26.1二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过回顾函数核心对应关系、对比一次函数的均匀变化规律，结合矩形围绳面积、水珠运动路线等现实情境，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，引导学生理解非均匀变化的数学模型。 其亮点在于以现实情境抽象数量关系培养数学眼光，通过对比一次函数与三个实例函数的共同点推导定义发展数学思维，以规范解析式书写、化简及系数判断强化数学语言。如矩形面积问题让学生经历“问题—分析—建模”过程，帮助学生建立模型意识，教师可通过结构化例题与练习提升教学效率。

26.1二次函数的概念 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第26章 二次函数 1 我们知道函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型．函数的核心对应关系是什么？ ① 在一个变化过程中； ② 有两个变量 x 和 y； ③ 对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应． 问题1 x 是自变量，y 是 x 的函数． 一次函数描述的是怎样的变化规律？它的解析式和图象分别有什么特征？结合生活中的实例说一说． ① 描述的是一个量随另一个量均匀变化的关系； ② 解析式是 y＝kx＋b（k、b 为常数，k≠0）； ③ 图象是一条直线． 问题2 匀速行驶时路程随时间的变化，单价固定时总价随数量的变化等，都可以用一次函数来描述． 现实世界中，不是所有变化都是均匀的．本章要探究更复杂的变量关系． 情境 1：用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y（单位：m2）会随矩形一边长 x（单位：m）的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？ 情境 2：右图从喷头喷出的水珠，在空中经过的路线是一条曲线．在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度 y 与它距离喷头的水平距离 x 之间又有什么关系？ 二次函数 概念→图象和性质→借助函数深化对方程的理解→应用 问题1 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y（单位：m2）会随矩形一边长 x（单位：m）的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？ x ① 在一个变化过程中； ② 矩形的一边长 x 和面积 y 都是变量； ③ 对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应． 分析 1：y 与 x 之间的关系是函数关系吗？ √ y 问题1 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y（单位：m2）会随矩形一边长 x（单位：m）的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？ x 分析 2：写出 y 与 x 之间的函数关系式． y 20－x y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x(20－x)， 整理，得 y＝－x²＋20x． 问题2 n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛．比赛的场次数 m 与球队数 n 之间有什么关系？ 分析：每支球队都要与其他(n－1)支球队各赛 1 场． 整理，化简 ① 在一个变化过程中； ② m 和 n 都是变量； ③ 对于 n 的每一个确定的值，m 都有唯一确定的值与其对应． m 是 n 的函数 问题3 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y（单位：t）将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是 20 t，一年后的产量是 20(1＋x) t，再经过一年后（即两年后）的产量是 20(1＋x)(1＋x) t ． 整理，化简 y＝20（1＋x)(1＋x) y＝20x2＋40x＋20 y 是 x 的函数 观察三个函数，它们有什么共同点？ ① y＝－x2＋20x； ② m＝ n2－ n； ③ y＝20x2＋40x＋20． 问题4 共同点：1.函数的解析式是整式; 2.自变量的最高项次数是 2． 含有自变量的项是整式，没有出现分母中含有自变量的情况 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数． 新知 y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 二次项 一次项 常数项 一次项系数 二次项系数 举例：y＝－2x2＋40x－3． 二次项：－2x2；二次项系数：－2； 一次项：40x；一次项系数：40； 常数项：－3． 写系数时要连同前面的符号一起写． 二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）． 思考 当 a＝0 时，函数变为 y＝bx＋c．(一次函数) 是否可以为0？ 为什么要特别强调a≠0？ 当 b＝0，c＝0 时，函数可以写成 y＝ax2． 当 b＝0，c≠0 时，函数可以写成 y＝ax2＋c． 当 b≠0，c＝0 时，函数可以写成 y＝ax2＋bx． 二次函数的特殊形式 判断下列式子中，y 是否是 x 的二次函数？若不是，说明理由． 练习 （1）y＝ax2＋b； （2）y＝ ＋3x ； （3）y＝x2＋2x＋ ； （4）y＝(x＋2)2－x2； （5）y＝x3－2x2＋6． a可能等于0 × 分式 × √ 化简后，得y＝4x＋4 × 最高次数为3 × 判断一个函数是否为二次函数时，不能直接依据原始形式判断，需要先将函数解析式化为最简形式，再对照定义作出判断． 二次函数的三个特征 归纳 ① 含有自变量的项为整式； ② 自变量的最高次数为 2； ③ 二次项系数不为 0． 例（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式． 分析：圆柱表面积＝底面积＋侧面积 解：S＝2πr2＋2πr ∙ r，即 S＝4πr2． 例（2）一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x．写出两年后产品的年销售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式． 解：（2）一年后产品的年销售量是 8(1－x)万件，两年后的年销售量为 y＝8(1－x)(1－x)，所以 y＝8(1－x)2，化为一般形式为 y＝8x2－16x＋8． 一年后 8(1－x) 两年后 y＝8(1－x)(1－x) 分析： 写二次函数解析式时,通常会进行展开化简，按自变量次数从高到低降幂排列． 解：（1）二次项系数为 8，一次项系数为－16，常数项为 8； （2）二次项系数为 1，一次项系数为 0，常数项为 0； （3）二次项系数为－ ，一次项系数为 5，常数项为 0； 1．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）y＝8x2－16x＋8； （2）y＝x2； （3）y＝－ x2＋5x； （4）y＝2(x－1)2－5． 若二次函数的一般形式中缺少某一项，则该项对应的系数为0. （3）的二次项系数应为-1/2 解：（4）去括号，得 y＝2x2－4x＋2－5． 合并同类项，得 y＝2x2－4x－3． 它的二次项系数为 2，一次项系数为－4，常数项为－3． 二次函数需先化为一般形式，再判断各项系数． 二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 1．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）y＝8x2－16x＋8； （2）y＝x2； （3）y＝－ x2＋5x； （4）y＝2(x－1)2－5． （3）的二次项系数应为-1/2 2．如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为 y m2，写出 y 关于 x 的函数解析式． 解：根据题意，得 y＝(30＋x)(20＋x)， 即 y＝x2＋50x＋600． 3．提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示． 解：答案不唯一．例如，一个直角三角形的两条直角边长之和为 10 cm，如果其中一条直角边的长为 x cm，求这个直角三角形的面积 y 关于 x 的函数解析式． 二次函数 概念 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数． 特殊形式 y＝ax2(a 是常数，a≠0) y＝ax2＋c(a，c 是常数，a≠0) y＝ax2＋bx(a，b 是常数，a≠0) 谢谢 $