第8讲 测量中的间隔问题 专题讲义-人教版数学三年级上册奥数培优

第8讲 测量中的间隔问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 一、间隔问题核心本质 所有间隔问题通用核心公式：间隔数 = 端点总数 − 1 核心口诀：有头有尾，间隔少一；封闭围成，间隔相等。 三大量关系：总长 = 间距 × 间隔数；间距 = 总长 ÷ 间隔数；间隔数 = 总长 ÷ 间距。 二、四大经典模型（必考全覆盖） 模型一：直线植树问题（3种情况） 1. 两端都栽（马路、小路常规植树）：棵数 = 间隔数 + 1、间隔数 = 棵数 − 1 2. 只栽一端（靠墙、路口端点不栽）：棵数 = 间隔数 3. 两端都不栽（两楼之间植树）：棵数 = 间隔数 − 1、间隔数 = 棵数 + 1 模型二：封闭植树问题（圆形、正方形、池塘） 首尾相连无端点，棵数 = 间隔数，无加不减，直接对应。 模型三：锯木头/剪绳子问题 核心逻辑：锯、剪的动作产生间隔，段数比次数多1。 段数 = 次数 + 1、次数 = 段数 − 1 总时间 = 单次时间 × 锯的次数（不是段数） 模型四：爬楼梯、敲钟问题 1. 爬楼梯：楼层差为间隔，实际层数 = 终点楼层 − 起点楼层（1楼不用爬） 2. 敲钟问题：钟声是端点，等待时间是间隔，间隔数 = 敲钟次数 − 1 三、培优进阶知识点 1. 两侧植树：算出一侧数量再×2； 2. 间隔距离测量：利用间隔数反推总长度、单间距； 3. 归一思想：先求1个间隔的时间/长度，再求总量； 4. 变式综合：植树+长度单位换算、间隔+路程计算综合题型。 四、高频易错点汇总 1. 混淆棵数与间隔数，忘记“+1、−1”； 2. 锯木头用段数算时间，不用次数； 3. 爬楼梯直接用终点楼层当层数，不减起始楼层； 4. 封闭图形多加1、多减1； 5. 两侧植树忘记乘2。 例题讲解 【典型例题1】两端都栽植树问题（基础必考） 一条小路长40米，从头到尾每隔5米种一棵树，两端都栽，一共要种多少棵树？ 【跟踪训练1】 一条公路长60米，从头到尾每隔6米栽一棵树（两端都栽），一共栽多少棵？ 【典型例题2】两端都不栽植树问题 两栋楼之间相距36米，每隔4米栽一棵树（两端不栽），一共栽多少棵？ 【跟踪训练2】 两面墙之间相距45米，每隔5米摆一盆花（两端不摆），一共摆多少盆？ 【典型例题3】封闭图形植树问题 一个圆形池塘周长80米，每隔8米栽一棵树，一共栽多少棵？ 【跟踪训练3】 正方形花坛周长60米，每隔5米摆一盆花，一共摆多少盆？ 【典型例题4】锯木头时间问题（高频易错） 把一根木头锯成5段，每锯一次需要3分钟，一共需要多少分钟？ 【跟踪训练4】 一根木条锯成6段，每锯一次4分钟，全部锯完需要几分钟？ 【典型例题5】爬楼梯问题 小明从1楼爬到4楼需要6分钟，照这样计算，从1楼爬到6楼需要几分钟？ 【跟踪训练5】 小红从1楼爬到3楼用4分钟，爬到7楼一共需要几分钟？ 【典型例题6】敲钟间隔问题 时钟敲3下用4秒，敲6下需要几秒？ 【跟踪训练6】 时钟敲4下用6秒，敲8下需要多少秒？ 巩固练习 1. 一条长50米的小路，两端都栽树，每隔5米一棵，一共栽多少棵？ 2. 两楼之间相距40米，每隔4米栽一棵树（两端不栽），能栽多少棵？ 3. 圆形操场周长100米，每隔10米插一面旗，一共插多少面？ 4. 把木头锯成4段，每锯一次5分钟，一共需要多少分钟？ 5. 小明从1楼到5楼用8分钟，照这样速度，到8楼需要几分钟？ 6. 时钟敲5下用8秒，敲10下需要几秒？ 7. 一条道路长72米，一侧栽树，只栽一端，每隔8米一棵，栽多少棵？ 8. 一根钢管锯成8段，需要锯几次？每次3分钟，总用时多少？ 9. 小区小路长80米，两端都栽，每隔10米一棵，小路两侧一共栽多少棵？ 10. 长方形花坛周长90米，每隔9米摆一盆花，封闭摆放，一共多少盆？ 11. 从2楼走到6楼需要8分钟，从2楼走到9楼需要几分钟？ 12. 一根绳子剪7次，分成几段？如果每段长4米，绳子总长多少米？ 真题训练 1.（期末真题）一条马路长90米，马路一侧两端都种树，每隔6米一棵，一共种多少棵？ 2.（培优真题）两栋教学楼之间相距63米，每隔7米栽一棵，两端不栽，栽多少棵？ 3.（希望杯真题）圆形跑道周长120米，每隔8米插一面彩旗，一共插多少面？ 4.（重点校真题）一根木料锯成6段用时20分钟，锯一次需要几分钟？ 5.（期末真题）小强从1楼跑到4楼用9秒，速度不变，跑到7楼需要几秒？ 6.（奥数真题）时钟敲6下用10秒，敲12下需要多少秒？ 7.（培优真题）一段路长48米，一侧植树只栽一端，每隔4米一棵，一共多少棵？ 8.（期末压轴真题）一根木头锯5次，分成几段？每段长6分米，木头总长多少分米？ 9.（希望杯真题）笔直公路长60米，两侧植树，两端都栽，每隔5米一棵，两侧共多少棵？ 10.（分班考真题）圆形花园周长150米，每隔10米栽一棵月季，一共栽多少棵？ 11.（期末真题）小李从3楼走到7楼用12分钟，从3楼走到10楼需要几分钟？ 12.（思维训练真题）一根彩带剪4次，每段长8厘米，彩带原长多少厘米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 测量中的间隔问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 一、间隔问题核心本质 所有间隔问题通用核心公式：间隔数 = 端点总数 − 1 核心口诀：有头有尾，间隔少一；封闭围成，间隔相等。 三大量关系：总长 = 间距 × 间隔数；间距 = 总长 ÷ 间隔数；间隔数 = 总长 ÷ 间距。 二、四大经典模型（必考全覆盖） 模型一：直线植树问题（3种情况） 1. 两端都栽（马路、小路常规植树）：棵数 = 间隔数 + 1、间隔数 = 棵数 − 1 2. 只栽一端（靠墙、路口端点不栽）：棵数 = 间隔数 3. 两端都不栽（两楼之间植树）：棵数 = 间隔数 − 1、间隔数 = 棵数 + 1 模型二：封闭植树问题（圆形、正方形、池塘） 首尾相连无端点，棵数 = 间隔数，无加不减，直接对应。 模型三：锯木头/剪绳子问题 核心逻辑：锯、剪的动作产生间隔，段数比次数多1。 段数 = 次数 + 1、次数 = 段数 − 1 总时间 = 单次时间 × 锯的次数（不是段数） 模型四：爬楼梯、敲钟问题 1. 爬楼梯：楼层差为间隔，实际层数 = 终点楼层 − 起点楼层（1楼不用爬） 2. 敲钟问题：钟声是端点，等待时间是间隔，间隔数 = 敲钟次数 − 1 三、培优进阶知识点 1. 两侧植树：算出一侧数量再×2； 2. 间隔距离测量：利用间隔数反推总长度、单间距； 3. 归一思想：先求1个间隔的时间/长度，再求总量； 4. 变式综合：植树+长度单位换算、间隔+路程计算综合题型。 四、高频易错点汇总 1. 混淆棵数与间隔数，忘记“+1、−1”； 2. 锯木头用段数算时间，不用次数； 3. 爬楼梯直接用终点楼层当层数，不减起始楼层； 4. 封闭图形多加1、多减1； 5. 两侧植树忘记乘2。 例题讲解 【典型例题1】两端都栽植树问题（基础必考） 一条小路长40米，从头到尾每隔5米种一棵树，两端都栽，一共要种多少棵树？ 【分析】先根据总长和间距求出间隔数，两端都栽，棵数=间隔数+1。 【详解】 间隔数：40÷5=8（个） 棵数：8+1=9（棵） 【答案】一共要种9棵树 【跟踪训练1】 一条公路长60米，从头到尾每隔6米栽一棵树（两端都栽），一共栽多少棵？ 【分析】先求间隔数，两端都栽棵数加1。 【详解】 间隔数：60÷6=10（个） 棵数：10+1=11（棵） 【答案】11棵 【典型例题2】两端都不栽植树问题 两栋楼之间相距36米，每隔4米栽一棵树（两端不栽），一共栽多少棵？ 【分析】楼间植树两端无端点，棵数=间隔数−1，先算间隔数再减1。 【详解】 间隔数：36÷4=9（个） 棵数：9-1=8（棵） 【答案】8棵 【跟踪训练2】 两面墙之间相距45米，每隔5米摆一盆花（两端不摆），一共摆多少盆？ 【分析】两端无物体，盆数=间隔数−1。 【详解】 间隔数：45÷5=9（个） 盆数：9-1=8（盆） 【答案】8盆 【典型例题3】封闭图形植树问题 一个圆形池塘周长80米，每隔8米栽一棵树，一共栽多少棵？ 【分析】封闭图形首尾相连，棵数=间隔数，无需加减。 【详解】 间隔数：80÷8=10（个） 棵数=10（棵） 【答案】10棵 【跟踪训练3】 正方形花坛周长60米，每隔5米摆一盆花，一共摆多少盆？ 【分析】封闭图形，盆数=间隔数。 【详解】 60÷5=12（盆） 【答案】12盆 【典型例题4】锯木头时间问题（高频易错） 把一根木头锯成5段，每锯一次需要3分钟，一共需要多少分钟？ 【分析】锯木头关键：次数=段数−1，总时间=单次时间×次数，不是×段数。 【详解】 次数：5-1=4（次） 总时间：4×3=12（分钟） 【答案】12分钟 【跟踪训练4】 一根木条锯成6段，每锯一次4分钟，全部锯完需要几分钟？ 【分析】先求锯的次数，再算总时间。 【详解】 次数：6-1=5（次） 时间：5×4=20（分钟） 【答案】20分钟 【典型例题5】爬楼梯问题 小明从1楼爬到4楼需要6分钟，照这样计算，从1楼爬到6楼需要几分钟？ 【分析】1楼不用爬，爬楼层数=终点−起点，先求爬一层的时间，再算总时间。 【详解】 1→4楼层数：4-1=3（层） 每层时间：6÷3=2（分钟） 1→6楼层数：6-1=5（层） 总时间：5×2=10（分钟） 【答案】10分钟 【跟踪训练5】 小红从1楼爬到3楼用4分钟，爬到7楼一共需要几分钟？ 【分析】先求单层用时，再算总层数、总时间。 【详解】 1→3层：3-1=2（层），单层：4÷2=2（分钟） 1→7层：7-1=6（层），总时间：6×2=12（分钟） 【答案】12分钟 【典型例题6】敲钟间隔问题 时钟敲3下用4秒，敲6下需要几秒？ 【分析】敲钟间隔数=次数−1，先求单个间隔时间，再算总时长。 【详解】 3下间隔：3-1=2（个），单个间隔：4÷2=2（秒） 6下间隔：6-1=5（个），总时间：5×2=10（秒） 【答案】10秒 【跟踪训练6】 时钟敲4下用6秒，敲8下需要多少秒？ 【分析】间隔数比次数少1，归一求解。 【详解】 4下间隔：4-1=3（个），单间隔：6÷3=2（秒） 8下间隔：8-1=7（个），总时间：7×2=14（秒） 【答案】14秒 巩固练习 1. 一条长50米的小路，两端都栽树，每隔5米一棵，一共栽多少棵？ 【分析】两端都栽，棵数=间隔数+1。 【详解】 间隔数：50÷5=10（个） 棵数：10+1=11（棵） 【答案】11棵 2. 两楼之间相距40米，每隔4米栽一棵树（两端不栽），能栽多少棵？ 【分析】两端不栽，棵数=间隔数−1。 【详解】 间隔数：40÷4=10（个） 棵数：10-1=9（棵） 【答案】9棵 3. 圆形操场周长100米，每隔10米插一面旗，一共插多少面？ 【分析】封闭图形，数量=间隔数。 【详解】 100÷10=10（面） 【答案】10面 4. 把木头锯成4段，每锯一次5分钟，一共需要多少分钟？ 【分析】次数=段数−1，总时间=次数×单次时间。 【详解】 次数：4-1=3（次） 时间：3×5=15（分钟） 【答案】15分钟 5. 小明从1楼到5楼用8分钟，照这样速度，到8楼需要几分钟？ 【分析】先算1到5楼层数，求单层时间，再算1到8楼总时间。 【详解】 1→5层：5-1=4（层），单层：8÷4=2（分钟） 1→8层：8-1=7（层），总时间：7×2=14（分钟） 【答案】14分钟 6. 时钟敲5下用8秒，敲10下需要几秒？ 【分析】间隔数=次数−1，先归一再求总时间。 【详解】 5下间隔：5-1=4（个），单间隔：8÷4=2（秒） 10下间隔：10-1=9（个），总时间：9×2=18（秒） 【答案】18秒 7. 一条道路长72米，一侧栽树，只栽一端，每隔8米一棵，栽多少棵？ 【分析】只栽一端，棵数=间隔数。 【详解】 72÷8=9（棵） 【答案】9棵 8. 一根钢管锯成8段，需要锯几次？每次3分钟，总用时多少？ 【分析】次数=段数−1，再计算总时间。 【详解】 次数：8-1=7（次） 总时间：7×3=21（分钟） 【答案】锯7次，用时21分钟 9. 小区小路长80米，两端都栽，每隔10米一棵，小路两侧一共栽多少棵？ 【分析】先算一侧棵数，再乘2得两侧总数。 【详解】 一侧间隔：80÷10=8（个），一侧棵数：8+1=9（棵） 两侧：9×2=18（棵） 【答案】18棵 10. 长方形花坛周长90米，每隔9米摆一盆花，封闭摆放，一共多少盆？ 【分析】封闭图形，盆数=间隔数。 【详解】 90÷9=10（盆） 【答案】10盆 11. 从2楼走到6楼需要8分钟，从2楼走到9楼需要几分钟？ 【分析】起始楼层为2楼，层数=终点−起点，归一求解。 【详解】 2→6层数：6-2=4（层），单层：8÷4=2（分钟） 2→9层数：9-2=7（层），总时间：7×2=14（分钟） 【答案】14分钟 12. 一根绳子剪7次，分成几段？如果每段长4米，绳子总长多少米？ 【分析】剪的次数=间隔数，段数=次数+1，总长=段数×单段长。 【详解】 段数：7+1=8（段） 总长：8×4=32（米） 【答案】分成8段，总长32米 真题训练 1.（期末真题）一条马路长90米，马路一侧两端都种树，每隔6米一棵，一共种多少棵？ 【分析】两端都栽模型，先求间隔数再加1。 【详解】 间隔数：90÷6=15（个） 棵数：15+1=16（棵） 【答案】16棵 2.（培优真题）两栋教学楼之间相距63米，每隔7米栽一棵，两端不栽，栽多少棵？ 【分析】楼间植树，两端无树，棵数=间隔数−1。 【详解】 间隔数：63÷7=9（个） 棵数：9-1=8（棵） 【答案】8棵 3.（希望杯真题）圆形跑道周长120米，每隔8米插一面彩旗，一共插多少面？ 【分析】封闭间隔问题，数量与间隔数相等。 【详解】 120÷8=15（面） 【答案】15面 4.（重点校真题）一根木料锯成6段用时20分钟，锯一次需要几分钟？ 【分析】先求锯的次数，总时间÷次数=单次时间。 【详解】 次数：6-1=5（次） 单次时间：20÷5=4（分钟） 【答案】4分钟 5.（期末真题）小强从1楼跑到4楼用9秒，速度不变，跑到7楼需要几秒？ 【分析】爬楼间隔问题，先求单层用时，再算总用时。 【详解】 1→4层数：4-1=3（层），单层：9÷3=3（秒） 1→7层数：7-1=6（层），总时间：6×3=18（秒） 【答案】18秒 6.（奥数真题）时钟敲6下用10秒，敲12下需要多少秒？ 【分析】敲钟看间隔，归一法求解总时长。 【详解】 6下间隔：6-1=5（个），单间隔：10÷5=2（秒） 12下间隔：12-1=11（个），总时间：11×2=22（秒） 【答案】22秒 7.（培优真题）一段路长48米，一侧植树只栽一端，每隔4米一棵，一共多少棵？ 【分析】只栽一端，棵数=间隔数。 【详解】 48÷4=12（棵） 【答案】12棵 8.（期末压轴真题）一根木头锯5次，分成几段？每段长6分米，木头总长多少分米？ 【分析】段数=次数+1，总长=段数×单段长度。 【详解】 段数：5+1=6（段） 总长：6×6=36（分米） 【答案】6段，总长36分米 9.（希望杯真题）笔直公路长60米，两侧植树，两端都栽，每隔5米一棵，两侧共多少棵？ 【分析】先算单侧数量，再乘2求两侧总数。 【详解】 单侧间隔：60÷5=12（个），单侧棵数：12+1=13（棵） 两侧总数：13×2=26（棵） 【答案】26棵 10.（分班考真题）圆形花园周长150米，每隔10米栽一棵月季，一共栽多少棵？ 【分析】封闭间隔模型，棵数等于间隔数。 【详解】 150÷10=15（棵） 【答案】15棵 11.（期末真题）小李从3楼走到7楼用12分钟，从3楼走到10楼需要几分钟？ 【分析】固定起始楼层，先算单层用时，再求总时间。 【详解】 3→7层数：7-3=4（层），单层：12÷4=3（分钟） 3→10层数：10-3=7（层），总时间：7×3=21（分钟） 【答案】21分钟 12.（思维训练真题）一根彩带剪4次，每段长8厘米，彩带原长多少厘米？ 【分析】先求分段数量，再用段数乘单段长度得总长。 【详解】 段数：4+1=5（段） 总长：5×8=40（厘米） 【答案】40厘米 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $