第26章二次函数单元测试卷-2026-2027学年人教版九年级数学上册

2026-2027学年人教版九年级数学上册第26章二次函数单元测试卷 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．与轴有两个不同的交点 D．当时，随的增大而增大 3．（本题3分）将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 7．（本题3分）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（     ） A．13 B．7 C．5 D．8 9．（本题3分）如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（     ） A．42.5 B．36 C．33 D．27.5 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 12．（本题3分）二次函数的图象与轴有________个交点． 13．（本题3分）当时，函数有最大值______． 14．（本题3分）若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 15．（本题3分）已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 16．（本题3分）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是__________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求的值； (2)求出抛物线上纵坐标为6的点的坐标． 18．（本题8分）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 19．（本题8分）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，相应函数值的取值范围是________． 20．（本题8分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元． (1)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 21．（本题9分）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：__________； (2)写出不等式的解集：__________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 22．（本题9分）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为，面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)矩形场地的总面积为，求出的值． (3)当为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 23．（本题10分）如图是一个东西走向、轮廓可看成抛物线的山坡，以水平地面为x轴，西侧的坡底O为原点建立平面直角坐标系，一个单位长度代表长，山坡外轮廓（曲线）所在抛物线的解析式为，无人机从坡底O的西侧点B处起飞，降落到点C，飞行轨迹所在抛物线的解析式为，已知无人机在与点O水平距离处，达到最大高度． (1)_______，_______； (2)求无人机起飞点B与坡底O的水平距离； (3)由于山坡上有障碍物，当无人机与山坡的竖直距离始终大于9米时，才能保证飞行安全．请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由． 24．（本题12分）如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第6页（共8页） 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年人教版九年级数学上册第26章二次函数单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D D B D D A C 1．C 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 2．D 【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合二次函数图象性质判断各选项. 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； ∴A、B选项错误； 令，则，解得， ∴抛物线与轴只有一个交点，C选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项正确. 3．B 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 4．D 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 5．D 【分析】先求抛物线的对称轴与开口方向，利用对称性将点转化到对称轴同侧，结合增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 点关于直线的对称点为 ∵当时，随的增大而减小，且， ∴． 6．B 【分析】将抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及两点距离列方程求解. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根. 由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵恒成立， ∴的值为或． 7．D 【分析】先把代入中得到，再把作为整体求解即可． 【详解】解：把代入中得， ， ． 8．D 【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则； 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，； 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为8． 9．A 【分析】根据题意可得，进而可得，再观察图形可得五边形的面积正方形的面积三角形的面积，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴五边形的面积正方形的面积三角形的面积 ， ∵正方形的边长为2，， ∴ 解得， ∴x的取值范围为． 10．C 【分析】设，用含的代数式表示六边形面积，利用二次函数性质求最小值. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ； ， 同理； ∴ 六边形的面积 ； 点在边上， ， 即， 解得； ，且二次项系数， 当时，取得最小值 33. 11． 【分析】根据二次函数中自变量的最高次项次数为2且二次项系数不能为0来分析即可． 【详解】解：∵，计算得， ∴； 又∵，即， ∴． 12． 2 【分析】判断二次函数图象与轴的交点个数，可转化为判断一元二次方程的实数根个数，通过判别式即可得出结果. 【详解】令，得到一元二次方程 ，其中，，， ∴ ， ∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 二次函数的图象与轴有个交点. 13．4 【分析】对二次函数配方得到对称轴和顶点坐标，判断顶点横坐标在给定自变量区间内，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值． 【详解】解：先对函数配方得 ∵ 二次项系数 ∴ 二次函数图象开口向下，函数在顶点处取得最大值 ∵ 顶点横坐标为， 满足，即顶点横坐标在给定自变量范围内， ∴ 函数的最大值为． 14． 【分析】点和点纵坐标相等，可知两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 15． 【分析】将、两点坐标代入二次函数解析式，求出和的值得到完整解析式，再求函数与轴的交点坐标，最后计算的长度． 【详解】解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得，， ∵点坐标为， ∴另一个交点坐标为， ∴的长为． 16． 【分析】利用对称轴公式得到与的关系判断①，根据二次函数与x轴交点位置判断处的函数值符号判断②，根据开口方向和点到对称轴的距离比较函数值大小判断③，将方程的根转化为抛物线与直线的交点位置判断④． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 由对称轴公式可得， ， 整理得，故①正确； 抛物线过点，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点横坐标为， 即另一个交点为，且抛物线开口向下， 当时，， ，移项得，故②错误； 计算三个点到对称轴的距离： 点的距离， 点的距离， 点的距离， 可得， 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，函数值越小， ，故③正确； 方程的根是抛物线与直线交点的横坐标， 抛物线过和，开口向下，， 两个交点分别在和的范围内， ，，故④正确； 综上，正确结论为． 17．(1) (2)纵坐标为6的点的坐标为和 【分析】（1）把代入抛物线的对称轴公式即可求出的值； （2）由（1）知，可得抛物线的解析式为，把代入即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线 ， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， 纵坐标为6的点的坐标为和． 18．(1) (2)或 【分析】（1）求出时y的值可得点C的坐标，求出时x的值可得点A和点B的坐标； （2）根据（1）所求求出的面积，则可得到的面积，根据三角形的面积公式求出点M的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， 当时，则，解得，则； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴ ，即， ∴，即， 在中，当时，，此时方程无解，不符合题意； 在中，当时，，解得， ∴点的坐标为或． 19．(1)，直线 (2)所画函数图象如图所示 (3) 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴； （2）先求出5个点的坐标，再描点、连线，即可得到抛物线的图象； （3）根据（2）中函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴是直线； （2）解：由（1）得顶点坐标为， 当时，， ， ，， ∴与x轴交点为，， 当时，， ∵与关于直线对称， ∴当时，， ∴五个点为（、、、、，所画函数图象略． （3）解：当时，由图象可得：． 20．(1)每件商品售价为34元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1960元． (2)每件商品的售价定为32元时，每个月的利润恰好是1920元． 【分析】（1）设每件商品售价上涨元，则每个月少卖件，每月的利润为元，利用每月的利润单件的利润销售件数，列关于的二次函数，运用配方公式化简最值函数形式即可求出最大利润以及每件的售价． （2）根据第一问所求的利润代数式，将第二问的利润代入，利用因式分解解一元二次方程，再结合未知数取值范围，确定最终的商品的售价． 【详解】（1）解：设每件商品售价上涨元，则每个月少卖件，每月的利润为元， ， ， ， 每件售价不能高于35元， ， ， ， ， 时，最大利润为1960元， 售价为元时，最大利润为1960元． （2）解：利润是1920，由（1）可知，， ， ， ， ， ，， 由（1）可知，， （舍去）， ， 售价为元时，每个月的利润是1920元． 21．(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据函数图象与x轴的两个交点的横坐标进行解答即可； （2）根据函数图象找出在x轴下方的部分所对的x值即可； （3）根据抛物线的开口方向和对称轴进行解答即可； （4）根据函数图象进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； （2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； （4）解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 22．(1) (2)的值为12 (3)当时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64 【分析】（1）先表示出矩形的宽，再根据矩形的面积公式列式化简即可； （2）把代入表达式，得到一元二次方程，解方程，注意舍去不合题意的解； （3）把表达式先配方，写成顶点式，根据二次函数的性质，解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，垂直于墙的篱笆共有4段，总长为，所以矩形的宽为， 则S关于x的函数表达式为：； （2）当时，， 解这个方程得：， ， 不合题意，舍去， 的值为12； （3）由（1）得， 配方得：， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，S有最大值，最大值为64． 23．(1)， (2) (3)解：安全，理由如下： 抛物线与抛物线的距离为， 令，则其对称轴为， 当时，， ， 无人机与山坡的竖直距离始终大于9米， 无人机此次飞行安全． 【分析】（1）根据抛物线顶点式中代表顶点坐标，结合题目给出的最大高度位置读出即可； （2）把代入无人机飞行轨迹抛物线，解一元二次方程得到与x轴两个交点，取x小于0的点即为起飞点B，计算该点到原点O的水平距离即可； （3）用无人机抛物线函数减去山坡抛物线函数，得到竖直距离的二次函数，分析这个开口向上的二次函数的最小值，判断最小值是否大于9，以此判断飞行是否安全． 【详解】（1）解：无人机在与点O水平距离处，达到最大高度， ，； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 令得， 化简得， 两边同时开平方得， 解得或， ， 无人机起飞点B与坡底O的水平距离为； （3）略 24．(1) (2) (3)存在满足条件的点P，其坐标为或 【分析】（1）根据二次函数顶点式直接将顶点坐标代入即可； （2）根据二次函数与x轴的交点的纵坐标为0，令，解一元二次方程即可； （3）根据平面直角坐标系中点的位置关系求出的面积，从而确定的面积，求出点的纵坐标，将点的纵坐标代入抛物线的解析式中求解即可． 【详解】（1）解：将顶点代入中， 得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴令，则， 解得， ∵点A在点B的左边， ∴点的坐标为，点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： 由（2）知，, ∴，则， ∴，解得． ∵点P在抛物线上， ∴， ∴， 由，解得， ∴存在满足条件的点P，其坐标为或． 答案第12页（共12页） 答案第1页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $