专题9：数学广角 搭配问题（思维拓展）人教版数学三年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 9：数学广角 搭配问题 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 2 考点一：两类事物搭配（分步计数） 2 考点二：简单排列问题 4 考点三：简单组合问题 5 第三部分 易错避坑指南 6 易错点 1：排列组合混淆，有序无序不分 6 易错点 2：数字排列忽略 0 不能在首位 6 易错点 3：搭配问题重复计数 6 易错点 4：枚举遗漏情况 6 易错点 5：多段路线漏算分支 7 第四部分 分层进阶专题精练 8 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 8 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 8 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 10 一、能力进阶篇解析 10 二、思维拓展篇解析 11 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版三年级上册数学广角《搭配问题》核心内容，以 “有序思考→分类计数→方法优化” 为主线，系统覆盖两类事物搭配、简单数字排列、握手组合问题三大核心模块，渗透有序思考、分类计数、推理优化等核心数学素养。 专题遵循 “衣服搭配→数字组数→握手问题” 的教材认知路径；理解搭配问题的核心是有序思考，做到结果不重复、不遗漏；掌握连线枚举、分步计算等方法，能解决穿衣、路线、组数、握手等实际问题，延伸路线计数、排队排列、组队组合等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“综合与实践” 领域要求，与 2024 版最新教材进度完全同步，培养有序逻辑思维，为后续排列组合系统学习筑牢基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 两类搭配问题 上衣裤子、路线选择等两类事物搭配；分步计数 连线法、分步计算法 重复计算同一种搭配，遗漏组合情况 简单排列问题 数字组数、排队问题；有序排列 固定首位法、有序枚举法 0 不能在首位，排列顺序不同算不同情况 简单组合问题 握手、组队、选礼物；无序组合 分类枚举法、累加计算法 顺序不同算同一种，重复计数 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 连线枚举法 简单搭配 / 组合题 ①固定一类事物；②依次和另一类连线；③数线得总数 先固定，再连线，数清楚，不重复 分步计算法 两类搭配问题 ①确定第一步几种选择；②确定第二步几种选择；③相乘得总数 分步骤，数选择，乘一乘，得总数 固定首位法 排列问题 ①固定第一个位置；②依次排后面位置；③累加总数 定首位，按序排，不遗漏，不重复 分类计数法 组合问题 ①按分类标准枚举；②去掉重复情况；③累加总数 分类数，去重复，加一加，得结果 三、数学思维提升 1. 有序思维 核心要点：思考问题时按照一定的顺序，逐一列举所有可能的情况，不重复、不遗漏，培养有条理思考的习惯。 专题示例：用数字摆两位数时，先固定十位，再换个位，就是有序思维的体现。 2. 分类思维 核心要点：根据问题的特征，分成不同的类别分别计数，再把各类结果相加，保证覆盖所有情况，培养分类思考的能力。 专题示例：搭配问题分上衣、下装两类分别计数，就是分类思维的应用。 3. 推理建模思维 核心要点：把实际搭配问题转化为数学模型，用分步计算的方法快速得出结果，不用逐一枚举，培养建模与推理能力。 专题示例：3 件上衣和 2 条裤子，搭配数就是种，就是推理建模思维的体现。 4. 优化思维 核心要点：在多种方案中选择最优方案，或者用更简便的方法解决计数问题，培养优化意识与策略思维。 专题示例：握手问题用累加公式计算，比逐一枚举更简便，就是优化思维的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：两类事物搭配（分步计数） 能力进阶（★★★）—— 穿衣搭配问题 题目： 小红有 3 件不同的上衣，2 条不同的裤子，一件上衣配一条裤子，一共有多少种不同的穿法？ 解题步骤： ① 方法一：连线枚举法。固定 3 件上衣，每件上衣分别和 2 条裤子连线，每件上衣对应 2 种穿法。 ② 方法二：分步计算法。第一步选上衣，有 3 种选择；第二步选裤子，有 2 种选择；总穿法：（种）。 ③ 验证：枚举所有情况，上衣 1 配裤子 1、上衣 1 配裤子 2、上衣 2 配裤子 1、上衣 2 配裤子 2、上衣 3 配裤子 1、上衣 3 配裤子 2，共 6 种，结果正确。 【答案】一共有 6 种不同的穿法。 【知识点睛】本题考查两类事物的搭配问题，对应教材核心情境。解题方法：分步计数，完成第一步有几种选择，完成第二步有几种选择，总搭配数就是两步选择数相乘。注意：搭配是一类选一个组合起来，和顺序无关，不要重复计算同一种搭配的不同顺序。 思维拓展（★★★★）—— 路线搭配问题 题目： 从家到超市有 3 条路，从超市到公园有 2 条路。小明从家出发经过超市到公园，一共有多少条不同的路线？ 解题步骤： ① 分析路线结构：分两段走，家→超市，超市→公园，两段路线互相搭配。 ② 分步计数：从家到超市有 3 种选择，对应每一条到超市的路，再到公园都有 2 条路。 ③ 总路线数：（条）。 ④ 验证：给路编号，家到超市的路分别是 A、B、C，超市到公园是 1、2，路线有 A1、A2、B1、B2、C1、C2，共 6 条。 【答案】一共有 6 条不同的路线。 【知识点睛】本题是路线搭配的拓展奥数题型。解题核心：分步计数原理，第一段的每种选择都对应第二段的所有选择，总数量 = 段 1 选择数 × 段 2 选择数。易错点：容易漏算某一段的路线，或者重复计算。方法总结：多段路线问题，段段相乘得总数。 考点二：简单排列问题 能力进阶（★★★）—— 数字组数问题 题目： 用 1、3、5 三个数字，能组成多少个没有重复数字的两位数？ 解题步骤： ① 固定十位法：先固定十位上的数字，再依次搭配个位数字。 · 十位是 1：个位可以是 3、5，组成 13、15，共 2 个； · 十位是 3：个位可以是 1、5，组成 31、35，共 2 个； · 十位是 5：个位可以是 1、3，组成 51、53，共 2 个。 · ② 累加总数：（个）。 · ③ 验证：按从小到大排列：13、15、31、35、51、53，共 6 个，没有重复。 【答案】能组成 6 个没有重复数字的两位数。 【知识点睛】本题考查数字排列问题，对应教材核心题型。解题方法：固定首位法，先固定最高位，依次排列后面的数位，保证有序不遗漏。注意：两位数的十位不能是 0，如果有 0，0 不能放在首位。 思维拓展（★★★★）—— 排队排列问题 题目： 3 个同学排成一排照相，一共有多少种不同的排法？ 解题步骤： ① 固定第一位法：给三个同学编号甲、乙、丙。 · 第一位站甲：后面两位可以是乙丙、丙乙，2 种排法； · 第一位站乙：后面两位可以是甲丙、丙甲，2 种排法； · 第一位站丙：后面两位可以是甲乙、乙甲，2 种排法。 · ② 累加总数：（种）。 · ③ 规律总结：3 个人排队，排法数 =种。 【答案】一共有 6 种不同的排法。 【知识点睛】本题是排队排列的奥数拓展题。解题方法：固定第一个位置，依次排列后面的位置，累加所有排法。规律：n 个人排成一排，排法总数是从 n 开始依次乘到 1，三年级可以通过枚举理解，不用记忆公式。注意：排列和顺序有关，顺序不同算不同的排法。 考点三：简单组合问题 能力进阶（★★★）—— 握手问题 题目： 4 个同学见面，每两个人握一次手，一共要握多少次手？ 解题步骤： ① 固定第一人法。给同学编号 1、2、3、4。 · 1 号和 2、3、4 握手，3 次； · 2 号和 3、4 握手（和 1 号已经握过），2 次； · 3 号和 4 握手（和 1、2 号已经握过），1 次； · 4 号都握过了，0 次。 · ② 累加总数：（次）。 · ③ 验证：连线法，每两人之间连一条线，数线段，共 6 条，对应 6 次握手。 【答案】一共要握 6 次手。 【知识点睛】本题考查握手组合问题，对应教材组合类核心题型。解题核心：组合问题和顺序无关，两个人握手只算一次，不能重复算。方法总结：n 个人握手，总次数 =，从 n-1 加到 1。易错点：每两人握手算成两次，导致结果翻倍。 思维拓展（★★★★）—— 组队组合问题 题目： 从 4 名女生和 2 名男生中选 1 名女生和 1 名男生做主持人，一共有多少种不同的选法？ 解题步骤： ① 分析：分两步选，先选女生，再选男生，每选一个女生都对应所有男生的选法。 ② 分步计数：选女生有 4 种选择，选男生有 2 种选择。 ③ 总选法：（种）。 ④ 验证：给女生编号女 1、女 2、女 3、女 4，男生男 1、男 2，组合有女 1 男 1、女 1 男 2、女 2 男 1、女 2 男 2…… 共 8 种。 【答案】一共有 8 种不同的选法。 【知识点睛】本题是两类组合的拓展奥数题。解题关键：分两类选择，每类选一个，总组合数等于两类选择数相乘。注意：这是分步选不同类，属于搭配型组合，用乘法计算；如果是同一类中选两个，就是握手型组合，用加法累加。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：排列组合混淆，有序无序不分 错误示例：握手问题，算成每人握几次再乘人数，结果翻倍。 正确分析：排列和顺序有关，组合和顺序无关；握手是组合，每两人只算一次。 修正方法：判断 “交换顺序算不算新的情况”，算就是排列，不算就是组合。 易错点 2：数字排列忽略 0 不能在首位 错误示例：用 0、1、2 摆两位数，算成 6 个。 正确分析：两位数的十位不能是 0，0 在首位不是两位数。 修正方法：数字组数，先看最高位，0 不能放首位，固定首位时排除 0。 易错点 3：搭配问题重复计数 错误示例：上衣配裤子，把 “上衣 1 配裤子 1” 和 “裤子 1 配上衣 1” 算成两种。 正确分析：搭配是一类一个组合，和顺序无关，只算一种。 修正方法：固定一类，依次和另一类搭配，避免来回重复计算。 易错点 4：枚举遗漏情况 错误示例：排队问题，只列举两种排法，漏掉其他可能。 正确分析：有序枚举，固定第一位，换第二位，依次全部列出来。 修正方法：按顺序枚举，数一个标一个，确保不重不漏。 易错点 5：多段路线漏算分支 错误示例：两段路线，只算第一段的数量，不加第二段的搭配。 正确分析：每一条第一段路线，都对应所有第二段路线，用乘法计算总数。 修正方法：分步计数，第一步几种，第二步几种，相乘得总数。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 有 2 件不同的上衣，4 条不同的裙子，一件上衣配一条裙子，一共有（ ）种不同穿法。 2. 用 2、4、6 三个数字，能组成（ ）个没有重复数字的两位数。 3. 3 个小朋友握手，每两人握一次，一共握（ ）次。 4. 从学校到少年宫有 2 条路，从少年宫到动物园有 3 条路。从学校经过少年宫到动物园，一共有（ ）条不同路线。 5. 用 0、3、5 三个数字，能组成（ ）个没有重复数字的两位数。 6. 3 个同学排成一排做操，一共有（ ）种不同的排法。 7. 有 3 本不同的故事书和 2 本不同的漫画书，选一本故事书和一本漫画书，一共有（ ）种选法。 8. 4 支球队比赛，每两队赛一场，一共要赛（ ）场。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 用 1、2、3、4 四个数字，能组成多少个没有重复数字的两位数？ 10. 5 个人握手，每两人握一次，一共要握多少次？ 11. 从 3 名男生和 3 名女生中选 1 名男生和 1 名女生参加比赛，一共有多少种不同的选法？ 12. 小明有 2 顶不同的帽子，3 件不同的上衣，2 条不同的裤子，一顶帽子、一件上衣、一条裤子搭配，一共有多少种不同的搭配？ 13. 用 0、1、2、3 能组成多少个没有重复数字的两位数？ 14. 有 5 个同学，每两人之间通一次电话，一共要通多少次电话？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】8 解题步骤： ① 上衣 2 种选择，裙子 4 种选择； ② 总穿法：种。 【知识点睛】考查两类搭配，分步相乘计数。 2. 【答案】6 解题步骤： ① 固定十位：十位 2、4、6 各对应 2 个个位，共个。 【知识点睛】考查数字排列，固定首位法有序计数。 3. 【答案】3 解题步骤： ① 2+1=3 次。 【知识点睛】考查握手组合问题，累加计数。 4. 【答案】6 解题步骤： ① 条。 【知识点睛】考查路线搭配，分步相乘得总数。 5. 【答案】4 解题步骤： ① 十位只能是 3 或 5，各对应 2 个个位，共个（30、35、50、53）。 【知识点睛】考查含 0 的数字排列，0 不能在首位。 6. 【答案】6 解题步骤： ① 固定第一位，种。 【知识点睛】考查排队排列，有序枚举不遗漏。 7. 【答案】6 解题步骤： ① 故事书 3 种，漫画书 2 种，种。 【知识点睛】考查两类选书搭配，分步相乘。 8. 【答案】6 解题步骤： ① 3+2+1=6 场。 【知识点睛】考查单循环比赛组合问题，累加计数。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】12 个 解题步骤： ① 十位可以是 1、2、3、4，共 4 种选择； ② 每个十位对应 3 个个位，总个数：个。 【知识点睛】考查多位数字排列，固定首位法分步计数。 10. 【答案】10 次 解题步骤： ① 4+3+2+1=10 次。 【知识点睛】考查多人握手组合，从人数减 1 依次加到 1。 11. 【答案】9 种 解题步骤： ① 男生 3 种选择，女生 3 种选择； ② 总选法：种。 【知识点睛】考查男女组队搭配，分步相乘。 12. 【答案】12 种 解题步骤： ① 帽子 2 种，上衣 3 种，裤子 2 种； ② 总搭配：种。 【知识点睛】考查三类搭配，分步依次相乘。 13. 【答案】9 个 解题步骤： ① 十位可以是 1、2、3，共 3 种选择； ② 每个十位对应 3 个个位，总个数：个。 【知识点睛】考查含 0 的两位数排列，0 不能在首位。 14. 【答案】10 次 解题步骤： ① 4+3+2+1=10 次。 【知识点睛】考查通话组合问题，和握手问题同理，每两人只算一次。 1 学科网（北京）股份有限公司 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