第2章一元二次方程易错精练-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元易错点，通过选择、填空、解答三层设计，实现从概念辨析到综合应用的梯度巩固，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |选择题|方程定义、解法、根的判别式|含易错点辨析（如题1常数项符号），基础考点全覆盖| |填空题|配方、根与系数关系、错解分析|变式训练（如题12降次应用），深化核心能力| |解答题|解方程、实际应用、代数几何综合|结合生活情境（题19销售问题）与跨知识整合（题21直角三角形），培养应用意识|

第2章一元二次方程易错精练-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 一．选择题（共10小题） 1．（2026•淮北校级模拟）若一元二次方程3x2＝5x+2的二次项系数是3，则它的常数项是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 2．（2026•溧阳市校级模拟）方程x2＝2026x的解是（　　） A．x＝0 B．x＝2026 C．x1＝0，x2＝2026 D．无实数根 3．（2026•太和县二模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．k1＝k2＝2 B．k1＝2，k2＝10 C．k1＝﹣2，k2＝6 D．k1＝﹣6，k2＝2 4．（2026•新会区校级模拟）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（　　） A．x（x﹣1）＝28 B．x（x+1）＝28 C． D． 5．（2026•淄博模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（a+4）（b+4）的最小值是（　　） A．11 B．20 C．28 D．36 6．（2026•苍梧县模拟）关于x的方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C．且a≠1 D．且a≠1 7．（2026•故城县模拟）若一元二次方程x2+2x＝3的两根之和与两根之积分别为m，n，则一次函数y＝mx+n的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2026•黑龙江四模）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用48m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（　　） A．x（48+1﹣x）＝200 B．x（48﹣2x）＝200 C．x（48+1﹣2x）＝200 D．x（48﹣1﹣2x）＝200 9．（2026•源城区二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程x2﹣7x+9＝0的两个根，则该三角形的周长等于（　　） A．16 B．11 C．9 D．7 10．（2026•阳谷县模拟）根据表格，判断关于x的方程ax2+bx+c＝3（a≠0）的一个解的范围是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 ax2+bx+c ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 A．﹣0.59＜x＜0.84 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•宁阳县期中）将方程x2+6x﹣1＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则mn＝　 　 ． 12．（2026•沙坪坝区校级开学）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则m2﹣3m+2n的值为　 　 ． 13．（2026•银川校级二模）若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 　 　 ． 14．（2026秋•单元）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝﹣2，x2＝﹣3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程：　 　 ． 15．（2026秋•同步）某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金120万元，到2025年累计共投入研发资金386万元．若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则可列方程为　 　 ． 16．（2026秋•同步）（1）关于x的一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，则m＝　 　 ． （2）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025秋•呼伦贝尔期末）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x＝5； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x； （3）x2﹣5x﹣6＝0． 18．（2025秋•海州区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求m的值． 19．（2025秋•桑植县期末）成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 20．（2026•南充模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k﹣3＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若为整数，求整数k的值． 21．（2026春•西湖区校级期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的方程x2﹣2（n+1）x+n2+2n＝0的两个根，第三边BC的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当AB＝5时，求AC的长； （3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ 22．（2026•桐城市模拟）综合与实践． 【项目主题】一元二次方程在生活中的应用． （1）【项目背景】如图，某广场摆放了多盆黄色月季（黑色圆点）和白色月季（白色圆点）． 根据规律，推测第n个图中白色月季的数量为　 　 盆，黄色月季的数量　 　 盆． （2）【项目解决】按照上述规律，第n个图中黄色月季的盆数比白色月季的盆数的3倍多2盆，则n＝　 　 ；若一盆白色月季的售价为8元，一盆黄色月季的售价为5元，则第n个图中白色月季的总价为　 　 ，黄色月季的总价为　 　 ；若第n个图中白色月季与黄色月季总的采购价一共为520元，则n＝　 　 ． 第2章一元二次方程易错精练-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026•淮北校级模拟）若一元二次方程3x2＝5x+2的二次项系数是3，则它的常数项是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 【分析】将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项即可． 【解答】解：方程3x2＝5x+2， 整理得：3x2﹣5x﹣2＝0， 则常数项是﹣2． 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，正确记忆一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0）是解题关键． 2．（2026•溧阳市校级模拟）方程x2＝2026x的解是（　　） A．x＝0 B．x＝2026 C．x1＝0，x2＝2026 D．无实数根 【分析】先移项，再提公因式，然后解方程即可． 【解答】解：x2＝2026x， x2﹣2026x＝0， x（x﹣2026）＝0， x＝0或x﹣2026＝0， x1＝0，x2＝2026． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 3．（2026•太和县二模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A．k1＝k2＝2 B．k1＝2，k2＝10 C．k1＝﹣2，k2＝6 D．k1＝﹣6，k2＝2 【分析】根据原方程有两个相等的实数根，可得出Δ＝k2﹣4k﹣12＝0，解之即可得出k的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k+4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k+4） ＝k2+4k+4﹣8k﹣16 ＝k2﹣4k﹣12＝0， 即（k+2）（k﹣6）＝0， 解得：k1＝﹣2，k2＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 4．（2026•新会区校级模拟）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（　　） A．x（x﹣1）＝28 B．x（x+1）＝28 C． D． 【分析】理清总比赛场数的计算方法，再根据已知总场数列出方程． 【解答】解：根据题意可列方程． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 5．（2026•淄博模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（a+4）（b+4）的最小值是（　　） A．11 B．20 C．28 D．36 【分析】根据题意，用t分别表示出a+b和ab，再据此表示出（a+4）（b+4），并求出最小值即可． 【解答】解：由题知， 因为a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根， 所以a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4， 所以（a+4）（b+4）＝ab+4（a+b）+16＝t2﹣2t+4+8t+16＝t2+6t+20＝（t+3）2+11． 又因为Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0， 所以t≥2， 则当t＝2时，（a+4）（b+4）有最小值为：52+11＝36． 故选：D． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 6．（2026•苍梧县模拟）关于x的方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C．且a≠1 D．且a≠1 【分析】需分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，结合方程有实数根的条件求解，再合并结果得到a的取值范围． 【解答】解：分两种情况讨论： ①当a﹣1＝0，即a＝1时， ∵原方程化为3x﹣2＝0，是一元一次方程，有实数根， ∴a＝1符合题意； ②当a﹣1≠0，即a≠1时，原方程是一元二次方程， ∴根的判别式Δ≥0，Δ＝32﹣4（a﹣1）×（﹣2）＝9+8（a﹣1）＝8a+1≥0， 解得：，且a≠1； 综上，a的取值范围是． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 7．（2026•故城县模拟）若一元二次方程x2+2x＝3的两根之和与两根之积分别为m，n，则一次函数y＝mx+n的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，再根据根与系数的关系，得到两根之和m和两根之积n，代入得到一次函数解析式，再根据一次函数的性质判断图象不经过的象限即可． 【解答】解：整理原一元二次方程得 x2+2x﹣3＝0， ∴，， ∴一次函数解析式为 y＝﹣2x﹣3， ∵一次项系数﹣2＜0，常数项﹣3＜0， ∴该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2026•黑龙江四模）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用48m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（　　） A．x（48+1﹣x）＝200 B．x（48﹣2x）＝200 C．x（48+1﹣2x）＝200 D．x（48﹣1﹣2x）＝200 【分析】设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm时，则BC的长为（48+1﹣2x）m，根据矩形试验田的面积为200m2，列出方程即可． 【解答】解：设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm时，则BC的长为（48+1﹣2x）m， 依题意得：x（48+1﹣2x）＝200， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．（2026•源城区二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程x2﹣7x+9＝0的两个根，则该三角形的周长等于（　　） A．16 B．11 C．9 D．7 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出a+b＝7，ab＝9，验证三边满足三角形三边关系后，即可计算出周长． 【解答】解：由条件可知a+b＝7，ab＝9， ∵a，b，4分别是三角形三边的长， ∴，且a+b＝7＞4， ∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴三角形的周长为a+b+4＝7+4＝11． 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 10．（2026•阳谷县模拟）根据表格，判断关于x的方程ax2+bx+c＝3（a≠0）的一个解的范围是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 ax2+bx+c ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 A．﹣0.59＜x＜0.84 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 【分析】具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：x＝1.3和x＝1.4时，代数式ax2+bx+c的值一个小于3.76，一个大于2.29，从而可判断当1.3＜x＜1.4的某个值时，代数式ax2+bx+c的值为3． 【解答】解：当x＝1.3时，ax2+bx+c＝2.29， 当x＝1.4时，ax2+bx+c＝3.76， 所以方程的一个解x的取值范围为：1.3＜x＜1.4， 故选：D． 【点评】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，熟练掌握该方法是关键． 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•宁阳县期中）将方程x2+6x﹣1＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则mn＝　30　 ． 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方将原方程转化为（x+m）2＝n的形式，确定m与n的值后，计算mn即可求解． 【解答】解：原方程移项可得：x2+6x＝1， ∴x2+6x+9＝1+9， 整理得（x+3）2＝10， ∴m＝3，n＝10， ∴mn＝3×10＝30． 故答案为：30． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 12．（2026•沙坪坝区校级开学）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则m2﹣3m+2n的值为　8　 ． 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入化简后的代数式计算即可． 【解答】解：由一元二次方程根的定义得m2﹣5m+2＝0，即m2＝5m﹣2， 由根与系数的关系得m+n＝5，mn＝2， 将m2＝5m﹣2代入所求代数式得： m2﹣3m+2n＝5m﹣2﹣3m+2n＝2m+2n﹣2＝2×5﹣2＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 13．（2026•银川校级二模）若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 　2023　 ． 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵α是方程x2+2x﹣2025＝0的根， ∴α2+2α﹣2025＝0， ∴α2+2α＝2025， ∴α2+3α+β＝2025+α+β， ∵α、β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣2， ∴α2+3α+β＝2025﹣2＝2023． 故答案为：2023． 【点评】此题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解． 14．（2026秋•单元）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝﹣2，x2＝﹣3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程：x2﹣5x+6＝0　 ． 【分析】根据根与系数的关系，从小明的解可求出常数项c，从小刚的解可求出一次项系数b 【解答】解：小明看错了一次项系数b，但解正确，故常数项c正确， 则c＝x1•x2＝（﹣2）×（﹣3）＝6； 小刚看错了常数项c，但解正确，故一次项系数b正确， x1+x2＝﹣b，即1+4＝﹣b， 解得b＝﹣5． 因此正确的一元二次方程为x2﹣5x+6＝0． 故答案为：x2﹣5x+6＝0． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键． 15．（2026秋•同步）某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金120万元，到2025年累计共投入研发资金386万元．若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则可列方程为　120+120（1+x）+120（1+x）2＝386　 ． 【分析】设年平均增长率为x，根据已知该公司在2023年投入研发资金为120万元，到2025年累计共投入研发资金386万元，列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵该公司在2023年投入研发资金为120万元，到2025年累计共投入研发资金386万元， ∴120+120（1+x）+120（1+x）2＝386． 故答案为：120+120（1+x）+120（1+x）2＝386． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（2026秋•同步）（1）关于x的一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，则m＝　±2　 ． （2）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值　﹣1（答案不唯一）　 ． 【分析】（1）根据当一元二次方程的判别式为0时有两个相等的实数根，列出关于m的方程，解方程即可； （2）根据当一元二次方程的判别式大于0时有两个不相等的实数根，列出关于k的不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根， ∴b2﹣4ac＝0， m2﹣4×1×1＝0， m2﹣4＝0， m2＝4， m＝±2， 故答案为：±2； （2）关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0， （﹣2）2﹣4k＞0，且k≠0， 4﹣4k＞0， ﹣4k＞﹣4， k＜1且k≠0， ∴k的值为﹣1， 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了一元二次方程与根的判别式的应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解与根的判别式的关系． 三．解答题（共6小题） 17．（2025秋•呼伦贝尔期末）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x＝5； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x； （3）x2﹣5x﹣6＝0． 【分析】（1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解． 【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝5， ∴x2﹣2x+1＝6， ∴（x﹣1）2＝6， ∴， ∴x11，x21； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， ∴x+2＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1； （3）x2﹣5x﹣6＝0， ∴（x﹣6）（x+1）＝0， ∴x﹣6＝0或x+1＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 18．（2025秋•海州区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求m的值． 【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用根与系数的关系建立关于m的方程即可求解． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×[﹣m（m+4）] ＝4（m2+4m+4） ＝4（m+2）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）∵方程的一个根是另一个根的3倍， ∴设方程的一个根为x，则另一个根为3x， ∴根据韦达定理得：x+3x＝4， ∴x＝1， ∴x•3x＝﹣m（m+4）＝3， ∴m＝﹣1或﹣3． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系建立关于m的方程解决问题． 19．（2025秋•桑植县期末）成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价m元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于m的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【解答】解：（1）设头盔销售量的月增长率为x， 根据题意列一元二次方程得：375（1+x）2＝540， 解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴头盔销售量的月增长率为20%； （2）设头盔每个涨价m元， 根据题意列一元二次方程得：（10+m）（500﹣20m）＝6000， 整理得m2﹣15m+50＝0， 解得m1＝5，m2＝10（不符合题意，舍去）， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（2026•南充模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k﹣3＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若为整数，求整数k的值． 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣k﹣3，再求出，根据为整数，推出﹣k﹣1＝±3或﹣k﹣1＝±1，据此可得答案． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝（﹣1）2﹣4•1•（﹣k﹣3）＞0， ∴； （2）由条件可知x1+x2＝1，x1x2＝﹣k﹣3， ∴原式 ， ∵为整数， ∴为整数， 又∵k为整数， ∴﹣k﹣1＝±3或﹣k﹣1＝±1， ∴k＝2或k＝﹣4（舍去）或k＝﹣2或k＝0， ∴k的值为0或±2． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 21．（2026春•西湖区校级期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的方程x2﹣2（n+1）x+n2+2n＝0的两个根，第三边BC的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当AB＝5时，求AC的长； （3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ 【分析】（1）计算判别式Δ＝4（n+1）2﹣4（n2+2n）＝4＞0，即可得证； （2）把x＝5代入方程，求出n，然后根据三角形三边的关系判断三角形的存在性，最后求出AC的长即可； （3）根据勾股定理列方程，求出n的值，再检验即可确定n． 【解答】（1）证明：∵x2﹣2（n+1）x+n2+2n＝0， ∴Δ＝4（n+1）2﹣4（n2+2n）＝4＞0， ∴无论n取何值，此方程总有两个不相等得实根； （2）解：把x＝5代入方程，得：52﹣10（n+1）+n2+2n＝0， 解得：n＝3或n＝5， ∵AB，AC的长是关于x的方程x2﹣2（n+1）x+n2+2n＝0的两个根， ∴AB+AC＝2（n+1）， 当n＝5时，AB+AC＝2（n+1）＝12＞10＝BC， ∴构成三角形，n＝5符合题意， 当n＝3时，AB+AC＝2（n+1）＝8＜10＝BC， ∴不构成三角形，n＝3不符合题意，舍去； ∴AC＝12﹣5＝7； （3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n+1）x+n2+2n＝0的两个根， ∴（x﹣n）[x﹣（n+2）]＝0， ∴x1＝n，x2＝n+2， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10， ∴AB2+AC2＝BC2， n2+（n+2）2＝100， n1＝6，n2＝﹣8（舍）， ∴n＝6． ∴当n为6时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强． 22．（2026•桐城市模拟）综合与实践． 【项目主题】一元二次方程在生活中的应用． （1）【项目背景】如图，某广场摆放了多盆黄色月季（黑色圆点）和白色月季（白色圆点）． 根据规律，推测第n个图中白色月季的数量为　（2n+4）　 盆，黄色月季的数量　（n2+n）　 盆． （2）【项目解决】按照上述规律，第n个图中黄色月季的盆数比白色月季的盆数的3倍多2盆，则n＝　7　 ；若一盆白色月季的售价为8元，一盆黄色月季的售价为5元，则第n个图中白色月季的总价为　（16n+32）　 ，黄色月季的总价为　（5n2+5n）　 ；若第n个图中白色月季与黄色月季总的采购价一共为520元，则n＝　8　 ． 【分析】（1）列举前4组图案的月季数量，推导规律，得出第n个图案白、黄月季数量的代数式即可； （2）依据数量关系列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；结合单价写出两种月季总价表达式，再根据总费用建立方程，舍去负根得到答案． 【解答】解：（1）由题意知，n＝1时，白色月季（空心）数量为6＝2×1+4，黄色月季（黑色）数量为2＝1×（1+1）； n＝2时，白色月季（空心）数量为8＝2×2+4，黄色月季（黑色）数量为6＝2×（2+1）； n＝3时，白色月季（空心）数量为10＝2×3+4，黄色月季（黑色）数量为12＝3×（3+1）； n＝4时，白色月季（空心）数量为12＝2×4+4，黄色月季（黑色）数量为20＝4×（4+1）； 因此可得：第n个图中，白色月季数量为（2n+4）盆，黄色月季数量为n（n+1）盆即（n2+n）盆， 故答案为：（2n+4），（n2+n）； （2）∵第n个图中黄色月季的盆数比白色月季的盆数的3倍多2盆， ∴n（n+1）＝3（2n+4）+2， 整理得：n2﹣5n﹣14＝0， 解得：n＝7或n＝﹣2（不符合题意）； 白色月季单价8元，总价为8（2n+4）＝（16n+32）（元）； 黄色月季单价5元，总价为5•n（n+1）＝（5n2+5n）（元）； ∵第n个图中白色月季与黄色月季总的采购价一共为520元， ∴（16n+32）+（5n2+5n）＝520， 整理得：5n2+21n﹣488＝0， 解得：（不符合题意，舍去）； 故答案为：7，（16n+32），（5n2+5n），8． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $