专题09 线段的和与差及中点问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09线段的和与差及中点问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段的和与差的计算问题 类型二、线段中的单中点的计算问题 类型三、线段中的双中点的计算问题 类型四、线段中的多中点的计算问题 压轴专练 业 典例详解 类型一、线段的和与差的计算问题 如下图，有AB+BC=AC,或AC=a+b;AD=AB-BD 例1.(24-25七年级上江苏连云港阶段练习)在直线上，线段AB=5,线段BC=3,则线段AC的长 为】 【变式1-1】(24-25七年级下·内蒙古乌海期末)若点A,B,C在同一条直线上，如果线段AB=7cm,线 段BC=4cm,那么A,C两点之间距离是 【变式1-2】(24-25七年级上·广东深圳期中)在直线1上截取线段AB,BC,使AB=3cm,BC=1cm, 则线段AC的长为 cm. 【变式1-3】(24-25七年级上全国期末)如图，B、C、D依次为线段AE上的三个点.己知AE=8, AB=3BC,CE=4CD. (I)求BD的长； (2)求图中所有线段长度的和. 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、线段中的单中点的计算问题 把 条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。如下图，有：4M=MB=号4 例2.(24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习)已知点C在直线AB上，若AC=4cm,BC=6cm,E为线段 AB的中点，则AE的长为」 【变式2-1】(24-25六年级下山东烟台期末)己知线段AB=10,直线AB上有一点C,AC:BC=1:4,D 为AC的中点，则BD的长为」 【变式2-2】(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)点C、点D在线段AB上，AD=BC. A C DB A C M D B 图1 图2 (①)如图1，请判断AC和BD的数量关系，并说明理由： (2)如图2，点M是AD的中点，BM=4AC,CM=2,求线段AB的长度. 【变式2-3】(24-25七年级上·湖南长沙阶段练习)已知点C在线段AB上，AC=2BC,AB=48,点D, E在线段AB上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，DE=I6,线段DE在线段AB上移动. A (I)求BC的长 (②)如图，当E为BC的中点时，求AD的长； (3)在(2)的条件下，如果在线段AD上取一点F,使得DF=DE,此时点F是线段AE的几等分点？请说明 理由. 类型三、线段中的双中点的计算问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模 型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：MN=二AC 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 2/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B N 图1 :M、N分别为AB、BC的中点， =。AB(中点定义)：BN=BC(中点定义 :MN=BM什BN, Mw-4B+8c-48+8c-号4c: ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， ✉B 图2 :M、N分别为AB、BC的中点， BM=4B(中点定义：BN=号8C(申点定义： MN=BM-BN, .MN-AB-BC-(AR-BC)-4C: ③当点B在线段CA的延长线上 C M AN 图3 :M、N分别为AB、BC的中点， :BM=AB(中点定义)：BN=BC(中点定义)： MN=BN-BM, :MN=-BC-14B-(BC-BA)-TAC: 2 例3.(2425七年级上·湖南株洲期末)如图所示，已知点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点. A M CNB (1)图中有 条线段： (②)若AC=10,BC=8,求MN的长度 【变式3-1】(24-25七年级上湖南衡阳·期末)如图，己知点C为线段AB上一点，AC=12cm,CB=8cm, D、E分别是AC、AB的中点.求： D E C (1)求AD的长度； 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求AE的长度； (3)求DE的长度； 【变式3-2】(24-25七年级上浙江杭州阶段练习)如图，点B、C在线段AD上，且 AB 3BC,CD 2BC. M M B C D B C D (I) () 1)如图(I)若点M为AC的中点，且AD=24.则BC=-,BM=-· (2)如图(IⅡ)若点M、N分别为AC、BD的中点，且AD=m,BC=n,求MN(用m、n表示) 【变式3-3】(24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习)【问题背景】 如图，己知线段AB=I6,点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点. D BA N C D B 图1 图2 【问题探究】 (1)如图1，求线段CD的长； (2)如图2，点N是线段AC上的一点，且满足CN=3AW, ①求线段DN的长； ®若点M是线段AB上的一点，CMAN,求DM的长 类型四、线段中的多中点的计算问题 条件：如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=2a,第1次操作：分别取线段AM和AN的中点 M,、N,;第2次操作：分别取线段AM,和AN的中点M2,N2;第3次操作：分别取线段AM2和AN2的 中点M,N:连续这样操作n次，结论：M-得a A NMNM N M N 证明：：M1、N,是AM和AN的中点 M=2AM,4W,=74N, 2 :M:N,-TAM-TAN-IMN-a, 2 4/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :M2、N2是AM和AW1的中点， AM,=24M,MN=24N, 六M,N,=2AM,-24W=2M,N=2a, 2 2 :M3,N,是AM2和AN2的中点， AM=AM,N,=号4N, 2 1.12 2 2 例4.已知线段48=9m,点C,D是线段AB上的点，且4C=号4B,点D是线段4C的三等分点，则 BD= 【变式4-1】如图，图中数轴的单位长度为1.若原点0为AB的四等分点，则C点代表的数为 B 【变式4-2】小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点.若AB=12,AC=8,求MN的长. M C N BA M NB 图1 图2 (I)根据题意，小明求得MN= (2)小明在求解(1)的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始 深入探究。 设AB=α，C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答. ①如图1，M,N分别是AC,BC的中点，则MN=】 ②如图2，M,N分别是AC,BC的三等分点，即AM=AC,BN=BC,求MN的长； ⑧若M,N分别是AC,BC的n等分点，即AM=IAC,BN=IBC,则MN= 5/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 物章 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级上广东佛山期末)点C是线段AB的中点，若AB=10,则AC[的长为() A.4 B.5 C.6 D.8 2.(2425六年级下山东泰安阶段练习)如果点C在线段AB上，则下列各式中：①4C=AB,② AC=CB,③AB=2AC,④AC+CB=AB,能说明C是线段AB中点的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(24-25七年级下·湖南湘西·开学考试)己知点A、B、C在同一直线上，若AB=5cm,BC=3cm,则 AC的长度是() A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.无法确定 4.(24-25七年级上·全国期末)如图，点C、D分别是线段AD、AB的中点，若AB=4acm,则线段CB的 长度为()cm D B A.2a B.2.5a C.3a D.3.5a 5.(24-25七年级上湖北武汉·阶段练习)如图，点B在线段AC上，且BC=2AB,D,E分别是AB,BC的 下F列结论：①ABAC:②B是E的中点；⑧EC=2BD:④DE=AB;⑤若DE正 中所有线段之和为50.其中正确的结论有() A D B E A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 6.(24-25七年级上·福建福州阶段练习)延长线段AB到C,使BC=2AB,若BC=2,则线段AC的长为. 7.(24-25七年级上江苏泰州期末)已知A,B,C三点在同一条直线上，且AB=16cm,BC=6cm·若点 D是线段AC的中点，则线段BD=cm. 8.(24-25七年级上四川成都阶段练习)如图，B在线段AC上，且BC=3AB,D是线段AB的中点，E是 BC的三等分点(BE>CE),则下列结论：①EC=AE;②DE=5BD;③BE={AE+BC);④ 6/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB-BC-AD,其中正确的结论有 A D B E C 9.(23-24六年级下·黑龙江哈尔滨阶段练习)已知线段AB=30,延长BA至点C,使CB:AB=4:3,点D 、E均为线段BA延长线上两点，且BD=3AE,M、N分别是线段DE、AB的中点，当点C是线段BD的三 等分点时，MN的长为 10.24-25七年级上湖北武汉·期末)在直线1上有A、B、C、D四点，其中点B是线段AD的三等分点， 点C是线段AD的中点，点E是线段AD延长线上一点，且AE+BE=2AD,则E的值为一， Ce 三、解答题 山，(2425七年级下潮南郴州开学考试)如图，线段4C上依次有D,B,E三点，4D-DB，E是 BC的中点，BE=DE=2. 3 B EC (I)求证：AD=BE; (2)求线段AC的长. 12.(24-25七年级上山西吕梁期末)如图，点C为线段AB上一点，点D为线段CB的中点，且AB=18cm AC=8cm. A C D (I)求线段BD的长度. (②)若点E在线段AB上，且点E是线段AB的三等分点，求线段ED的长度， 13.(24-25六年级上·上海期末)如图，己知点B、C在线段AD上. A B C D ()图中共有条线段： (2)若AD=22,BC=12,M是AB的中点，N是CD的中点. ①求MN的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段BC在射线AD上运动时，线段MN的长度不变.你同意他的说法吗？并 说明理由. 7/9 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.(24-25七年级上内蒙古鄂尔多斯期末)如图，点A,B,C在同一条直线上，线段AB=8,点C为线 段AB的中点. A B 请你运用所学知识完成以下任务. (I)尺规作图：在线段AB的延长线上作线段BD,使得BD=2AB,(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，求出线段CD的长度 (3)将(1)中所画的图放在数轴上，若点B对应的数是3，点A对应的数是-5，则点C对应的数是 ,点D对应的数是 15.(24-25七年级上·陕西咸阳阶段练习)追本溯源：题(1)来自课本中的尝试思考，请你完成解答，提 炼方法并完成题(2). (1)在直线1上顺次取A,B,C三点，使得AB=4cm,BC=3cm,如果0是线段AC的中点，那么线段AC和 OB的长度分别是多少？ 方法应用 (2)①己知C是线段AB上一点，AB=7cm,BC=3cm,M是AC的中点，则MC= cm: ②如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点，AB=12cm,求MW的长. A M C N B 16.(24-25七年级上河南周口期末)学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGebra做了n次取线 段中点实验：如图，该线段OP。=1.第1次，取OP的中点P;第2次，取PP的中点P;第3次，取PP的 中点B,第4次，取的中点P； P P3Ps (1)请完成下列表格数据. 次数 PP 线段OP的长 第1次 1 PoP= 2 OR=OP-PR =1-1 1 第2次 BP2 OB=0R+RB=1-1+1 Γ222 1 第3次 P,R=2 og=0R-R=1 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 1111 第4次 PP2 OP=OP+PP=1- 2+22+2 第5次 … (②)小明对线段OP,的表达式进行了如下化简： 因为0R=1-1+1-1,1 22223+24, 所20=-2- 111 22+ 3 两式相加，得302=2+女 所以0P=号+3x2 2 请你参考小明的化简方法，化简OP的表达式. (3)类比猜想：PP,=，OP=,随着取中点次数n的不断增大，OPn的长最终接近的值是 9/9 专题09 线段的和与差及中点问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段的和与差的计算问题 类型二、线段中的单中点的计算问题 类型三、线段中的双中点的计算问题 类型四、线段中的多中点的计算问题 压轴专练 类型一、线段的和与差的计算问题 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 例1．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）在直线上，线段， 线段， 则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差，解题的关键在于能够讨论C的位置进行求解．、、在同一条直线上，则可能在线段上，也可能在的延长线上，应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①如图，当在线段上时： ； ②如图，当在的延长线上时， ； 故答案为：或． 【变式1-1】（24-25七年级下·内蒙古乌海·期末）若点，，在同一条直线上，如果线段，线段，那么，两点之间距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间距离，分析两种情况求解：点可能在线段上，也可能在线段的延长线上，进而即可求解．根据题意画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】解：若点在线段上，如图， ∵，， ∴； 若点在线段的延长线上，如图， ∵，， ∴， 综上所述，，两点之间距离是或． 故答案为：或． 【变式1-2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）在直线上截取线段，，使，，则线段的长为 ． 【答案】4或2 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，根据题意，分两种情况：①当点在点的右侧时；②当点在点的左侧时．根据线段的和差计算即可得出答案．掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点在点的右侧时， ，， ； ②如图所示，当点在点的左侧时， ，， ， 综上所述，线段的长为或． 故答案为：4或2． 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·期末）如图，B、C、D依次为线段AE上的三个点．已知，，． (1)求的长； (2)求图中所有线段长度的和． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了线段的和与差，关键是分析出线段间的关系． （1）分析出占整条线段的比例求出长度； （2）列出以A、C、D、B、E这5个点为端点的所有线段，然后根据整合为已知两线段的长求解． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． （2）解：由（1）知．图中共有10条线段，分别为，，，，，，，，，，它们的长度之和为： ． 类型二、线段中的单中点的计算问题 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 例2．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）已知点C在直线上，若，E为线段的中点，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，熟练掌握知识点是解题的关键． 分两种情况讨论，点在线段上或点在线段延长线上，利用线段和差和线段中点的意义进行求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： ∵ ∴， ∵E为线段的中点， ∴； 当点在线段延长线上时，如图： ∵ ∴， ∵E为线段的中点， ∴； 综上：的长为或， 故答案为：或． 【变式2-1】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知线段，直线上有一点，，为的中点，则的长为 ． 【答案】9或 【分析】本题考查了两点间的距离，可知道符合题意的点C有两种情况，也有两种可能，分别计算的长即可． 【详解】解：如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴； 如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 综上所述，的长为9或． 故答案为：9或． 【变式2-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用线段的和求解； （2）先利用线段中点的意义得出，利用线段的和差得出，再得出，然后结合，，得出，从而可得，求得，再求得线段的长度． 【详解】（1）解：∵点C、点D在线段上，， ∴， 即； （2）解：∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴，解得：， 即． 【变式2-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知点C在线段上，，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，，线段在线段上移动． (1)求的长 (2)如图，当E为的中点时，求的长； (3)在（2）的条件下，如果在线段上取一点F，使得，此时点F是线段的几等分点？请说明理由． 【答案】(1)16 (2)24 (3)五 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据题意得，即可求出； （2）求出，再由E为中点求出，由求出，再根据求出结论即可； （3）首先求出，再求出，求出结论即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴， ∴； （2）， ∴ 又E为中点 ∴ ∵ ∴ 又 ∴； （3）∵ ∴ ∵ ∴ ∴点F是线段的五等分点． 类型三、线段中的双中点的计算问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 例3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，已知点在线段上，分别是的中点． (1)图中有______条线段； (2)若，求的长度 【答案】(1)10 (2)9 【分析】本题考查了线段条数的问题，线段中点的性质以及线段的和差计算； （1）分别以为端点，数出线段的条数，即可求解； （2）根据线段中点的性质得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，图中线段有，，，，共（条） 故答案为：． （2）解：点、分别为、的中点， ，， ． 【变式3-1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)求的长度； (2)求的长度； (3)求的长度； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． （1）直接根据是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据E是的中点求出， （3）根据即可求出． 【详解】（1）解：∵，点D是的中点， ∴； （2）∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， （3）∵， ∴． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 【答案】(1)4，4 (2) 【分析】本题考查列代数式、两点间的距离、线段和差，弄清线段长度之间的数量关系是解题的关键． （1）根据与的数量关系求出，从而求出，再由中点的定义求出，根据求出即可； （2）根据与的数量关系分别将用含 n的代数式表示出来，从而将用含n的代数式表示出来，进而由中点的定义分别将用含n的代数式表示出来，再根据将用含m和n的代数式表示出来即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：4，4； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别为的中点， ∴， ∵， ∴． 【变式3-3】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】 （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长； ②若点是线段上的一点，，求的长． 【答案】（1）4；（2）①10，②7或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算，线段的和差，关键是注意分类讨论． （1）根据线段中点进行求解即可； （2）①根据已知先得到，再利用求出最后结果； ②分M点在C点左边、M点在C点右边两种情况讨论． 【详解】解：（1），点是的中点， ． 点是线段的中点， ． （2）①，， ， ， ． ②，， ． 当点在点左边时，，， ． 当点在点右边时，，， ． 综上可得的长为7或1． 类型四、线段中的多中点的计算问题 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 例4．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 【变式4-1】如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【答案】或或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、线段n等分点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为， ∴， ①如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份． 【变式4-2】小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6 (2)①；②；③ 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算、两点间的距离 【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6； （2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a； ②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a； ③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a． 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8， ∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC=4，CN=BC=2， ∴MN=CM+CN=6； 故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； 故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a， 故答案为：a． 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东佛山·期末）点 C是线段的中点，若，则 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义，根据中点的定义解答即可． 【详解】解：∵点 C是线段的中点，， ∴， 故选：B． 2．（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）如果点C在线段上，则下列各式中：①，②，③，④，能说明C是线段中点的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的定义及性质，理解并掌握中点的定义及计算方法是解题的关键．根据中点的定义和计算方法进行判定即可求解． 【详解】解：点在线段上， ①，则点是线段中点； ②，则点是线段中点； ③，则点是线段中点； ④，不能说明点是线段中点； ∴能说明点是线段中点的是①②③，共3个． 故选：C． 3．（24-25七年级下·湖南湘西·开学考试）已知点A、B、C在同一直线上，若，，则的长度是（　　） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，分类讨论是解题关键．分类讨论，在线段上，在线段的延长线上，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：若在线段上， ， 则； 若在线段的延长线上， ， 则， 故选：C． 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点C、D分别是线段的中点，若，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差及线段中点间的计算，熟练运用线段的和与差计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据点D是线段的中点，可得到的长，再根据点C是线段的中点，可得到的长，即可求解． 【详解】解：∵点D是线段的中点，， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． 故选：C 5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的数量，线段的和差计算，根据线段中点的有关计算和线段的和差结合题意可得结论①②③④正确，图中线段总共有10条，分别加一起即可求出结论⑤正确 【详解】解：①、由，得：，故正确； ②、由E是的中点，，得，则是的中点，故正确； ③、由D，E分别是的中点，得：，故正确； ④、由上述结论，得：，故正确； ⑤、由，，得到，又，则，，， ， ， ，， 图中所有线段之和为，故正确， 综上所述，正确的结论共有5个， 故选：D 二、填空题 6．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）延长线段到C，使，若，则线段的长为 【答案】 【分析】本题考查了两点之间的距离，利用现代的和差是解题的关键． 根据线段的和差得到，即可得到． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知A，B，C三点在同一条直线上，且，．若点D是线段的中点，则线段 cm． 【答案】11或5 【分析】根据题意，分两种情况画出图形．①点C在点B的右侧时；②点C在点B的左侧时．根据线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离进行计算即可得出答案． 本题考查了线段的和差，两点间的距离，线段的中点定义，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，点C在点B的右侧时， ∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴； ②如图所示，点C在点B的左侧时， ∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为5或11． 8．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了中点的定义，三等分点，线段的和差，根据三等分点及可得，进而可得，得到，即可判断①；进而可得，得到，再根据中点的定义得到，即得，即可判断②；由可得，据此可判断③；由，进而可判断④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵是的三等分点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有②④， 故答案为：②④． 9．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【详解】解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，中点的性质，线段n等分点的计算，设，根据题意可得，再根据点B的位置分情况讨论即可． 【详解】解：设， 点C是线段的中点， ， 如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ； 如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25七年级下·湖南郴州·开学考试）如图，线段上依次有，，三点，，是的中点，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了线段和差倍分，线段中点的性质，解题的关键是掌握线段和差倍分的计算． （1）利用线段的倍分关系即可证明； （2）利用线段中点性质得出，利用线段的倍分关系求出长度，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴, 由（1）得， ∴， ∴， ∴线段的长为． 12．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． (1)求线段的长度． (2)若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，三等分点的定义， （1）根据，即可求解； （2）先求出的长，再根据三等分点的定义可求解； 根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴线段的长度为； （2）当时，则， ∵， ∴，， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴线段的长度为或． 13．（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6； (2)①17；②同意，见解析． 【分析】（1）根据题意，图中共有条线段，解答即可； （2）①根据线段的中点，线段的和差表示解答即可； ②分在线段上运动，点在线段上运动，点C在的延长线上时，都在的延长线上，解答即可． 本题考查了线段条数的计算，线段中点的计算，线段的和差计算，熟练掌握计数方法，线段的中点计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，图中共有条线段， 故答案为：6． （2）解：① ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ②当在线段上运动时，根据①得； 当点在线段上运动，点C在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 当都在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， ∵，， ∴． 综上所述，线段的长度不变． 故同意． 14．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点A，B，C在同一条直线上，线段，点C为线段的中点． 请你运用所学知识完成以下任务． (1)尺规作图：在线段的延长线上作线段，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求出线段的长度． (3)将（1）中所画的图放在数轴上，若点B对应的数是3，点A对应的数是，则点C对应的数是______________，点D对应的数是______________． 【答案】(1)见解析 (2)20 (3)；19 【分析】此题考查了数轴、线段中点的定义、尺规作图等知识． （1）在线段的延长线上依次截取两个线段的长度即可； （2）根据得，再根据点C为线段的中点得，最后由可得答案； （3）由（2）得，，再根据点C在点B的左侧，点D在点B的右侧，且点B表示的数是3，求得点C表示的数是，点D表示的数是． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求． （2）解：由作图可知， 因为， 所以， 因为点C为线段的中点， 所以， 所以； （3）解：∵点B对应的数是3，点A对应的数是 ，，点C左点B的左侧， ∴，即点C表示的数是； ∵点B对应的数是3，，点D左点B的右侧， ∴，即点C表示的数是； 故答案为：；19． 15．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？ 方法应用 （2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________； ②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长． 【答案】（1），；（2）2；（3） 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差． （1）根据线段的和差得出，再求出，即可得解； （2）①先求出线段的长，再根据线段中点计算即可得解； ②由线段的中点可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵是的中点， ∴； 故答案为：2； ②∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（24-25七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了次取线段中点实验：如图，该线段．第次，取的中点；第次，取的中点；第次，取的中点，第次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数 线段的长 第次 第次 第次 第次 第次 ________ ________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：________，________，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是________． 【答案】(1)， (2) (3)，， 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，找出规律是解答本题的关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：因为， 所以， 两式相加，得， 所以； （3）解：，，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是， 故答案为：，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $