双曲线专项训练 -2027届高三数学一轮复习

双曲线（考点导航与跟踪训练） -2027届高三数学上学期专项复习 考点汇总 · 考点：双曲线的标准方程 · 考点：双曲线的焦点和焦距 · 考点：双曲线的渐近线 · 考点：双曲线的几何特征 · 考点：双曲线的离心率 · 考点：直线与双曲线的综合 跟踪训练 · 考点：双曲线的标准方程 1．（2026•绿园区二模）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣2，5） B．（5，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（5，+∞） D．（﹣∞，﹣2） 2．（2026秋•泉州月考）双曲线焦点在x轴，离心率，且过点（2，0），则双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•河东区期末）已知双曲线C1：1（b＞0）的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），抛物线C2：y2＝4cx的准线与C1交于M，N两点，且△MNF2为正三角形，则双曲线C1的标准方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•宜兴市期末）双曲线的焦距长为8，且渐近线方程为，则双曲线方程为（　　） A． B． C． D． · 考点：双曲线的焦点和焦距 （多选）5．（2026春•厦门期末）已知双曲线，则（　　） A．﹣2＜m＜1 B．C的焦点在x轴上 C．C的焦距为2 D．C的渐近线不可能互相垂直 （多选）6．（2025秋•安徽月考）已知双曲线与，则C1与C2（　　） A．焦点坐标相同 B．焦距相等 C．离心率相等 D．渐近线相同 （多选）7．（2024秋•包头期末）已知a，b＞0，a≠b，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（　　） A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 （多选）8．（2025秋•濠江区校级期中）以下四个命题中，正确的是（　　） A．设A（﹣2，0），B（2，0），动点P满足|PA|﹣|PB|＝4，则动点P的轨迹为双曲线 B．若曲线表示椭圆，则2＜t＜5 C．方程3x2﹣10x+3＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．椭圆与双曲线有相同的焦点 · 考点：双曲线的渐近线 9．（2026春•延庆区校级期末）已知双曲线的一个焦点为（0，﹣2），则双曲线C的渐近线方程为 　 　 ． 10．（2026•韩城市开学）已知双曲线的渐近线方程为，则实数m的值为　 　 ． 11．（2025秋•东港区校级期末）已知双曲线1（a，b＞0）的左焦点为F，过坐标原点O作直线与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，且||＝4||，∠AFB，则双曲线的渐近线方程为 　 　 ． 12．（2026•富顺县校级模拟）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为　 　 ． · 考点：双曲线的几何特征 13．（2026•合肥校级模拟）已知双曲线的渐近线方程为，且过点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若双曲线C的右焦点为F，点P（0，﹣4），过点F的直线l交双曲线C于A，B两点，且|PA|＝|PB|，求直线l的方程． 14．（2025秋•沧州校级期末）已知双曲线M与双曲线N：1有共同的渐近线． （1）若M经过抛物线y＝﹣x2+8x﹣14的顶点，求双曲线M的方程； （2）若双曲线M的两个焦点分别为F1，F2，点P为M上的一点，且|PF1|＝|PF2|+10，求双曲线M的方程． 15．（2026•马鞍山模拟）已知双曲线过点，且渐近线方程为． （1）求Γ的标准方程； （2）点M的坐标为（1，0），过点N（﹣3，0）的直线与Γ的左支交于D，E两点，直线DM，EM分别与Γ的右支交于G，H两点． （ⅰ）Γ的左顶点为A，记直线AD，AE的斜率分别为k1，k2，求k1•k2； （ⅱ）证明：直线GH过定点． 16．（2026•龙泉驿区校级模拟）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率与双曲线E：x2﹣y2＝2的离心率互为倒数，且椭圆C的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线E的焦距依次构成等比数列． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若双曲线E的虚轴的上端点为B2，问是否存在过点B2的直线l交椭圆C于M，N两点，使得以MN为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由． · 考点：双曲线的离心率 17．（2025秋•诸暨市期末）已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为． （1）求双曲线C的离心率e； （2）若点在双曲线C上，直线y＝x+2与C相交于不同的两点A，B，求弦长|AB|的值． 18．（2025秋•兴庆区校级月考）已知抛物线上一点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线的一条渐近线与直线AP垂直． （1）求抛物线C1的方程及双曲线C2的离心率； （2）设点M在双曲线C2上，且，求点M到x轴的距离； （3）若抛物线C1上的点Q到直线l：y＝x+10的距离最小，求点Q坐标． 19．（2025春•凤庆县校级期末）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P，Q是W上的两点，在△APQ中，边PQ的中点为R．当直线PA的倾斜角为时，有|PF|＝|AF|． （1）求W的离心率； （2）若直线PQ不与x轴平行，且2|AR|＝|PQ|，证明：直线PQ过定点． 20．（2025秋•新都区校级期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，A是C的左顶点，C的离心率为2．设过F2的直线l交C的右支于P、Q两点，其中P在第一象限． （1）求C的标准方程； （2）若直线AP、AQ分别交直线于M、N两点，证明：为定值； （3）是否存在常数λ，使得∠PF2A＝λ∠PAF2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由． · 考点：直线与双曲线的综合 21．（2026秋•鲤城区校级同步）已知F1（﹣2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|﹣|PF2|＝2，记点P的轨迹为E直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点． （1）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△MPQ面积的最小值． 22．（2026•辽宁开学）已知双曲线E：的右焦点为F（2，0），一条渐近线方程为． （1）求E的方程． （2）设O为坐标原点，过点F的直线l与E的右支交于M，N两点，其中点N在第四象限，直线MO与E的另一个交点为R． （i）若|MF|＝5|NF|，求l的方程； （ii）求△MNR面积的取值范围． 23．（2025秋•广西期末）已知双曲线C的中心为坐标原点，右焦点为，且过点（﹣4，3）． （1）求双曲线C的标准方程； （2）已知点A（4，1），过点（1，0）的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点M，N，直线AN与双曲线C交于另一点P，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2． （i）求证：k1+k2为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标． 24．（2026•河北模拟）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的焦距为，其中的一条渐近线与直线2x+y+3＝0垂直． （1）求C的方程； （2）记C的右顶点为A，横坐标为4的点P在C上，射线AP上的点Q满足|PQ|•|AP|＝28，求点Q的坐标； （3）直线l：y＝tx+n与C交于D，E两点，O为坐标原点．是否存在常数n，使恒为定值？若存在，求出常数n；若不存在，请说明理由． 双曲线（考点导航与跟踪训练） -2027届高三数学上学期专项复习 参考答案与试题解析 1．（2026•绿园区二模）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣2，5） B．（5，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（5，+∞） D．（﹣∞，﹣2） 【解答】解：由题可得：（5﹣m）（m+2）＜0， 解得m＞5或m＜﹣2． 故选：C． 2．（2026秋•泉州月考）双曲线焦点在x轴，离心率，且过点（2，0），则双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：双曲线焦点在x轴，离心率，且过点（2，0）， 则e，a＝2，所以， 所以b2＝c2﹣a2＝32﹣4＝28， 所以双曲线方程为． 故选：A． 3．（2025秋•河东区期末）已知双曲线C1：1（b＞0）的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），抛物线C2：y2＝4cx的准线与C1交于M，N两点，且△MNF2为正三角形，则双曲线C1的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：抛物线的准线方程为x＝﹣c， ∵抛物线的准线与C1交于M，N两点， ∴MN为双曲线的通径，通径长， 又△MNF2为正三角形，∴， ∴， ∵a，∴， ∴2c＝b2， ∵b2＝c2﹣3， ∴2c＝c2﹣3， ∵c＞0，∴c＝3， ∴b2＝6， ∴双曲线方程为1． 故选：C． 4．（2025秋•宜兴市期末）双曲线的焦距长为8，且渐近线方程为，则双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由双曲线的焦距长为8，且渐近线方程为， 可得，解得． 故双曲线方程为：1． 故选：A． （多选）5．（2026春•厦门期末）已知双曲线，则（　　） A．﹣2＜m＜1 B．C的焦点在x轴上 C．C的焦距为2 D．C的渐近线不可能互相垂直 【解答】解：双曲线， 则（m+2）（1﹣m）＞0，解得﹣2＜m＜1，A正确； 由A知，﹣2＜m＜1，故m+2＞0，1﹣m＞0，故焦点在x轴上，B正确； 因为c2＝a2+b2＝m+2+（1﹣m）＝3，所以，故C的焦距为，C错误； 当m+2＝1﹣m，即时，C的渐近线方程为y＝±x，两条渐近线互相垂直，D错误． 故选：AB． （多选）6．（2025秋•安徽月考）已知双曲线与，则C1与C2（　　） A．焦点坐标相同 B．焦距相等 C．离心率相等 D．渐近线相同 【解答】解：由题意知双曲线的焦点在x轴上，a1＝4，b1＝3，c1＝5， 则焦点坐标为（±5，0），离心率，渐近线方程为； 的焦点在y轴上，a2＝4，b2＝3，c2＝5， 则焦点坐标为（0，±5），离心率，渐近线方程为， 所以C1与C2的焦距相等、离心率相等， 故选：BC． （多选）7．（2024秋•包头期末）已知a，b＞0，a≠b，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（　　） A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【解答】解：由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线C1和C2有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同． 故选：AC． （多选）8．（2025秋•濠江区校级期中）以下四个命题中，正确的是（　　） A．设A（﹣2，0），B（2，0），动点P满足|PA|﹣|PB|＝4，则动点P的轨迹为双曲线 B．若曲线表示椭圆，则2＜t＜5 C．方程3x2﹣10x+3＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．椭圆与双曲线有相同的焦点 【解答】解：对A选项，因为A（﹣2，0），B（2，0），动点P满足|PA|﹣|PB|＝4＝|AB|， 所以动点P的轨迹为一条射线，所以A选项错误； 对B选项，若曲线表示椭圆， 则，则2＜t＜5且t，所以B选项错误； 对C选项，因为方程3x2﹣10x+3＝0的两根分别为，3， 所以方程3x2﹣10x+3＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，所以C选项正确； 对D选项，因为椭圆与双曲线的焦点均在x轴上， 且c2＝25﹣8＝12+5， 所以椭圆与双曲线有相同的焦点，所以D选项正确． 故选：CD． 9．（2026春•延庆区校级期末）已知双曲线的一个焦点为（0，﹣2），则双曲线C的渐近线方程为 　　 ． 【解答】解：设焦点在y轴上的双曲线的标准方程为，其中焦点坐标为（0，±c），a，b，c＞0， 因为双曲线的一个焦点为（0，﹣2）， 所以a＝1，c＝2， 所以， 所以双曲线C的渐近线方程为，即． 故答案为：． 10．（2026•韩城市开学）已知双曲线的渐近线方程为，则实数m的值为　4　 ． 【解答】解：由题意，令，解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以，所以m＝4． 故答案为：4． 11．（2025秋•东港区校级期末）已知双曲线1（a，b＞0）的左焦点为F，过坐标原点O作直线与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，且||＝4||，∠AFB，则双曲线的渐近线方程为 y＝±x ． 【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，因为||＝4||，所以||＝4||， 由|BF|﹣|BF′|＝2a，所以|BF|a，|BF′|a， 因为∠AFB，所以∠FBF′， 由余弦定理得，（2c）22aa×cos， 所以，即e2＝1，解得， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x． 故答案为：y＝±x． 12．（2026•富顺县校级模拟）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为　　 ． 【解答】解：设F1为C的左焦点，连接F1M，F1N，则四边形F1MFN为平行四边形，如图， ∵以线段MN为直径的圆过F，∴FM⊥FN，从而四边形F1MFN为矩形， ∴． 由双曲线的定义，得|FM|﹣|F1M|＝2a，即|FM|﹣|FN|＝2a， 又∵，∴． 由|FM|2+|FN|2＝|MN|2，得，解得a2＝1， ∴，故C的渐近线方程为． 故答案为：． 13．（2026•合肥校级模拟）已知双曲线的渐近线方程为，且过点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若双曲线C的右焦点为F，点P（0，﹣4），过点F的直线l交双曲线C于A，B两点，且|PA|＝|PB|，求直线l的方程． 【解答】（1）解：由题意可得，1， 解得b2＝1，a2＝3， 所以，双曲线C的标准方程为； （2）解：由（1）知双曲线C的右焦点为F（2，0）， 当直线l的斜率不存在时，方程为l：x＝2，此时，， 所以，直线l的斜率存在，设方程为y＝k（x﹣2）， 将上式与双曲线方程联立，化简得（1﹣3k2）x2+12k2x﹣12k2﹣3＝0， 所以Δ＝144k4﹣4（1﹣3k2）（﹣3﹣12k2）＝12k2+12＞0，且1﹣3k2≠0， 所以，， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则， 所以， 所以，线段AB中点为， 因为|PA|＝|PB|， 所以，点P（0，﹣4）在线段AB的中垂线上， 所以PE⊥AB， 所以，当k＝0时，线段AB中点为E（0，0），此时直线l的方程为y＝0，满足题意； 当k≠0时，， 所以，，整理得3k2+2k﹣1＝0，解得或k＝﹣1，满足． 综上，直线l的方程为y＝0，或或y＝﹣x+2． 14．（2025秋•沧州校级期末）已知双曲线M与双曲线N：1有共同的渐近线． （1）若M经过抛物线y＝﹣x2+8x﹣14的顶点，求双曲线M的方程； （2）若双曲线M的两个焦点分别为F1，F2，点P为M上的一点，且|PF1|＝|PF2|+10，求双曲线M的方程． 【解答】解：（1）双曲线M与双曲线N：1有共同的渐近线， 不妨设双曲线M的方程为λ， ∵抛物线y＝﹣x2+8x﹣14＝﹣（x﹣4）2+2的顶点坐标为（4，2）， ∴λ， 解得λ， ∴双曲线M的方程为，即为1； （2）∵双曲线M与双曲线N：1有共同的渐近线， ∴双曲线M的渐近线方程为y＝±x， ∵|PF1|＝|PF2|+10， ∴2a＝10， 即a＝5， ∴或 解得b或b＝5， 则双曲线M的方程为1或1． 15．（2026•马鞍山模拟）已知双曲线过点，且渐近线方程为． （1）求Γ的标准方程； （2）点M的坐标为（1，0），过点N（﹣3，0）的直线与Γ的左支交于D，E两点，直线DM，EM分别与Γ的右支交于G，H两点． （ⅰ）Γ的左顶点为A，记直线AD，AE的斜率分别为k1，k2，求k1•k2； （ⅱ）证明：直线GH过定点． 【解答】解：（1）∵双曲线过点，渐近线方程为， ∴，解得a＝2，b＝1， ∴Γ的标准方程为． （2）（ⅰ）∵的左顶点A（﹣2，0）； ∵直线DE过点N（﹣3，0），设直线DE方程为x＝my﹣3，D（xD，yD），E（xE，yE）； ∴，联立方程得（m2﹣4）y2﹣6my+5＝0， ∴Δ＝（﹣6m）2﹣20（m2﹣4）＝16m2+80＞0， 则，； ∵直线DE与Γ的左支交于D，E两点，∴xD•xE＞0，xD+xE＜0； 即，解得m2＜4； 则k1k2， 综上所述，k1•k2的值为． （ⅱ）证明：∵直线DG过点M（1，0），∴设直线DG的方程为x＝ny+1，G（xG，yG），H（xH，yH），则； ∴，联立方程得（n2﹣4）y2+2ny﹣3＝0， 则，得； ∴； 同理可求得，； ①当直线DE斜率存在时，如图所示： ∵D，N，E三点共线，∴kDN＝kEN，即， 则，化简得； 令，即kGT＝kHT，即直线GH过定点； ②当直线DE斜率不存在时，如图所示： 此时xD＝xE＝﹣3，则，解得，； ∴直线GH的方程为，也过定点； ∴直线GH恒过定点． 16．（2026•龙泉驿区校级模拟）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率与双曲线E：x2﹣y2＝2的离心率互为倒数，且椭圆C的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线E的焦距依次构成等比数列． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若双曲线E的虚轴的上端点为B2，问是否存在过点B2的直线l交椭圆C于M，N两点，使得以MN为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）双曲线x2﹣y2＝2的离心率为，设椭圆的半焦距为c， 可得椭圆C的离心率， 由椭圆C的焦距，双曲线E的实轴长、双曲线E的焦距依次构成等比数列，可得， 解得c＝1，，b2＝a2﹣c2＝1． 所以椭圆C的标准方程为； （2）存在直线l，使得以MN为直径的圆过原点． 若双曲线E的虚轴上端点为， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，点M，N为椭圆的上下两个顶点，显然不符合题意； 故直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为， 联立方程组，消去y，整理得， 显然，解得或（*）， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，， 所以， 若MN为直径的圆过原点，则，所以， 所以， 所以，满足（*）式， 所以直线l的方程为或． 17．（2025秋•诸暨市期末）已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为． （1）求双曲线C的离心率e； （2）若点在双曲线C上，直线y＝x+2与C相交于不同的两点A，B，求弦长|AB|的值． 【解答】解：（1）依题意设双曲线C的方程为， 则其渐近线方程为，依题意可得， 所以离心率； （2）由（1）可得双曲线C的方程为， 又点在双曲线C上，所以，解得a2＝1， 所以双曲线C的方程为， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，消去y整理得2x2﹣4x﹣7＝0，显然Δ＞0， 所以x1+x2＝2，， 所以． 18．（2025秋•兴庆区校级月考）已知抛物线上一点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线的一条渐近线与直线AP垂直． （1）求抛物线C1的方程及双曲线C2的离心率； （2）设点M在双曲线C2上，且，求点M到x轴的距离； （3）若抛物线C1上的点Q到直线l：y＝x+10的距离最小，求点Q坐标． 【解答】（1）解：抛物线上点P（1，y0）到焦点的距离为5， 故，解得p＝8，C1的方程为y2＝16x． 将x＝1代入y2＝16x，得y0＝4（y0＞0），即P（1，4）． 双曲线的左顶点A（﹣1，0），直线AP的斜率为． 双曲线渐近线为，由渐近线与AP垂直，得，解得． 双曲线中，故离心率． （2）解：因为，可得MF1⊥MF2，即∠F1MF2＝90°， 不妨设点M在第一象限，由双曲线的定义，可得|MF1|﹣|MF2|＝2， 在直角△MF1F2，可得， 即， 解得，所以△MF1F2的面积为， 又因为△MF1F2的面积为， 解得，所以点M到x轴的距离为． （3）解：设与直线l：y＝x+10平行的直线为l1：y＝x+m， 当直线y＝x+m与抛物线相切时，此时切点Q到直线l的距离最小， 联立方程组，整理得y2﹣16y+16m＝0， 由Δ＝（﹣16）2﹣4×16m＝0，解得m＝4， 将m＝4代入y2﹣16y+16m＝0，可得y2﹣16y+64＝（y﹣8）2＝0，解得y＝8， 所以16x＝82，解得x＝4，所以切点Q的坐标为（4，8）． 19．（2025春•凤庆县校级期末）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P，Q是W上的两点，在△APQ中，边PQ的中点为R．当直线PA的倾斜角为时，有|PF|＝|AF|． （1）求W的离心率； （2）若直线PQ不与x轴平行，且2|AR|＝|PQ|，证明：直线PQ过定点． 【解答】解：已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P，Q是W上的两点，在△APQ中，边PQ的中点为R， （1）设F（c，0），则c2＝1+b2， 当直线PA的倾斜角为时，|PF|＝|AF|，所以PF⊥AF，故P的横坐标为c， 代入W的方程，得y2＝b2c2﹣b2＝b2（c2﹣1）＝b4，则y＝±b2，则|PF|＝b2， 因|PF|＝|AF|，则b2＝1+c，即c2﹣c﹣2＝0，解得c＝2（负值舍去）， 故W的离心率为． （2）证明：由（1）可知，， 因直线PQ不与x轴平行，故设直线PQ：x＝my+n，设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，得（3m2﹣1）y2+6mny+3n2﹣3＝0， 则， 因为2|AR|＝|PQ|，且R是线段PQ的中点，则|AR|＝|PR|＝|QR|， 所以AP⊥AQ，即， ，， 所以（my1+n+1）（my2+n+1）+y1y2＝0， 即， 即 即（m2+1）（3n2﹣3）﹣6m2n（n+1）+（3m2﹣1）（n+1）2＝0， 得2n2﹣2n﹣4＝0，解得n＝2或n＝﹣1， 若n＝﹣1，则直线PQ：x＝my﹣1，过点A，不符合题意； 若n＝2，则直线PQ：x＝my+2，满足Δ＞0，则过定点（2，0）， 则直线PQ过定点（2，0）． 20．（2025秋•新都区校级期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，A是C的左顶点，C的离心率为2．设过F2的直线l交C的右支于P、Q两点，其中P在第一象限． （1）求C的标准方程； （2）若直线AP、AQ分别交直线于M、N两点，证明：为定值； （3）是否存在常数λ，使得∠PF2A＝λ∠PAF2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由． 【解答】解：（1）由题可得，故可得c＝2，则b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3， 故C的标准方程为． （2）证明：由（1）中所求可得点A，F2的坐标分别为（﹣1，0），（2，0）， 又双曲线渐近线为，显然直线PQ的斜率不为零， 故设其方程为x＝my+2，， 联立双曲线方程可得：（3m2﹣1）y2+12my+9＝0， 设点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 则， ， ； 又直线AP方程为：，令，则， 故点M的坐标为； 直线AQ方程为：，令，则， 故点N的坐标为； 则 ， 故为定值0． （3）当直线PQ斜率不存在时， 对曲线，令x＝2，解得y＝±3， 故点P的坐标为（2，3），此时∠PF2A＝90°， 在三角形PF2A中，|AF2|＝3，|PF2|＝3，故可得∠PAF2＝45°， 则存在常数λ＝2，使得∠PF2A＝2∠PAF2成立； 当直线PQ斜率存在时， 不妨设点P的坐标为（x，y），x≠2，直线PF2的倾斜角为α，直线PA的倾斜角为β， 则∠PF2A＝π﹣α，∠PAF2＝β， 假设存在常数λ＝2，使得∠PF2A＝2∠PAF2成立，即π﹣α＝2β， 则一定有：，也即； 又；； 又点P的坐标满足，则y2＝3x2﹣3， 故 ； 故假设成立，存在实数常数λ＝2，使得∠PF2A＝2∠PAF2成立； 综上所述，存在常数λ＝2，使得∠PF2A＝2∠PAF2恒成立． 21．（2026秋•鲤城区校级同步）已知F1（﹣2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|﹣|PF2|＝2，记点P的轨迹为E直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点． （1）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△MPQ面积的最小值． 【解答】解：（1）由|PF1|﹣|PF2|＝2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线的右支， 设轨迹E的方程为，a＞0，b＞0， ∵c＝2，2a＝2，∴b2＝3，故轨迹E的方程为， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣2），P（x1，y1），Q（x2，y2）， 与双曲线方程联立，可得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3＝0， 有，解得k2＞3， . ， ∵MP⊥MQ，∴， 故得3（1﹣m2）+k2（m2﹣4m﹣5）＝0对任意的k2＞3恒成立， ∴解得m＝﹣1， ∴当m＝﹣1时，MP⊥MQ． 当直线l的斜率不存在时，可得P（2，3），则Q（2，﹣3）， 此时有，即此时结论也成立， 综上，当m＝﹣1时，MP⊥MQ； （2）由（1）知M（﹣1，0），当直线l的斜率存在时，， 点M到直线PQ的距离为d，则， ∴， 令k2﹣3＝t（t＞0），则，∵，∴， 当直线l的斜率不存在时，， 综上可知，S△MPQ的最小值为9． 22．（2026•辽宁开学）已知双曲线E：的右焦点为F（2，0），一条渐近线方程为． （1）求E的方程． （2）设O为坐标原点，过点F的直线l与E的右支交于M，N两点，其中点N在第四象限，直线MO与E的另一个交点为R． （i）若|MF|＝5|NF|，求l的方程； （ii）求△MNR面积的取值范围． 【解答】解：（1）设双曲线E的半焦距为c．由题意得，c＝2，，又c2＝a2+b2，所以a＝1，， 所以E的方程为． （2）易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+2，M（x1，y1），N（x2，y2），且y2＜0， 联立，整理得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0， Δ＝（12m）2﹣36（3m2﹣1）＝36（m2+1）＞0，所以， 所以，， 由直线l与E的右支交于两点，得． （i）因为|MF|＝5|NF|，所以，即（x1﹣2，y1）＝5（2﹣x2，﹣y2），所以y1＝﹣5y2， 将其代入，解得，， 所以，整理得8m2﹣1＝0，解得（负值舍去）， 所以直线l的方程为； （ii）由双曲线的对称性知，|MO|＝|RO|， 所以S△MON＝SΔNOR，所以S△MNR＝S△MON．设t＝m2+1，则，则． 设，则， 所以f（t）在上单调递减，故f（t）∈（0，1]，所以， ，故△MNR面积的取值范围为[12，+∞）． 23．（2025秋•广西期末）已知双曲线C的中心为坐标原点，右焦点为，且过点（﹣4，3）． （1）求双曲线C的标准方程； （2）已知点A（4，1），过点（1，0）的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点M，N，直线AN与双曲线C交于另一点P，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2． （i）求证：k1+k2为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标． 【解答】解：（1）设双曲线C的方程为， 因为双曲线C的右焦点为，且过点（﹣4，3）， 所以，其中，解得， 所以双曲线C的方程为； （2）（i）证明：设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）， 由，得（3﹣4k2）x2+8k2x﹣4k2﹣12＝0， 所以，， 因为直线MN与双曲线C的左、右支分别交于点M，N， 所以，得， ， 即； （ii）证明：设直线MP的方程为y＝tx+m，P（x3，y3）， ，得（3﹣4t2）x2﹣8mtx﹣4m2﹣12＝0， ，， 由kAP＝k2，结合（i）可知 ， ①， 又因为x1x3﹣4（x1+x3）+1616， 2tx1x3﹣（m﹣1﹣4t）（x1+x3）﹣8（m﹣1）＝2t•（m﹣1﹣4t）•8（m﹣1）， 所以①式即为， 由，得m2+（5t﹣9）m+4t2﹣9t＝0， 即m＝﹣t，或m＝﹣4t+9， 当m＝﹣t时，直线MP过点（1，0），不符合题意舍去； 当m＝﹣4t+9时，直线MP的方程为y＝t（x﹣4）+9，过定点（4，9）． 24．（2026•河北模拟）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的焦距为，其中的一条渐近线与直线2x+y+3＝0垂直． （1）求C的方程； （2）记C的右顶点为A，横坐标为4的点P在C上，射线AP上的点Q满足|PQ|•|AP|＝28，求点Q的坐标； （3）直线l：y＝tx+n与C交于D，E两点，O为坐标原点．是否存在常数n，使恒为定值？若存在，求出常数n；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）直线2x+y+3＝0的斜率为﹣2，双曲线的一条渐近线与直线2x+y+3＝0垂直， 所以这条渐近线的斜率为． 依题意，可得解得． 所以双曲线的标准方程为：． （2）由题意A（2，0），对于，当x＝4时，，即或． ①当时，，则， 设，λ＞0，由⇒， 即，解得λ＝4，所以，则 ②当时，同法可得． 所以Q点坐标为或． （3）证明：不存在常数n，使恒为定值．理由如下： 如图： 将直线y＝tx+n代入，整理得：（1﹣4t2）x2﹣8ntx﹣4n2﹣4＝0． 由Δ＝64n2t2﹣4（1﹣4t2）（﹣4n2﹣4）＞0可得n2﹣4t2+1＞0， 设D（x1，y1），E（x2，y2），则，， 则． 则 ． 要使为定值，不随t的改变而改变，须使⇒， 该方程在实数范围内无解，故不存在常数n，使为定值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $