第2章一元二次方程 易错集训-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第2章一元二次方程易错集训-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 一．选择题（共9小题） 1．（2026春•济宁期末）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．2x2﹣y﹣1＝0 B．2x＝1 C．x2+x（x+7）＝0 D． 2．（2025秋•长安区校级期末）下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣2x﹣5＝0 B．x2﹣2x＝﹣5 C．x2﹣2x＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 3．（2026春•广饶县期末）若关于x的方程x2+4x+m＝0有实数根，则m的值不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2026•钦州校级一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（　　） A．（1+x）2＝111 B．1+x+（x+1）2＝111 C．1+x+x2＝111 D．x+x2＝111 5．（2026•临川区校级模拟）已知α，β是一元二次方程x2﹣2025x﹣1＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ＝（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．（2026•临泉县模拟）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．﹣1或2 7．（2026春•安庆期末）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数，且a≠0）的解是x1＝﹣1，x2＝2，那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　） A． B． C． D．∵Δ＜0，∴方程无实数解 8．（2026•临泉县模拟）如图，一辆汽车沿东西走向的平直道路MN（M在西，N在东）匀速向东行驶，道路南侧有一交通违法监测卡口A司机在道路上的点O处发现卡口A后，继续行驶4秒到达点B处，此时测得∠ABN＝45°．已知卡口摄像头有效覆盖半径为1.5百米，从点O开始，汽车与卡口的直线距离s（百米）与汽车行驶的路程x（百米）满足s2＝x2﹣3.2x+4．则卡口摄像头能抓拍到该汽车的持续时间为（　　） A．16秒 B．18秒 C．20秒 D．22秒 9．（2026•乌当区模拟）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30m，宽为18m．停车场宽度道的宽都相等，停车位总占地面积为288m2．设车道的宽为xm．可列方程为（　　） A．（30﹣x）（18﹣2x）＝288 B．（30﹣x）（18﹣x）＝288 C．（30﹣2x）（18﹣x）＝288 D．（30﹣2x）（18﹣2x）＝288 二．填空题（共6小题） 10．（2026•天心区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个相等的实数根，则a的值是　 　 ． 11．（2026春•朝阳区校级期末）设x1，x2分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则x1•x2的值为 　 　 ． 12．（2026春•宣州区期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2023的值为 　 　 ． 13．（2026•南京模拟）已知a，b，c是△ABC的三边长，若一元二次方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0没有实数根，则△ABC是 　 　 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 14．（2026•平顺县二模）2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为x，可列方程为　 　 ． 15．（2026春•增城区期末）对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b．若x※2＝5，则x的值为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 16．（2025秋•前郭县期末）用适当方法解下列方程： （1）x2﹣8x+12＝0； （2）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）． 17．（2026•沈河区校级三模）某国产芯片公司生产甲、乙两种芯片．2023年底，甲种芯片每颗的售价为2000元，乙种芯片每颗的售价为1800元，随着技术的迭代更新，生产规模扩大，售价逐年降低，到2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元，乙种芯片每颗的售价为1300元． （1）求2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率； （2）2025年底，某芯片使用企业计划用不超过142800万元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片共100万颗，问最多购进多少万颗甲种芯片． 18．（2026•莲池区二模）解一元二次方程x2﹣4x＝5时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： x2﹣4x＝5， x（x﹣4）＝5， x＝1或x﹣4＝5， ∴x1＝1或x2＝9． 琪琪同学： a＝1，b＝﹣4，c＝5， b2﹣4ac＝16﹣20＝﹣4， ∵b2﹣4ac＜0， ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法　 　 ，琪琪同学的解法　 　 ．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程3x（x﹣4）＝（x﹣4）． 19．（2026春•黄岩区期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根； （3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 20．（2026•十堰模拟）综合与实践． 项目主题：制作新学期的开学手册封面 素材一：小华设计的开学手册的封面是尺寸为长34cm，宽22cm的长方形，正中央有一个长方形边框，其四周是边衬．上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半．小华设计的边衬面积为172cm2． 素材二：封面边框内需要张贴一张长方形的校园照片．为了使排版规范，照片的长宽比例等于边框的长宽比例．小华设计照片到边框下方的下距为22cm，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为1cm． 【任务一】设上边衬的宽度为xcm，用含x的代数式表示边框的长和宽． 【任务二】求边框的长和宽． 【任务三】通过计算说明，小华的设计是否规范． 21．（2026春•吴中区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）下列方程是三倍根方程的是 　 　 ； ①x2﹣3x+2＝0 ②x2﹣3x＝0 ③x2﹣8x+12＝0 （2）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值． 第2章一元二次方程易错集训-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．（2026春•济宁期末）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．2x2﹣y﹣1＝0 B．2x＝1 C．x2+x（x+7）＝0 D． 【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、x2+x（x+7）＝0，整理得2x2+7x＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意； D、不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025秋•长安区校级期末）下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣2x﹣5＝0 B．x2﹣2x＝﹣5 C．x2﹣2x＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【解答】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＞0，所以方程有两个不相等的实数解，所以A选项错误； B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×5＜0，所以方程没有实数解，所以B选项正确； C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＞0，所以方程有两个不相等的实数解，所以C选项错误； D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＞0，所以方程有两个不相等的实数解，所以D选项错误． 故选：B． 3．（2026春•广饶县期末）若关于x的方程x2+4x+m＝0有实数根，则m的值不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：由条件可知Δ＝42﹣4m＝16﹣4m≥0， 解得m≤4， 选项A、B、C中的1、3、4满足m≤4，不符合题意，选项D中的5不满足m≤4，符合题意， 故选：D． 4．（2026•钦州校级一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（　　） A．（1+x）2＝111 B．1+x+（x+1）2＝111 C．1+x+x2＝111 D．x+x2＝111 【解答】解：设每个支干长出x个小分支， 依题意可列方程：1+x+x2＝111． 故选：C． 5．（2026•临川区校级模拟）已知α，β是一元二次方程x2﹣2025x﹣1＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ＝（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【解答】解：由条件可知α+β＝2025，αβ＝﹣1， ∴α+β﹣αβ＝2025﹣（﹣1）＝2026． 故选：D． 6．（2026•临泉县模拟）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．﹣1或2 【解答】解：由条件可得：k2﹣4＝0，解得k＝±2， ∵已知方程是一元二次方程， ∴k+2≠0，即k≠﹣2， ∴k＝2． 故选：B． 7．（2026春•安庆期末）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数，且a≠0）的解是x1＝﹣1，x2＝2，那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　） A． B． C． D．∵Δ＜0，∴方程无实数解 【解答】解：令t＝2x+3，则at2+bt+c＝0， ∴t＝﹣1或t＝2， ∴2x+3＝﹣1或2x+3＝2， 解得x＝﹣2或， ∴新方程的解为x1＝﹣2，， 故选：A． 8．（2026•临泉县模拟）如图，一辆汽车沿东西走向的平直道路MN（M在西，N在东）匀速向东行驶，道路南侧有一交通违法监测卡口A司机在道路上的点O处发现卡口A后，继续行驶4秒到达点B处，此时测得∠ABN＝45°．已知卡口摄像头有效覆盖半径为1.5百米，从点O开始，汽车与卡口的直线距离s（百米）与汽车行驶的路程x（百米）满足s2＝x2﹣3.2x+4．则卡口摄像头能抓拍到该汽车的持续时间为（　　） A．16秒 B．18秒 C．20秒 D．22秒 【解答】解：如解图，过点A作AC⊥MN于点C， ∵s2＝x2﹣3.2x+4＝（x﹣1.6）2+1.44， ∴当x＝0时，s2＝4， 即OA2＝4， ∴OA＝2， 当AC⊥MN时，s2取最小值1.44， 即AC2＝1.44， ∴AC＝1.2， ∴（百米）， 由条件可知BC＝AC•tan45°＝1.2（百米）， ∴汽车4秒行驶的路程为OB＝OC﹣BC＝1.6﹣1.2＝0.4（百米）， ∴汽车速度v＝0.4÷4＝0.1（百米/秒）， ∵摄像头有效覆盖半径为1.5百米， 以A为圆心，1.5百米为半径，作⊙A，交直线MN于点E、F，则AE＝AF， ∴当汽车在线段EF上时，卡口摄像头能抓拍到该汽车， ∴（百米）， ∵AE＝AF，AC⊥MN， ∴CF＝CE＝0.9百米， ∴EF＝EC+CF＝0.9+0.9＝1.8（百米）， ∵汽车速度为0.1百米/秒， ∴可抓拍的持续时间t＝1.8÷0.1＝18（秒）． 故选：B． 9．（2026•乌当区模拟）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30m，宽为18m．停车场宽度道的宽都相等，停车位总占地面积为288m2．设车道的宽为xm．可列方程为（　　） A．（30﹣x）（18﹣2x）＝288 B．（30﹣x）（18﹣x）＝288 C．（30﹣2x）（18﹣x）＝288 D．（30﹣2x）（18﹣2x）＝288 【解答】解：根据题意得：（18﹣x）（30﹣x）＝288． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 10．（2026•天心区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个相等的实数根，则a的值是　±2　 ． 【解答】解：根的判别式Δ＝a2﹣4×1×1＝0， 解得a＝±2． 故答案为：±2． 11．（2026春•朝阳区校级期末）设x1，x2分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则x1•x2的值为 　﹣3　 ． 【解答】解：根据题意得x1•x2＝﹣3． 故答案为：﹣3． 12．（2026春•宣州区期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2023的值为 　2026　 ． 【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴2m2﹣3m﹣1＝0，2m2﹣3m＝1， 则6m2﹣9m+2023＝3（2m2﹣3m）+2023＝3+2023＝2026， 故答案为：2026． 13．（2026•南京模拟）已知a，b，c是△ABC的三边长，若一元二次方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0没有实数根，则△ABC是 　钝角　 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【解答】解：根据题意得a﹣c≠0且Δ＝4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0， 即b2﹣a2+c2＜0， 所以b2+c2＜a2， 所以△ABC是钝角三角形． 故答案为：钝角． 14．（2026•平顺县二模）2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为x，可列方程为　1400（1﹣x）2＝1260　 ． 【解答】解：根据题意可列方程1400（1﹣x）2＝1260． 故答案为：1400（1﹣x）2＝1260． 15．（2026春•增城区期末）对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b．若x※2＝5，则x的值为 　﹣3　 ． 【解答】解：分两种情况： 当x＜2时， ∵x※2＝5， ∴x2﹣2×2＝5， ∴x2＝9， ∴x1＝3（舍去），x2＝﹣3； 当x≥2时， ∵x※2＝5， ∴22﹣2x＝5， 解得：x（舍去）； 综上所述：x的值为﹣3， 故答案为：﹣3． 三．解答题（共6小题） 16．（2025秋•前郭县期末）用适当方法解下列方程： （1）x2﹣8x+12＝0； （2）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）． 【解答】解：（1）原方程配方得：x2﹣8x+16＝4， （x﹣4）2＝4， x﹣4＝±2， x1＝6，x2＝2； （2）原方程因式分解可得： （x﹣3）[（x﹣3）﹣2x]＝0， （x﹣3）（﹣x﹣3）＝0， x﹣3＝0或﹣x﹣3＝0， x1＝3，x2＝﹣3． 17．（2026•沈河区校级三模）某国产芯片公司生产甲、乙两种芯片．2023年底，甲种芯片每颗的售价为2000元，乙种芯片每颗的售价为1800元，随着技术的迭代更新，生产规模扩大，售价逐年降低，到2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元，乙种芯片每颗的售价为1300元． （1）求2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率； （2）2025年底，某芯片使用企业计划用不超过142800万元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片共100万颗，问最多购进多少万颗甲种芯片． 【解答】解：（1）设2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为x， 由题意得：2000（1﹣x）2＝1620， 整理得：x2﹣2x+0.19＝0， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， 答：2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为10%； （2）设购进m万颗甲种芯片，则购进（100﹣m）万颗乙种芯片， 由题意得：1620m+1300（100﹣m）≤142800， 解得：m≤40， 答：最多购进40万颗甲种芯片． 18．（2026•莲池区二模）解一元二次方程x2﹣4x＝5时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： x2﹣4x＝5， x（x﹣4）＝5， x＝1或x﹣4＝5， ∴x1＝1或x2＝9． 琪琪同学： a＝1，b＝﹣4，c＝5， b2﹣4ac＝16﹣20＝﹣4， ∵b2﹣4ac＜0， ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法　不正确　 ，琪琪同学的解法　不正确　 ．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程3x（x﹣4）＝（x﹣4）． 【解答】解：（1）∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由x（x﹣4）＝5得到x＝1或x﹣4＝5不正确； 因x2﹣4x＝5化为一般式是x2﹣4x﹣5＝0， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5， ∴琪琪同学的解法不正确； 故答案为：不正确；不正确； （2）由条件可知3x（x﹣4）﹣（x﹣4）＝0， ∴（x﹣4）（3x﹣1）＝0， ∴x﹣4＝0或3x﹣1＝0， ∴． 19．（2026春•黄岩区期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根； （3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 【解答】解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）＝4（k）2≥0，此时方程有两个实数根． 综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根． （2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k）＝0， 解得k＝1， ∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0， 解方程得x1＝1，x2＝2， ∴方程的另一根是2； （3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0． ∴4（k）2＝0，解得：k． 此时原方程化为x2﹣4x+4＝0 ∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2． 此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形， 当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k）＝0， 求得k， ∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0． 解得x＝2或4， ∴c＝2， ∴周长为4+4+2＝10． 故这个等腰三角形的周长是10． 20．（2026•十堰模拟）综合与实践． 项目主题：制作新学期的开学手册封面 素材一：小华设计的开学手册的封面是尺寸为长34cm，宽22cm的长方形，正中央有一个长方形边框，其四周是边衬．上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半．小华设计的边衬面积为172cm2． 素材二：封面边框内需要张贴一张长方形的校园照片．为了使排版规范，照片的长宽比例等于边框的长宽比例．小华设计照片到边框下方的下距为22cm，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为1cm． 【任务一】设上边衬的宽度为xcm，用含x的代数式表示边框的长和宽． 【任务二】求边框的长和宽． 【任务三】通过计算说明，小华的设计是否规范． 【解答】解：【任务一】设上边衬的宽度为xcm，则下边衬的宽度为xcm，左、右边衬的宽度为2xcm， ∴边框的长为34﹣x﹣x＝（34﹣2x）cm，宽为22﹣2x﹣2x＝（22﹣4x）cm； 【任务二】根据题意得：34×22﹣（34﹣2x）（22﹣4x）＝172， 整理得：2x2﹣45x+43＝0， 解得：x1＝1，x2（不符合题意，舍去）， ∴34﹣2x＝34﹣2×1＝32（cm）， 22﹣4x＝22﹣4×1＝18（cm）． 答：边框的长为32cm，宽为18cm； 【任务三】小华的设计规范，理由如下： 照片的长为18﹣1﹣1＝16（cm）， 照片的宽为32﹣1﹣22＝9（cm）， ∵边框的长为32cm，宽为18cm，且32：18＝16：9， ∴小华的设计规范． 21．（2026春•吴中区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）下列方程是三倍根方程的是 　③　 ； ①x2﹣3x+2＝0 ②x2﹣3x＝0 ③x2﹣8x+12＝0 （2）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值． 【解答】解：（1）对于①x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不是三倍根方程； 对于②x2﹣3x＝0，解得 x1＝0，x2＝3，不是三倍根方程； 对于③x2﹣8x+12＝0，解得 x1＝6，x2＝2，是三倍根方程； 故答案为：③； （1）设方程两个根为 a，3a， 利用根与系数关系得：m+n＝4a，mn＝3a2， 所以 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $