第17讲 搭配问题进阶 专题讲义-人教版数学三年级上册奥数培优

第17讲 搭配问题进阶 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心计数原理 （1）分步乘法原理（搭配问题核心） 完成一件事需要分成多个独立步骤，每个步骤有若干种选择，完成这件事的总方法数 = 各步骤方法数相乘。 示例：选上衣和裤子，上衣有 3 种选法，裤子有 2 种选法，总搭配数 = 3×2=6 种。 适用场景：完成一件事必须分步骤，一步都不能少，步骤之间相互独立。 （2）分类加法原理 完成一件事有不同的类别，每一类方案都能独立完成这件事，总方法数 = 各类方法数相加。 示例：选一本书，故事书有 3 本，科技书有 2 本，总选法 = 3+2=5 种。 适用场景：完成一件事有多种独立方案，任选一类即可完成。 2. 四大进阶搭配题型 （1）多类事物搭配 三类及以上事物进行搭配，继续沿用乘法原理，将每类事物的可选方法数连续相乘。 示例：上衣、裤子、鞋子分别有 3、2、2 种，总搭配数 = 3×2×2=12 种。 （2）数字组数问题 本质：有序排列问题，数字位置不同，组成的数不同（如 12 和 21 是两个不同的数）。 关键限制：0 不能放在最高位（十位、百位等）。 方法：先确定最高位的可选数字，再依次确定后面数位的可选数量，分步相乘。 （3）握手 / 比赛问题 本质：无序组合问题，两个人握手、比赛，互相只算一次。 通用公式：个人两两握手 / 比赛，总次数 = 原理：每个人和其余人互动，共次，但每两人之间重复计算了一次，因此除以 2。 （4）路线搭配问题 从起点到终点需要分多段行走，总路线数 = 每一段的路线数相乘；若某一段有不同类别路线，先加后乘。 3. 解题通用步骤 ① 先判断类型：分步完成用乘法，分类完成用加法； ② 确定每一步 / 每一类的可选方法数，注意特殊限制（如 0 不能在首位）； ③ 对应原理列式计算； ④ 检查结果是否存在重复、遗漏，验证是否符合实际场景。 例题讲解 【典型例题 1】两类基础搭配（乘法原理） 妈妈给小丽买了 3 件不同的上衣和 4 条不同的裙子，一件上衣配一条裙子，一共有多少种不同的搭配方法？ 【跟踪训练 1】 早餐店有 2 种不同的包子和 3 种不同的粥，选一种包子配一种粥，一共有多少种不同的早餐搭配？ 【典型例题 2】多类事物搭配（三步乘法） 小明去超市买文具，要选一支笔、一个本子和一块橡皮。笔有 3 种，本子有 4 种，橡皮有 2 种，一共有多少种不同的选购方法？ 【跟踪训练 2】 从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 2 条路，从丙地到丁地有 4 条路。从甲地经乙地、丙地到丁地，一共有多少种不同的走法？ 【典型例题 3】数字组数问题 用 1、2、3 三个数字，能组成多少个没有重复数字的两位数？ 【跟踪训练 3】 用 0、4、5 三个数字，能组成多少个没有重复数字的两位数？ 【典型例题 4】握手问题 4 个小朋友见面，每两个人都要握一次手，一共要握多少次手？ 【跟踪训练 4】 三年级有 5 个班进行足球赛，每两个班都要赛一场，一共要赛多少场？ 巩固练习 1．用奶糖、巧克力糖、水果糖三种糖果装成糖果盒，最少用一种糖果，最多用三种糖果，装成的糖果盒有几种不同的搭配？用你喜欢的方式在下面列一列。 我知道了，一共有（    ）种不同的搭配 2．有A，B，C，D，E五名同学进行乒乓球单打比赛，每两人之间要比赛一场，一共需要比赛多少场？在整个比赛过程中A同学打了几场比赛？B同学打了几场比赛？（先画一画，再算一算） 3．三张数字卡片上分别写着2，6，8，并反扣在桌上。从中任意抽取两张卡片，组成一个两位数，有多少种可能的结果？分别写出可能出现的结果。 4．食堂有5种不同的菜和3种不同的主食，每人只买一种菜和一种主食。菜和主食有多少种搭配方式？在16名同学中，至少有2名同学所买的菜和主食都是相同的。为什么？ 5．用数字2、0、9、5组成不同的四位数，要求中间有0且只读一个零，能组成哪些数？把这些数按从大到小的顺序排列，其中最大的数和最小的数相差多少？ 6．营养专家建议10岁儿童从每餐午饭菜肴中获取的热量应不低于2926千焦，脂肪应不超过50克。在下表中，符合此建议的搭配共有多少种？写出这些搭配（用编号表示）。 编号 菜名 热量/千焦 脂肪/克 ① 猪肉粉条 2462 25 ② 炸鸡排 1254 19 ③ 辣子鸡丁 1033 18 ④ 西红柿鸡蛋 899 15 ⑤ 家常豆腐 1020 16 7．小明有2件上衣和3条裤子，他有多少种穿法？ 8．学校合唱小组有3名男生4名女生，如果选出一名男生和一名女生参加表演，一共有多少种搭配方法？ 9．李华参加跑步比赛，和参加比赛的每个人握一次手，他一共握了7次，参加比赛的一共有多少人？ 10．刺绣是我国民间传统手工艺之一。张阿姨在网上买了3件不同款式的刺绣上衣和4条不同款式的刺绣裤子。如果一件上衣搭配一条裤子，那么张阿姨买的上衣和裤子一共有多少种搭配方法？ 11．一架天平，有1克，2克，5克，10克的砝码各一个，用这架天平最多能称出多少种不同的质量？请清楚地写出思考过程。（砝码只能放在天平的一端） 12．优优要参加演出活动，她有3件不同的上衣和4条不同的裙子可选。1件上衣搭配1条裙子，优优一共有多少种不同的搭配方法？ 13．杨笑去食堂吃午餐，食堂里可供选择的素菜有：清炒土豆丝、油焖茄子、红烧豆角和麻婆豆腐；荤菜有：宫保鸡丁和水煮肉片；还提供了西红柿蛋汤。如果杨笑选择购买一荤一素一汤，他一共有多少种不同的买法？如果购买两个不同的素菜、一个荤菜和一个汤，有多少种不同的买法？ 真题训练 14．小美有三件上衣分别用序号① 、②、③表示，有四条裙子分别用A，B，C，D表示，可以有几种不同的搭配方法？请你用自己喜欢的方式表示出来。 15．学校要从3名男生（小明、小亮、小军）和2名女生（小丽、小芳）中各抽出1人代表学校参加“少儿主持人”大赛，有多少种不同的组队方案？（请你用喜欢的方式表示出来。） 16．如图所示，从少年宫出发经过邮局去图书馆，如果只能往东走或往北走，一共有多少种不同的走法？ 17．下面是某家纺织厂职工食堂一天中作的菜单，刘师傅准备买一荤两素共三个菜，他一共有多少种不同的选择？ 18．小明、小华、小力、小强和小海五名同学进行象棋比赛，每两人都要赛1盘。现在，小明赛了4盘，小华赛了3盘，小力赛了2盘，小强赛了1盘。小海已经赛了几盘？分别是和谁赛的？（先在如图中连线表示已赛的盘数，再回答） 19．动画片里道理多，选上两张作纪念，可以怎样选？把你的选法记下来。 20．下面四匹马分别出场，一共有多少种不同的出场顺序？ 21．三（1）班在筹划参加校运动会接力方案时，决定让本班短跑速度最快的小强同学跑第一棒，其余三名同学跑其他三棒，可以有多少种不同的安排方法？ 22．用卡片上的数组成4个两位数（每个数字只用一次），使其中2个数的和与另2个数的和相等。 23．深圳地铁5号线东起罗湖区黄贝岭站，途经龙岗区、龙华区、南山区、宝安区，西至南山区赤湾站。线路总长47.393千米，一共有34个站点，下图是它的部分站点。从赤湾站到前海湾站一共有8个站点，单程需要准备多少种不同的车票？ 24．笑笑想报名参加学校运动会，运动项目有跳高、跳远、100米赛跑、垒球、400米赛跑和800米赛跑，她有多少种不同的选择？ 25．用下面左边方框里的一个汉字（作为词语的第一个字）和右边方框里的一个汉字，可以组成多少个不同的词语？把它们写出来。 26．每张餐桌都是能坐4人的方桌。当客人在10人以上（含10人）时，餐厅允许客人将2张或3张方桌拼成一张长桌，但每张长桌不能有空位，每张方桌空位不能多于1个。如果某队有16人，共有多少种坐法？画出所有可能的情况。（提示：方桌可用正方形表示，椅子可用圆圈表示。） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 搭配问题进阶 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心计数原理 （1）分步乘法原理（搭配问题核心） 完成一件事需要分成多个独立步骤，每个步骤有若干种选择，完成这件事的总方法数 = 各步骤方法数相乘。 示例：选上衣和裤子，上衣有 3 种选法，裤子有 2 种选法，总搭配数 = 3×2=6 种。 适用场景：完成一件事必须分步骤，一步都不能少，步骤之间相互独立。 （2）分类加法原理 完成一件事有不同的类别，每一类方案都能独立完成这件事，总方法数 = 各类方法数相加。 示例：选一本书，故事书有 3 本，科技书有 2 本，总选法 = 3+2=5 种。 适用场景：完成一件事有多种独立方案，任选一类即可完成。 2. 四大进阶搭配题型 （1）多类事物搭配 三类及以上事物进行搭配，继续沿用乘法原理，将每类事物的可选方法数连续相乘。 示例：上衣、裤子、鞋子分别有 3、2、2 种，总搭配数 = 3×2×2=12 种。 （2）数字组数问题 本质：有序排列问题，数字位置不同，组成的数不同（如 12 和 21 是两个不同的数）。 关键限制：0 不能放在最高位（十位、百位等）。 方法：先确定最高位的可选数字，再依次确定后面数位的可选数量，分步相乘。 （3）握手 / 比赛问题 本质：无序组合问题，两个人握手、比赛，互相只算一次。 通用公式：个人两两握手 / 比赛，总次数 = 原理：每个人和其余人互动，共次，但每两人之间重复计算了一次，因此除以 2。 （4）路线搭配问题 从起点到终点需要分多段行走，总路线数 = 每一段的路线数相乘；若某一段有不同类别路线，先加后乘。 3. 解题通用步骤 ① 先判断类型：分步完成用乘法，分类完成用加法； ② 确定每一步 / 每一类的可选方法数，注意特殊限制（如 0 不能在首位）； ③ 对应原理列式计算； ④ 检查结果是否存在重复、遗漏，验证是否符合实际场景。 例题讲解 【典型例题 1】两类基础搭配（乘法原理） 妈妈给小丽买了 3 件不同的上衣和 4 条不同的裙子，一件上衣配一条裙子，一共有多少种不同的搭配方法？ 【分析】搭配衣服需要分两步：先选上衣、再选裙子，分步完成用乘法原理。上衣有 3 种选法，裙子有 4 种选法，总搭配数为两者的乘积。 【详解】 第一步选上衣：3 种选择 第二步选裙子：4 种选择 总搭配数：（种） 答：一共有 12 种不同的搭配方法。 【答案】种 【跟踪训练 1】 早餐店有 2 种不同的包子和 3 种不同的粥，选一种包子配一种粥，一共有多少种不同的早餐搭配？ 【分析】分两步选包子和粥，分步完成，用乘法原理计算。 【详解】 （种） 答：一共有 6 种不同的早餐搭配。 【答案】种 【典型例题 2】多类事物搭配（三步乘法） 小明去超市买文具，要选一支笔、一个本子和一块橡皮。笔有 3 种，本子有 4 种，橡皮有 2 种，一共有多少种不同的选购方法？ 【分析】选文具分三步：选笔、选本子、选橡皮，每一步相互独立，用乘法原理，将三步的可选数连续相乘。 【详解】 选笔：3 种选择 选本子：4 种选择 选橡皮：2 种选择 总方法数：（种） 答：一共有 24 种不同的选购方法。 【答案】种 【跟踪训练 2】 从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 2 条路，从丙地到丁地有 4 条路。从甲地经乙地、丙地到丁地，一共有多少种不同的走法？ 【分析】全程分三段行走，每段路线数独立，分步用乘法，三段路线数相乘得到总走法。 【详解】 （种） 答：一共有 24 种不同的走法。 【答案】种 【典型例题 3】数字组数问题 用 1、2、3 三个数字，能组成多少个没有重复数字的两位数？ 【分析】组成两位数分两步：先选十位数字，再选个位数字，属于有序排列。十位可以选 1、2、3，共 3 种选择；十位选完后，个位剩下 2 个数字可选。 【详解】 十位：3 种选择（1、2、3） 个位：剩余 2 个数字，2 种选择 总个数：（个） 分别是：12、13、21、23、31、32 答：能组成 6 个没有重复数字的两位数。 【答案】个 【跟踪训练 3】 用 0、4、5 三个数字，能组成多少个没有重复数字的两位数？ 【分析】0 不能放在十位，先确定十位：只能是 4 或 5，共 2 种选择；十位选完后，个位剩下 2 个数字可选。 【详解】 十位：2 种选择（4、5） 个位：剩余 2 个数字，2 种选择 总个数：（个） 分别是：40、45、50、54 答：能组成 4 个没有重复数字的两位数。 【答案】个 【典型例题 4】握手问题 4 个小朋友见面，每两个人都要握一次手，一共要握多少次手？ 【分析】每两人握手一次，属于无序问题。每个人要和其余 3 人握手，4 个人共次，但每两人之间重复计算了一次，因此除以 2。 【详解】 方法一：公式法 （次） 方法二：枚举法 设 4 人为 A、B、C、D A 握手：AB、AC、AD（3 次） B 握手：BC、BD（2 次，已和 A 握过） C 握手：CD（1 次，已和 A、B 握过） 总次数：（次） 答：一共要握 6 次手。 【答案】次 【跟踪训练 4】 三年级有 5 个班进行足球赛，每两个班都要赛一场，一共要赛多少场？ 【分析】每两个班赛一场，和握手问题本质相同，属于无序组合，用公式计算即可。 【详解】 （场） 答：一共要赛 10 场。 【答案】场 巩固练习 1．用奶糖、巧克力糖、水果糖三种糖果装成糖果盒，最少用一种糖果，最多用三种糖果，装成的糖果盒有几种不同的搭配？用你喜欢的方式在下面列一列。 我知道了，一共有（    ）种不同的搭配 【答案】7种； 选1种糖果：奶糖、巧克力糖、水果糖； 选2种糖果：奶糖和巧克力糖、奶糖和水果糖、巧克力糖和水果糖； 选3种糖果：奶糖、巧克力糖和水果糖。 7 【分析】根据题意，糖果盒中可以装1种、2种或3种糖果。我们可以分三类情况进行讨论：只选1种糖果的情况、选2种糖果的情况、选3种糖果的情况。分别找出每种情况的搭配数，最后将三类情况的数量相加即可。 【详解】选1种糖果：奶糖、巧克力糖、水果糖，共3种； 选2种糖果：奶糖和巧克力糖、奶糖和水果糖、巧克力糖和水果糖，共3种； 选3种糖果：奶糖、巧克力糖和水果糖，共1种。 3＋3＋1＝7（种） 答：一共有7种不同的搭配。 2．有A，B，C，D，E五名同学进行乒乓球单打比赛，每两人之间要比赛一场，一共需要比赛多少场？在整个比赛过程中A同学打了几场比赛？B同学打了几场比赛？（先画一画，再算一算） 【答案】 10场；4场；4场 【分析】将比赛问题转化为数线段问题，用连线法避免重复计数，每人比赛场数等于总人数减1。 【详解】作图：画5个点，分别标记为A、B、C、D、E，代表5名同学，每两点间连一条线段，表示两人比赛一场。（画图略） 计算总场次： 按顺序数不重复的线段，A连4条，B连3条（与A的连线不重复计算），C连2条（与A、B的连线不重复计算），D连1条（与A、B、C的连线不重复计算）。 （场） A的比赛场数： A要和其余4名同学各赛一场，（场） B的比赛场数： B要和其余4名同学各赛一场，（场） 3．三张数字卡片上分别写着2，6，8，并反扣在桌上。从中任意抽取两张卡片，组成一个两位数，有多少种可能的结果？分别写出可能出现的结果。 【答案】6种；26，62，28，82，68，86 【分析】采用固定十位法，按顺序将每张数字卡片放在十位，搭配剩余卡片作个位，逐一列举可避免重复或遗漏。 【详解】十位为2时，可组成26、28，共2个； 十位为6时，可组成62、68，共2个； 十位为8时，可组成82、86，共2个。 （种） 答：有6种可能的结果，分别是26、28、62、68、82、86。 4．食堂有5种不同的菜和3种不同的主食，每人只买一种菜和一种主食。菜和主食有多少种搭配方式？在16名同学中，至少有2名同学所买的菜和主食都是相同的。为什么？ 【答案】15种 因为，根据抽屉原理，至少有2名同学的菜和主食搭配方式相同 【分析】先通过乘法计算菜和主食的总搭配数，再把搭配数看作抽屉数，学生数看作物品数，用抽屉原理计算至少数。 【详解】搭配方式： （种） 把15种搭配看作15个抽屉，16名同学看作16个物品。 （名）（名） （名） 答：菜和主食有15种搭配方式，因为，根据抽屉原理，至少有2名同学的菜和主食搭配方式相同。 5．用数字2、0、9、5组成不同的四位数，要求中间有0且只读一个零，能组成哪些数？把这些数按从大到小的顺序排列，其中最大的数和最小的数相差多少？ 【答案】能组成的数：2095、2059、5029、5092、9025、9052、2905、2509、5209、5902、9205、9502 从大到小排列：9502＞9205＞9052＞9025＞5902＞5209＞5092＞5029＞2905＞2509＞2095＞2059 相差7443。 【分析】首先根据“0在中间且只读一个零”确定0要放在中间的百位或十位上，不能放在千位或个位。再把2、9、5用不同的顺序排列，组合出所有符合要求的四位数。然后根据高位数字越大数值越大，排列出所有数的大小，最后找出最大数和最小数，用减法算式计算两数之差。 【详解】1.除0外，剩余数字为2、9、5，这三个数字有6种排列的方式： 295、259、529、592、925、952 再把0插到数中： 当0在百位上时，以上数变为：2095、2059、5029、5092、9025、9052 当0在十位上时，以上数变为：2905、2509、5209、5902、9205、9502 共组成12个不同的四位数。 答：能组成的四位数有：2095、2059、5029、5092、9025、9052、2905、2509、5209、5902、9205、9502。 2.按照从高位开始比较，高位相同比下一位的方法，将12个数逐一按从大到小排列。 答：把这些数按从大到小的顺序排列为：9502＞9205＞9052＞9025＞5902＞5209＞5092＞5029＞2905＞2509＞2095＞2059。 3.12个数中，最大数是9502，最小数是2059，用减法计算两者的差：9502－2059＝7443 答：最大的数和最小的数相差7443。 【点睛】本题难点在符合要求的数较多，如果不按一定的规律和顺序进行排列，很有可能会漏掉一些数字组合。另外对这12个数字进行大小排列也是一个较大的挑战。 6．营养专家建议10岁儿童从每餐午饭菜肴中获取的热量应不低于2926千焦，脂肪应不超过50克。在下表中，符合此建议的搭配共有多少种？写出这些搭配（用编号表示）。 编号 菜名 热量/千焦 脂肪/克 ① 猪肉粉条 2462 25 ② 炸鸡排 1254 19 ③ 辣子鸡丁 1033 18 ④ 西红柿鸡蛋 899 15 ⑤ 家常豆腐 1020 16 【答案】 6种，搭配为：①和②、①和③、①和④、①和⑤、②和④和⑤、③和④和⑤。 【分析】根据题意先从2菜组合的验证，即从5种菜品中选2种共10种组合筛选符合条件的；然后3菜组合的验证，从5种菜品中选3种共10种组合筛选符合条件的，最后统计一下符合搭配的个数和搭配的编号即可。 【详解】符合的：1.①猪肉粉条+②炸鸡排  热量：千焦（≥2926）脂肪：克（≤50）→符合 2.①猪肉粉条＋③辣子鸡丁  热量:千焦（≥2926）脂肪:克（≤50）→符合 3.①猪肉粉条＋④西红柿鸡蛋  热量：千焦（≥2926）脂肪:克（≤50）→符合 4.①猪肉粉条＋⑤家常豆腐  热量:千焦（≥2926）脂肪：克（≤50）→符合 5.②炸鸡排＋④西红柿鸡蛋＋⑤家常豆腐  热量:千焦（≥2926）脂肪:克（≤50）→符合 6.③辣子鸡丁＋④西红柿鸡蛋＋⑤家常豆腐  热量:千焦（≥2926）脂肪:克（≤50）→符合 不符合的：1.②炸鸡排＋③辣子鸡丁  热量:千焦（<2926）→不满足热量要求 2.③辣子鸡丁＋④西红柿鸡蛋  热量:千焦（＜2926）→不满足热量要求 3.①猪肉粉条＋②炸鸡排＋③辣子鸡丁  热量:千焦，脂肪：克＞50→不符合 4.①猪肉粉条＋②炸鸡排＋④西红柿鸡蛋  热量:千焦，脂肪：25+19+15=59克＞50→不符合 5.①猪肉粉条＋②炸鸡排＋⑤家常豆腐  热量:千焦，脂肪：克＞50→不符合 6.①猪肉粉条＋③辣子鸡丁＋④西红柿鸡蛋  热量:千焦，脂肪：克＞50→不符合 7.①猪肉粉条＋③辣子鸡丁＋⑤家常豆腐  热量:千焦，脂肪：克＞50→不符合 8.①猪肉粉条+④西红柿鸡蛋+⑤家常豆腐  热量：千焦，脂肪克＞50→不符合 答：符合此建议的搭配共有6种，搭配为：①和②、①和③、①和④、①和⑤、②和④和⑤、③和④和⑤。 【点睛】问题的难点在于全面列举所有可能的搭配，需考虑从5种菜品中选取2种或3种的所有组合，同时满足双重条件的筛选，计算时需兼顾两个数值的限制。 7．小明有2件上衣和3条裤子，他有多少种穿法？ 【答案】6种 【分析】从2件上衣中选一件有2种选法，从3条裤子中选一条有3种选法，根据乘法原理可知共有2×3＝6（种）不同的搭配穿法，据此解答即可。 【详解】2×3＝6（种） 答：他有6种穿法。 8．学校合唱小组有3名男生4名女生，如果选出一名男生和一名女生参加表演，一共有多少种搭配方法？ 【答案】12种 【分析】每名男生都可以和4名女生中的1名搭配在一起，有4种搭配方法。一共有3名男生，那么就有3个4种搭配方法。据此解答。 【详解】4×3＝12（种） 答：一共有12种搭配方法。 9．李华参加跑步比赛，和参加比赛的每个人握一次手，他一共握了7次，参加比赛的一共有多少人？ 【答案】8人 【分析】李华与参加比赛的人都握手，共握手7次，说明参加比赛的除了李华之外还有7人，再加上李华本人，则参加比赛的共有8人。 【详解】7＋1＝8（人） 答：参加比赛的一共有8人。 10．刺绣是我国民间传统手工艺之一。张阿姨在网上买了3件不同款式的刺绣上衣和4条不同款式的刺绣裤子。如果一件上衣搭配一条裤子，那么张阿姨买的上衣和裤子一共有多少种搭配方法？ 【答案】12种 【分析】根据题意，每件上衣都可以和4条裤子搭配，一共有3件上衣，则总的搭配方法也就是3个4种，由此解答。 【详解】4×3＝12（种） 答：张阿姨买的上衣和裤子一共有12种搭配方法。 11．一架天平，有1克，2克，5克，10克的砝码各一个，用这架天平最多能称出多少种不同的质量？请清楚地写出思考过程。（砝码只能放在天平的一端） 【答案】15种 【分析】由题意得，一共有4个不同的砝码，要想知道能称出多少种不同的质量，可以分类讨论。如果只用1个砝码，那么可以称出的质量有：1克，2克，5克，10克，即可以称出4种不同的质量。如果用2个砝码，那么可以称出的质量有：（1＋2）克，（1＋5）克，（1＋10）克，（2＋5）克，（2＋10）克，（5＋10）克，即可以称出6种不同的质量。如果用3个砝码，那么可以称出的质量有：（1＋2＋5）克，（1＋2＋10）克，（1＋5＋10）克，（2＋5＋10）克，即可以称出4种不同的质量。如果用4个砝码，那么可以称出的质量有：（1＋2＋5＋10）克，即只能称出1种不同的质量。然后把它们全部加起来即可算出用这架天平最多能称出多少种不同的质量。 【详解】如果只用1个砝码，那么可以称出的质量有：1克，2克，5克，10克，即可以称出4种不同的质量。 如果用2个砝码，那么可以称出的质量有： 1＋2＝3（克） 1＋5＝6（克） 1＋10＝11（克） 2＋5＝7（克） 2＋10＝12（克） 5＋10＝15（克），即可以称出6种不同的质量。 如果用3个砝码，那么可以称出的质量有： 1＋2＋5＝3＋5＝8（克） 1＋2＋10＝3＋10＝13（克） 1＋5＋10＝6＋10＝16（克） 2＋5＋10＝7＋10＝17（克），即可以称出4种不同的质量。 如果用4个砝码，那么可以称出的质量有： 1＋2＋5＋10＝3＋5＋10＝8＋10＝18（克），即只能称出1种不同的质量。 4＋6＋4＋1 ＝10＋4＋1 ＝14＋1 ＝15（种） 答：用这架天平最多能称出15种不同的质量。 12．优优要参加演出活动，她有3件不同的上衣和4条不同的裙子可选。1件上衣搭配1条裙子，优优一共有多少种不同的搭配方法？ 【答案】12种 【分析】已知有3件不同的上衣和4条不同的裙子，因为一件上衣有4条裙子可以搭配，那么3件不同的上衣就用3个4种不同的搭配方法，计算出3件上衣有多少种搭配方法。 【详解】3×4＝12（种） 答：优优一共有12种不同的搭配方法。 13．杨笑去食堂吃午餐，食堂里可供选择的素菜有：清炒土豆丝、油焖茄子、红烧豆角和麻婆豆腐；荤菜有：宫保鸡丁和水煮肉片；还提供了西红柿蛋汤。如果杨笑选择购买一荤一素一汤，他一共有多少种不同的买法？如果购买两个不同的素菜、一个荤菜和一个汤，有多少种不同的买法？ 【答案】 8种；12种 【分析】荤菜有2种选择，素菜有4种选择，汤只有1种选择，选择一荤一素一汤则应该是素菜的选择数目乘荤菜的选择数目再乘汤的选择数目。 购买两个不同的素菜、一个荤菜和一个汤。4种不同的素菜，每两个一组，有6种不同的选择，即应该是素菜的选择数目乘荤菜的选择数目再乘汤的选择数目。 【详解】2×4×1＝8（种） 2×6×1＝12（种） 答：如果杨笑选择购买一荤一素一汤，他一共有18种不同的买法；如果购买两个不同的素菜、一个荤菜和一个汤，有12种不同的买法。 真题训练 14．小美有三件上衣分别用序号① 、②、③表示，有四条裙子分别用A，B，C，D表示，可以有几种不同的搭配方法？请你用自己喜欢的方式表示出来。 【答案】有12种搭配方法；①A、①B、 ①C、 ①D、 ②A、②B、②C、②D、③A、③B、③C、③D 【分析】上衣①搭配四条裙子，有四种不同的搭配方法；上衣②搭配四条裙子，有四种不同的搭配方法；上衣③搭配裙子，有四种不同的搭配方法。三件上衣搭配四条裙子，各有四种不同的搭配方法，根据乘法的意义计算出结果，再将每种结果进行罗列即可解答。 【详解】3×4＝12（种） ①搭配情况分别是：①A、①B、 ①C、 ①D、 ②A、②B、②C、②D、③A、③B、③C、③D 答：有12种搭配方法，分别是：①A、①B、 ①C、 ①D、 ②A、②B、②C、②D、③A、③B、③C、③D。 15．学校要从3名男生（小明、小亮、小军）和2名女生（小丽、小芳）中各抽出1人代表学校参加“少儿主持人”大赛，有多少种不同的组队方案？（请你用喜欢的方式表示出来。） 【答案】6种；小明和小丽、小明和小芳、小亮和小丽、小亮和小芳、小军和小丽、小军和小芳 【分析】根据题意可知，从3名男生中抽出1人，从2名女生中抽出1人，可以组成一个参赛队伍。当男生选择小明时，女生可以选小丽或小芳。同理男生还可以选小亮或小军，一共有6种不同的组队方案。将所有的组队方案列举出来即可。 【详解】3×2＝6（种） 答：有6种不同的组队方案，分别是小明和小丽、小明和小芳、小亮和小丽、小亮和小芳、小军和小丽、小军和小芳。 16．如图所示，从少年宫出发经过邮局去图书馆，如果只能往东走或往北走，一共有多少种不同的走法？ 【答案】6种 【分析】由题意可知，只能往东走或往北走，则从少年宫到邮局共有2条路，从邮局到图书馆共有3条路，所以共有2×3＝6种不同的走法。 【详解】2×3＝6（种） 答：一共有6种不同的走法，。 17．下面是某家纺织厂职工食堂一天中作的菜单，刘师傅准备买一荤两素共三个菜，他一共有多少种不同的选择？ 【答案】12种 【分析】素菜有三种，选择其中的两种素菜有3种不同的选择，每种选择又都可以搭配一种荤菜，所以，刘师傅一共有3×4＝12种不同选择。据此解答即可。 【详解】3×4＝12（种） 答：他一共有12种不同的选择。 18．小明、小华、小力、小强和小海五名同学进行象棋比赛，每两人都要赛1盘。现在，小明赛了4盘，小华赛了3盘，小力赛了2盘，小强赛了1盘。小海已经赛了几盘？分别是和谁赛的？（先在如图中连线表示已赛的盘数，再回答） 【答案】图见详解；小海已经赛了2盘，分别和小明、小华赛的 【分析】5位同学进行象棋比赛，那么每人最多下4盘比赛，根据“小明已经赛了4盘，小华赛了3盘，小力赛了2盘，小强赛了1盘”，在图中连线表示已赛的盘数，找出都有谁和小海下了棋，从而找出小海下了几盘。据此解答即可。 【详解】 由图可知：小海已经赛了2盘，分别和小明、小华赛的。 答：小海已经赛了2盘，分别和小明、小华赛的。 19．动画片里道理多，选上两张作纪念，可以怎样选？把你的选法记下来。 【答案】小鲤鱼历险记，西游记；小鲤鱼历险记，海绵宝宝；小鲤鱼历险记，哪吒；小鲤鱼历险记，芭比公主；西游记，海绵宝宝；西游记，哪吒；西游记，芭比公主；海绵宝宝，哪吒；海绵宝宝，芭比公主；哪吒，芭比公主。 【分析】如果先选小鲤鱼历险记的话，另一张可以选西游记或海绵宝宝或哪吒或芭比公主； 如果先选西游记的话，另一张可以选小鲤鱼历险记或海绵宝宝或哪吒或芭比公主，其中西游记和小鲤鱼历险记重复了需要去掉一种；如果先选海绵宝宝的话，另一张可以选西游记或小鲤鱼历险记或哪吒或芭比公主，其中海绵宝宝和西游记，海绵宝宝和小鲤鱼历险记重复，需要去掉重复的，如果选哪吒，哪吒和小鲤鱼历险记，哪吒和西游记，哪吒和海绵宝宝都已经有了，所以只需要选芭比公主即可，芭比公主跟另外四种都搭配过了，所以不需要再搭配据此解题。 【详解】小鲤鱼历险记，西游记；小鲤鱼历险记，海绵宝宝；小鲤鱼历险记，哪吒；小鲤鱼历险记，芭比公主；西游记，海绵宝宝；西游记，哪吒；西游记，芭比公主；海绵宝宝，哪吒；海绵宝宝，芭比公主；哪吒，芭比公主。共有10种。 20．下面四匹马分别出场，一共有多少种不同的出场顺序？ 【答案】24种 【分析】一共有4匹马，第一出场的有4种选择，第一出场的选定后，第二出场的有3种选择，第二出场的选定后，第三出场的有2种选择，第三出场的选定后，第4出场的只有一种选择，所以用4×3×2即为所求。 【详解】4×3×2 ＝12×2 ＝24（种） 答：一共有24种不同的出场顺序。 21．三（1）班在筹划参加校运动会接力方案时，决定让本班短跑速度最快的小强同学跑第一棒，其余三名同学跑其他三棒，可以有多少种不同的安排方法？ 【答案】6种 【分析】小强确定是第一棒，第二棒有3种选择，第二棒选定后，第三棒有两种可能，此时第四棒只有一种可能，小强，小华，小军，小力；小强，小华，小力，小军；小强，小军，小华，小力；小强，小军，小力，小华；小强，小力，小军，小华；小强，小力，小华，小军；共6种方法。 【详解】小强，小华，小军，小力；小强，小华，小力，小军； 小强，小军，小华，小力；小强，小军，小力，小华； 小强，小力，小军，小华；小强，小力，小华，小军； 答：共6种方法。 22．用卡片上的数组成4个两位数（每个数字只用一次），使其中2个数的和与另2个数的和相等。 【答案】12＋87＝34＋65 【分析】需要找出可以两两相加和相等的两组数，比如1与8的和是9，2与7的和是9，3与6的和是9，4与5的和是9，在组数时可以把和相同的一组数分别放在十位和个位上，如：12＋87＝34＋65，13＋86＝24＋75，21＋78＝43＋56，可任意组合，据此答题。 【详解】12＋87＝34＋65（答案不唯一） 23．深圳地铁5号线东起罗湖区黄贝岭站，途经龙岗区、龙华区、南山区、宝安区，西至南山区赤湾站。线路总长47.393千米，一共有34个站点，下图是它的部分站点。从赤湾站到前海湾站一共有8个站点，单程需要准备多少种不同的车票？ 【答案】28种 【分析】依次从1号站到其他各站需要7种不同车票、从2号站到其他各站需要6种不同车票、从3号站到其他各站需要5种不同车票…… 【详解】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（种） 答：单程需要准备28种不同的车票。 24．笑笑想报名参加学校运动会，运动项目有跳高、跳远、100米赛跑、垒球、400米赛跑和800米赛跑，她有多少种不同的选择？ 【答案】15种 【分析】从6个项目中选2项，假设第一个项目选跳高，那么第二个项目还有5种选择；如果第一个项目选跳远，因为跳高已经选了，所以第二个项目有4种选择；如果第一个项目选100米赛跑，因为跳高和跳远已经选了，所以第二个项目有3种选择；以此类推即可。再把所有的情况相加；据此可解此题。 【详解】5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋3＋2＋1 ＝12＋2＋1 ＝14＋1 ＝15（种） 答：她有15种不同的选择。 25．用下面左边方框里的一个汉字（作为词语的第一个字）和右边方框里的一个汉字，可以组成多少个不同的词语？把它们写出来。 【答案】8个；分别是上课、上车、上来、上山、下课、下车、下来、下山。 【分析】根据题中图片可知，左边方框里有二个汉字，右边方框里有四个汉字，用左边方框里的一个汉字（作为词语的第一个字）和右边方框里的一个汉字组成不同的词语，左边的第一个汉字可以分别和右边的四个汉字组成4个不同的词语，左边的第二个汉字也可以分别和右边的四个汉字组成4个不同的词语，合在一起就是4＋4＝8（个），再分别写出这8个词语即可。 【详解】根据题意经过分析得： 4＋4＝8（个） 分别是：上课、上车、上来、上山、下课、下车、下来、下山。 答：可以组成8个不同的词语，分别是上课、上车、上来、上山、下课、下车、下来、下山。 26．每张餐桌都是能坐4人的方桌。当客人在10人以上（含10人）时，餐厅允许客人将2张或3张方桌拼成一张长桌，但每张长桌不能有空位，每张方桌空位不能多于1个。如果某队有16人，共有多少种坐法？画出所有可能的情况。（提示：方桌可用正方形表示，椅子可用圆圈表示。） 【答案】6种，图见详解 【分析】一共有16个人，人数超过10人，则可以将方桌拼成长桌。用2张拼成一个长桌，则每个长桌可以坐6人。用3张拼成一个长桌，则每个长桌可以坐8人。注意方桌是可以最多有1个空位的，也就是说方桌可以坐3人，几张桌子的人数加起来的和为16即可，分情况讨论： （1）若全是方桌，则16＝4×4＝3＋3＋3＋3＋3＋4； （2）若至少有1张6人长桌时，由于每张长桌不能有空位，先安排6人，剩下的10人中可以有长桌，也可以有方桌。即16＝6＋6＋4＝6＋3＋3＋4； （3）若至少有1张8人长桌，先安排好8人，剩下的8人可以是8人的长桌，也可以组合6人长桌和方桌。16＝8＋8＝8＋4＋4。 【详解】（1）全是方桌，有两种坐法； （2）至少有1张6人长桌时，有两种坐法； （3）至少有1张8人长桌，只有两种坐法。 2＋2＋2＝6（种） 答：共有6种坐法。 【点睛】注意题目中的方桌是可以有空位的，按照规律一一列出，才能不会漏，也不会多。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $