奥数培优第8讲 乘除法应用题（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

【人教版】小学三年级上册奥数培优讲义★★★★★ 第 8 讲 乘除法应用题 【课程信息表】 项目 内容 建议课时 1 课时（60 分钟） 难度星级 ★★★☆☆（培优） 前置知识 表内乘除法、有余数除法、倍数初步认识、加减法应用题 核心方法 线段图分析法、还原倒推法、和差倍公式法、归一法、差额法 【学习目标】 维度 具体目标 知识与技能 掌握乘除法应用题的基本数量关系；能正确解决倍数问题、平均数问题、还原问题、归一问题、差倍问题、配套问题等典型题型；学会用综合算式解答两步及以上应用题，并能进行检验。 过程与方法 经历“读题→画线段图→列式→检验”的完整解题流程；学会从问题出发或从条件出发分析数量关系；会用线段图把倍数、差倍等抽象关系直观化。 思维品质 提升数形结合能力；发展逆向思维（还原问题）；建立“先求单一量”的对应思想；养成答案代回检验的严谨习惯。 情感与应用 感受乘除法在购物、分配、生产等生活中的广泛应用；增强解决实际问题的信心；养成认真审题、有序思考的好习惯。 【前言】 同学们，我们已经能熟练运用表内乘除法，也学会了用加减法解决生活中的问题。今天这节课，我们要掌握一把更厉害的“武器”——乘除法，用它来解决生活中更多的实际问题。 先来动动脑筋，把下面的数量关系补充完整： ① 一本练习本 4 元，买 6 本一共要多少元？——（　　）×（　　）= 总价。 ② 12 支铅笔平均分给 3 个小朋友，每人分到几支？——总数 ÷（　　）= 每份数。 ③ 小华有 18 张贴纸，小丽有 6 张，小华的是小丽的几倍？——大数 ÷（　　）= 倍数。 是不是发现了？这三类问题分别对应“单价×数量”“总数÷份数”“大数÷小数”三种基本数量关系。今天我们要解决的题目，就是围绕这些关系变化出来的。 最重要的是——画线段图！把抽象的倍数关系变成看得见的一条条线段，难题就能迎刃而解啦！ 一、知识导航 1. 基本数量关系 关系类型 基本公式 乘法基本关系 相同加数 × 个数 = 总数；单价 × 数量 = 总价 倍数关系 小数 × 倍数 = 大数；大数 ÷ 倍数 = 小数；大数 ÷ 小数 = 倍数 除法基本关系 被除数 ÷ 除数 = 商；除数 × 商 = 被除数 有余数除法 被除数 = 除数 × 商 + 余数 平均数关系 总数 ÷ 总份数 = 平均数；平均数 × 总份数 = 总数 归一关系 总量 ÷ 数量 = 单一量；单一量 × 数量 = 总量 2. 六大典型题型 图1 六大题型知识地图 这张知识地图告诉我们：拿到一道乘除法应用题，先判断它属于哪一类，再调用对应的方法。六大题型的特点与解法，我们将在“典例精讲”中逐个攻克。 3. 解题四步法 图2 解题四步法 读题 → 画线段图 → 列式计算 → 检验作答。每一步都要落到实处：读题要圈出已知条件和所求问题；画线段图要标出“1 倍量”；列式要写出完整的计算过程；最后一定要把答案代回原题检验。 二、典例精讲 本讲共 6 道例题，覆盖六大题型。建议先自己尝试独立完成，再对照详解检查思路。 【例 1】倍数问题——图书室借书 题目：学校图书室开展读书活动。三年级同学借书 45 本，四年级同学借书的本数是三年级的 3 倍还多 8 本。四年级借了多少本？两个年级一共借了多少本？ 思路分析：把三年级借书的本数看作“1 份”，四年级就是“3 份还多 8 本”。先求出四年级的本数，再求两个年级的总数。因为三年级 1 份＋四年级 3 份＝4 份，所以总数也可以看成“4 份还多 8 本”，计算更简便。 图3 例1 倍数问题线段图 详解： 四年级借书：45 × 3 + 8 = 135 + 8 = 143（本） 两个年级一共：143 + 45 = 188（本） 一题多解（简便方法）：两个年级一共可以看成“三年级的 4 倍多 8 本”：45 × 4 + 8 = 180 + 8 = 188（本）。 答：四年级借了 143 本，两个年级一共借了 188 本。 检验：四年级 143 本，143 − 8 = 135（本），135 ÷ 45 = 3，确实是三年级的 3 倍还多 8 本。 💡 方法点睛 倍数问题先确定“1 倍量”。求“几倍多几 / 少几”用“先乘后加（减）”；当题目还要求总数时，把整倍数部分合并成（倍数＋1）份再计算，又快又不易错。 【例 2】平均数问题——装箱的梨 题目：王叔叔把摘下的梨装箱。先装了 3 箱，每箱 10 千克；又装了 2 箱，每箱 20 千克。这些梨平均每箱重多少千克？ 思路分析：求平均数，要先算出梨的总质量，再除以总箱数。本题还可以用“移多补少”来想：以 14 千克为标准，3 箱各少 4 千克共少 12 千克，2 箱各多 6 千克共多 12 千克，多的正好补少的，平均数就是 14 千克。 图4 例2 平均数问题·移多补少图 详解： 先装的 3 箱共重：10 × 3 = 30（千克） 后装的 2 箱共重：20 × 2 = 40（千克） 梨的总质量：30 + 40 = 70（千克） 平均每箱：70 ÷ 5 = 14（千克） 一题多解（移多补少）：先想一个“中间数”14，3 箱各比 14 少 4 千克，共少 12 千克；2 箱各比 14 多 6 千克，共多 12 千克。多出的 12 千克正好补上少的 12 千克，所以平均每箱就是 14 千克。 答：这些梨平均每箱重 14 千克。 检验：14 × 5 = 70（千克），与梨的总质量相同，说明计算正确。 💡 方法点睛 平均数 = 总数 ÷ 总份数。第一步先求总数，第二步看清楚“总份数”是几（不是看到几个数就除以几）。当数据“有多有少”时，用“移多补少”可以直接看出平均数。 【例 3】还原问题——分气球 题目：联欢会上，老师带来一袋气球。他先把气球平均分成 5 份，把其中 4 份分给第一组，自己留 1 份；又把留下的这 1 份平均分成 3 份，把其中 2 份分给第二组，自己留 1 份。最后自己留的这 1 份有 8 个气球。老师一共带来了多少个气球？ 思路分析：从最后的结果“自己留的 1 份有 8 个”出发，一步步往前倒推。“平均分成 3 份”倒推就要“×3”，“平均分成 5 份”倒推就要“×5”。顺着题意从前往后算很难，倒着推却很简单。 图5 例3 还原问题流程图 详解： 第二步倒推（第一次分后留下的 1 份）：8 × 3 = 24（个） 第一步倒推（原来气球总数）：24 × 5 = 120（个） 综合算式：8 × 3 × 5 = 24 × 5 = 120（个） 答：老师一共带来了 120 个气球。 检验（顺着算）：120 个平均分成 5 份，每份 24 个；留下 1 份 24 个，再平均分成 3 份，每份正好 8 个。与题意相符。 💡 方法点睛 还原问题从最后结果出发倒推：“平均分”倒推用乘法，“拿走、送出”倒推用加法，“多出”倒推用减法。倒推完一定要顺着题目再算一遍检验，确保没有推错方向。 【例 4】归一问题——包装糖果 题目：糖果厂 2 小时包装了 180 袋糖果，照这样的速度：(1) 5 小时能包装多少袋？(2) 包装 540 袋需要多少小时？ 思路分析：题目给的是“2 小时 180 袋”，要求“5 小时多少袋”和“540 袋要几小时”，关键是先求出“1 小时包装多少袋”，这个“1 小时包装的袋数”就是“单一量”。 图6 例4 归一问题数量关系图 详解： 先求单一量（1 小时包装）：180 ÷ 2 = 90（袋） (1) 5 小时能包装：90 × 5 = 450（袋） (2) 包装 540 袋需要：540 ÷ 90 = 6（小时） 答：5 小时能包装 450 袋；包装 540 袋需要 6 小时。 检验：450 ÷ 5 = 90（袋/时），540 ÷ 6 = 90（袋/时），两种情况下每小时都是 90 袋，说明速度不变、计算正确。 💡 方法点睛 归一问题先求“单一量”（1 份是多少）。求“总量”用乘法：单一量 × 数量；求“数量 / 份数”用除法：总量 ÷ 单一量。先归一，再乘除，思路就清晰了。 【例 5】差倍问题——果园的树 题目：果园里苹果树的棵数是梨树的 5 倍，苹果树比梨树多 48 棵。苹果树和梨树各有多少棵？ 思路分析：把梨树的棵数看作“1 份”，苹果树就是“5 份”。苹果树比梨树多 5 − 1 = 4 份，这 4 份正好对应 48 棵。先求出 1 份（梨树）的棵数，再求苹果树的棵数。 图7 例5 差倍问题线段图 详解： 苹果树比梨树多的份数：5 − 1 = 4（份） 1 份的棵数（梨树）：48 ÷ 4 = 12（棵） 苹果树：12 × 5 = 60（棵） 答：梨树有 12 棵，苹果树有 60 棵。 检验：60 − 12 = 48（棵），60 ÷ 12 = 5，苹果树确实是梨树的 5 倍，条件全部满足。 💡 方法点睛 差倍问题公式：差 ÷（倍数 − 1）= 小数（1 倍量），小数 × 倍数 = 大数。关键是：多出来的数量对应的是（倍数 − 1）份，而不是倍数份！线段图上把“多的几份”标出来，就不会错。 【例 6】配套问题——组装三轮车 题目：玩具厂要组装三轮车，每辆三轮车需要 1 个车架和 3 个车轮。车间现有 46 个车架、78 个车轮。组装多少辆三轮车后，剩下的车架和车轮数量正好相等？ 思路分析：每组装 1 辆三轮车，用掉 1 个车架和 3 个车轮，车轮比车架多用 3 − 1 = 2 个。原来车轮比车架多 78 − 46 = 32 个。要让剩下的两者相等，就要把多出的 32 个车轮“消耗掉”，每辆消耗 2 个。 图8 例6 配套问题差额图 详解： 原来车轮比车架多：78 − 46 = 32（个） 每组装 1 辆，车轮比车架多用：3 − 1 = 2（个） 需要组装：32 ÷ 2 = 16（辆） 答：组装 16 辆三轮车后，剩下的车架和车轮数量正好相等。 检验：组装 16 辆后，车架剩 46 − 16 = 30（个），车轮剩 78 − 3 × 16 = 78 − 48 = 30（个），正好相等。 💡 方法点睛 配套问题先找两种物品的“差额”，再求“每配套 1 份的消耗差”，用“差额 ÷ 消耗差 = 配套份数”。这类题用“差额法”比硬列算式更直观，算完一定要检验剩余数量是否相等。 三、方法总结表 题型 突破口 核心公式 / 方法 检验方法 倍数问题 找“1 倍量” 大数 = 小数 × 倍数 ± 几（先乘后加减） 代回原题验证倍数关系 平均数问题 先求总数 总数 ÷ 总份数 = 平均数 平均数 × 总份数 = 总数 还原问题 从结果倒推 乘变除、除变乘、加变减、减变加 顺着题目条件算一遍 归一问题 先求单一量 总量 ÷ 数量 = 单一量；单一量 × 数量 = 总量 单一量代回看是否一致 差倍问题 找差和倍数 差 ÷（倍数 − 1）= 小数；小数 × 倍数 = 大数 验证差与倍数都符合 配套问题 找差额 差额 ÷ 每份消耗差 = 配套份数 算出剩余量看是否相等 和倍问题（延伸） 找和与倍数 和 ÷（倍数 + 1）= 小数；小数 × 倍数 = 大数 验证和与倍数都符合 四、解题口诀 乘除应用题·口诀 审题先弄清，谁是一倍量；倍数求大数，先乘再加减。 平均先求总，总份数别忘；还原倒着推，逆运算帮忙。 归一先求一，再乘或再除；差倍用公式，差除以倍减一。 配套找差额，除以消耗差；画好线段图，算完要检验！ 边读边记，再结合例题用一用，口诀就会变成你自己的解题本领。 五、习题分层训练 训练分为 A、B、C 三级：A 组基础过关，B 组能力提升，C 组挑战冲刺。请按自己的水平选做，做完后对照“参考答案与详细解析”检查，并坚持把答案代回原题检验。 A 组｜基础过关 【A1】 5 本同样的练习本共 20 元，买 8 本这样的练习本需要多少元？ 【A2】 学校舞蹈队有 18 人，合唱队的人数是舞蹈队的 4 倍少 5 人。合唱队有多少人？ 【A3】 小明家一周（7 天）共用电 63 度，平均每天用电多少度？ 【A4】 一根绳子，第一次用去全长的一半，第二次又用去剩下的一半，这时还剩 6 米。这根绳子原来长多少米？ B 组｜能力提升 【B1】 学校买来一批图书。故事书有 36 本，科技书比故事书的 2 倍多 8 本，连环画比故事书少 12 本。三种书一共有多少本？ 【B2】 四（1）班图书角有 5 个书架，平均每个书架有 40 本书。前 4 个书架分别有 40 本、38 本、42 本、44 本，第 5 个书架有多少本书？ 【B3】 妈妈带小明去超市，先花去所带钱的一半买食品，又花了 12 元买饮料，最后还剩 18 元。妈妈一共带了多少钱？ 【B4】 甲、乙两筐苹果共重 80 千克，甲筐的质量是乙筐的 3 倍。两筐各重多少千克？ C 组｜挑战冲刺 【C1】 一捆电线，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次又用去剩下的一半，这时还剩 15 米。这捆电线原来长多少米？ 【C2】 玩具厂组装小汽车，每辆小汽车需要 1 个车身和 4 个车轮。现在有 52 个车身、118 个车轮，最多能组装多少辆小汽车？此时还剩多少个车轮？ 【C3】 甲、乙两个数相除，商是 3，被除数比除数多 28。甲、乙两个数各是多少？（提示：商是 3，说明被除数是除数的 3 倍。） 九、参考答案与详细解析 A 组答案与解析 【A1】答案：32 元。 解析：先求 1 本练习本的价钱（单一量）：20 ÷ 5 = 4（元）；买 8 本：4 × 8 = 32（元）。检验：32 ÷ 8 = 4（元），符合题意。 【A2】答案：67 人。 解析：合唱队的人数是舞蹈队的 4 倍少 5 人，先乘后减：18 × 4 − 5 = 72 − 5 = 67（人）。检验：67 + 5 = 72（人），72 ÷ 18 = 4，符合题意。 【A3】答案：9 度。 解析：平均数 = 总数 ÷ 总份数：63 ÷ 7 = 9（度）。检验：9 × 7 = 63（度），符合题意。 【A4】答案：24 米。 解析：还原问题倒推：第二次用去一半后还剩 6 米，则第二次用之前有 6 × 2 = 12（米）；第一次用去一半后剩 12 米，则原来长 12 × 2 = 24（米）。综合算式：6 × 2 × 2 = 24（米）。检验：24 米先用一半剩 12 米，再用一半剩 6 米，符合题意。 B 组答案与解析 【B1】答案：140 本。 解析：科技书：36 × 2 + 8 = 80（本）；连环画：36 − 12 = 24（本）；三种书一共：36 + 80 + 24 = 140（本）。检验：140 − 36 − 24 = 80（本），符合题意。 【B2】答案：36 本。 解析：5 个书架总数：40 × 5 = 200（本）；前 4 个书架：40 + 38 + 42 + 44 = 164（本）；第 5 个书架：200 − 164 = 36（本）。检验：前 4 个的平均约 41 本，补上第 5 个 36 本后平均为 200 ÷ 5 = 40（本），符合题意。 【B3】答案：60 元。 解析：还原问题倒推：买饮料后剩 18 元，买食品后应有 18 + 12 = 30（元）；这 30 元是所带钱的一半，所以妈妈带了 30 × 2 = 60（元）。综合算式：（18 + 12）× 2 = 60（元）。检验：60 元一半 30 元买食品，剩 30 元，花 12 元，剩 18 元，符合题意。 【B4】答案：甲筐 60 千克，乙筐 20 千克。 解析：和倍问题：把乙筐看作 1 份，甲筐就是 3 份，一共 4 份对应 80 千克。乙筐：80 ÷（3 + 1）= 20（千克）；甲筐：20 × 3 = 60（千克）。检验：60 + 20 = 80（千克），60 ÷ 20 = 3，符合题意。 C 组答案与解析 【C1】答案：66 米。 解析：还原问题倒推。第二次用去剩下的一半后还剩 15 米，则第一次用后剩 15 × 2 = 30（米）；这 30 米是“全长的一半少 3 米”，所以全长的一半是 30 + 3 = 33（米），全长 33 × 2 = 66（米）。检验：全长 66 米，一半 33 米，多用 3 米即第一次用 36 米，剩 30 米；第二次用一半剩 15 米，符合题意。 【C2】答案：最多组装 29 辆，还剩 2 个车轮（车身还剩 23 个）。 解析：118 ÷ 4 = 29（辆）……2（个），车轮最多够 29 辆；车身 52 个，够 52 辆。取较少者，最多组装 29 辆。此时用去车轮 4 × 29 = 116（个），还剩 118 − 116 = 2（个）；车身用去 29 个，还剩 52 − 29 = 23（个）。检验：29 辆需要 116 个车轮，剩余 2 个车轮已不够再装 1 辆，符合“最多”。 【C3】答案：甲数 42，乙数 14。 解析：商是 3，说明甲数（被除数）是乙数（除数）的 3 倍；甲数比乙数多 28。差倍问题：乙数 = 28 ÷（3 − 1）= 14；甲数 = 14 × 3 = 42。检验：42 ÷ 14 = 3，42 − 14 = 28，符合题意。 十、本讲小结 ✦ 本讲核心：用乘除法解决生活中的实际问题，关键是先分析清楚题目中的数量关系，再选择合适的题型方法。 ✦ 六大题型（记一记）： 倍数问题——先找“1 倍量”，求大数用乘法，求小数用除法； 平均数问题——先求总数，再除以总份数； 还原问题——从结果倒推，用逆运算； 归一问题——先求单一量，再乘或除； 差倍问题——差 ÷（倍数 − 1）= 小数； 配套问题——差额 ÷ 每份消耗差 = 配套份数。 ✦ 解题流程：读题 → 画线段图 → 列式计算 → 检验作答。 ✦ 重要习惯：单位不统一先统一单位；算完一定代回原题检验；倍数问题先确定谁是“1 倍量”。 十一、易错警示与学习建议 ⚠ 易错警示 常见错误 正确做法 见“倍”就乘：看到“倍”字就用乘法，不分析求的是大数还是小数。 先确定谁是“1 倍量”：求大数（几倍的数）用乘法，求小数（1 倍量）用除法。 平均数乱除：把已知数直接相加后除以 2，不看总份数。 平均数 = 总数 ÷ 总份数，先求总数，再看清楚总共有几份。 还原顺着算：还原问题从前往后列算式，越算越乱。 从最后结果倒推：“乘变除、除变乘、加变减、减变加”，倒推完顺着检验。 差倍公式记错：用“差 ÷ 倍数”求小数，忘记减 1。 差 ÷（倍数 − 1）= 小数，因为多出来的是（倍数 − 1）份，不是倍数份。 单位不统一：元 / 角、时 / 分混在一起算，导致答案错误。 先统一单位（都换成分、都换成元），计算完再换回合适的单位。 算完不检验：答案算出来就结束，代回原题对不上也不知道。 把答案代回原题，顺着题目条件算一遍，检查所有条件是否都满足。 ✓ 学习建议 1. 养成画线段图的习惯：倍数问题、差倍问题一定要画线段图，把“1 倍量”、几倍量、差都标出来，数量关系一目了然。 2. 先判断题型再选方法：读完题先判断是哪种类型（倍数 / 平均 / 还原 / 归一 / 差倍 / 配套），再回忆对应方法，不要拿到题就乱算。 3. 还原问题画流程图：把变化过程用箭头画出来（如：总数→÷5→留 1 份→÷3→8 个），再从后往前倒推，不容易出错。 4. 多题对比找区别：把和倍、差倍、和差三种题放在一起对比，记住各自的公式和适用条件，避免混淆。 5. 重视检验环节：每道题算完都花 10 秒钟代回原题检验，养成习惯后考试能避免很多粗心错误。 6. 联系生活实际：买东西算总价、平均分东西、算速度……多观察生活中的数学问题，越用越熟练。 十二、课后速览卡 学完本讲，把下面这张“速览卡”记在脑子里。遇到应用题时，先对号入座，再动手计算，最后别忘了检验！ 题型 一句话解法 倍数问题 先找 1 倍量：求大数先乘后加减，求小数用除法。 平均数问题 总数 ÷ 总份数 = 平均数；数据有多有少可用移多补少。 还原问题 从最后结果倒推，乘变除、除变乘、加变减、减变加。 归一问题 先求单一量，求总量用乘法，求份数用除法。 差倍问题 差 ÷（倍数 − 1）= 小数，小数 × 倍数 = 大数。 配套问题 差额 ÷ 每份消耗差 = 配套份数，算完检验剩余量。 解题四步法：读题 → 画线段图 → 列式计算 → 检验作答。做题时按这四步走，条理清晰不出错！ ✨ 结课寄语 数学来源于生活，又服务于生活。掌握了乘除法应用题，你就能解决生活中更多的实际问题了！ 祝贺你完成本讲的学习，为努力学习的你点赞！ 学科网（北京）股份有限公司 $