肥·期末）（填序号）下图中，________有互相平行的线段，其中________只有一组互相平行的线段；________有互相垂直的线段，其中________只有一组互相垂直的线段。 13．（25-26·河南信阳·期末）如图小红从点A到直线l画了4条线段，从图中可知，点A到直线l的距离是( )厘米。（单位：厘米） 14．（24-25·四川雅安·期末）用一根24厘米长的铁丝围成一个平行四边形，如果一条边是8厘米，那么与它相邻的一条边是( )厘米。 15．（25-26·河北唐山·期末）过M点分别画出AB和AC垂线。 16．（24-25·上海静安·期末）要在村庄和公路之间修一条水泥路，怎样修路最短？在下图中画出来。 17．（25-26·山西运城·期末）如图，游泳池中有一个小朋友在B点遇到危险，位于A点的救生员按照怎样的救援路线才能最快将小朋友救上岸？请画出救援的最短路线。 18．（24-25·陕西咸阳·期末）过点O分别作射线AB的垂线、AC的平行线。 19．（25-26·山西临汾·期末）下图是一个长方形的两条边，请把这个长方形画完整。 20．（25-26·山东威海·期末）（1）用数学的眼光来观察，动手画一画。（每个小正方形的边长为1厘米。） ①画一个长6厘米、宽3厘米的长方形，标出长和宽的长度。 ②画一个边长为4厘米的正方形，标出一条边的长度。 21．（24-25·全国·期末）在下图中分别画出一个平行四边形和一个梯形。 22．（22-23·河北唐山·期中）分别在下面三个图中画一条直线。填一填，画一画。 （1）能分成两个直角三角形的是图（    ）。 （2）能分成两个钝角三角形的是图（    ）。 （3）能分成一个平行四边形和一个三角形的是图（    ）。 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $知识建构 重点聚焦 典例精练 培优拓展 第五单元 平行四边形和梯形（培优讲义） （解析版） 资 料 简 介 大家好！这份讲义专为人教版四年级上册的系统学习与复习编制，内容全面深入，能有效满足培优拓展需求，助力学生突破常规、冲刺更高水平，资料包含以下内容： 一、单元知识框架：通过导图形式，清晰呈现单元知识脉络，构建系统化的知识体系，明确学习重点与复习方向。 二、核心知识梳理：聚焦单元基础知识点，强化细节理解与记忆，助力深入学习并灵活运用知识点，夯实知识基础。 三、典例精讲巩固：围绕高频考点，精选典型例题、易错题及压轴题，通过例题拆解分析解题思路，实现“精耕细作”，做到事半功倍。 四、真题演练提升：精选近年各地名校真题，通过实战演练检验知识掌握水平，提升综合应试能力。 一、单元知识框架 二、核心知识梳理 知识点一：平行的定义及特征 1.定义：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 “同一平面内”是判断平行的前提，不在同一平面的直线即使不相交，也不叫互相平行。 2.符号表示：直线a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。 3.核心特征 （1）平行线无论怎样延长都不会相交； （2）两条平行线之间的垂直线段长度都相等，即平行线间的距离处处相等； （3）同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行； （4）两条平行线之间可以画无数条垂直线段，这些线段互相平行且长度相等。 4.生活实例： 铁轨轨道、黑板的上下对边、斑马线、双杠横杆等。 知识点二：垂直的定义及特征 1.定义：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。 2.符号表示：直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。 3.核心特征 （1）两条直线垂直时，相交形成的4个角都是直角，且只有1个垂足； （2）垂直是相交的特殊情况，判断垂直只看相交是否成直角，与直线的摆放方向无关； （3）一条直线有无数条垂线。 4.生活实例： 墙角的两条棱、课本相邻的两条边、十字路口的道路、桌角的边等。 知识点三：画垂线 1.作图工具：三角尺（利用直角边）、量角器，其中三角尺画法最简便。 2.过直线上一点画垂线 （1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合； （2）沿直线平移三角尺，使三角尺的直角顶点和已知点重合； （3）沿三角尺的另一条直角边画直线，最后标出直角符号。 3.过直线外一点画垂线 （1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合； （2）沿直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点； （3）沿该直角边画直线，最后标出直角符号。 4.结论：过一点（直线上或直线外），有且只有一条直线与已知直线垂直。 知识点四：点到直线的距离 1.定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 2.核心结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂直线段最短。 3.实际应用 （1）过马路时，走垂直于斑马线的路线路程最短； （2）从村庄修通往公路的最短水泥路，作垂直线段即可； （3）跳远成绩测量，是测量落脚点到起跳线的垂直线段长度。 知识点五：画平行线 1.作图工具：直尺或三角尺 2.画法一：沿着直尺两侧画直线或在方格纸上沿横线、竖线画，保证间距相等即可得到平行线。 3. 画法二：用两把三角尺 （1）固定一把三角尺（记为三角尺A），将另一把三角尺（记为三角尺B）的一条直角边紧贴三角尺A的某条边。 （2）沿三角尺B的另一条直角边画一条直线。 （3）保持三角尺A固定，沿三角尺A与三角尺B贴合的边平移三角尺B。 （4）沿三角尺B原来画线的直角边再画一条直线，这两条直线即为平行线。 知识点六：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 1.作图原理： 长方形对边平行且长度相等，相邻的两条边互相垂直，四个角都是直角；正方形四条边长度都相等，四个角都是直角，是特殊的长方形。 2.长方形的两种画法 方法一：尺规作图法（三角尺+圆规） （1）用三角尺先画出一个直角，确定长方形邻边的垂直关系； （2）用圆规在直角的两条边上，分别截出对应长度的长和宽，标记出两个端点； （3）分别过这两个端点作垂线，两条垂线相交形成第四个顶点； （4）标注直角符号，完成长方形绘制。 方法二：单三角尺作图法 （1）用三角尺测量出给定线段的长度，确定长方形的长和宽； （2）沿三角尺的两条直角边，画出对应的长和宽，作为长方形的一组邻边； （3）以画出的长和宽为基础，补画出另一组邻边，保证对边平行、四个角均为直角，即可画出长方形。 3.正方形的画法 正方形是特殊的长方形，以上两种画法均适用，只需保证边的长度相等： （1）尺规作图法：画出直角后，在两条直角边上截取长度相等的线段，再分别过端点作垂线相交即可。 （2）单三角尺作图法：沿三角尺直角边画出两条等长的邻边，再补全另外两条等长的边，确保四个角都是直角。 知识点七：平行四边形 1.平行四边形的概念及特点 （1）定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 （2）核心特点 边：两组对边分别平行，且长度相等； 角：两组对角分别相等，相邻两个角的和为180°，四边形内角和为360°； 稳定性：具有不稳定性（易变形），生活中的伸缩门、升降架、电动折叠门都利用了这一特性。 2.画平行四边形 方法一：先画一组平行且长度相等的对边，再连接剩余两条边，保证两组对边分别平行； 方法二：在方格纸上作图，横向、纵向格数对应相等，确保对边平行且相等； 3.平行四边形的切拼 （1）剪一刀得到两个梯形：在平行四边形的一组对边上各取一个非顶点的点，沿不平行于另一组对边的直线剪开，得到的两个图形都只有一组对边平行，均为梯形。 （2）剪一刀得到一个三角形和一个梯形：过平行四边形的一个顶点，向对边上的非顶点处剪开，可得到一个三角形和一个梯形。 （3）剪一刀得到两个平行四边形：沿平行于任意一组对边的直线剪开，得到的两个图形仍满足两组对边分别平行，都是平行四边形。 知识点八：梯形 1.梯形的概念及特点 （1）定义：只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。 （2）各部分名称 上底和下底：互相平行的一组对边； 腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰； （3）核心特点：只有一组对边平行；内角和为360°。 2.直角梯形和等腰梯形的概念及特点 （1）直角梯形 定义：有直角的梯形叫做直角梯形。 特点：有一条腰与上下底互相垂直，图形中有2个直角。 （2）等腰梯形 定义：两腰长度相等的梯形叫做等腰梯形。 特点：两腰长度相等；同一底上的两个底角相等；是轴对称图形。 3.画梯形 步骤：先画一组平行的线段作为上底和下底，再连接两条腰，保证只有一组对边平行； 知识点九：四边形的分类及关系 1.按对边平行情况分类 （1）两组对边分别平行：平行四边形（包含长方形、正方形）； （2）只有一组对边平行：梯形（包含直角梯形、等腰梯形）； （3）没有互相平行的边：一般四边形。 2.从属关系 （1）正方形是特殊的长方形，也是特殊的平行四边形； （2）长方形是特殊的平行四边形； （3）平行四边形和梯形都属于四边形，二者是并列关系，不存在包含关系。 三、典例精讲巩固 知识点一：平行的定义及特征 【例1】（23-24·山东菏泽·期末）在下图中，a和b( )，记作( )，读作( )。 【答案】 互相平行 a//b a平行于b 【分析】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行；依此填空。 【详解】图中，a和b互相平行，记作a//b，读作a平行于b。 【点睛】熟练掌握平行的特点是解答此题的关键。 【例2】（24-25·河北邯郸·期中）数一数。 上图中有_________组平行线。 【答案】7 【分析】平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；据此解答。 【详解】根据分析如图： 观察发现a与b互相平行，c与d互相平行，c与e互相平行，c与f互相平行，d与e互相平行，d与f互相平行，e与f互相平行，所以图中有7组平行线。 【例3】（25-26·湖南长沙·期末）两条线段互相平行，我们说这是一组平行线段。下图中共有( )组平行线段。 【答案】4 【详解】看图可知，该图是由一个梯形和一个长方形组成。梯形的上底和下底互相平行；长方形的上下两条边互相平行；梯形的上底和长方形的上面那条边互相平行；长方形的左右两条边互相平行； 综上所述，一共有4组平行线段。 知识点二：垂直的定义及特征 【例4】（25-26·江苏宿迁·期末）下列各组直线中，互相平行的是( )，相交的是( )，在相交直线中，互相垂直的是( )。 【答案】 ② ①③④ ④ 【分析】在同一个平面内，永不相交的两条直线是平行线； 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。 【详解】由分析，可知如图的4组直线中： 互相平行的是②； 第③组直线延长后相交，所以相交的是①③④； 在相交的直线中，互相垂直的是④。 【例5】（25-26·贵州贵阳·期末）下列各图中既有互相平行又有互相垂直的线段是选项（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平行：两条线段永不相交；垂直：两条线段相交形成直角。 【详解】A．普通五边形，无线段互相垂直，不符合； B．圆由曲线构成，不存在线段，不符合； C．直角三角形，只有互相垂直的两条直角边，没有平行线，不符合； D．直角梯形，上下两条底边互相平行，左侧竖腰与上下底相交成直角，互相垂直，既有平行线又有垂直线。 【例6】（25-26·安徽合肥·期末）下面各图中，相交线、平行线和垂线分别有多少组？填一填。 图形 相交线的组数 平行线的组数 垂线的组数 【答案】 图形 相交线的组数 4 4 4 平行线的组数 2 1 2 垂线的组数 0 2 4 【分析】两条直线只有唯一的一个公共点即为相交；平行线：永不相交；垂线是特殊的相交，相交成直角才叫垂线；据此作答即可。 【详解】第1个图形 相交线：4组 平行线：2组（2条横线互相平行、2条斜线互相平行） 垂线：0组 第2个图形 相交线：4组 平行线：1组（2条横线互相平行） 垂线：2组 第3个图形 相交线：4组 平行线：2组（2条横线互相平行、2条竖线互相平行） 垂线：4组 知识点三：画垂线 【例7】（23-24·山东潍坊·期末）欢欢想利用三角板画出直线MN的垂线，以下方法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与直线MN重合；再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是直线MN的垂线，据此选择即可。 【详解】A．直角三角尺的一条直角边和MN重合，另一条直角边即为直线 MN的垂线，方法正确； B．直角边没有重合，方法错误； C．直角边重合了，但是画的是斜边，应该沿着另一条直角边画，方法错误； D．直角边没有重合，方法错误。 方法正确的是。 故答案为：A 【例8】（25-26·河北唐山·期末）画一条长4厘米的线段AB，然后在线段AB上任选一点C，再过C点画它的垂线。 【答案】（画法不唯一） 【分析】先把直尺平放在纸上，在直尺的0刻度位置点一个点，标记为A，再找到直尺4厘米的刻度位置点一个点，标记为B，用直线把A、B两点连起来，就得到长4厘米的线段AB。 在AB线段上随便选一个点，标记为C。 把三角板的一条直角边紧紧对齐线段AB，慢慢移动三角板，让三角板的另一条直角边刚好经过点C，沿着这条经过C的直角边画一条直线，这条线就是过C点的AB的垂线。 【详解】略 【例9】（25-26·河北邢台·期末）过点C画直线AB的垂线。     【答案】见详解 【分析】过点C画直线AB的垂线方法：先把三角尺的一条直角边与直线AB重合；沿着直线移动三角尺，使点C在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是直线AB的垂线。 【详解】作图如下： 知识点四：点到直线的距离 【例10】（25-26·河南信阳·期末）如下图所示，在三角形ABC中，点C到线段AB最近的距离是线段( )。 【答案】CD 【分析】点到直线的所有的连线中，垂直线段最短；据此填空即可。 【详解】据分析可知，在三角形ABC中，点C到线段AB最近的距离是线段CD。 【例11】（24-25·上海静安·期末）要从幸福新村修一条通往公路的水泥路，怎样修路最近呢？请把最短的路线画出来。                 【答案】 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使修路最近，则从幸福新村向公路作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】图略 【例12】（25-26·山西运城·期末）路线中的智慧。 周末，乐乐从家先到爷爷家，然后和爷爷一起去小河边钓鱼，乐乐怎样走最近？请你在下图中画出最短路线。 【答案】 【分析】根据“两点之间，线段最短”，可知从乐乐家到爷爷家最短的路线即为连接乐乐家和爷爷家的线段。根据“垂线段最短”，可知从爷爷家向小河作垂线，即为爷爷家到小河的最短路线。 【详解】图略。 知识点五：画平行线 【例13】（24-25·陕西咸阳·期末）过M点分别作的垂线和平行线。 【答案】 【分析】把三角尺的一条直角边与图中的直线重合，沿着直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边与点M重合，沿着三角尺的另一条直角边画出一条直线，即为过点M作已知直线的垂线； 过直线外一点画已知直线的平行线：一放：放三角板，使三角板的一条直角边与已知直线重合；二靠：把直尺靠在三角板的另一条直角边上；三推：直尺固定不动，沿着直尺推动三角板，使三角板的直角边过点M；四画：沿着三角板的直角边画线。 【详解】略 【例14】（24-25·海南省直辖县级单位·期末）如图，过A点画两条已知直线的平行线。 【答案】 【分析】将三角板的一条直角边与其中一条已知直线重合，另一条直角边紧靠直尺，平移三角板直至其直角边经过A点，沿该直角边过A点画直线，即可得到与该已知直线平行的线；对另一条已知直线重复上述操作，即可画出两条符合要求的平行线。 【详解】略 【例15】（24-25·河北保定·期末）画出直线a的一条平行线。 【答案】（画法不唯一） 【分析】根据题意，平行线的画法：固定三角尺，使其一条直角边和直线重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使直线外的点在三角尺的一条直角边上，沿着这条直角边再画出另一条直线，就是这条直线的平行线。以此画图即可。 【详解】画图略 知识点六：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【例16】（25-26·山西临汾·期末）先过点A画已知直线的平行线，再在平行线间画一个最大的正方形。 【答案】 【分析】过点A画已知直线的平行线：用三角板的一条直角边对齐图里的已知直线，把直尺紧贴三角板的另一条直角边，固定直尺后平移三角板，让三角板原先对齐已知直线的直角边经过点A，沿着这条直角边画出的直线，就是已知直线的平行线。 画平行线间最大的正方形：①从点A向下方的已知直线画一条垂直线段，这条线段的长度就是两条平行线之间的距离；②以这条垂线段的长度作为正方形的边长，分别在点A所在的平行线上，从点A向左量出和垂线段长度相等的距离，得到一个点；再在下方的已知直线上，找到刚才垂线段和已知直线的垂足，从垂足向左也量出同样的边长得到一个点；③顺次连接这四个点，得到的就是两条平行线之间能画出的最大正方形。 【详解】画图略 【例17】（25-26·山东威海·期末）下图是用圆规和直尺测量长方形的长和宽的过程，把长方形画在方格纸上。 【答案】 【分析】从图中可得：圆规张开的距离分别对应长方形的长和宽，据此画出长方形。 【详解】左边的圆规，一端在5厘米处，另一端在9厘米处，所以长方形的长为：9－5＝4（厘米）； 右边的圆规，一端在9厘米处，另一端在11厘米处，所以长方形的宽为：11－9＝2（厘米）。 【例18】（25-26·安徽合肥·期末）用圆规和直尺，画一个长8厘米，宽5厘米的长方形。（留下作图痕迹） 【答案】 【分析】长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等，作图时要满足这两个特征。 【详解】用直尺画一条长8厘米的线段作为长方形的长，记为线段AB。 用圆规量取5厘米的长度，以A为端点，向线段上方画弧线，将直尺的刻度线跟端点重合，向上画垂线，与弧线交于一点，再将A点与这个交点连线，则这条线段就是长方形的宽。另一条宽同理。 连接两条宽的另外两个端点，得到长方形的另一条长，即可得到符合要求的长方形。 知识点七：平行四边形 【例19】（24-25·四川雅安·期末）用一根48厘米的铁丝围成一个平行四边形，其中一条边长是11厘米，另外三条边长分别是( )厘米、( )厘米、( )厘米。 【答案】 11 13 13 【分析】平行四边形的两组对边分别平行且相等，用这个平行四边形的周长除以2，算出平行四边形的一组邻边的长度和，再用一组邻边长度和减去已知的一条边，即可算出这个平行四边形的另一组边的长度。据此解答。 【详解】48÷2－11 ＝24－11 ＝13（厘米） 用一根48厘米的铁丝围成一个平行四边形，其中一条边长是11厘米，另外三条边长分别是11厘米、13厘米、13厘米。 【例20】（24-25·全国·期末）画一画。 在下面的点子图中选择一个点D，把它分别与点A、C连接起来，使四边形ABCD成为一个平行四边形。 【答案】 【分析】平行四边形的对边平行且相等，AB长度是5格，所以从C点出发，与AB平行的方向，向左数5格就是D点，连接CD、AD就是平行四边形。 【详解】略 【例21】（24-25·吉林白城·期末）用完全相同的两个三角尺，（     ）拼成一个平行四边形。 A．不可以 B．不一定 C．可以 【答案】C 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°；两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；依此分别用两个相同三角尺看是否能拼出平行四边形即可。 【详解】如图所示： 则用完全相同的两个三角尺，可以拼成一个平行四边形。 故答案为：C 知识点八：梯形 【例22】（20-21·广东广州·期末）下列图形中，是平行四边形的有( )，是梯形的有( )，是直角梯形的有( )，是等腰梯形的有( )。（在括号里填序号） 【答案】 ①、③ ②、⑤、⑥ ⑤ ② 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，长方形是特殊的平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；依此填空即可。 【详解】是平行四边形的有：①、③ 是梯形的有：②、⑤、⑥ 是直角梯形的有：⑤ 是等腰梯形的有：② 【点睛】熟练掌握平行四边形、梯形、直角梯形、等腰梯形的特点是解答此题的关键。 【例23】（24-25·河南新乡·期末）下图中四边形ABCD是一个梯形，其中线段AB与线段CD的位置关系是( )，线段DC与线段AD的位置关系是( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】梯形上底和下底互相平行，线段AB与线段CD分别是梯形的上底和下底，所以两者位置关系是互相平行；线段DC与线段AD夹角是直角符号，所以线段DC与线段AD互相垂直。据此解题。 【详解】下图中四边形ABCD是一个梯形，其中线段AB与线段CD的位置关系是平行，线段DC与线段AD的位置关系是垂直。 【例24】（25-26·河北邢台·期末）如图，一个梯形的上底是4cm，下底是8cm。若将上底延长4cm，梯形就变成了( )形；若将上底缩短4cm，梯形就变成了( )形。 【答案】 平行四边 三角 【分析】上底原本是4cm，延长4cm后长度变为4＋4＝8cm，和下底长度相等。原来梯形的上下底是互相平行的，现在一组对边既平行又长度相等，符合平行四边形的特征，所以会变成平行四边形。上底原本是4cm，缩短4cm后长度变为0cm，相当于上底的两个端点重合为一个点，图形就只剩3条边了，也就变成了三角形。 【详解】如图，一个梯形的上底是4cm，下底是8cm。若将上底延长4cm，梯形就变成了平行四边形；若将上底缩短4cm，梯形就变成了三角形。 知识点九：四边形的分类及关系 【例25】（25-26·浙江金华·期末）生活中，有些事物之间存在着某种关系，如下①②③三个例子。那么下面四组选项中具有类似关系的一组是（    ）。 ①动物，鸡，母鸡 ②水果，苹果，青苹果 ③交通工具，汽车，小轿车 A．四边形，长方形，梯形 B．四边形，三角形，平行四边形 C．四边形，平行四边形，长方形 D．四边形，正方形，梯形 【答案】C 【分析】例题是三层包含关系：第一层是大类别，第二层属于第一层，第三层属于第二层。动物包含鸡，鸡包含母鸡；水果包含苹果，苹果包含青苹果；交通工具包含汽车，汽车包含小轿车。按照这个层层包含的从属关系判断选项。 【详解】A．四边形包含长方形，长方形不包含梯形，是并列关系，不符合。 B．四边形不包含三角形，不属于同一大类，不符合。 C．四边形包含平行四边形，平行四边形包含长方形，是三层依次包含关系，符合。 D．四边形包含正方形，正方形不包含梯形，是并列关系，不符合。 【例26】（25-26·广东深圳·期末）下图①②③④是把四边形的不同特征作为标准进行分类的，其中①的特征是（    ）。 A．两组对边分别平行 B．有一个角是直角 C．只有一组对边平行 D．四条边都相等 【答案】A 【分析】大圈里的四边形被分成了①和②两类；①里的四边形两组对边分别平行；②里的四边形只有一组对边平行；③里的四边形四个角都是直角；④里的四边形都是平行四边形。 【详解】根据分析可知，①里的四边形两组对边分别平行。 【例27】（22-23·河北唐山·期中）如图是我们学过的一些平面图形，回忆它们的特征，思考它们之间的关系，把它们分类整理到如图的集合圈中。 【答案】见详解 【分析】平行四边形是两组对边平行且相等的四边形，梯形是只有一组对边平行的四边形。平行四边形和梯形都是特殊的四边形，但平行四边形不是特殊的梯形，梯形也不是特殊的平行四边形。长方形的两组对边平行且相等，有4个直角，则长方形是特殊的平行四边形。正方形的两组对边平行，有4个直角，4条边相等，则正方形是特殊的长方形。据此解答。 【详解】 四、真题演练提升 1．（23-24·山东潍坊·期末）下列画垂线的方法不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画垂线时可以借助三角尺或量角器，画垂线时三角尺的一条直角边（或量角器的0°刻度线）必须与已知直线重合，沿直角边向已知直线画垂线（或用量角器画垂线），据此解答即可。 【详解】 A．，三角尺的一条直角边与另一个三角尺的直线边重合，方法正确； B．，量角器的0°刻度线已知直线重合，方法正确； C．，三角尺的一条直角边没有与已知直线重合，方法错误； D．，三角尺的一条直角边与已知直线重合，方法正确。 所以，画垂线的方法不正确的是。 故答案为：C 2．（25-26·贵州贵阳·期末）下面的图形（    ）中，既有互相平行的线段，也有互相垂直的线段。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。如黑板的上下两条边、火车的两条铁轨，都是互相平行的线段。垂线的定义：两条直线相交成直角时，就说这两条直线互相垂直。如黑板的相邻两条边、课本的相邻两条边，都是互相垂直的线段。逐个分析选项中的图形，判断是否存在互相平行和互相垂直的线段。 【详解】A．是四边形：只有互相平行的对边，没有互相垂直的线段，不符合要求。 B．是箭头图形：左侧长方形部分的上下两条长线段互相平行，同时相邻的横竖线段相交成直角，存在互相垂直的线段，符合要求。 C．是圆内加十字：圆的轮廓是曲线不是线段，内部两条交叉线段互相垂直，但没有互相平行的线段，不符合要求。 D．是正六边形：只有互相平行的对边，没有互相垂直的线段，不符合要求。 3．（25-26·浙江金华·期末）下面关系图中每个圆圈代表一种图形的集合，那么它可以表示（    ）的关系。 A．四边形、平行四边形、梯形 B．平行四边形、正方形、长方形 C．三角形、等腰三角形、等边三角形 D．直角三角形、锐角三角形、钝角三角形 【答案】A 【分析】分析每个选项中图形之间的包含关系，看是否与题目所给关系图（两个小圆圈在一个大圆圈内，且两个小圆圈相互独立）相符合。 【详解】A．四边形是一个大的集合，平行四边形和梯形是四边形的两种不同类型。平行四边形是两组对边分别平行的四边形，梯形是只有一组对边平行的四边形，它们相互独立且都属于四边形，与题目关系图中两个小圆圈（平行四边形和梯形）在一个大圆圈（四边形）内且相互独立的关系相符。 B．平行四边形包含长方形和正方形，长方形是四个角为直角的平行四边形，正方形是四个角为直角且四条边相等的长方形，它们之间是包含关系，不符合题目关系图中两个小圆圈相互独立的关系。 C．三角形包含等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形，它们之间是包含关系，不符合题目关系图中两个小圆圈相互独立的关系。 D．三角形按角分类有直角三角形、锐角三角形和钝角三角形，直角三角形、锐角三角形和钝角三角形相互独立，且都属于三角形，但它们的关系不符合题目关系图中两个小圆圈在一个大圆圈内的形式。 所以，关系图中每个圆圈代表一种图形的集合，那么它可以表示A选项中的关系。 故答案为：A 4．（25-26·广东深圳·期末）下面有八个图形，按（    ）的分类标准可以得到右边的两类。 A．四个角是否都相等 B．邻边是否相等 C．对边是否都互相平行 D．是不是轴对称图形 【答案】C 【分析】由四条边组成的封闭图形叫做四边形，再根据四边形的分类及其关系进行选择即可。 只有一组对边平行的四边形叫做梯形； 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，平行四边形的对边相等； 四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形，正方形是特殊的平行四边形； 长方形两组对边平行且相等，两条对角线相等且互相平分，长方形是特殊的平行四边形。据此逐项解答即可。 【详解】A．四个角是否都相等，①②③⑦中四个角都不相等，④⑤⑥⑧中除了长方形和正方形之外的所有平行四边形四个角也不是都相等。不符合题意； B．邻边是否相等，①②③⑦中既有邻边相等的四边形，又有邻边不相等的梯形；④⑤⑥⑧中也是既有邻边相等的正方形，又有邻边不相等的长方形和平行四边形。不符合题意； C．对边是否都互相平行，①②③⑦中的图形不是两组对边都互相平行，④⑤⑥⑧中的图形对边都互相平行，符合题意； D．是否轴对称图形，①②③⑦中既有对称的等腰梯形，又有不对称的直角梯形；④⑤⑥⑧中也是既有对称的长方形、正方形，又有不对称的平行四边形。不符合题意。 5．（24-25·河北邯郸·期中）下图中有( )组平行线，( )组垂线。 【答案】 3 4 【分析】根据平行线的定义可知，在同一平面内，不相交的两条直线互相平行；若两条直线相交，且相交后的角为90°，则这两条直线互相垂直，即为互为垂线。据此找出平行线和垂线即可。 【详解】 如图标出各点，可知AC与DF平行，AD与CF平行，AE与BF平行，共3组平行线。AD垂直DF、AC，CF垂直DF、AC，共4组垂线。 6．（25-26·湖南长沙·期末）如图：四边形ABCD中，，数一数，图中共有( )个梯形。 【答案】16 【分析】根据梯形的定义，按照一定的顺序，数出梯形的个数即可。 【详解】单个的梯形有5个， 两个梯形组成的梯形有4个， 一个梯形一个三角形组成的梯形有2个， 两个梯形一个三角形组成的梯形有1个， 三个梯形一个三角形组成的梯形有2个， 三个梯形组成的梯形有1个， 大梯形有1个。 5＋4＋2＋1＋2＋1＋1＝16 所以图中共有16个梯形。 7．（20-21·山东菏泽·期末）如图4条直线中，( )和( )互相平行。 【答案】 b d 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；据此判断即可。 【详解】如图4条直线中，b和d互相平行。 8．（20-21·广东广州·期末）图形之间通过点的运动是可以相互转换的，如图，如果点沿着梯形的下底向点移动最后重合，在这个过程中，梯形会先变成_____形，再变成梯形，最后变成_____形。 【答案】 平行四边 三角 【分析】根据题意，当D点向C点移动至某一位置时，AD与BC平行，便形成平行四边形； 继续移动后，AD不再与BC平行，图形又恢复为梯形；最终D点与C点重合，四边形退化为三角形。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 图形之间通过点的运动是可以相互转换的，如图，如果点沿着梯形的下底向点移动最后重合，在这个过程中，梯形会先变成平行四边形，再变成梯形，最后变成三角形。 9．（25-26·江苏宿迁·期末）下面各组直线中，互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 【答案】 ②③⑧ ①⑦ 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行； 在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 【详解】根据分析可知，图中各组直线中，互相平行的是（②③⑧），互相垂直的是（①⑦）。 10．（24-25·河南新乡·期末）下图是一个梯形，线段AD与BC的位置关系为( )，线段AB与BC的位置关系为( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 【详解】下图是一个梯形，线段AD与BC的位置关系为平行，线段AB与BC的位置关系为垂直。 11．（25-26·河北邢台·期末）莉莉说：“虽然四边形被遮住一部分（如图），但是我知道它一定是梯形。”你认为莉莉说得对吗？( )（填“对”或“错”） 你的理由是：_______________________________________________________________。 【答案】 错 因为另一组对边是否平行还不确定，当另一组对边平行时，这个四边形是平行四边形，当另一组对边不平行时，这个四边形是梯形。（理由不唯一） 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；由图可知，我们只能确定至少有一组对边平行，另一组对边是否平行不确定，依此解答。 【详解】莉莉说得不对；理由略。 12．（25-26·安徽合肥·期末）（填序号）下图中，________有互相平行的线段，其中________只有一组互相平行的线段；________有互相垂直的线段，其中________只有一组互相垂直的线段。 【答案】 ③④⑤⑥ ⑤⑥ ②③⑥ ② 【分析】长方形、平行四边形，梯形有互相平行的线段，其中梯形只有一组互相平行的线段； 长方形、直角三角形、直角梯形有互相垂直的线段，其中直角三角形只有一组互相垂直的线段。 【详解】③④⑤⑥有互相平行的线段，其中⑤⑥只有一组互相平行的线段； ②③⑥有互相垂直的线段，其中②只有一组互相垂直的线段。 13．（25-26·河南信阳·期末）如图小红从点A到直线l画了4条线段，从图中可知，点A到直线l的距离是( )厘米。（单位：厘米） 【答案】5 【分析】直线外一点到这条直线所有的线段中，垂线段最短，垂线段的长度也叫做点到直线的距离，据此填空即可。 【详解】点A到直线l的距离是5厘米。 14．（24-25·四川雅安·期末）用一根24厘米长的铁丝围成一个平行四边形，如果一条边是8厘米，那么与它相邻的一条边是( )厘米。 【答案】4 【分析】平行四边形的周长等于两条邻边长度之和的2倍，由于平行四边形的对边相等，因此用24除以2后，再减去其中一条边的长度，即可求出与它相邻的一条边是多少厘米。据此解答。 【详解】24÷2－8 ＝12－8 ＝4（厘米） 所以用一根24厘米长的铁丝围成一个平行四边形，如果一条边是8厘米，那么与它相邻的一条边是4厘米。 15．（25-26·河北唐山·期末）过M点分别画出AB和AC垂线。 【答案】 【分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线；据此即可解答。 【详解】画图略； 16．（24-25·上海静安·期末）要在村庄和公路之间修一条水泥路，怎样修路最短？在下图中画出来。 【答案】 【分析】根据题意，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离；因此过村庄作公路的垂线段即可。过一点作已知直线的垂线，把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】作图略。 17．（25-26·山西运城·期末）如图，游泳池中有一个小朋友在B点遇到危险，位于A点的救生员按照怎样的救援路线才能最快将小朋友救上岸？请画出救援的最短路线。 【答案】 【分析】两点之间，线段最短，先在A点和B点之间连一条线段；从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，再过点B作一条到离B点最近的岸上的垂线。 【详解】图略 18．（24-25·陕西咸阳·期末）过点O分别作射线AB的垂线、AC的平行线。 【答案】 【分析】用直角三角尺的一条直角边和线段AB重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点O重合，过O点沿直角边向线段AB画直线，即可画出经过点O的线段AB的垂线。 把三角尺的一条直角边和线段AC重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和AC重合的直角边和O点重合，过O点沿三角尺的直角边画直线，即可画出经过点O的线段AC的平行线。 【详解】图略。 19．（25-26·山西临汾·期末）下图是一个长方形的两条边，请把这个长方形画完整。 【答案】 【分析】长方形的对边互相平行且相等，因此分别过长方形两条边的顶点作与它相邻边的平行线，这两条平行线相交成直角，所组成的图形即为长方形，依此画图。 【详解】画图略； 20．（25-26·山东威海·期末）（1）用数学的眼光来观察，动手画一画。（每个小正方形的边长为1厘米。） ①画一个长6厘米、宽3厘米的长方形，标出长和宽的长度。 ②画一个边长为4厘米的正方形，标出一条边的长度。 【答案】 【分析】对边相等、四个角都是直角四边形的叫长方形，两组邻边分别为长和宽；四条边都相等、四个角都是直角四边形的叫正方形。因为每个小正方形边长为1厘米，数6个小正方形的边长，作为长方形的长，数3个小正方形的边长，作为长方形的宽。数4个小正方形的边长作为正方形的边长。 【详解】略 21．（24-25·全国·期末）在下图中分别画出一个平行四边形和一个梯形。 【答案】（画法不唯一） 【分析】平行四边形定义：平行四边形是两组对边分别平行且相等的四边形； 梯形定义：梯形是只有一组对边平行的四边形； 根据平行四边形和梯形的定义即可画出一个平行四边形和一个梯形。 【详解】在方格图中画平行四边形，选取合适的点，使两组对边平行且相等，依次连接四个点即可。（画法不唯一） 在方格图中画梯形，选取合适的点，使一组对边平行，另一组对边不平行，依次连接四个点即可。（画法不唯一） 22．（22-23·河北唐山·期中）分别在下面三个图中画一条直线。填一填，画一画。 （1）能分成两个直角三角形的是图（    ）。 （2）能分成两个钝角三角形的是图（    ）。 （3）能分成一个平行四边形和一个三角形的是图（    ）。 【答案】 （1）③；（2）①；（3）② 【分析】有一个直角的三角形叫做直角三角形；有一个钝角的三角形叫做钝角三角形；一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形；据此解答即可。 【详解】 （1）连接③长方形的对角顶点，就可以将长方形分成两个直角三角形，如图：，所以能分成两个直角三角形的是图③； （2）连接①平行四边形两个锐角的顶点，保留住两个钝角，就可以将平行四边形分成两个钝角三角形，如图：，所以能分成两个钝角三角形的是图①； （3）在梯形下底取一段与上底一样长的线段，用直尺连接截取点，就可以将梯形分成一个平行四边形和一个三角形，如图：，所以能分成一个平行四边形和一个三角形的是图②。 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $