专题04 位似多边形（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以位似多边形概念为核心，通过概念理解、图形辨析、作图应用三级题型，系统覆盖位似性质、相似比计算及坐标变换，强化几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位似概念|3题|结合相似性质判断，融入中点、位似比等条件|从位似与相似关系切入，建立概念认知| |图形辨析|8题|包含图形判断、变换类型识别、位似中心确定|通过正反例辨析，深化位似图形特征理解| |作图应用|8题|网格作图、坐标变换、相似比操作|从静态辨析到动态作图，实现知识应用迁移|

专题04 位似多边形 常考题型·精准突破 考点一 位似多边形 题型1 位似多边形的概念 题型2 位似图形的辨析 题型3 画位似图形、位似中心 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 位似多边形 ◆题型1位似多边形的概念 1．如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 【答案】B 【分析】本题考查位似图形与相似图形的关系、位似图形的性质（对应边平行、周长比等于位似比），运用逐一分析验证法．解题关键是明确位似图形是特殊的相似图形，且位似图形具有对应边平行、对应顶点连线交于位似中心等性质；易错点是混淆相似图形与位似图形的关系（误认为相似图形一定是位似图形）． 分别根据位似图形与相似图形的关系对四个选项进行分析判断即可． 【详解】选项A：位似图形是特殊的相似图形，所以若与是位似图形，则这两个三角形相似，A正确． 选项B：相似图形不一定是位似图形，位似图形需要对应顶点的连线相交于一点（位似中心），而相似图形不一定满足这一条件，所以若与是相似图形，不一定是位似图形，B错误． 选项C：若、、分别是、、的中点，则与是位似图形，位似比为，根据相似三角形的性质，周长比等于位似比，所以与的周长比为，C正确． 选项D：若与是位似图形，根据位似图形的性质，对应边平行，所以，D正确． 故选：B． 2．日常生活情境照相机是提升当代人生活幸福指数的设备之一.    如图是其工作原理图，两条光线与相机透镜的交点O即为位似中心，底片上的与实物是位似图形，且位似比为2，点A，C的对应点分别为，，若，则的长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质以及相似三角形的判定与性质． 根据位似图形的性质得到，，然后证明，再根据相似三角形性质求解即可． 【详解】解：∵底片上的与实物是位似图形，且位似比为2， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 3．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． ◆题型2 位似图形的辨析 1．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形，根据对应点的连线是否相交于一点即可判断求解，掌握位似图形的特点是解题的关键． 【详解】解：选项图形对应点的连线相交于一点，是位似图形，选项图形对应点的连线不会相交于一点，不是位似图形， 故选：． 2．下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 3．电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 【答案】A 【分析】本题考查图形变换的位似变换，特别是位似变换在实际场景（电影制作）中的应用． 【详解】首先分析题目中提到的电影制作中通过改变物体大小模拟远近变化这一现象； 然后依次回顾平移变换、对称变换、旋转变换和位似变换的定义和特点． 平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项不符合题意； 对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项不符合题意； 旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项不符合题意； 位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意． 故选A． 4．在平面直角坐标系中，把一个多边形的所有顶点坐标（其中有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别乘以所对应的图形与原图形是（    ） A．位似变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．平移变换 【答案】A 【分析】根据多边形的所有顶点坐标变化方式，判断即可． 【详解】由题可得，多边形的所有顶点坐标分别乘以 故原图形与新图形的对应点的坐标比为 又∵有一个顶点为原点 ∴新图形是原图形以原点为位似中心，相似比为，得到的位似图形 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握其性质是解题的关键． 5．如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（   ） A．位似中心是点B B．位似中心是点D C．相似比为 D．相似比为 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题关键是掌握位似图形的位似中心是对应点连线的交点，相似比是对应边的长度比，通过连接对应点和计算对应边长度比来解题． 根据位似图形的性质，连接对应点找到位似中心，再通过对应边的长度比确定相似比． 【详解】解：首先，连接对应点与、与、与，它们的交点即为位似中心． 假设每个小正方形的边长为，可得，． ∴相似比为： A、位似中心不是点，不符合题意； B、位似中心不是点，不符合题意； C、相似比为，符合题意； D、相似比不是，不符合题意． 故选：C． 6．把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点， 故选： 7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4） 【答案】B 【分析】如图，连接BF交y轴于P，根据位似图形的定义可得点P为位似中心，根据点B、F坐标可得点C、G坐标，可得CG的长，根据相似三角形的性质可求出GP的长，即可求出点P的坐标． 【详解】如图，连接BF交y轴于P， ∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，点B、F为对应点， ∴点P为位似中心， ∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）， ∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），BC=4，GF=2，OG=1， ∴CG＝3， ∵BC∥GF， ∴△BCP∽△FGP， ∴＝＝，PC=CG-PG， 解得：GP＝1， ∴OP=OG+GP=2， ∴点P的坐标为（0，2）， 故选：B． 【点睛】本题考查位似图形的定义、相似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义、熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 8．如图所示，小华在学习“位似”时，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图①中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由），点M的坐标为 ； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图②中给定的网格内画出． 【答案】(1) 解：如图，点即为所求作， (2) 当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 【分析】本题考查作图一位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）． （1）对应点连接的交点即为位似中心； （2）利用位似性质作图即可． 【详解】（1）解：连接，交点即为点，点的坐标为； 故答案为：； （2）略 9．如图，与位似，的延长线与的延长线交于点，点和点在线段上． (1)与的位似中心为点________． (2)若与的相似比为，，求的长． (3)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）位似图形的位似中心是对应点连线的交点，由图中可知交点为，因此位似中心为点． （2）根据与的相似比为，可以得到对应边成比例，即可求解的长． （3）根据相似三角形对应角相等可得到的值，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】（1）略． （2）解：与的相似比为， ． ， ． （3）解：与位似，， ． ， ． ◆题型3 画位似图形、位似中心 1．如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，相似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点，使． 【答案】(1)如图所示即为所作， (2)如图所示点即为所作， 【分析】（1）根据位似的定义解题； （2）通过构造相似三角形解题即可． 【详解】（1）解：图中，， ，， ∴， 又∵， ∴，且相似比为， 图略； （2）解：图中，，且， ∴， ∴， 图略． 2．已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 3．在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 【答案】(1)如图，即为所求 (2) (3)如图，点即为所求，理由如下： 取格点E、F，连接，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【分析】（1）将、分别延长一倍得到、，再连接即可； （2）根据题意得与的相似比为，再根据周长比等于相似比即可得解； （3）如图，取格点E、F，利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵将放大2倍得到， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比为； （3）解：略 4．在边长为的正方形的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）． (2)求的面积． (3)用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留画图痕迹） 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2) (3)如图所示，点即为所求． 【分析】（1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，然后画图即可； （2）分割法计算的面积即可； （3）过点、作，且满足，，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：． （3）解：过点、作，且满足，，连接，与的交点即为所求的点， ， ． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)以原点O为位似中心，在现有坐标系内，画出将三条边放大为原来的2倍后的． 【答案】(1)解：所求图形，如图所示； (2)解：所求图形，如图所示． 【分析】（1）先在坐标系中画出，再作出关于轴对称的即可； （2）根据位似三角形的性质，即可得到 【详解】（1）略 （2）略 6．詹记桃酥是合肥知名传统糕点，其历史可追溯至1896年清代光绪年间徽州府婺源县詹氏家族开设的手作传统糕点店，享有“宫廷桃酥”之美誉，品尝过詹记桃酥的游客纷纷赞道：“每一片桃酥都藏有惊喜，每一处詹记桃酥店都蕴含着‘皖’式魅力”．据报道，近期某詹记桃酥店推出了圆形和三角形两款桃酥，如图，将一块三角形桃酥放在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请画出； (2)画出关于轴对称的． 【答案】(1) 如图所示． (2)如图所示． 【分析】（1）根据位似图形的作图方法作图即可． （2）根据轴对称的作图方法作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 7．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中，，． (1)在图中标出外接圆圆心点N，圆的半径是 ； (2)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 ，与位似比为 ． 【答案】(1) 点N即为的外接圆的圆心， (2)， 【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想解决问题． （1）如图1，作线段，的垂直平分线交于点N，点N即为的外接圆的圆心，利用两点间距离公式计算即可； （2）如图2，由，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求． 【详解】（1）解：如图1，作线段，的垂直平分线交于点N， ， 故答案为：； （2）如图2， ∵， ∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求， 观察图象可知：， ∴与位似比为， 故答案为：，． 8．如图．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的； (2)以点O为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为， (3)若一边上的点与一边上的点H是对应点，则点H的坐标是______； (4)若与是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标． 【答案】(1)解：如图，即为所求作的三角形； (2) 解：如图，即为所求作的三角形； (3) (4) 解：如图所示，由的交点为Q， 所以与是关于点Q为位似中心的位似图形， 此时． 【分析】本题是相似三角形综合题，主要考查了作图-位似变换，平移变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）分别确定向左平移3个单位，向上平移1个单位后的对应点，再顺次连接，从而可得答案； （2）点O为位似中心，分别确定的对应点,再顺次连接即可得到答案； （3）根据位似图形的性质，把的坐标都乘以2，即可； （4）由的交点为Q，从而可得位似中心，再根据Q的位置可得点的坐标. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由位似图形的性质可知：点H的坐标是； （4）略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】首先得到，，然后由位似的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 2．下列说法正确的是（   ） A．旋转前后的两个图形中，旋转中心就是连接对应点的线段的垂直平分线的交点． B．平移前后的两个图形中，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． C．成轴对称的两个图形中，它们的对应线段所在直线一定相交，且交点一定在对称轴上． D．在平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k． 【答案】A 【分析】根据旋转，平移，轴对称，位似的基本概念，逐一辨析各选项的正误即可． 【详解】解：对选项A，∵旋转中心到任意一对对应点的距离相等， ∴旋转中心一定在每一条连接对应点的线段的垂直平分线上，所有垂直平分线的交点就是旋转中心，故A正确； 对选项B，平移前后，对应点所连的线段可能共线，不一定平行，故B错误； 对选项C，成轴对称的两个图形中，对应线段所在直线可能互相平行，不一定相交，故C错误； 对选项D，相似比为正数，将顶点横纵坐标都乘，所得图形与原图形的相似比为，不是，故D错误． 二、填空题 3．古书《墨子·天志》中记载：“执规矩以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则两点之间的距离为______________． 【答案】 【分析】位似图形一定是相似图形，可以得出四边形是正方形，利用相似比得出正方形的边长，利用正方形的性质和勾股定理即可进行求解． 【详解】解：连接， ∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 即， ∵四边形与正方形是位似图形，， ∴四边形是正方形，， ，， ． 4．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ， ， 与是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ∴， ， 的面积是4， ， ． 5．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 【答案】16 【分析】根据位似图形的性质得到，再证明即可． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，( ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 三、解答题 6．在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，则称p为这k个点的“平面特征值”，记为．如：点点，则，如图，正方形的边在x轴上，交y轴于点E，已知O为的中点，点B的坐标为．点为y轴上一动点，过点F作直线轴，与直线、的交点记为P，Q，请直接写出以及相应的b的取值范围． 【答案】 当或或或时，；当或时，；当时，； 【分析】根据正方形的性质，待定系数法，分类思想，求解即可； 【详解】解：根据题意，得正方形的边在x轴上，交y轴于点E，已知O为的中点，点B的坐标为， 点A的坐标为，， ， ，， 设的解析式为，根据题意，得， 解得， 故的解析式为， 此时与y轴的交点为， 当时，，解得， ， 设的解析式为，根据题意，得， 解得， 故的解析式为， 此时与y轴的交点为， 当时，，解得， ， 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 如图，当时，点的坐标为：,，，，，，，， ， ，此时； 综上所述，当或或或时，； 当或时，； 当时，； ． 7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，建立如图所示的平面直角坐标系，点的坐标为． (1)在如图的方格纸中把以点为位似中心扩大，使放大前后的相似比为，画出（与在位似中心点的两侧，的对应点分别是），点为外接圆的圆心，点的坐标为 ； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，则点经过的路径为 ． 【答案】(1) 如图所示，点，为所求， (2) 如图所示，为所求， 【分析】本题考查网格与作图—作位似图、旋转、图形与坐标变换、勾股定理、弧长公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）利用关于原点为位似中心的两图形的对应的坐标关系写出点的坐标，然后描点即可得到；再利用网格特点，作和的垂直平分线交于点，点即为得到的外接圆的圆心，然后写出点坐标即可； （2）利用旋转的性质即可画出，利用勾股定理求出，再利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：由题， 则点B的路径为， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 【答案】(1) 解：如图，点P就是位似中心； ； (2)；； (3) 解：如图，就是所求作的三角形． 【分析】本题考查了位似图形的作图，位似图形的性质，求格点三角形的面积，熟练掌握位似图形的作图及位似图形的性质是解题的关键． （1）连接，，根据位似图形的性质，即知两线段的交点P即为所求； （2）由图可直接得到点P的坐标；根据位似图形的性质，即可求得与的面积比；用正方形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据位似图形的性质，分别取，，的中点，，，连接，，即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，点P的坐标为； 根据图形可知，，， 与关于点P位似， 与的面积比为， ． 故答案为：；；． （3）略 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3 (2)存在，（1，5）或（1，﹣5） (3)（3，0）或 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）根据抛物线的对称性以及菱形的对称性求得点的坐标； （3）根据（2）的结论找到位似中心，分类讨论，根据相似的性质即可求解． 【详解】（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）在抛物线y＝ax2+bx+c上， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）根据题意为对称轴上的点，为的垂直平分线上的点， B（3，0） 则 当时，y＝﹣2+3+3=； 设直线PB的解析式为y＝mx+n， 则有， 解得． ∴直线PB的解析式为y＝x+． ∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1， ∴xQ＝1，yQ＝×1+＝5， ∴点Q的坐标为（1，5） 根据对称性点Q坐标还可以为（1，﹣5）． （3）①如图，由（2）可得△QAB△POB，△QAB与△POB位似，则， 又交于点,则位似中心为点B，点B的坐标为（3，0）． ②如图，若当Q点坐标（1，﹣5）时,设与轴的交点为，则位似中心为， 由（2）可得△QAB△POB，则， 又 ，， 解得 则当Q点坐标（1，﹣5）时，位似中心坐标为（，0）； 综上所述，位似中心坐标为（3，0）或（，0） 【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形的性质与判定，翻折的性质，菱形的性质，位似图形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“创新点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“创新点”P为“拔尖创新点”． (1)求函数的图象上所有“创新点”的坐标； (2)若点为“拔尖创新点”，求； (3)若已知关于的一次函数（为整数，）的图象上存在两个不同的“拔尖创新点”、，且满足，试问该函数的图象与坐标轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“创新点”？ 【答案】(1) (2)或或 (3)该函数图象与坐标轴围成的平面图形中（含边界），共个“创新点”． 【分析】（1）根据创新点定义，x和y均为整数，因为是无理数，所以只有当x的系数对应的项为0时，y才能为整数，以此确定x的取值，再代入函数求y； （2）根据拔尖创新点定义，首先确认点的横纵坐标均为整数，因为和均为整数且乘积不为0，所以为整数，设该整数为k，转化为整除问题求解a的可能值； （3）首先根据拔尖创新点定义，为整数，将函数表达式代入该比值，通过分离常数转化为整除问题，得到x与t的关系；再结合的条件，代入函数关系推导t的取值；最后确定t对应的函数表达式，求出函数与坐标轴的交点，枚举交点及围成区域内的整数点，统计创新点个数． 【详解】（1）解：∵是整数， 当时，是一个无理数， ∴时，一定不是整数， 当时，， 即函数的图象上“创新点”的坐标是． （2）∵点为“拔尖创新点” ∴为整数，且，， 即，， 设，即， ∵为整数， ∴， ∴或， ∴或或． （3）设、是两个“拔尖创新点”（ ，，，均为非零的整数）， ∵， ∴， 整理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ①若，， 则图象经过点、， ∴该直线解析式为， ∴， 解得， ∵， 故不合题意，舍去； ②若，， 则图象经过点、， ∴该直线解析式为， ∴， 解得， ∵， 故不合题意，舍去； ③若，， 则图象经过点、， 代入函数， ∴，， ∵，均为非零的整数， ∴，， ∴或或， ∵， 且当时，函数解析式为， ∴该函数的图象与坐标轴没有围成平面图形， 故， ∴， ∴， ∴该函数图象与坐标轴围成的平面图形中（含边界），一共含有：个“创新点”， ④若，， 则图象经过点、， 代入函数， ∴，， ∵，均为非零的整数， ∴，， ∴或或， 同上，可得，故结论和③相同， ∴该函数图象与坐标轴围成的平面图形中（含边界），一共含有个“创新点”． 11．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，，那么我们称点是点，的“三分点”． （1）若点，的“三分点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）若点，的“三分点”是点，当点、、围成的三角形与直线没有公共点时，求的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：（1），，三分点， ，， 解得，， ； （2）点，的“三分点”是点， 点的坐标为，． 将代入得， ， 点在直线的右上方． 与直线没有公共点， 在直线的右上方， 则且， 解得， 的取值范围是． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B；与y轴交于点C，点A的横坐标为． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标； (3)设点N在第二象限的反比例函数图象上，点P在x轴上，设点，连接，，，，，若，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入解析式可求得A的坐标值，代入解析式可求得k值，即可求得解析式. （2）根据题意，得,过点A作交y轴于点D，从而得证，解得，求得，解答即可． （3）设直线的解析式为，确定直线的解析式为，设直线与x轴的交点为Q，则，过点Q作轴于点Q，设直线与双曲线的交点为点N，此时，，故点，在x轴上截取，交x轴于点P，连接，则直线是线段的垂直平分线，证明，则点即为所求． 【详解】（1）解：把点代入解析式 得， 故， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 解得； （2）解：令，得， ， ， 由，得， 由， 解得， ， ∴,, ∴, 过点A作交y轴于点D， ∴， 此时与位似且位似中心为点C，符合题意， ∴， ∴， 解得， ∴， 故. （3）解：设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与x轴的交点为Q， 令，则， 解得， 故， ∴， ∴， 过点Q作轴于点Q，设直线与双曲线的交点为点N， 此时，， 故点， 在x轴上截取，交x轴于点P，连接，则， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故点． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键. 13．如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． (3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【答案】(1) 解：如图，即为所求作的三角形； ； (2) 解：如图，点M就是所求的点； ； (3) 解：如图，点D就是所求的点． ． 【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求； （2）取格点C和点D，使，，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，可得，所以点M就是所求的点； （3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 14．已知抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），它的对称轴为直线l，顶点C的坐标是． (1)该抛物线的表达式是 ，点A和点B的坐标分别是 ． (2)与关于直线l上一点P位似，且位似比为2，、、分别是点A、B、C的对应点，且点、也在（1）中的抛物线上，求出满足条件的P点坐标； (3)与关于原点位似，且位似比为2，D、E、F分别是点A、B、C的对应点．若将（1）中的抛物线沿x轴、y轴左右、上下平移后得到抛物线恰好经过点D、E，请你说说如何平移可以满足要求． 【答案】(1)；， (2)点P的坐标为或 (3)原抛物线向右平移3个单位长度，向下平移12个单位长度，或向左平移9个单位长度，向下平移12个单位长度可以满足要求． 【分析】（1）根据抛物线的顶点C的坐标是，得到抛物线为，从而得到，求出a的值，得到抛物线的表达式，令，即可求出点A，B的坐标； （2）由点，得到，根据位似得到．分两种位似情况（A字形位似，8字形位似）分别讨论：①（A字形位似）根据点，点在抛物线上，关于对称轴对称，得到，， 设对称轴与的交点为点D，与的交点为点，因此，根据位似得到，即，即可求出，得到．②（8字形位似）由①同理可求解； （3）根据关于原点位似的点的坐标变化得到，， 或，，．分两种情况讨论：先求出过点D，E的抛物线解析式，由解析式即可得出平移方式与距离． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点C的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为． 令，则，解得，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵与关于直线l上一点P位似，且位似比为2， ∴， ①如图，若与关于点P成位似， ∵点，点在抛物线上， ∴点，点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入抛物线，得， ∴，， 设对称轴与的交点为点D，与的交点为点， 则 ∵若与关于点P成位似， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ②如图，若与关于点P成位似， 由①同理可得，，， ∵，即， ∴， ∴， ∴ 综上所述，点P的坐标为或． （3）解：∵与关于原点位似，且位似比为2， 且，， ∴，， 或，，． ①当，，时， 经过平移，经过点，的抛物线解析式为， ∵原抛物线为， ∴原抛物线向右平移3个单位长度，向下平移12个单位长度可满足要求． ②当，，时， 经过平移，经过点，的抛物线解析式为， ∵原抛物线为， ∴原抛物线向左平移9个单位长度，向下平移12个单位长度可满足要求． 综上所述，原抛物线向右平移3个单位长度，向下平移12个单位长度，或向左平移9个单位长度，向下平移12个单位长度可以满足要求． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，位似，中心对称，二次函数图形的平移等，掌握位似与中心对称，运用分类讨论思想是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线M1：顶点为A（1，2），与y轴交于点，点B关于对称轴对称的点为C． (1)求抛物线M1的表达式和点C的坐标． (2)以坐标原点为位似中心，在第一象限内作△ABC的位似△A′B′C′，其中点A、B、C的对应点分别是A′、B′、C′，△ABC与A′B′C′的位似比为1：2，过A′、B′、C′三点的抛物线记作M2，点D在抛物线M2上，E是坐标平面内一点，若以A′、B′、D、E为顶点的四边形是矩形，且A′B′是矩形的一条边，求点D坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据题意代入点，点即可求得二次函数解析式，关于直线对称的点的特征即可求得点C的坐标． （2）由位似的性质求出A′，B'，C'，再由待定系数法求出抛物线：，设，，分两种情况讨论：①当A′D为矩形的对角线时，A′D=B′E，可得；②当A′E为矩形对角线时，A′E=B′D，可得或，即可得出答案． 【详解】（1）解：把，点代入得， 解得， 抛物线M1的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 点B关于对称轴对称的点为C， 点的坐标为． （2）∵△ABC与△A′B′C′的位似比为， ∴A'，B′，C′， 设过A′、B'、C′三点的抛物线记作解析式为， ， 解得， ， 设，， ①当A′D为直角边时， 则kA′B′kA′D， ∵kA′B′， ∴kA′D， 此时，直线A′D的解析式为， 联立方程组， 解得或（舍去）， ， ②当B′D为一条直角边时， 此时，kA′B′kB′D， kA′B′， ∴kB'D=1， 直线B'D的解析式为， 联立方程组，解得或（舍去）， ， 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质和分类讨论思想是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 位似多边形 常考题型·精准突破 考点一 位似多边形 题型1 位似多边形的概念 题型2 位似图形的辨析 题型3 画位似图形、位似中心 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 位似多边形 ◆题型1位似多边形的概念 1．如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 2．日常生活情境照相机是提升当代人生活幸福指数的设备之一.    如图是其工作原理图，两条光线与相机透镜的交点O即为位似中心，底片上的与实物是位似图形，且位似比为2，点A，C的对应点分别为，，若，则的长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．18 3．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． ◆题型2 位似图形的辨析 1．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 3．电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 4．在平面直角坐标系中，把一个多边形的所有顶点坐标（其中有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别乘以所对应的图形与原图形是（    ） A．位似变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．平移变换 5．如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（   ） A．位似中心是点B B．位似中心是点D C．相似比为 D．相似比为 6．把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4） 8．如图所示，小华在学习“位似”时，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图①中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由），点M的坐标为 ； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图②中给定的网格内画出． 9．如图，与位似，的延长线与的延长线交于点，点和点在线段上． (1)与的位似中心为点________． (2)若与的相似比为，，求的长． (3)若，，求的度数． ◆题型3 画位似图形、位似中心 1．如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，相似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点，使． 2．已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 3．在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 4．在边长为的正方形的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）． (2)求的面积． (3)用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留画图痕迹） 5．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)以原点O为位似中心，在现有坐标系内，画出将三条边放大为原来的2倍后的． 6．詹记桃酥是合肥知名传统糕点，其历史可追溯至1896年清代光绪年间徽州府婺源县詹氏家族开设的手作传统糕点店，享有“宫廷桃酥”之美誉，品尝过詹记桃酥的游客纷纷赞道：“每一片桃酥都藏有惊喜，每一处詹记桃酥店都蕴含着‘皖’式魅力”．据报道，近期某詹记桃酥店推出了圆形和三角形两款桃酥，如图，将一块三角形桃酥放在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请画出； (2)画出关于轴对称的． 7．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中，，． (1)在图中标出外接圆圆心点N，圆的半径是 ； (2)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 ，与位似比为 ． 8．如图．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的； (2)以点O为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为， (3)若一边上的点与一边上的点H是对应点，则点H的坐标是______； (4)若与是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 2．下列说法正确的是（   ） A．旋转前后的两个图形中，旋转中心就是连接对应点的线段的垂直平分线的交点． B．平移前后的两个图形中，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． C．成轴对称的两个图形中，它们的对应线段所在直线一定相交，且交点一定在对称轴上． D．在平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k． 二、填空题 3．古书《墨子·天志》中记载：“执规矩以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则两点之间的距离为______________． 4．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 5．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 三、解答题 6．在平面直角坐标系中，是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，则称p为这k个点的“平面特征值”，记为．如：点点，则，如图，正方形的边在x轴上，交y轴于点E，已知O为的中点，点B的坐标为．点为y轴上一动点，过点F作直线轴，与直线、的交点记为P，Q，请直接写出以及相应的b的取值范围． 7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，建立如图所示的平面直角坐标系，点的坐标为． (1)在如图的方格纸中把以点为位似中心扩大，使放大前后的相似比为，画出（与在位似中心点的两侧，的对应点分别是），点为外接圆的圆心，点的坐标为 ； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，则点经过的路径为 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 10．在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“创新点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“创新点”P为“拔尖创新点”． (1)求函数的图象上所有“创新点”的坐标； (2)若点为“拔尖创新点”，求； (3)若已知关于的一次函数（为整数，）的图象上存在两个不同的“拔尖创新点”、，且满足，试问该函数的图象与坐标轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“创新点”？ 11．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，，那么我们称点是点，的“三分点”． （1）若点，的“三分点”的坐标是，则点的坐标是______； （2）若点，的“三分点”是点，当点、、围成的三角形与直线没有公共点时，求的取值范围是______． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B；与y轴交于点C，点A的横坐标为． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标； (3)设点N在第二象限的反比例函数图象上，点P在x轴上，设点，连接，，，，，若，求点N的坐标． 13．如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． (3)在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 14．已知抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），它的对称轴为直线l，顶点C的坐标是． (1)该抛物线的表达式是 ，点A和点B的坐标分别是 ． (2)与关于直线l上一点P位似，且位似比为2，、、分别是点A、B、C的对应点，且点、也在（1）中的抛物线上，求出满足条件的P点坐标； (3)与关于原点位似，且位似比为2，D、E、F分别是点A、B、C的对应点．若将（1）中的抛物线沿x轴、y轴左右、上下平移后得到抛物线恰好经过点D、E，请你说说如何平移可以满足要求． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线M1：顶点为A（1，2），与y轴交于点，点B关于对称轴对称的点为C． (1)求抛物线M1的表达式和点C的坐标． (2)以坐标原点为位似中心，在第一象限内作△ABC的位似△A′B′C′，其中点A、B、C的对应点分别是A′、B′、C′，△ABC与A′B′C′的位似比为1：2，过A′、B′、C′三点的抛物线记作M2，点D在抛物线M2上，E是坐标平面内一点，若以A′、B′、D、E为顶点的四边形是矩形，且A′B′是矩形的一条边，求点D坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01位似多边形 常考题型精准突破 ●考点一位似多边形● ◆题型1位似多边形的概念 1.B 2.B 3.C ◆题型2位似图形的辨析 1.C 2.B 3.A 4.A 5.C 6.C 7.B 8.(1) 解：如图，M点即为所求作， B 7-6 43-2-1O 345主 B (0,2) (2) 当点B,在第三象限时，△4，B,C2如下图所示： 1/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y B 4 A2 3 2 C 764率1245 2B2 B 3 当点B在第一象限时，△4，BC2如下图所示： A S 4 2 7-654-3-2-10 9.(1)0 (2)6 (3)60° 【详解】(1)略. (2)解：：△ABC与ADEF的相似比为2， AC 1 六DF2 AC=3, ∴.DF=2AC=6 (3)解：：△ABC与△DEF位似，∠E=40° ∴.∠ABC=∠E=40° :∠0=20°， ∴.∠BCF=∠ABC+∠0=40°+20°=60° ◆题型3画位似图形、位似中心 1.【答案】(1)如图所示△4BC即为所作， 2/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 (2)如图所示点P即为所作， D 图2 【详解】(1)解：图中CA=V22+12=5,CA=V42+22=2√5， CB=VP+1P=V2,CB=V22+2=2W2, CA CB 1 CA CB 2' 又：∠ACB=∠ACB, .△ACB∽aACB,且相似比为1：2， 图略： (2)解：图中AD=2,BE=3,且AD‖BE ∴.△ADPr△BEP, AP AD 2 PBBE3' 图略 2. 【答案】(1) C 图1 3/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) B2 图2 (3) 3 图3 3. 【答案】（①）如图，△AB,C即为所求 (2)1:2 (3)如图，点M即为所求，理由如下： B, 月B时 E℃ 取格点E、F,连接EF,交AB于点M, BF∥AE, .△BFM∽△AEM, 4/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BM BF 1 AMAE3' ∴.点M即为所求. 【详解】(1)解：略 (2)解：：将△ABC放大2倍得到△4BC, .△ABC与△ABC的相似比为1：2， .△ABC与△ABC的周长之比为1：2： (3)解：略 4. 【答案】()如图所示，△4BC即为所求： E (2)16 (3)如图所示，点P即为所求。 【详解】(1)略 (2)解：S4c=10x4-)×4×4-号x6x2-)×10x2=40-8-6-10=16. 2 2 2 (3)解：过点A、B作AF‖BE,且满足BE=3,AF=4,连接EF,与AB的交点即为所求的点P, ∴.AB,EP△AFP」 BP BE 3 APAF4· 5. 【答案】(1)解：所求图形，如图所示： 5129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B A .0 1 (2)解：所求图形，如图所示. B 0 6. 【答案】(1) △4BC如图所示. (2)△4，B,C2如图所示. 6/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 【答案】(1) 点N即为△ABC的外接圆的圆心， y 9 8 3 E 1 234567x 5 ②3,6)，2 【详解】(1)解：如图1，作线段AB,BC的垂直平分线交于点N, NC=V22+1P=5, 故答案为：V5: (2)如图2， 9 B 8 4 D E 12 34567 .△ABC∽△DEF, ∴，点A与点D,点B与点E,点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求， 7129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 观察图象可知：M(3,6), AB 2 1 ·AABC与ADEF位似比为DE=42: 故答案为：(3,6)， 8. 【答案】1)解：如图，△4OB即为所求作的三角形： (2) 解：如图，△4，OB,即为所求作的三角形： (3)(2m,2n) 4) 解：如图所示，由A4,BB,的交点为Q, 所以△4，OB,与△4OB是关于点Q为位似中心的位似图形， 此时(-6,2)」 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1. 【答案】B 8/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：B(-4,0),D(2,0), ..OB=4,OD=2 ,△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形， ∴.△OAB∽△OCD OA OB 4 ·0C0D2 =2 2. 【答案】A 【详解】解：对选项A,,旋转中心到任意一对对应点的距离相等， ∴.旋转中心一定在每一条连接对应点的线段的垂直平分线上，所有垂直平分线的交点就是旋转中心，故A 正确： 对选项B,平移前后，对应点所连的线段可能共线，不一定平行，故B错误： 对选项C,成轴对称的两个图形中，对应线段所在直线可能互相平行，不一定相交，故C错误： 对选项D,相似比为正数，将顶点横纵坐标都乘k(k≠0)，所得图形与原图形的相似比为k,不是k,故 D错误， 二、填空题 3. 【答案】4√2 【详解】解：连接AC, .正方形ABCD的面积为4， ∴正方形ABCD的边长为2， 即AB=2, :四边形A'B'CD与正方形ABCD是位似图形，AB:AB'=I:2, ∴四边形AB'CD'是正方形，A'B=4, .∠AB'C'=90°，B'C=A'B=4, 9129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .A'C'=VAB2+B'C2=V4+42=42 4. 【答案】 0 【详解】解：OA:AD=2:l, ∴.OA:0D=2:3 :△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴.△ABC∽△DEF,ABIDE, ∴.AOABAODE AB OA2 ·DEOD3' 0A2_4 0D=9 :△ABC的面积是4， 44 S.DEF 9 SADEF=9 5. 【答案】16 【详解】解：：五边形ABCDE,A'B'CDE是以坐标原点O为位似中心的位似图形，己知点A,A的坐 标分别为(5,0)，(8,0) .0A=5,OM=8 OA OE OD 5 ∴0A0E-0D8 .∠DOE=∠D'OE', .△DOE∽△D'OE', DE OE ·DEOE 105 DE8 .D'E=16 10/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 6 【答案】 当b<0或0<b<4或4<h<8或b>8时，T<4,B,C,D,E,F,P,Q>=8:当b0或b-8时， T<4,B,C,D,E,F,P,Q>=5:当b=4时，T<A,B,C,D,E,F,P,O>=6: 【详解】解：根据题意，得正方形ABCD的边AB在x轴上，CD交y轴于点E,己知O为AB的中点，点B 的坐标为(4,0)， :点A的坐标为(4,0)，AB=4-(4)=8, .AB=BC=CD=DA=8. .C(4,8),D(-4,8), 「-4k+1=0 设AC的解析式为y=:+1根据题意，得4k+1=8, k=1 解得1t=4' 故AC的解析式为y=x+4, 此时与y轴的交点为(0,4)， 当y=b时，x+4=b,解得x=b-4, .P(b-4,b), 「4s+d=0 设BD的解析式为y=x+d:根据题意，得4s+d=8 「s=-1 解得1d=4 故BD的解析式为y=-x+4, 此时与y轴的交点为(0,4)， 当y=b时，-x+4=b,解得x=4-b, .2(4-b,b), 如图，当b<0时，点的坐标为：A(-4,0),B(4,0),C(4,8),D(4,8),E(0,8),F(0,b),P(b-4,b) g(4-b,b), ∴.m=5,n=3 11/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴p=m+n=8,此时T<A,B,C,D,E,F,P,O=8; D 如图， 当b0时，点的坐标为：A(-4,0),B(4,0),C(4,8),D(-4,8),E(0,8),F(0,0),P(-4,0), 2(4,0), D C A(P) O(F) BO .m=3,n=2 p=m+n=5,此时T<A,B,C,D,E,F,P,Q>=5: 如图，当0<b<4时，点的坐标为：A(-4,0),B(4,0),C(4,8),D(-4,8),E(0,8),F(0,b),P(b-4,b), 2(4-b,b). E D P B ∴.m=5,n=3 p=m+n=8,此时T<4,B,C,D,E,F,P,Q>=8； 如图，当b=4时，点的坐标为：A(-4,0),B(4,0),C(4,8),D(4,8),E(0,8),F(0,4),P(0,4), 9(0,4), 12/29 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y E D P B x .m=3,n=3 p=m+n=6,此时T<A,B,C,D,E,F,P,Q>=6: 如图，当4<b<8时，点的坐标为：A(-4,0),B(4,0),C(4,8),D(4,8),E(0,8),F(0,b),P(b-4,b), 2(4-b,b), D 3.m=5,n=3 “p=m+n=8,此时T<A,B,C,D,E,F,P,>=8； 如图，当b-8时，点的坐标为：A(-4,0),B(4,0),C(4,8),D(4,8),E(0,8),F(0,8),P(4,8), 0(-4,8), B 衣：m=3,n=2 p=m+n=5,此时T<4,B,C,D,E,F,P,OP=5: 如图，当b>8时，点的坐标为：A(-4,0),B(4,0),C(4,8),D(4,8),E(0,8),F(0,b),P(b-4,b), 9(4-b,b), 13/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YA Q D B 0 .m=5,n=3 p=m+n=8,此时T<A,B,C,D,E,F,P,Q>=8, 综上所述，当b<0或0<b<4或4<b<8或b>8时，T<A,B,C,D,E,F,P,Q>=8 当b0或b=8时，T<A,B,C,D,E,F,P,Q>=5； 当b=4时，T<4,B,C,D,E,F,P,Q>=6」 7. 【答案】(1) 如图所示，点P,△4BG为所求，(3,1) (2)V2元 如图所示，△4，BC为所求， 61 C B 654-2 4/P 68 B B2 8 【答案】(1) 解：如图，点P就是位似中心； 14/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 7 B 5 B 4 3 B 2 1 A 01234567891011x 13 (2)(4,5)4:2 (3) 解：如图，△A"BC”就是所求作的三角形. 【详解】(1)略 (2)解：由图可知，点P的坐标为(4,5)： 根据图形可知，CP=2,C"P=4, :△ABC与△AB'C关于点P位似， aAc与△TBc的为[)-()-号 SMc=2x2-x1x1-x1x2-x1x2=3 13 故答案为：(4,5)：4：2 (3)略 9. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)存在，(1,5)或(1，-5) 因a,0支[0 【详解】(1)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)在抛物线y=2+br+c上， a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3 15/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=-1 解得 b=2 c=3 ∴.抛物线的解析式为y=-x2+2x+3: (2)根据题意Q为对称轴上的点，P为OB的垂直平分线上的点， B(3,0) 则20+3)- 2 3 当x 2时，y= 43*3=15 : 信》 设直线PB的解析式为y=x+n, [3m+n=0 则有3 15 m+n= 4 ( 5 m=- 解得 2 15· n= 2 515 ∴直线PB的解析式为y= 2t+ 2 2 抛物线的对称轴为x=~2x=1, 515 ∴xg=1,g=2×1+2=5, .点2的坐标为(1,5) 根据对称性点Q坐标还可以为(1，-5). (3)①如图，由(2)可得△OAB∽△POB,△OAB与△POB位似，则∠PBO=∠QBA, .AOlIPB 又AO,QP交于点B,则位似中心为点B,点B的坐标为(3,0)· 16/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B ②如图，若当Q点坐标(1，-5)时，设PQ与x轴的交点为D,则位似中心为D, 由(2)可得△OAB∽△POB,则∠PBO=∠QBA, y以 P OD/ Q .AOlIPB ∴.△PBDP△QAD PB BD AO AD 又△QABAPOB PB OB AO BA BD OB AD AB -g9)o-.406 3-a_3 .a+14 17/29 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 解得a=7 则当点坐标(1，-5)时，位似中心D坐标为(7,0)： 9 综上所述，位似中心坐标为(3,0)或(7,0) 【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形的性质与判定，翻折的性质，菱形的性质，位似图形的性质， 掌握以上知识是解题的关键。 10 【答案】(1)(0,1) (2)a=-5或a=-3或a=-1 (3)该函数图象与坐标轴围成的平面图形中（含边界），共49个“创新点”. 【详解】(1)解：，x是整数， 当x≠0时，√2x是一个无理数， .x≠0时，V2x+1一定不是整数， 当x=0时，y=1, 即函数y=V2x+1的图象上“创新点”的坐标是(0，) (2):点P(2a+4,a-)为“拔尖创新点” ∴.a为整数，且2a+4≠0，a-1≠0， 即a≠-2，a≠1， 0=kk≠0)，即a=-2+,3 设2a+4 1-2k a为整数， .1-2k=t1,±3， k=1或2， ∴.a=-5或a=-3或a=-1」 (3)设(：，m、（:,m)是两个“拔尖创新点”（x,七，m,m均为非零的整数)， +=x+x3, .+y2=mx2+mx=x+x号， 整理得x2(m2-)+2(m,2-1)=0, 18/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+0,x2≠0， .m-1=0,m-1=0, m2=m=1. m=±1，m2=t1 ①若m=1,m2=1, 则图象经过点(，x)、(,), ∴.该直线解析式为y=x, 1-3=1,21+2=0 解得1=4,1=-1， 4≠-1， 故不合题意，舍去； ②若m=-1,m2=-1， 则图象经过点(x,-)、(x,-x), ∴该直线解析式为y=-x, .1-3=-1,21+2=0 解得t=2,t=-1, 2≠-1， 故不合题意，舍去： ③若m=1,m2=-1, 则图象经过点(x,x)、(x,-x), 代入函数y=(t-3)x+2t+2, =21+2-2+10， .x=4-1 =2+2=-2+76 +4-=2-1 2-t' x,均为非零的整数， .4-t=±1，+2，±5，±10,2-1=±1，±2，+3,6 .1=5或1=3或t=-1, t≠3， 且当=-1时，函数解析式为y=-4x .该函数的图象与坐标轴没有围成平面图形， 19129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故t≠-1， 1=5, y=2x+12 “该函数图象与坐标轴围成的平面图形中（含边界），一共含有：1+3+5+7+9+11+13=49个“创新 点”， ④若m1=-1,m2=1, 则图象经过点(，-x)、(x,x) 代入函数y=(-3)x+21+2, -21+2-2+6. x=2-1 2524+2*0 4-t ,,七2均为非零的整数， .4-t=±1,2，±5，±10,2-1=1，+2，+3,6 ∴1=5或1=3或1=-1， 同上，可得1=5，故结论和③相同， ∴，该函数图象与坐标轴围成的平面图形中（含边界），一共含有49个“创新点”. 11. 【答案】 (9,6) n> 4 【详解】解：(1)P(0,0),(s,,三分点N3,2), 3=0+3,2=0t 3， 3’ 解得s=9,1=6, ∴2(9，-6)： (2)点M(2,7),N3n,2n+l)的“三分点”是点R, 3n+2-2n+6 :点R的坐标为3， 3 将x=2代入y=-2x+5得， y=-2×2+5=1<7 .点M在直线y=-2x+5的右上方. 20/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 7 M 与直线 没有公共点， 4321,012官456龙 2水 -4 .MNR y=-2x+5 AMNR在直线y=-2x+5的右上方， -2m+6>-2×3n+2+5, 则2n+1>-2x3n+5且3 3 5 解得n> 4, 5 的取值范围是n> 4 12. 【答案】(1)6 eo 到 【详解1（山解：把点x2代入解折式）=方+2 得y=3, 故A(-2,3), :反比例函数y=x的图象过点A, 3 -2’ 解得k=6: (2)解：令x=0得y=-7x+2=2 21/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C0,2), .0C=2, 由k=6,得y=6 x 61 由x“2 +2, 解得x=-2,x2=6 .B(6,-1) 4C=V-2-0'+3-2}=V5,BC=V6-0+-1-2}=35, AC5-1 BC3531 过点A作AD‖OB交y轴于点D, ∴.△CAD∽aCBO, 此时△ADC与△BOC位似且位似中心为点C,符合题意， CD AC 1 CO-BC3' CD 1 .23 解附CD子 0D=0C+CD=8 B -2 (3)解：设直线AM的解析式为y=Px+b, 22/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「-2p+b=3 根据题意， 得1b=5 p=1 解得1b=5’ ∴直线AM的解析式为y=x+5, 设直线AM与x轴的交点为O, 令y=0,则x+5=0, 解得x=-5, 故(-5,0) .00=OM=5】 .∠0QM=OMg=45°， 过点Q作QN1x轴于点Q,设直线与双曲线的交点为点N, 此时y=-6、6 x5,∠WQM=∠O0M=OMQ=45°， 数点5》. 在x轴上截取P=QN,交x轴于点P,连接PW,则QM⊥NP, ∴直线QM是线段NP的垂直平分线， .AN=AP,MIN MP 「AM=AM .AN =AP MN=MP .△WMA≌aPMA(SSS). 故点5到 23/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，三 角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键 13 【答案】(1) 解：如图，△4BC即为所求作的三角形： (2) 解：如图，点M就是所求的点： A B 3) 解：如图，点D就是所求的点。 B 14 【答案】()y=x2-6x+5:A1,0),B(5,0) 24/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点P的坐标为(3，-12)或(3,4) (3)原抛物线向右平移3个单位长度，向下平移12个单位长度，或向左平移9个单位长度，向下平移12个 单位长度可以满足要求， 【分析】(1)根据抛物线的顶点C的坐标是3,4)，得到抛物线为y=a(x-3)-4=a2-6ac+9a-4,从 而得到9a-4=5,求出a的值，得到抛物线的表达式，令y=0,即可求出点A,B的坐标； (2)由点A1,0),B(5,0)得到AB=4,根据位似得到AB=2AB=8.分两种位似情况(A字形位似，8 字形位似)分别讨论：①(A字形位似)根据点A,点B在抛物线y=x-6x+5上，关于对称轴x=3对 称，得到4(-1,12)，B'(7,12),设对称轴x=3与4B的交点为点D,与AB的交点为点D,因此 PD' DD-12根据位似得到PD2,即DPD2 知PD+DD-2,即可求出D=12得到P6,-2).@（8学形粒 似)由①同理可求解： (3)根据关于原点位似的点的坐标变化得到D(2,0),E(10,0),F(6,-8) 或D(-2,0),E(-10,0),F(-6,8).分两种情况讨论：先求出过点D,E的抛物线解析式，由解析式即可 得出平移方式与距离， 【详解】(1)解：：抛物线y=a心2+bx+5顶点C的坐标是3，-4)， ∴.y=a(x-3-4, y=a(x-3)2-4=ar2-6ar+9a-4 .9a-4=5, a=1, “抛物线解析式为y=(x-3)2-4=x2-6x+5. 令y=0,则x2-6x+5=0,解得x=1,2=5, A1,0),B(5,0): (2)解：：A,0),B(5,0), .AB=4, △AB'C'与△ABC关于直线I上一点P位似，且位似比为2， .A'B'=24B=8. ①如图，若△AB'C'与△ABC关于点P成位似， 25/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y B ADIB :点A,点B在抛物线y=x-6x+5上， ∴点A,点B关于对称轴x=3对称， ∴点的横坐标为3-4=-1，点B的横坐标为3+4=7， 把x=-1代入抛物线y=x2-6x+5,得y=12, .A'(-1,12).B'(7,12) 设对称轴x=3与AB的交点为点D,与AB的交点为点D', 则DD'=12 ,若△AB'C'与△ABC关于点P成位似， PD :.PD PD+DD=2. =2,即PD PD+12=2, :.PD .PD=12, …P(3,-12) ②如图，若△AB'C'与△ABC关于点P成位似， B B 由①同理可得A'(7,12),B(-1,12),DD=12, 26129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PD' 2,即 '-PD=2, PD 12-PD=2, :.PD .PD=4, .P(3,4) 综上所述，点P的坐标为(3，-12)或(3,4)」 (3)解：：△DEF与△ABC关于原点位似，且位似比为2， 且A1,0),B(5,0),C3,-4) D(2,0),E10,0),F(6,-8) 或D(-2,0),E(-10,0),F(6,8). ①当D(2,0),E(10,0),F(6,-8)时， 经过平移，经过点D(2,0),E10,0)的抛物线解析式为y=(x-2)(x-10)=(x-6}-16, :原抛物线为y=(x-3)}-4, ,原抛物线向右平移3个单位长度，向下平移12个单位长度可满足要求. ②当D(-2,0),E(-10,0),F(6,8)时， 经过平移，经过点D(-2,0),E(-10,0)的抛物线解析式为y=(x+2)(x+10)=(x+6-16, :原抛物线为y=(x-3}-4, ∴原抛物线向左平移9个单位长度，向下平移12个单位长度可满足要求. 综上所述，原抛物线向右平移3个单位长度，向下平移12个单位长度，或向左平移9个单位长度，向下平 移12个单位长度可以满足要求。 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，位似，中心对称，二次函数图形的平移等，掌握位似与中心对称， 运用分类讨论思想是解题的关键， 15. 【答案】(1)y=x2-2x+3,(0,-3) (2)(4,6)或(6,12) 【详解】(1)解：把A,2),点B(0,3)代入y=x2+b+c得， 27/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [2=1+b+c [b=-2 3=c 解得 c=3· ∴抛物线M的表达式为y=x2-2x+3, .抛物线的对称轴为直线x= b-2=1, 2a2 点B关于对称轴对称的点为C, ∴·点C的坐标为(2,3) (2),△ABC与△ABC的位似比为1：2， A'(2,4),B(0,6,C(4,6) 设过A'、B'、C'三点的抛物线记作M2解析式为y=ar2+mx+n, 4a+2m+n=4 n=6 16a+4m+n=6 1 a22 解得 {m=-2 n=6 ∴.y=。x2-2x+6 2 设Dt,2-21+6,Ex, ①当A'D为直角边时， 则KAB KAD=1, 6-4=-1 :ka8-0-2 k4D=1, 此时，直线A'D的解析式为y=x+2, 1 y=x2-2x+6 联立方程组 y=x+2 x=4「x=2 解得y=6或y=4（舍去)， ∴.D(4,6) 28/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当B'D为一条直角边时， 此时，KAB KBD=-l, k4B=1, .kBD-1, .直线BD的解析式为y=x+6, y= x2-2x+6 联立方程组 21 解得x=6或x=0(舍去)， y=x+6 y=12y=6 .D(6,12), 综上所述：点D的坐标为(4,6)或(6,12) 29129