专题04 点和线（专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04点和线 内容概览 目常考题型精推突破 题型1两点确定一条直线（高频） 题型2直线、线段、射线的数量问题（重） 题型3作线段（尺规作图） (重) 题型4两点之间线段最短（高频） 题型5线段的和与差（重） 题型6线段中点的有关计算（难） 题型7线段等分点的有关计算（难） 题型8与线段有关的动点问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1两点确定一条直线 1.墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具.如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个 点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出 一条墨线.请你解释其中的道理。 2.如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线.其中蕴藏的数学原理是 沙 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有() A.木匠弹墨线 B.打靶瞄准 A地 B地 C.弯曲公路改直 D.拉绳插秧 4.如图是生活中打靶瞄准现象，对于这个现象的解释正确的是() A.点动成线 B.两点确定一条直线 C.两点之间线段最短 D.线动成面 5.墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具.如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个 点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就 弹出一条墨线.其蕴含的数学道理是() A.两点之间线段最短 B.垂线段最短 C.三角形内角和定理 D.两点确定一条直线 ◆题型2直线、线段、射线的数量问题 6.有6个点，每两个点之间连一条线段，6个点最多可以连成 条不同的线段. 7.直线1上有一个点.在直线1上，以这个点为端点的不同射线共有多少条？ 8.过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画()条 A.11 B.10 C.9 D.8 2/12 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.在如图所示的图形中，共有条线段，以B为端点的线段有 C D 10.往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作 张车票. ◆题型3作线段（尺规作图） 11.如图，已知线段EF,用直尺和圆规作一个三角形，使三角形的三边长都等于EF EL F 12.如图，在△ABC中，AB=3,BC=5,请用尺规作图法，在AC边上求作一点D,使得AD=4.(保 留作图痕迹，不写作法) A B 13.已知A、B、C三点如图所示. d. B (I)画直线AB,射线AC,线段BC: (2)在线段BC上任取一点E(不同于B,C),连接AE,并延长AE至D,使DE=AE;(用尺规作图，不 写作法，保留作图痕迹) (3)在完成(1)(2)后，图中的线段共有多少条？并写出以点B为端点的所有线段. 14.如图，在同一平面内有三个点A,B,C. A B° & 利用尺规，按下面的要求作图.（要求：不写画法，保留作图痕迹） ①作射线BA: ②作线段BC 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③连接AC,并在线段AC上作一条线段AD,使AD=AB,连接BD 15.用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 已知：线段m,n,c 求作：线段AD,使AD=m+c-n. m ◆题型4两点之间线段最短 16.如图，从A到B有三条路径，最短的路径是②，理由是（) ① ② ③ A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.过一点有无数条直线 D.直线比曲线和折线短 17.2025年12月6日，经过52个月的艰苦建设，天山胜利隧道顺利贯通.此前，车辆沿盘山公路翻越天 山需要3.5个小时，隧道贯通后，穿越天山仅需约20分钟.请你用所学数学知识解释这一现象 18.从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是() A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.两点间线段的长度就是两点间的距离 D.直线比曲线短 19.生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是() 现象1：木板上弹墨线 现象2：弯曲的河道改直 A.均用两点之间线段最短来解释 B.均用经过两点有且只有一条直线来解释 C.现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 D.现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 20.贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路， 建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含 的数学基本事实是 ◆题型5线段的和与差 21.线段AB=12cm,点C是AB的中点，点D在直线AB上，若AB:AD=4:1,则CD的长为 cm 22.根据所示图形填空： A B C (1)AB+BC=( ): (2)AD=( )+CD; (3)CD=AD-( ) (4)BD=CD+( )=AD-( ): (5)AC-AB+CD=( )=BC+( 23.请通过直接观察，分别比较下列三组图形中线段α、b的长短.再用刻度尺量一量，看看你的观察结果 是否正确， ←a (1) 6 2) 3) 24.如图，点B是线段AC上一点，且AB=21cm,BC=号AB 3 O B C (I)试求出线段AC的长： (2)如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长 25.如图，AB=2cm,BC=3cm,则AC的长度是() A B C 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1cm B.3cm C.5cm D.7cm ◆题型6线段中点的有关计算 26.如图1，已知线段AB,O是AB中点 A O B C D 图1 图2 (①)用圆规作图（不写作法，但要保留作图痕迹） ①在图2中的线段CD上作CE=AB, ②在图2中的直线CD上作EF=子AB, (2)若AB=4cm,CD=5cm,则 ①DE= cm;(请把结果填在横线上) ②直接写出DF的长。 27.已知线段AB=10cm,线段AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点，则线段AM的长是 cm. A M 28.完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段CB、AC的中点，若ED=7.5,求线段AB的长度， AE C D B (2)若点C在线段AB的延长线上，点D、E分别为线段CB、AC的中点，DE=6,画出图形并求AB的长 度 29.如图，直线I上有两个定点A、B,一个动点P,点M、N分别为线段PA、PB的中点. A M P N BI A B A B 备用图 备用图 (1)若点P在线段AB上，且AB=10,AP=6,则线段MN= MN= AB (2)探究：当点P在直线1上运动，MN与AB有何数量关系. 张同学在探究时发现：点P与线段AB的位置关系也有不同情况，并且他猪想：MN=专AB。但张同学只 做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确。 解：①点P在AB之间， 因为：M是AP的中点，N是PB的中点， 6/12 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以：MP=子AP,PN=PB, 所以：MN=PM+PN=AP+PB=(PA+PB)厂号AB 2 30.如图，C是线段AB上一点，线段AB=30cm,BC=三AB,D是AC的中点，E是AB的中点. B (1)求线段CE的长： (②)求线段DE的长. ◆题型7线段n等分点的有关计算 31.M所在位置如下图，M×行的位置是点( ),M三的位置是点G ).(填序号) 0 ① ② M③④⑤ 2M 32.如图，已知点C在线段AB上，点M,N分别在线段AC与线段BC上，且AM=3MC,BN=3NC. A M CN B (1)若AC=8,BC=4,求线段MN的长； (2)若MN=5,求线段AB的长. 33.已知线段AB=12,点C为线段AB上一点，AC=5,点D为线段AB的三等分点，则线段CD的长为 34.如图，点M是线段AB的中点，点C是线段BM的三等分点，且MC<CB.若AB=12cm,则线段AC 的长为() A MC B A.10cm B.9cm C.8cm D.7cm 35.如图，点C,D把线段AB三等分，点P是线段BD上一点，且AC+BP=CP,AP-CD=mBP,则 () A C D P B A.m=1 B.m=2 C.m=3 D.m=4 ◆题型8与线段有关的动点问题 36.已知：M是线段AB上一定点，C,D两点分别从M,B出发以1cmS,3cm/s的速度沿直线BA向A, M运动，运动方向如箭头所示. A C.M D 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若AB=10cm,当点C,D运动2秒时，求AC+MD的值. (2)若C,D运动时，总有MD=3AC,则AM= AB MN ()在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN-BN=MN,AB的值为 37.如图：已知数轴上A,B两点所表示的数分别是-2和8. A 0 B (1)线段AB的长是 (2)若P为射线BA上的一点（点P不与A,B两点重合），M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线 BA上运动时，线段MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变， 请说明理由； (3)在第(2)问的条件下，当点P在什么位置时，PN的长度等于PM的长度的2倍？直接写出此时点P所 表示的数 38.A、D两地相距150km,B地位于A、D之间. A M B 图1 图2 A PB CO 备用图 (I)如图1，若M地恰好位于A,B中点处，N地恰好位于B、D中点，求M、N两地之间的距离. (2)如图2，已知B,C两地相距20km,P地恰好位于A,C中点处，Q地恰好位于B,D中点，求 P,Q两地之间的距离. (3)若AB两地相距50km,在(2)的条件下，甲从P地出发，以5km/h的速度步行去C地，甲中途不休 息.与此同时，乙从Q地出发，以15km/h的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回Q地，到达 Q地后停止运动.在运动过程中，甲的运动时间记为th,两人相距5km时，求出满足条件的t的值， 9已知点A,B,C,D在直线上，共中点A在点B左侧，点C在点D左侧，AB》,CD多点E为 线段AC中点，点F为线段BD中点. A E B(C)FD—I ()如图，当点B,C重合时，求线段EF的长： (2)当线段CD从图所示位置在直线I上向右移动时，AE-BF的值是否为定值？若是定值，请求出这个值； 若不是，请说明理由： 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 (3)当线段CD从图所示位置在直线1上向左移动，移动的距离为m m 时，是否存在m使得 AD+EF=5CD,若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由. 40.如图线段AB=12,动点Q从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿射线AB运动，点M为线段AQ的 中点，点N为线段BQ的中点，设运动时间为， AMON B A B 备用图 (1)当点Q在射线AB上运动时， ①当t=2时，线段MB的长度为 ②线段MN的长度为 (2)当点Q在线段AB上运动时，下列2个结论中：①2MB-BQ为定值；②2MB+BQ为定值.正确的结论 是 ,说明理由并求其值 (③若动点Q出发时，动店P也同时从点B出发，以1个单位长度秒沿射线BA运动.号PQ+BM是否存在最 小值？若存在，求出最小值：若不存在，请说明理由. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.如图，数轴上O,A两点的距离为40，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中 点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处.按照这样的规 律继续跳动到点A4,A,A6,…,Am(n≥3，n是整数)处，问经过这样2026次跳动后的点A2026与原 P 点的距离是()O A3 A2 A.5 ,1 22024 B.5 22023 C.5 22022 D.5 2221 2.如图，线段AB表示一根对折以后的绳子，现从P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段是 Bcm.若AP=)PB,则这条绳子的原长为()cm A A.24或16 B.16或12 C.24或12 D.12或32 9/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，点C是线段AB的中点，E是线段AB上的一点AE<BE,点D是BE的中点，AB=21, BD=3AE,则CD的长是() AE CD B A.1.5 B.2 c.2.5 D.3 4.如图，直线a‖b,点A、B、C在直线a上，直线b上有4个点，将点A、B、C与直线b上的4个点分 别相连，在直线a、b之间（不包括在直线a、b上）有n个交点，则n的最大值为() A B C a b◆ A.12 B.16 C.18 D.20 5.如图，已知A,B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB=6,动点P从点A出发， 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M,N始终为AP,BP的中点，设运动 时间为tt>0秒，则下列结论中正确个数是() ①t=3时，点P运动到点B,②BP=2时，t=2;③在点P的运动过程中，线段MN的长度不变， B N←-PMA 0 4 A.0 B.1 C.2 D.3 6.如图点C、D在线段AB上，点E在线段CD上，已知AB=a,CD=b,则图中所有线段长度和为 () ACED B A.4a+2b B.3a+2b C.2a+2b D.2a+4b 7.在平面上任意画4个点，那么这4个点确定的直线共有() A.1条或4条 B.1条或6条 C.4条或6条 D.1条或4条或6条 二、填空题 8.定义：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.我们将长度相等且 方向相同的线段记作同一条有向线段.例如，在正方形ABCD中，有向线段AB与DC是同一条有向线段， 而有向线段AC与CA不是同一条有向线段.连接正方形ABCD任意两顶点的有向线段共有8条，如图，在 2×3的网格中，连接任意两格点的有向线段共有」 条 10/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.把一根绳子对折成一条线段AB,在线段AB上取一点P,使AP:PB=1:3,将绳子从点P处剪断， 若剪断后的三段绳子中最长的一段为12cm,则三段绳子中最短的一段的长为 cm I0.已知点P是射线AB上一点，当线段PA、PB中一条线段长度是另一条线段长度的两倍时，称点P是射 线AB的强弱点，若AB=9,则PA= I1.如图，AB=20cm,点C是线段AB延长线上一点，点M为线段AC的中点，在线段BC上存在一点N (N在M的右侧且N不与B,C重合)，使得4MN-NB=40cm且BN=kCN,则k的值为 A MB NC 三、解答题 12.如图，C,B两点在线段AD上（点C在点B左侧），点E在线段AC上，点F在线段BD上. E CBFD A E CB FD 图1 图2 (1)如图1，点E为线段AC中点，点F为线段BD中点 ①若AD=9,BC=1,则EF的长为一： ②若AB=6,CD=4,求EF的长： 、EF (②如图2，当EC-号AC,FD-号BD时，AB=2CD,求AB的值. 13.如图，已知线段AB=28cm,DB=14cm,点C、D在线段AB上，且AC:CD=2:5,点M是AC的 2 中点，在线段AB上另找一点N,使N满足条件DN=DB,求MN的长。 LM士 D B 14.如图，AB=8,点C在线段AB上，点D是线段BC的中点，点E在线段CD上，CE=2AC. A C 0 B D (备用图) (1)画出符合题意的图；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若AC=1,求DE的长度： (3)若点F在线段BD上，且2DF=9AC-8,求证：点E是线段CF的中点， 15.已知线段AB上有两个动点C、D. 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A M C D N B 图1 图2 (1)已知AB=24,C在D的左侧，AD+BC=30. ①如图1，求CD的长： ②如图2，MN分别为AD和BC的三等分点，且AD=3AM,BC=3BN,求MN的长； (2)若MN分别为AD和BC的三等分点，且AD=3AM,BC=3BN,请直接写出线段AB、CD、MN之 间的数量关系： 12/12的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04点和线 内容概览 目常考题型精准突破 题型1两点确定一条直线（高频） 题型2直线、线段、射线的数量问题（重） 题型3作线段（尺规作图） (重) 题型4两点之间线段最短（高频） 题型5线段的和与差（重） 题型6线段中点的有关计算（难） 题型7线段等分点的有关计算（难） 题型8与线段有关的动点问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1两点确定一条直线 1.其中的道理是两点确定一条直线 2. 两点确定一条直线 3.C 4.B 5.D ◆题型2直线、线段、射线的数量问题 6. 15 7.2条 8.B 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 10 4条 10.20 ◆题型3作线段（尺规作图） 11. 如图，△ABC即为所求作的三角形： EL 凵F 12.如图，AD=4. A D B C 13.(1) 如图，直线AB,射线AC,线段BC即为所求： (2) 如图，点D即为所求： C A E B D (3)8条，线段BA、线段BC、线段BE. 14. 如图所示， 217 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 15. 线段AD即为所求： m d Da lc —E ◆题型4两点之间线段最短 16.B 17.两点之间，线段最短 18.B 19.D 20.两点之间，线段最短 ◆题型5线段的和与差 21.3或9/9或3 22. AC AC AC BC C AB BD CD 23.(1)观察：a<b;实际：a=b: (2)观察：a>b;实际：a=b: (3)观察：a<b;实际：a=b. 24.(1)28cm (2)7cm 25.C ◆题型6线段中点的有关计算 26.(1)解：① C (2)①1；②1cm或3cm 27.3 317 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28.(1)15 (2)画出图形如图所示： A E B D C AB=12 29.(1)5；2 (2)解：猜想正确， 理由：①点P在AB之间， 因为：M是AP的中点，N是PB的中点， 所以：MP=号AP,PN=号PB, 所：以MN=PM+PN-Z AP+-号PB之(PA+PB)3AB, ②点P在A的左侧， PMAN B 因为：M是AP的中点，N是PB的中点， 所以：MP7AP,PNPB. 所以：MN=PN-PM=2PB2AP(PB-PA)2AB, ③点P在B的右侧， A MBN P 因为：M是AP的中点，N是PB的中点， 所以：MP7AP,PNPB, 所以：MN=PM-PN方AP-2PB(PA-PB)2AB, 综上，MN=AB 30.(1)CE=3cm (2)DE=6cm ◆题型7线段n等分点的有关计算 31. ② ④ 32.(1)3 417 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)20 33.1或3 34.C 35.C ◆题型8与线段有关的动点问题 36.(1)2cm a暗 (3)吃或1 37.(1)10: (2) 解：线段MN的长度不发生变化，其值为5， 分下面两种情况， 当点P在A、B两点之间运动时， AOM P N B MN=MP+NP, =号AP+BP, 2 -LAB, =5, ②当点P在点A的左侧运动时， PMA ON BMN=NP-MP, BP-A, =5, 综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5. 4 (3)点P所表示的数为3或-12. 38.(1)75km (2)65km 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)t=3或t=4或t=6或t=7 39.(①)线段EF的长为2 (2)AE-BF的值是定值，定值为2 (3)存在m=3,使得AD+EF=5CD 40.(1)①10：②6 (2) 解：正确结论①，2MB-BQ为定值12，理由如下： 依题意AQ=2t, 点M为AQ中点， :AM=MQ-方AQ=t ∴.MB=AB-AM=12-t BQ=AB-AQ=12-2t .2MB-BQ=212-t-12-t=12为定值. 6存在.子PQ+BM的最小值为8 综合攻坚·知能拔高 1.B 2.C 3.A 4.C 5.C 6.A 7.D 8. 34 9.8或2 10.3或6或18 11.2 12.(1)①5：②5： 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 13.8cm或16cm 14.(1) 如图，点E即为所求作的点： F ED B aDE-号 3) 证明：，2DF=9AC-8, :DP=9AC-4, D为BC的中点， :.CD--BC, 2 AB=8, B4 .AB=AC+BC, AB-AC+BC-AC+CD-4. :DF号AC-AC-CD, 2 即DF=4AC-CD, .CE=2AC, ..DF=2CE-CE+DE=CE-DE, ∴DF+DE=CE, 即EF=CE ∴E是线段CF的中点. A C ED F B 15.(1)①6②14 aMN号AB-专CD成MN-号AB+片CD 3 717 专题04 点和线 常考题型·精准突破 题型1 两点确定一条直线（高频） 题型2 直线、线段、射线的数量问题（重） 题型3 作线段（尺规作图）（重） 题型4 两点之间线段最短（高频） 题型5 线段的和与差（重） 题型6 线段中点的有关计算（难） 题型7 线段n等分点的有关计算（难） 题型8 与线段有关的动点问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 两点确定一条直线 1．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．请你解释其中的道理． 【答案】其中的道理是两点确定一条直线． 【分析】操作中固定了墨线的两个端点，依据直线的基本性质即可解释其中的道理． 【详解】将墨线两端固定在预先标记的两点上，绷紧后的墨线就唯一对应这两点之间的直线，弹出的痕迹就是笔直的墨线，其依据就是两点确定一条直线． 2．如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________． 【答案】 两点确定一条直线 【详解】解：根据直线的性质可知，经过两点有一条直线，并且只有一条直线， 因此经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线，其中蕴藏的数学原理是两点确定一条直线． 3．在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释， 选项C利用的是“两点之间线段最短”的知识． 4．如图是生活中打靶瞄准现象，对于这个现象的解释正确的是（     ） A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．线动成面 【答案】B 【详解】解：打靶瞄准时，是通过准星和缺口两个点来确定射击方向（视线）， 这个现象解释了两点确定一条直线． 5．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 【答案】D 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线， ∴其蕴含的数学道理是两点确定一条直线． ◆题型2 直线、线段、射线的数量问题 6．有6个点，每两个点之间连一条线段，6个点最多可以连成___________条不同的线段． 【答案】 【分析】要得到最多线段，任意三个点不共线，按顺序统计不重复的线段即可求出总数． 【详解】解：要连成最多不同线段，需要任意三个点不共线，任意两点可连一条不同线段，按顺序统计不重复线段：第一个点可和其余个点连条线段，第二个点已和第一个点连线，可再连条不重复的新线段，第三个点已和前两个点连线，可再连条不重复的新线段，第四个点可再连条不重复的新线段，第五个点可再连条不重复的新线段，第六个点已和所有点完成连线，没有新线段，总线段数为 ． 7．直线l上有一个点．在直线l上，以这个点为端点的不同射线共有多少条？ 【答案】2条 【分析】根据射线的定义，以同一点为端点的射线，方向不同则为不同射线，只需确定直线上该点对应的不同方向数. 【详解】解：∵射线有1个端点，可向一端无限延伸.以直线l上的已知点为端点，在直线l上有两个相反的延伸方向，对应2条不同的射线， ∴共有2条不同的射线． 8．过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画（     ）条． A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】当五个点中任意三点不共线时，画出的直线数量最多，再计算总条数 【详解】解：∵ 要使画出的直线数量最多， ∴ 五个点中任意三点不能共线 ∵ 每个点可与其余4个点各画1条直线，5个点共计算得条 又∵ 每条直线被两个点分别计算1次，存在重复 ∴ 实际最多可画条 9．在如图所示的图形中，共有 _____条线段，以B为端点的线段有 _____． 【答案】 10 4条 【详解】解：如图所示的图形中，共有线段10条，分别是，，，，，，，，，， 以B为端点的线段有4条，分别是，，，． 10．往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 【答案】20 【分析】本题考查线段计数的实际应用，将站点转化为线段上的点，先求出不同站点间的路线数量，结合车票往返不同计算总票数即可． 【详解】解：根据题意，将列车运行路线看作一条线段， 所有停靠站点看作线段上的点，运行途中停靠个站，加上起点甲和终点乙，总共有个站点， 不同站点间的路线总数为： ， 因为往返车票方向不同，属于不同车票，因此总车票数为： ． ◆题型3作线段（尺规作图） 11．如图，已知线段，用直尺和圆规作一个三角形，使三角形的三边长都等于． 【答案】 如图，即为所求作的三角形： 【分析】利用尺规作线段等于已知线段的基本作图方法，先确定三角形的一条边，再通过画弧确定第三个顶点，即可得到三边长都等于的三角形. 【详解】略 12．如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，． 【分析】以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点即可． 【详解】略 13．已知、、三点如图所示． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于），连接，并延长至，使；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)在完成（1）（2）后，图中的线段共有多少条？并写出以点为端点的所有线段． 【答案】(1) 如图，直线，射线，线段即为所求： (2) 如图，点D即为所求： (3)8条，线段、线段、线段． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由图可知，图中共8条线段，以点为端点的线段：线段、线段、线段． 14．如图，在同一平面内有三个点A，B，C． 利用尺规，按下面的要求作图．（要求：不写画法，保留作图痕迹） ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． 【答案】 如图所示， 【分析】根据射线和线段的画法以及线段的尺规作图方法作图即可． 【详解】略 15．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，，c 求作：线段，使． 【答案】 线段即为所求： 【分析】先画出射线，在射线上截取，在射线上截取，在线段上截取即可解答． 【详解】略 ◆题型4两点之间线段最短 16．如图，从A到B有三条路径，最短的路径是②，理由是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．过一点有无数条直线 D．直线比曲线和折线短 【答案】B 【详解】解：如图，最短路径是②的理由是两点之间线段最短，故B正确． 17．2025年12月6日，经过52个月的艰苦建设，天山胜利隧道顺利贯通．此前，车辆沿盘山公路翻越天山需要3.5个小时，隧道贯通后，穿越天山仅需约20分钟．请你用所学数学知识解释这一现象________． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】原有盘山公路为弯曲路线，路程更长，隧道近似为两地之间的直线路段，路程更短，结合路程速度时间的关系即可解释． 【详解】解：通行的起点和终点为两个固定点，原有盘山公路为弯曲路线，路程大于两点间的直线距离， 隧道贯通后，新路线近似为连接起点和终点的线段， 根据两点之间线段最短的性质，新路线的路程比原路线更短． 车辆行驶的平均速度相近，由时间路程速度可得，路程越短，所需行驶时间越少， 隧道贯通后穿越天山的时间远少于原来翻越天山的时间． 18．从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 【答案】B 【详解】解：从A地到B地修公路，将公路尽量修成直路的目的是缩短总路程，这样做的道理是两点之间线段最短． 19．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【详解】解：现象：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 20．贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】将两地看作平面内两个点，大桥直达路径对应连接两点的线段，绕行山路对应连接两点的折线，根据“两点之间，线段最短”解答即可． 【详解】解：∵走大桥直达的路径可近似看作连接两点的线段，绕行山路的路径是连接两点的折线， ∴由题意可知直达的路程更短，蕴含的数学基本事实是两点之间，线段最短． ◆题型5线段的和与差 21．线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 【答案】3或9/9或3 【分析】点D在直线上，需分两种情况讨论，分别根据线段的和差关系计算的长度. 【详解】解：∵ ，， ∴ ∵ 点是的中点， ∴ . ①当点在线段上时，. ②当点在的延长线上时，. 因此的长为或. 22．根据所示图形填空： （1）( )； （2）( )； （3）( )； （4）( )( )； （5）( )( )． 【答案】 【分析】根据线段的和与差，结合图形求解即可． 【详解】略 23．请通过直接观察，分别比较下列三组图形中线段a、b的长短．再用刻度尺量一量，看看你的观察结果是否正确． (1) (2) (3) 【答案】(1)观察：；实际：； (2)观察：；实际：； (3)观察：；实际：． 【分析】这是初中几何入门的易错体验题，目的是让我们认识到：视觉会被线段两端的附加图案、线段的摆放方向、所在图形的大小干扰，产生视觉错觉，仅凭肉眼直接观察得到的结论不一定准确，想要确定线段的真实长短，需要使用刻度尺等工具进行实际测量验证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 24．如图，点B是线段上一点，且，． (1)试求出线段的长； (2)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点B在线段上可知，由，可得，代入计算后即可得到答案； （2）根据O是线段的中点及的长可求出的长，由即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：，， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴． 25．如图，，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． ◆题型6线段中点的有关计算 26．如图1，已知线段，O是中点． (1)用圆规作图（不写作法，但要保留作图痕迹） ①在图2中的线段上作； ②在图2中的直线上作． (2)若，，则 ①__________；（请把结果填在横线上） ②直接写出的长． 【答案】(1)解：①；② (2)①1；②或 【分析】（1）①以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点E，则为所求；②根据O是中点可得，以点E为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，，则，为所求； （2）①根据线段的和差即可求解，②分当点F在线段上时和当点F在线段的延长线上时两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）①略；②略； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴当点F在线段上时，如图中点，， 当点F在线段的延长线上时，如图中点，， 综上，的长为或． 27．已知线段，线段上有一点，且，是线段的中点，则线段的长是________． 【答案】 【分析】先求出的长度，再利用中点的定义即可求出线段的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴． 28．完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段的中点，若，求线段的长度． (2)若点C在线段的延长线上，点D、E分别为线段的中点，，画出图形并求的长度． 【答案】(1)15 (2)画出图形如图所示： ， 【分析】（1）根据图象得出，即，进而求出即可； （2）根据已知画出图形，进而利用求出即可． 【详解】（1）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∵， ∴． 29．如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 【答案】(1)5； (2)解：猜想正确， 理由：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ②点P在的左侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ③点P在的右侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：， 综上，. 【分析】（1）根据线段的和差关系求出，根据线段中点的定义求出、，由即可求解； （2）由点M是中点，点N是中点，得，分三种情况讨论：①点P在之间，由即可求解；②当P在A左边，由即可求解；③当P在B右边；由即可求解. 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为M是的中点，N是的中点， 所以，， 所以，即； （2）略 30．如图，是线段上一点，线段，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，由E是的中点求出，再利用线段的和差求解即可； （2）先求出，根据线段中点定义求出，再利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ，是的中点， ． （2）解：由（1）知：， ， ， 是的中点， ， ， ． ◆题型7线段n等分点的有关计算 31．M所在位置如下图，的位置是点( )，的位置是点( )．（填序号） 【答案】 ② ④ 【详解】解：将0到三等分，则的位置是点②； 将到平分，则的位置是点④． 32．如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)3 (2)20 【分析】（1）将，，转化为 ，进而根据进行计算即可； （2）根据（1）可推出 ，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， 即， ∵， ∴． 33．已知线段，点C为线段上一点，，点D为线段的三等分点，则线段的长为________ ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了线段三等分点的概念和线段长度的计算． 点D为线段的三等分点，可能靠近A或靠近B，因此需要分两种情况讨论． 【详解】解：∵，点D为线段的三等分点， ∴或． 又∵，点C在线段上， 当时，如图， ； 当时，如图， ． 故线段的长为1或3． 故答案为：1或3． 34．如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，解题的关键是正确理清线段之间的数量关系． 根据线段中点的意义得到，再由三等分点得到，再由求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵点是线段的三等分点，且 ∴， ∴， 故选：C． 35．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出，由，可求出，则，结合，，即可求解． 【详解】解：∵点C，D把线段三等分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故选：C． ◆题型8与线段有关的动点问题 36．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 37．如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 【答案】(1)； (2) 解：线段的长度不发生变化，其值为， 分下面两种情况， 当点在、两点之间运动时， ， ， ， ， ②当点在点的左侧运动时， ， ， ， ， 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为． (3)点所表示的数为或． 【分析】（1）由已知先得出和，即可求出的长． （2）此题可分两种情况讨论，即分和两种情况求得的长即可得到答案． （3）分当点在、两点之间运动和点在点的左侧运动两种情况求得的长，从而求得点所表示的数． 【详解】（1）解：、两点所表示的数分别为和， ，， ． （2）略 （3）解：当点在、两点之间运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为； 当点在点的左侧运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为． 38．A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键． （1）直接利用M、N分别为和中点的条件，将的长度表示为与之和，再通过等量代换转化为的一半，即可求解； （2）本问在（1）的基础上增加了线段，解题关键在于将的长度通过中点公式转化为与之和，并注意减去重叠部分，经过代数化简最终得到； （3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B地休息后返回）及甲先到达终点C的情况，分类讨论两人相距的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围． 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 39．已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)线段的长为 (2)的值是定值，定值为 (3)存在，使得 【分析】本题考查了线段中点性质与线段长度计算，解题的关键是用字母表示线段长度，结合中点定义建立代数关系． （1）当点B、C重合时，先利用中点表示出和，再相加得到； （2）设，分别用表示和，计算判断是否为定值； （3）根据移动距离分两种情况表示和，代入列方程求解． 【详解】（1）解：当点、重合时，，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 答：线段的长为． （2）解：设， 则， ． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 故的值是定值，定值为． （3）解：当线段向左移动距离（）时，分两种情况讨论： 情况一：如图，当线段的两个端点运动到点B的两侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：． 但，故该情况不存在． 情况二：如图，当线段全部运动到点B的左侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：．符合题意． 综合以上三种情况可知，故存在，使得． 40．如图线段，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为． (1)当点在射线上运动时， ①当时，线段的长度为________； ②线段的长度为________． (2)当点在线段上运动时，下列个结论中：①为定值；②为定值．正确的结论是________，说明理由并求其值． (3)若动点出发时，动点也同时从点出发，以个单位长度/秒沿射线运动．是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 解：正确结论①，为定值，理由如下： 依题意， 点为中点， 为定值． (3)存在，的最小值为 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及线段中点的性质、代数式表示线段长度以及绝对值函数的最值求解，熟练运用中点公式和绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）①根据动点运动速度和时间求出线段长度，结合中点性质计算线段的长度； ②利用中点性质分别表示出和，再通过线段和差求出的长度； （2）用含时间的代数式分别表示和，代入两个结论的表达式进行化简，判断是否为定值； （3）建立数轴模型，用绝对值表示和，将目标表达式转化为绝对值函数，通过分段讨论或利用绝对值的几何意义，求出函数的最小值． 【详解】（1）解：①当时，， ， ； ②， ， ， ． （2）略 （3）解：存在最小值．以点为原点，射线的方向为正方向，建立数轴； 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 点为中点 点表示的数为 ，， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，的最小值为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过计算前几次跳动后点到原点的距离，归纳出第次跳动后点到原点距离的规律，代入计算即可 ． 【详解】解：∵数轴上，两点的距离为，即， 第次跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； … 以此类推，第次跳动后点与原点的距离是， 当时，． 2．如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段是．若，则这条绳子的原长为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和与差，分当的倍最长时，即以对折点为，当的倍最长时，即以对折点为，两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当的倍最长时，即以对折点为，得， ∴， ∴， ∴， ∴这条绳子的原长为； 如图，当的倍最长时，即以对折点为，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这条绳子的原长为， 综上，这条绳子的原长为或， 故选：． 3．如图，点是线段的中点，是线段上的一点，点是的中点，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，先根据中点的性质得出，根据已知求得，则，进而根据线段中点的性质求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，直线，点、、在直线上，直线上有4个点，将点、、与直线上的4个点分别相连，在直线、之间（不包括在直线、上）有个交点，则的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了线段交点问题．画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，在直线、之间（不包括在直线、上）有个交点，则的最大值为18， 故选：C． 5．如图，已知A，B（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为4，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确个数是（    ） ①时，点运动到点；②时，；③在点的运动过程中，线段的长度不变． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，两点之间的距离，线段中点，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 先求出点对应的数，再求出时对应的点的位置即可判断①；②分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可；③分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可． 【详解】解：∵点A对应的数为4，且，在的左侧， ∴点对应的数是， 由题意得：， ∴时，点到达点，故①正确； ②分两种情况：当点在点的右侧， ， ， ， 时，； 当点在点的左侧， ， ， ， 时，， 综上所述，时，或4，故②错误； ③分两种情况：当点在点的右侧， ∵分别为的中点， ， ， 当点在点的左侧， ∵分别为的中点， ∴， ， ∴在点的运动过程中，线段的长度不变，故③正确． 所以，上述结论中正确的是①③． 故选：C． 6．如图点C、D在线段上，点E在线段上，已知，，则图中所有线段长度和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比较线段的长度和有关计算．依据线段长度为a，可得，，依据长度为b，可得，，进而得出所有线段的长度和． 【详解】解：∵线段长度为a， ∴，， 又∵长度为b， ∴，， ∴图中所有线段的长度和为： 故选：A． 7．在平面上任意画个点，那么这个点确定的直线共有（ ） A．条或条 B．条或条 C．条或条 D．条或条或条 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段，难点在于分情况讨论．分4点共线，3点共线和任意3点都不共线三种情况画出图形即可得解． 【详解】解：如图1，4点共线时，可以确定1条直线； 如图2，3点共线时可以确定4条直线； 如图3，任意3点都不共线时，可以确定6条直线； 综上所述，这4个点确定的直线共有1条或4条或6条． 故选：D．    二、填空题 8．定义：具有方向的线段叫做有向线段，以为起点、为终点的有向线段记作．我们将长度相等且方向相同的线段记作同一条有向线段．例如，在正方形中，有向线段与是同一条有向线段，而有向线段与不是同一条有向线段．连接正方形任意两顶点的有向线段共有条．如图，在的网格中，连接任意两格点的有向线段共有______条． 【答案】 34 【分析】根据题目定义，长度相等且方向相同的有向线段视为同一条，即统计网格中所有可能的不同有向线段的条数．分类讨论，即可求解． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为 1， 分类讨论， ①横着算：从左往右长度为1的线段1条，从右往左长度为1的线段1条，共2条； 从左往右长度为2的线段1条，从右往左长度为2的线段1条，共2条； 从左往右长度为3的线段1条，从右往左长度为3的线段1条，共2条； ②竖着算：从上往下长度为1的线段1条，从下往上长度为1的线段1条，共2条； 从上往下长度为2的线段1条，从下往上长度为2的线段1条，共2条； ③斜着算： 的网格，正方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为1和2的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为1和3的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为1和2的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为2和2的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为2和3的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 综上所述，共条． 9．把一根绳子对折成一条线段，在线段上取一点，使，将绳子从点处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则三段绳子中最短的一段的长为________． 【答案】或 【详解】解：， ． ①若绳子以为对折点，剪断后三段绳子长度分别为，，，此时最长段为，由题意得． ，最短段长为． ②若绳子以为对折点，剪断后三段绳子长度分别为，，，此时最长段为，由题意得． ，可得，最短段长为． 综上所述，三段绳子中最短的一段的长为或． 10．已知点是射线上一点，当线段、中一条线段长度是另一条线段长度的两倍时，称点是射线的强弱点，若，则______． 【答案】3或6或18 【分析】本题考查线段的数量关系，线段的和与差，根据强弱点的定义，点P在射线上，需满足或．结合，分点P在线段上和点P在点B右侧两种位置讨论，设，表示并列方程求解即可． 【详解】解：设， 当点P在线段上时，． 若，则，解得； 若，则，解得． 当点P在点B右侧时，． 若，则，解得； 若，则，解得（不符合题意，舍去）． 故的可能值为3、6或18． 故答案为：3或6或18 11．如图，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，在线段上存在一点（在的右侧且不与，重合），使得且，则的值为___________．    【答案】2 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，一元一次方程的应用． 设，则，，根据线段中点的定义得到，则，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：∵ ∴ 设，则， ∴ ∴点为线段的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：2． 三、解答题 12．如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 【答案】(1)①５；②５； (2)． 【分析】本题考查线段中点定义，线段的和差倍分，熟练掌握相关结论，会设未知数利用数形结合思想是解题的关键． （1）①先求的长，再由中点定义得, , ，最后根据线段组合得的长； ②设，得，，再由线段组合得，抵消即可得长度． （2）设，得，设，得，，设，由，推出，代入 整理后约分即得结果． 【详解】（1）解：①∵,, ∴, ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴, ∴． ②设， 则，， ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴． （2）解：∵，，， ∴设，则， 设，则，， 设， 则，，， ∵， ∴， 整理得， ∴． 13．如图，已知线段，，点在线段上，且，点是的中点，在线段上另找一点，使满足条件，求的长． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况：点在点左侧或点在点右侧，作出图形，数形结合，由相关线段的和差倍分关系求解即可得到答案． 【详解】解：分两种情况： 当点在点左侧时，如图所示： ，， ，， ， ， 点是的中点， ， ； 当点在点右侧时，如图所示： ，， ，， ， ， 点是的中点， ， ； 综上所述，的长为或． 14．如图，，点C在线段上，点D是线段的中点，点E在线段上，． (1)画出符合题意的图；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的长度； (3)若点F在线段上，且，求证：点E是线段的中点． 【答案】(1) 如图，点E即为所求作的点； (2) (3) 证明：∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即 ∴E是线段的中点． 【分析】本题主要考查线段的尺规作图及线段的和与差，表示出线段的和与差是解题的关键． （1）以C为圆心为半径画弧交于点F， 再以F为圆心为半径画弧交于点E，则E点即为所求； （2）根据，，得出，，根据线段中点的定义得出，最后根据线段间的数量关系，得出答案即可； （3）根据，得出，根据，得出，求出，根据，得出，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴； （3）略 15．已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 【答案】(1)①6 ②14 (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差以及分类讨论的思想． （1）①根据线段的和差进行求解即可； ②假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）根据两个动点，分两种情况进行讨论，假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②假设，则， 由（1）得， ∴； 假设，则， 由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段、、之间的数量关系是或， 故答案为：或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $