第5讲 一元二次方程综合 课件（学生版+教师版）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第5讲 一元二次方程综合 初中 九年级 1 本讲任务 2 学习目标 01 熟记一元二次方程定义、一般形式，理解方程的根的概念，掌握四种解法、判别式、韦达定理的基础公式与核心定理. 02 能整理方程为标准形式、检验方程的解，灵活选用四种方法解方程；会利用判别式判断根的情况，借助根与系数关系完成代数式变形与参数计算. 03 能综合运用五大知识点解决参数题型与基础应用题，体会转化、分类讨论的数学思想，提升方程建模解题能力. 3 课程引入 一个来自生活的挑战：如何设计我的梦想花园？ 想象一下，你有一块长20米的栅栏，希望用它围成一个面积为24平方米的矩形花园.为了让花园看起来最美观，你需要精确地计算出花园的长和宽应该是多少. 我们该如何解决这个问题呢？让我们用数学的眼光来分析一下. 01 设定未知数 假设花园的宽为 米，这是我们解题的起点. 02 表示相关量 周长20米，长+宽=10米，因此长可表示为 (10 - ) 米. 03 依据面积列方程 根据“长×宽=面积”，可得方程：. 04 化简为标准形式 整理方程，得到：，这就是核心方程. 💡 什么是一元二次方程？ 像² - 10 + 24 = 0 这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，就叫做一元二次方程.它是解决几何面积、运动等实际问题的有力工具. 4 课程引入 学完本课，你将能够…… 01 理解并掌握核心概念 透彻理解一元二次方程的定义及其标准形式，清晰建立方程的解（根）的概念，为后续学习夯实基础. 02 熟练运用解题方法 熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种基本解法，并能运用根的判别式判断根的情况. 03 灵活应用根与系数关系 深入探究韦达定理（根与系数的关系），学会利用这一重要定理解决相关代数问题，提升思维灵活性. 04 建立数学与生活的联系 初步体会一元二次方程在解决实际问题中的应用价值，感受数学建模的过程，发现数学的独特魅力. 准备好了吗？让我们一起踏上这段充满挑战与惊喜的数学奥秘之旅！ 5 01 一元二次方程综合 1 1 6 知识精讲 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 7 知识精讲 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0； （2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式； （3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 8 知识精讲 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 9 知识精讲 知识点4 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 10 知识精讲 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 （1)将方程化为p 或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点5 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 11 知识精讲 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 12 知识精讲 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 13 知识精讲 知识点6 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 14 知识精讲 知识点7 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 15 知识精讲 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 16 知识精讲 知识点8 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 17 知识精讲 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 18 知识精讲 知识点9 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 19 01一元二次方程的相关概念 20 知识精讲 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 21 知识精讲 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0； （2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式； （3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 22 例题 例1． ★ ★ ★下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 23 解析 【答案】D 【分析】一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； B、中，含有和两个未知数，不符合要求； C、中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； D、整理得，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． 练一练 练1. ★ ★ ★关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 25 解析 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 练一练 练2. ★ ★已知方程，当______时，是关于x的一元二次方程． 27 解析 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于的方程与不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，解得． 练一练 练3. ★ ★若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 29 解析 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 02一元二次方程解及解的估算 31 知识精讲 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 32 例题 例1. ★ ★下列各数：，，，，，其中是一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 33 解析 【答案】D 【分析】本题可通过因式分解法求解一元二次方程，再从给定的数中匹配出方程的解，也可将选项代入方程验证是否成立． 【详解】解：∵ ∴对左边因式分解得 则或 解得或 根据题干所给的数中，观察选项可知，选项D符合， 故选：D． 练一练 练1. ★ ★下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 35 解析 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程等价于，从表格中直接找出时对应的值即可． 【详解】解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 练一练 练2. ★ ★已知a为方程的一个根，则代数式的值为_____． 37 解析 【答案】1 【分析】将代入方程，可得到关于的等式．观察所求代数式与代入后得到的等式的关系，通过等式变形即可得到代数式的值． 【详解】解：将代入原方程得： ， 移项后直接得到， 因此代数式的值为． 练一练 练3. ★ ★若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 39 解析 【答案】C 【分析】先化简原方程，将代入方程得到关于的等式，变形求出，最后代入代数式计算结果． 【详解】解：，整理得：． ∵是该一元二次方程的根， ∴，移项得：， ∴． 练一练 练4. ★ ★ ★根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41 解析 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键．根据二次函数的函数值在时为负、时为正，进而判断出方程的一个解的取值范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 03一元二次方程的解法 43 知识精讲 知识点4 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 44 知识精讲 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 （1)将方程化为p 或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点5 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 45 知识精讲 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 46 知识精讲 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 47 知识精讲 知识点7 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 48 知识精讲 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 49 知识精讲 知识点8 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 50 知识精讲 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 51 例题 例1. ★ ★ ★解方程： (1)； (2)． 52 解析 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 练一练 练1. ★ ★ ★解下列方程： (1) (2) 54 解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程运用因式分解法解答即可； （2）方程运用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ∴； （2）解：， ， ， ，， ∴． 练一练 练2. ★ ★ ★请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 56 解析 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：，，移项得，，提取公因式得，，或，解得，，； （2）解：，∵，，，∴，，，； （3）解：，等式两边同时除以2得，， 移项得，，∴配方得，，即，直接开方得，，，． 练一练 练3. ★ ★解下列方程： (1) (2) 58 解析 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 得或， 解得； （2）解：  ， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或 ∴解得． 04配方法的应用 60 知识精讲 知识点5 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 61 知识精讲 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 62 知识精讲 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 63 例题 例1. ★ ★ ★配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 64 解析 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 练一练 练1. ★ ★ ★ ★阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 66 练一练 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 67 解析 【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为；（2），理由见解析；（3）①；②当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米 【分析】本题主要考查了配方法的应用，一元一次不等式组的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）把原代数式变形为，再仿照题意求解即可； （2）利用作差法得到，据此可得结论； （3）①根据篱笆的长度可求出对应的关系式，再根据墙的长度和x要为正数列出不等式组求出x的取值范围即可；②根据矩形的面积公式列出矩形的面积关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； 解析 （2），理由如下： ∵，∴ ，∵，∴，∴，∴； （2）①由题意得，，∵，∴， ∴； ②设围成的矩形菜地的面积为S， 则 ，∵，∴， ∴， ∴当，即时，S有最大值，最大值为162， ∴当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米． 练一练 练2. ★ ★多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 70 解析 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 练一练 练3. ★ ★ ★若（x、y为实数），则W的最小值为________． 72 解析 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 05换元法解一元二次方程 74 知识精讲 1.把方程中相同的部分作为一个整体，设出新的字母； 2.用新的字母表示出新的方程； 3.解出新的方程； 4.把新方程的结果和原来方程中相同的部分组成方程； 5.解出方程，即为最后结果. 75 例题 例1. ★ ★ ★请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 76 解析 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 练一练 练1. ★ ★ ★请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，利用“换根法”求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍； (2)求解这个新方程的根． 78 解析 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：， 故所求方程为； （2）解：， ， ， ， ∴，． 练一练 练2. ★ ★ ★阅读下列材料： 已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，，即． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数，满足，则_____； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 80 解析 【答案】(1) (2)该式的值为9 (3)2，3，4，5 【分析】本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． （1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，（舍去），即可求解． 解析 【详解】（1）解：， 设，则原方程变为，整理得，，， 即．故答案为：. （2）设，则，，解得：或，由，得，即．故该式的值为9. （3）设最小正整数为，则，即：，设，则， 解得：，， 为正整数， ， ． 解得，（舍去）， ，，． 这四个连续正整数为2，3，4，5． 06根的判别式及应用 83 知识精讲 知识点6 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 84 例题 例1. ★ ★一元二次方程根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能判定 85 解析 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 练一练 练1. ★ ★关于x的一元二次方程，下面说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无法确定是否有实数根 D．没有实数根 87 解析 【答案】D 【详解】解：方程整理为一般形式得 可得，， 计算根的判别式 ∴原一元二次方程没有实数根． 练一练 练2. ★ ★一元二次方程的根的情况是（      ） A．有两个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 89 解析 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式计算，通过判别式与0的大小关系判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵对于一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 练一练 练3. ★ ★已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 91 解析 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式求解，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，代入方程系数计算即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 即的取值范围是． 练一练 练4. ★ ★ ★若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是______． 93 解析 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴，解得； 方程有实数根， ∴， 化简得； 解得； 综上，实数的取值范围为且． 07韦达定理 95 知识精讲 知识点9 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 96 例题 例1. ★ ★ ★已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 97 解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由（1）知，则原方程变为， 设这个方程的两个根是，，∴，，∴，∵， ∴， 解得． 练一练 练1. ★ ★ ★已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． 99 解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，，代入可得关于的一元二次方程，求解并结合，舍去不符合条件的根即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根，∴， 整理，得，解得； （2）解：，根据根与系数的关系可得，，，∵，∴， ∴，整理，得，解得或， 由（1）可知，， ∴． 练一练 练2. ★ ★若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B．6 C． D． 101 解析 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，由此代入计算即可． 【详解】解：若、是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故选：B ． 练一练 练3. ★ ★ ★若α，β是关于x的一元二次方程的两实根，，求m的值． 103 解析 【答案】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵α，β是关于x的一元二次方程的两实根， ∴，， ∵， ∴． 练一练 练4. ★ ★ ★按要求完成问题 (1)已知实数，是方程的两根，求的值； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数，满足，，求的值． 105 解析 【答案】(1)3 (2) (3)0 【分析】（1）根据题意可知a，b是一元二次方程的两个根，得到，，代入计算即可； （2）将化为，将化为，可知，是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可知的值； （3）用减去得到，即，，可知，，即p，q是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系得到，即可得到的值． 解析 【详解】（1）解：∵∴a，b是一元二次方程的两个根，∴，，∴，，∴； （2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，是一元二次方程的两个根，∴， ∴； （3）解：①，②，，得，∴，∵， ∴，∴，∴③，④，将④代入①，得，∴， 将③代入②，得，∴， ∴p，q是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 本讲总结 01 02 一元二次方程的概念及解 1、直接开平方法； 2、配方法； 3、公式法； 4、因式分解法； 5、换元法； 1、整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2； 2、一般式中，𝒂是二次项系数;𝒃𝒙是一次项，𝒃是一次项系数；𝒄是常数项； 3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解； 一元二次方程的解法 03 04 根的判别式 1、 ； 2、 ； 1、 ； 2、 一元二次方程有两个不相等的实数根； 3、 一元二次方程有两个相等的实数根； 4、 一元二次方程无实数根； 根与系数的关系 108 课堂练习 练一练 课堂练1. ★ ★关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 110 解析 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 练一练 课堂练2. ★ ★根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 112 解析 【答案】C 【详解】解：通过表格可知，当时， ， 当时，输出值为， ∴当时，． 练一练 课堂练3. ★ ★解方程： (1)； (2)． 114 解析 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程 【详解】（1）解：， ， ，； （2）， ， ，． 练一练 课堂练4. ★ ★解方程： (1)； (2)． 116 解析 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： ，， 解得，． 练一练 课堂练5. ★ ★ ★ 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（m、n为常数），求m，n的值； 探究问题：（2）已知，求x+y的值； 已知（x、y都是整数，k是常数），要使s的最小值为2，试求出k的值． 118 解析 【答案】（1）m＝2，n＝﹣1，（2）x+y＝﹣2；（3）k＝10 【分析】（1）把3写成4﹣1的形式，然后4与二次项和一次项组成完全平方式，从而分解因式，从而求出m，n的值即可； （2）把10写成1+9的形式，然后把1分给含有x的项，9分给含有y的项，进行分解因式，根据偶次方的非负性，求出x，y，从而求出答案即可； （3）把已知等式的右边进行平方，组成两个完全平方式，然后根据偶次方的非负性和s的最小值，列出关于k的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3 ＝x2﹣4x+4﹣1 ＝（x﹣2）2﹣1， ∴m＝2，n＝﹣1； 解析 （2）x2+y2﹣2x+6y+10＝0， x2﹣2x+1+y2+6y+9＝0， （x﹣1）2+（y+3）2＝0， ∵（x﹣1）2≥0，（y+3）2≥0， ∴（x﹣1）2＝0，（y+3）2＝0， x﹣1＝0，y+3＝0， 解得：x＝1，y＝﹣3， ∴x+y＝1+（﹣3）＝﹣2； （3）∵s＝x2+9y2+4x﹣12y+k， ∴s＝x2+4x+4+9y2﹣12y+4+k﹣8 ＝（x+2）2+（3y﹣2）2+k﹣8， ∵（x+2）2≥0，（3y﹣2）2≥0，s的最小值为2， ∴k﹣8＝2，解得：k＝10． 下节课再见～ 121 $ 第5讲 一元二次方程综合 初中 九年级 1 本讲任务 2 学习目标 01 熟记一元二次方程定义、一般形式，理解方程的根的概念，掌握四种解法、判别式、韦达定理的基础公式与核心定理. 02 能整理方程为标准形式、检验方程的解，灵活选用四种方法解方程；会利用判别式判断根的情况，借助根与系数关系完成代数式变形与参数计算. 03 能综合运用五大知识点解决参数题型与基础应用题，体会转化、分类讨论的数学思想，提升方程建模解题能力. 3 课程引入 一个来自生活的挑战：如何设计我的梦想花园？ 想象一下，你有一块长20米的栅栏，希望用它围成一个面积为24平方米的矩形花园.为了让花园看起来最美观，你需要精确地计算出花园的长和宽应该是多少. 我们该如何解决这个问题呢？让我们用数学的眼光来分析一下. 01 设定未知数 假设花园的宽为 米，这是我们解题的起点. 02 表示相关量 周长20米，长+宽=10米，因此长可表示为 (10 - ) 米. 03 依据面积列方程 根据“长×宽=面积”，可得方程：. 04 化简为标准形式 整理方程，得到：，这就是核心方程. 💡 什么是一元二次方程？ 像² - 10 + 24 = 0 这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，就叫做一元二次方程.它是解决几何面积、运动等实际问题的有力工具. 4 课程引入 学完本课，你将能够…… 01 理解并掌握核心概念 透彻理解一元二次方程的定义及其标准形式，清晰建立方程的解（根）的概念，为后续学习夯实基础. 02 熟练运用解题方法 熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种基本解法，并能运用根的判别式判断根的情况. 03 灵活应用根与系数关系 深入探究韦达定理（根与系数的关系），学会利用这一重要定理解决相关代数问题，提升思维灵活性. 04 建立数学与生活的联系 初步体会一元二次方程在解决实际问题中的应用价值，感受数学建模的过程，发现数学的独特魅力. 准备好了吗？让我们一起踏上这段充满挑战与惊喜的数学奥秘之旅！ 5 01 一元二次方程综合 1 1 6 知识精讲 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 7 知识精讲 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0； （2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式； （3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 8 知识精讲 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 9 知识精讲 知识点4 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 10 知识精讲 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 （1)将方程化为p 或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点5 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 11 知识精讲 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 12 知识精讲 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 13 知识精讲 知识点6 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 14 知识精讲 知识点7 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 15 知识精讲 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 16 知识精讲 知识点8 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 17 知识精讲 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 18 知识精讲 知识点9 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 19 01一元二次方程的相关概念 20 知识精讲 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 21 知识精讲 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0； （2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式； （3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 22 例题 例1． ★ ★ ★下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 23 练一练 练1. ★ ★ ★关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 24 练一练 练2. ★ ★已知方程，当______时，是关于x的一元二次方程． 25 练一练 练3. ★ ★若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 26 02一元二次方程解及解的估算 27 知识精讲 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 28 例题 例1. ★ ★下列各数：，，，，，其中是一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 29 练一练 练1. ★ ★下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 30 练一练 练2. ★ ★已知a为方程的一个根，则代数式的值为_____． 31 练一练 练3. ★ ★若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 32 练一练 练4. ★ ★ ★根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33 03一元二次方程的解法 34 知识精讲 知识点4 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 35 知识精讲 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 （1)将方程化为p 或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点5 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 36 知识精讲 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 37 知识精讲 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 38 知识精讲 知识点7 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 39 知识精讲 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 40 知识精讲 知识点8 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 41 知识精讲 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 42 例题 例1. ★ ★ ★解方程： (1)； (2)． 43 练一练 练1. ★ ★ ★解下列方程： (1) (2) 44 练一练 练2. ★ ★ ★请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 45 练一练 练3. ★ ★解下列方程： (1) (2) 46 04配方法的应用 47 知识精讲 知识点5 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 48 知识精讲 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 49 知识精讲 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 50 例题 例1. ★ ★ ★配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 51 练一练 练1. ★ ★ ★ ★阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 52 练一练 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 53 练一练 练2. ★ ★多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 54 练一练 练3. ★ ★ ★若（x、y为实数），则W的最小值为________． 55 05换元法解一元二次方程 56 知识精讲 1.把方程中相同的部分作为一个整体，设出新的字母； 2.用新的字母表示出新的方程； 3.解出新的方程； 4.把新方程的结果和原来方程中相同的部分组成方程； 5.解出方程，即为最后结果. 57 例题 例1. ★ ★ ★请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 58 练一练 练1. ★ ★ ★请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，利用“换根法”求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍； (2)求解这个新方程的根． 59 练一练 练2. ★ ★ ★阅读下列材料： 已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，，即． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数，满足，则_____； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 60 06根的判别式及应用 61 知识精讲 知识点6 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 62 例题 例1. ★ ★一元二次方程根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能判定 63 练一练 练1. ★ ★关于x的一元二次方程，下面说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无法确定是否有实数根 D．没有实数根 64 练一练 练2. ★ ★一元二次方程的根的情况是（      ） A．有两个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 65 练一练 练3. ★ ★已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 66 练一练 练4. ★ ★ ★若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是______． 67 07韦达定理 68 知识精讲 知识点9 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 69 例题 例1. ★ ★ ★已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 70 练一练 练1. ★ ★ ★已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． 71 练一练 练2. ★ ★若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B．6 C． D． 72 练一练 练3. ★ ★ ★若α，β是关于x的一元二次方程的两实根，，求m的值． 73 练一练 练4. ★ ★ ★按要求完成问题 (1)已知实数，是方程的两根，求的值； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数，满足，，求的值． 74 本讲总结 01 02 一元二次方程的概念及解 1、直接开平方法； 2、配方法； 3、公式法； 4、因式分解法； 5、换元法； 1、整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2； 2、一般式中，𝒂是二次项系数;𝒃𝒙是一次项，𝒃是一次项系数；𝒄是常数项； 3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解； 一元二次方程的解法 03 04 根的判别式 1、 ； 2、 ； 1、 ； 2、 一元二次方程有两个不相等的实数根； 3、 一元二次方程有两个相等的实数根； 4、 一元二次方程无实数根； 根与系数的关系 75 课堂练习 练一练 课堂练1. ★ ★关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 77 练一练 课堂练2. ★ ★根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 78 练一练 课堂练3. ★ ★解方程： (1)； (2)． 79 练一练 课堂练4. ★ ★解方程： (1)； (2)． 80 练一练 课堂练5. ★ ★ ★ 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（m、n为常数），求m，n的值； 探究问题：（2）已知，求x+y的值； 已知（x、y都是整数，k是常数），要使s的最小值为2，试求出k的值． 81 下节课再见～ 82 $