第7讲 二次函数的概念与图像性质 课件（学生版+教师版）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数的概念及五种形式（y=ax²、y=ax²+c等）的图像性质，从概念辨析实例导入，通过“概念—基础形式—复杂形式”的学习支架，衔接一次函数到二次函数的知识脉络，帮助学生逐步构建认知。 其亮点是采用“知识精讲+例题辨析+分层练习”模式，结合抽象能力（如例1判断二次函数）和推理意识（表格对比图像性质），培养数学思维。总结系统梳理五种形式，助力学生形成知识网络，既夯实学生基础，也为教师提供结构化教学资源。

第07讲 二次函数的概念与图像性质 初中 主讲老师： 1 本讲任务 2 学习目标 01 掌握二次函数函数的概念 02 掌握二次函数函数的图像性质 3 01 二次函数的概念 1 4 知识精讲 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 2.二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 5 例题 例1. ★ 观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（       ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 6 练一练 练习1. ★ 下列函数中，是二次函数的是　　 A． B． C． D． 7 例题 例2. ★若函数y＝m是二次函数，则m的值为（       ） A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1 8 练一练 练习2. ★已知是二次函数，求． 9 02 二次函数的图像和性质 1 10 01 的图像和性质 11 知识精讲 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 12 例题 例1. ★如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则、、、的大小关系为 　　． 13 练一练 练习1. ★已知抛物线和在同一坐标系内的图象如图所示，则m，n的大小关系是（       ） A．m>n B．m=n C．m<n D．无法比较（       ） 14 例题 例2. ★ ★如图，已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A（﹣1，﹣1），B两点． (1)求a，k的值； (2)求点B的坐标； (3)求S△AOB． 15 练一练 练习2. ★ ★已知二次函数的图象如图所示，求△的面积． 16 例题 练习3. ★ ★ ★如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 17 02 的图像和性质 18 知识精讲 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 19 例题 例1. ★二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 20 练一练 练习1. ★对于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口向下，对称轴是y轴 B．顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y有最小值是4 21 例题 例2. ★ ★若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 22 练一练 练习2. ★ ★点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 23 例题 例3. ★ ★ ★如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 24 练一练 练习3. ★ ★ ★如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______．   25 03 的图像和性质 26 知识精讲 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 27 例题 例1. ★关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 28 练一练 练习2. ★下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 29 例题 例2. ★ ★点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 30 练一练 练习2. ★ ★已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 31 例题 例3. ★ ★ ★如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 32 练一练 练习3. ★ ★ ★如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 33 04 的图像和性质 34 知识精讲 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 35 例题 例1. ★抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 36 练一练 练习2. ★函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 37 例题 例2. ★ ★已知二次函数也在此二次函数图像上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 38 练一练 练习2. ★ ★已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39 练一练 练习3. ★ ★定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为 40 05 + +的图像和性质 41 知识精讲 二次函数的图象 图象要素 一般式 顶点式 顶点式 图象形状   抛物线 开口方向   当 时,开口向上；当 时,开口向下 顶点坐标   (, ) 对称轴   直线 直线 增减性 在对称轴左侧,即 或 时, 随 增大而减小 在对称轴右侧,即 或 时, 随 增大而增大 在对称轴右侧,即 或 时, 随 增大而增大 在对称轴右侧,即 或 时, 随 增大而减小 最大 (小)值 当 时, 当 时, 当 时, 当 时, + + 42 例题 例1. ★抛物线的对称轴是直线 ． 43 练一练 练习2. ★ ★若抛物线的顶点在轴上，求的值． 44 例题 例2. ★ ★若在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 45 练一练 练习2. ★ ★已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 46 练一练 练习3. ★ ★已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由 47 本讲总结 01 02 . + + + 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 二次函数的图像和性质 二次函数的概念 48 课堂练习 练一练 课后练1.★ ★已知反比例函数与二次函数的图象有一个交点的横坐标为3，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．8 D．6 50 练一练 课后练1.★ ★已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 51 练一练 课后练2.★ ★已知抛物线经过点，，若A，B两点均在直线的下方，且，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 52 练一练 课后练1.★ ★ ★如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 53 下节课再见～ 54 $ 第07讲 二次函数的概念与图像性质 初中 主讲老师： 1 本讲任务 2 学习目标 01 掌握二次函数函数的概念 02 掌握二次函数函数的图像性质 3 01 二次函数的概念 1 4 知识精讲 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 2.二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 5 例题 例1. ★ 观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（       ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 6 解析 【答案】B 【解析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】 ①是二次函数； ②是二次函数； ③是二次函数； ④不是二次函数； ⑤不是二次函数； ⑥不是二次函数； 这六个式子中二次函数有①②③ 故选：B． B 练一练 练习1. ★ 下列函数中，是二次函数的是　　 A． B． C． D． 8 解析 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【解答】解：．是二次函数，故本选项符合题意； ．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； ．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； ．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：． A 例题 例2. ★若函数y＝m是二次函数，则m的值为（       ） A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1 10 解析 【答案】C 【分析】 利用二次函数定义可得m2+m+2＝2，且m≠0，再解即可． 【详解】 解：由题意得：m2+m+2＝2，且m≠0， 解得：m＝﹣1，故C正确． 故选：C． C 练一练 练习2. ★已知是二次函数，求． 12 解析 【分析】由二次函数的定义可得，且，解得即可． 【解答】解：是二次函数， 则， 解得或， 又， ， ． 02 二次函数的图像和性质 1 14 01 的图像和性质 15 知识精讲 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 16 例题 例1. ★如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则、、、的大小关系为 　　． 17 解析 【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【解答】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， 所以，． 【点评】本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 练一练 练习1. ★已知抛物线和在同一坐标系内的图象如图所示，则m，n的大小关系是（       ） A．m>n B．m=n C．m<n D．无法比较（       ） 19 解析 A 【答案】A 【解析】 【分析】 根据的绝对值越小，开口越大，分析判断即可求解． 【详解】 解：∵抛物线和在同一坐标系内的图象，的开口比的开口大，且开口方向都向上， ∴ 故选A． 例题 例2. ★ ★如图，已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A（﹣1，﹣1），B两点． (1)求a，k的值； (2)求点B的坐标； (3)求S△AOB． 21 解析 【答案】(1)a＝﹣1，k＝﹣1，(2)（2，﹣4），(3)3 【分析】 （1）根据待定系数法即可求得； （2）解析式联立，解方程组即可求得B的坐标； （3）设直线y＝﹣x﹣2与y轴的交点为G，则G（0，﹣2），利用S△AOB＝S△AOG+S△BOG求得△AOB的面积． (1) 解：∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1， ∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1； (2) 解 得或， ∴B的坐标为（2，﹣4）； (3) 设直线y＝﹣x﹣2与y轴的交点为G，则G（0，﹣2）， ∴S△AOB＝S△AOG+S△BOG＝+＝3． 练一练 练习2. ★ ★已知二次函数的图象如图所示，求△的面积． 23 解析 【分析】根据函数解析式，可以得到点和点的坐标，然后即可求得△的面积． 【解答】解：二次函数， 顶点的坐标为，点的坐标为， ，， △的面积为：， 即△的面积是1． 例题 练习3. ★ ★ ★如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 25 解析 C 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设，则，根据题意得出，，即可求得，，从而求得． 【详解】解：设，则， ∵轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D， ∴，， ∴，， ， 故选：C ． 02 的图像和性质 27 知识精讲 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 28 例题 例1. ★二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 29 解析 C 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 练一练 练习1. ★对于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口向下，对称轴是y轴 B．顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y有最小值是4 31 解析 D 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：对于抛物线，抛物线开口向下， A. 开口向下，对称轴是y轴，故该选项正确，不符合题意；     B. 顶点坐标是，故该选项正确，不符合题意； C. 当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； D. 当时，y有最大值是4，，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 例题 例2. ★ ★若点都在二次函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 33 解析 A 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得在轴右侧，随的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：二次函数， 二次函数图象开口向上，对称轴为轴， 在轴右侧，随的增大而增大， ， ， 故选：A． 练一练 练习2. ★ ★点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 35 解析 C 【答案】C 【分析】本题考查的图象和性质，先判断出抛物线开口方向及对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小． 【详解】解： 中 抛物线开口向下，对称轴为y轴，抛物线上离对称轴越远的点，函数值越小， ， ， 故选：C． 例题 例3. ★ ★ ★如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 37 解析 【答案】(1)①③ (2)； (3)． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质． （1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可； （2）由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数的性质得出的值，然后得出，由此列出方程，求解即可； （3）由（2）的结论，列式整理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同， ∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等； 故答案为：①③； 解析 （2）解：设交轴于， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设点坐标为，代入抛物线， 得， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等， ∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴，∴； 解析 （3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为， 抛物线的“完美三角形”的斜边长为， ∵， ∴， 整理得． 练一练 练习3. ★ ★ ★如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______．   41 解析 【答案】(1)①；②； ③；证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图像与性质，求点的坐标，整式的乘法． （1）①若，抛物线的表达式为：，从而得到，，， 根据待定系数法即可求出直线的解析式； ②求出点E的坐标，根据即可解答； ③根据各点坐标得到，，，即可得到； （2）同（1）思路即可解答； （3）设点，点，由点A、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点，表示出，，即可解答． 【详解】（1）解：①若，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为：； ②对于直线：，当时，， ∴， ∴， 故答案为：； ③，理由如下： ，，，， ，，， ； 解析 （2）解：，理由如下： 当时，抛物线的表达式为：， ∴，，， 同理可得：直线的表达式为：， ∴， ∴， ，， ∴； （3）解：，理由如下： 设点，点， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， ，， 则， ， ， 故答案为： 03 的图像和性质 44 知识精讲 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 45 例题 例1. ★关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 46 解析 D 【答案】D 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 练一练 练习2. ★下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 48 解析 A 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线，故符合题意； B、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； C、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； D、抛物线的对称轴为直线，故不符合题意； 故选：A． 例题 例2. ★ ★点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 50 解析 A 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式分别计算各点的纵坐标，再比较大小关系即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点；点，点都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴，， 故选：A． 练一练 练习2. ★ ★已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 52 解析 A 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，随的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：A． 例题 例3. ★ ★ ★如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 54 解析 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用增减性判断函数值的大小． （1）由点坐标求出，进一步得到点坐标，再利用待定系数法求解； （2）将代入，即可求出值； （3）根据对称轴和开口方向判断增减性，再结合，两点的横坐标判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为A， ∴，则， ∵， ∴，代入中， 得：， 解得：， ∴； （2）将代入中， 得：， 解得：； （3）∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 练一练 练习3. ★ ★ ★如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 56 解析 6 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 04 的图像和性质 58 知识精讲 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 59 例题 例1. ★抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 60 解析 A 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式解答即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 练一练 练习2. ★函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 62 解析 D 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点式为，其中顶点坐标为 ，根据二次函数的顶点式形式，直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴其图象的顶点坐标为， 故选：D 例题 例2. ★ ★已知二次函数也在此二次函数图像上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 64 解析 B 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据函数解析式得到对称轴为直线，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，， ∴， ∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，且距离对称轴越远，函数值越大， ∴． 故选：B． 练一练 练习2. ★ ★已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 66 解析 A 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 根据图象与x轴有交点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出选项． 【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象与x轴有交点， ∴， 解得：， ∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴ ∴m的取值范围是， 故选：A． 练一练 练习3. ★ ★定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为 68 解析 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；难点是得到用表示的点的坐标． 把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得和的值，易得，则可得用表示的的值及的值，进而可得用表示的的式子，把用表示的代入抛物线解析式，可得的值． 【详解】解：， ，， 抛物线的“相对深度”为6， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 05 + +的图像和性质 70 知识精讲 二次函数的图象 图象要素 一般式 顶点式 顶点式 图象形状   抛物线 开口方向   当 时,开口向上；当 时,开口向下 顶点坐标   (, ) 对称轴   直线 直线 增减性 在对称轴左侧,即 或 时, 随 增大而减小 在对称轴右侧,即 或 时, 随 增大而增大 在对称轴右侧,即 或 时, 随 增大而增大 在对称轴右侧,即 或 时, 随 增大而减小 最大 (小)值 当 时, 当 时, 当 时, 当 时, + + 71 例题 例1. ★抛物线的对称轴是直线 ． 72 解析 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，直接利用对称轴的计算方法求解即可． 【详解】解∶ 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：．   练一练 练习2. ★ ★若抛物线的顶点在轴上，求的值． 74 解析 【答案】4或 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答根据抛物线的顶点在x轴上，可知该抛物线顶点的纵坐标为0，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， 解得，或， 故答案为：或． 或 例题 例2. ★ ★若在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 76 解析 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，通过代入各点横坐标计算对应的函数值，比较大小即可． 【详解】解：将各点的横坐标代入二次函数中： 当时，； 当时，； 当时，． 比较得：， 故选：D． D 练一练 练习2. ★ ★已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 78 解析 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记相关结论即可求解； （1）令，则；得到抛物线与轴的交点为；推出；根据抛物线的对称轴是直线，推出，即可求解； （2）根据抛物选的开口方向和对称轴，即可判断； 【详解】（1）解：令，则； ∴抛物线与轴的交点为； ∴； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：； ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：由（１）可知：抛物选开口向上， 对称轴是直线． ∵且， ∴ 故答案为： 练一练 练习3. ★ ★已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由 80 解析 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数的图象上 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出，得到此二次函数的解析式； （2）把代入函数解析式计算，判断即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． 解得， ∴此二次函数的解析式为； （2）解：当时， ∴点不在这个二次函数的图象上． 本讲总结 01 02 . + + + 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 二次函数的图像和性质 二次函数的概念 82 课堂练习 练一练 课后练1.★ ★已知反比例函数与二次函数的图象有一个交点的横坐标为3，则k的值为（   ） A．4 B．3 C．8 D．6 84 解析 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数交点问题，将交点的横坐标代入二次函数求出对应的值，再将交点坐标代入反比例函数即可求出的值． 【详解】解：将代入二次函数，得：， ∴交点为． 将交点坐标代入反比例函数，得：， 解得， 故选：D． 练一练 课后练1.★ ★已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 86 解析 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，则在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵点都在函数的图象上，且， ∴， 故选：D． 练一练 课后练2.★ ★已知抛物线经过点，，若A，B两点均在直线的下方，且，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 88 解析 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 根据题意，抛物线开口向上，点A、B在直线下方，且．通过代入点坐标建立不等式，求解t的范围． 【详解】∵点在直线下方， ∴， 解得． ∵点在直线下方， ∴， 解得． ∵ ： ∴， 解得． ∴． 故选：D． 练一练 课后练1.★ ★ ★如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 90 解析 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，设与y轴交于点D，首先根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求出，进而得到，，然后根据二次函数的对称性求出对称轴为直线，得到，然后将代入即可求出． 【详解】如图所示，设与y轴交于点D ∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴对称轴为直线 ∴ ∴将代入得， 解得． 故选：A． 下节课再见～ 92 $