第14讲 分数的意义拓展 专题讲义-人教版数学三年级上册奥数培优

第14讲 分数的意义拓展 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 一、分数核心定义（奥数必考前提） 分数成立的唯一条件：必须平均分，不平均分的物体、图形，不能用分数表示。 1.分数意义：把一个整体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，叫做分数。 2.整体拓展：整体不只是单个图形、单个物体，多个物体组成的集合也可以看作一个整体（奥数核心拓展点）。 3.分数三部分名称： 分数线：表示平均分；分母（下方）：表示平均分成的总份数；分子（上方）：表示取的份数。 二、基础分数分类与读法 1.几分之一：把整体平均分成几份，取其中 1 份，如、； 2.几分之几：把整体平均分成几份，取其中几份，如、。 读法：先读分母，再读 “分之”，最后读分子。例：读作：五分之三。 三、奥数核心公式：求一个数的几分之几是多少 本讲最重要解题公式（所有应用题通用）： 每份数量 = 整体总数 ÷ 分母（总份数） 所求数量 = 每份数量 × 分子（取出份数） 解题口诀：先除后乘，先分后取。 四、分数大小比较规律（培优拓展） 1.分母相同，分子越大，分数越大（份数越多越大）； 2.分子相同，分母越大，分数越小（分的份数越多，每份越小）； 3.拓展易错：分数大小和整体大小有关，不同整体的分数不能直接比大小。 五、分数简单运算规则 1.同分母分数相加减：分母不变，分子相加减； 2.整体可以看作 “1”：……，用于求剩余分数。 六、奥数高频拓展题型 1.多物体整体分数问题（一堆物品、一组物体平均分）； 2.已知总数，求几分之几对应的具体数量； 3.分数剩余问题：整体−取出分数 = 剩余分数； 4.对比型分数问题：同一整体不同分数对比、不同整体分数辨析； 5.逆向思维：已知部分数量，求整体总数（拔高题型）。 七、高频易错点汇总 1.忘记 “平均分” 前提，随意用分数表示； 2.混淆分子分母：总份数写分子、取出份数写分母； 3.多物体整体不会计算，只会单个图形分数； 4.求几分之几时，只除不乘，漏算第二步； 5.把不同整体的分数直接比较大小，逻辑错误； 6.计算剩余问题时，不会把整体看作 1。 例题讲解 【典型例题 1】多物体整体分数基础题 有 12 个苹果，平均分成 4 份，每份是这些苹果的几分之几？3 份是这些苹果的几分之几？对应多少个苹果？ 【跟踪训练 1】 有 18 颗糖果，平均分成 6 份，2 份是这些糖果的几分之几？有多少颗？ 【典型例题 2】求一个数的几分之几（奥数必考） 一本书有 30 页，小明看了全书的，小明看了多少页？ 【跟踪训练 2】 班级有 45 名同学，其中的同学参加跳绳比赛，参加跳绳的有多少人？ 【典型例题 3】分数剩余问题（培优进阶） 一根彩带，第一次用去全长的，第二次用去全长的，还剩全长的几分之几？ 【跟踪训练 3】 一桶水，倒出，又倒出，还剩这桶水的几分之几？ 【典型例题 4】分数对比辨析题（易错拔高） 甲、乙两堆桃子，甲堆 10 个，取出；乙堆 8 个，取出，两堆取出的数量一样多吗？说明理由。 【跟踪训练 4】 两盒铅笔，第一盒 12 支，拿出；第二盒 15 支，拿出，哪一盒拿出的铅笔多？ 【典型例题 5】两步分数应用题（期末压轴） 有 40 块饼干，分给弟弟，分给妹妹，一共分出去多少块？还剩多少块？ 【跟踪训练 5】 60 颗珠子，红色占，蓝色占，红色和蓝色珠子各有多少颗？ 巩固练习 1.有 20 个橘子，平均分成 5 份，3 份是这些橘子的几分之几？有多少个？ 2.一本练习册 48 页，小刚做了，小刚做了多少页？ 3.一根绳子，用去，又用去，还剩几分之几？ 4.两箱橙子，第一箱 24 个，取；第二箱 28 个，取，哪箱取出的数量多？ 5.36 块橡皮，分给男生，分给女生，男女生各分到多少块？ 6.有 35 朵花，平均分成 7 份，4 份占总数的几分之几？是多少朵？ 7.一桶果汁 42 升，喝掉，喝掉了多少升？ 8.一张纸，第一次用去，第二次用去的和第一次同样多，一共用去几分之几？ 9.49 支彩笔，其中是红色，红色彩笔有多少支？ 10.同样大的两张长方形纸，第一张涂，第二张涂，哪张涂色面积大？ 11.64 颗棋子，拿走，拿走多少颗？还剩多少颗？ 12.一堆大米，运走，还剩几分之几没运走？ 真题训练 1.（期末真题）有 28 个草莓，平均分成 4 份，1 份是总数的几分之几？有多少个？ 2.（培优真题）一本故事书 56 页，小丽看了，小丽看了多少页？ 3.（希望杯真题）一根铁丝，第一次用，第二次用，还剩全长的几分之几？ 4.（重点校真题）两盒橡皮，A 盒 32 块取，B 盒 40 块取，哪盒取出数量少？ 5.（期末真题）72 本图书，分给一班，分给二班，两班各分到多少本？ 6.（奥数真题）45 个气球，平均分成 9 份，5 份占总数的几分之几？是多少个？ 7.（培优真题）63 千克水果，卖出，卖出多少千克？ 8.（期末压轴真题）一块布，第一次用，第二次用，一共用去几分之几？ 9.（希望杯真题）54 支钢笔，是黑色钢笔，黑色钢笔有多少支？ 10.（分班考真题）两张同样大的正方形纸，分别涂色和，哪个涂色部分小？ 11.（期末真题）80 颗糖果，分给同学，分出多少颗？剩多少颗？ 12.（思维训练真题）一批货物，运走，还剩几分之几？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 分数的意义拓展 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 一、分数核心定义（奥数必考前提） 分数成立的唯一条件：必须平均分，不平均分的物体、图形，不能用分数表示。 1.分数意义：把一个整体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，叫做分数。 2.整体拓展：整体不只是单个图形、单个物体，多个物体组成的集合也可以看作一个整体（奥数核心拓展点）。 3.分数三部分名称： 分数线：表示平均分；分母（下方）：表示平均分成的总份数；分子（上方）：表示取的份数。 二、基础分数分类与读法 1.几分之一：把整体平均分成几份，取其中 1 份，如、； 2.几分之几：把整体平均分成几份，取其中几份，如、。 读法：先读分母，再读 “分之”，最后读分子。例：读作：五分之三。 三、奥数核心公式：求一个数的几分之几是多少 本讲最重要解题公式（所有应用题通用）： 每份数量 = 整体总数 ÷ 分母（总份数） 所求数量 = 每份数量 × 分子（取出份数） 解题口诀：先除后乘，先分后取。 四、分数大小比较规律（培优拓展） 1.分母相同，分子越大，分数越大（份数越多越大）； 2.分子相同，分母越大，分数越小（分的份数越多，每份越小）； 3.拓展易错：分数大小和整体大小有关，不同整体的分数不能直接比大小。 五、分数简单运算规则 1.同分母分数相加减：分母不变，分子相加减； 2.整体可以看作 “1”：……，用于求剩余分数。 六、奥数高频拓展题型 1.多物体整体分数问题（一堆物品、一组物体平均分）； 2.已知总数，求几分之几对应的具体数量； 3.分数剩余问题：整体−取出分数 = 剩余分数； 4.对比型分数问题：同一整体不同分数对比、不同整体分数辨析； 5.逆向思维：已知部分数量，求整体总数（拔高题型）。 七、高频易错点汇总 1.忘记 “平均分” 前提，随意用分数表示； 2.混淆分子分母：总份数写分子、取出份数写分母； 3.多物体整体不会计算，只会单个图形分数； 4.求几分之几时，只除不乘，漏算第二步； 5.把不同整体的分数直接比较大小，逻辑错误； 6.计算剩余问题时，不会把整体看作 1。 例题讲解 【典型例题 1】多物体整体分数基础题 有 12 个苹果，平均分成 4 份，每份是这些苹果的几分之几？3 份是这些苹果的几分之几？对应多少个苹果？ 【分析】 把 12 个苹果看作一个整体，平均分成 4 份，分母为 4，1 份是，3 份是；再用 “先除后乘” 求出具体数量。 【详解】 1 份对应分数：，3 份对应分数： 每份个数：（个） 3 份个数：（个） 【答案】 每份是，3 份是，对应个苹果 【跟踪训练 1】 有 18 颗糖果，平均分成 6 份，2 份是这些糖果的几分之几？有多少颗？ 【分析】 整体平均分 6 份，取 2 份，先写分数，再求具体数量。 【详解】 2 份对应分数： 每份数量：（颗） 2 份数量：（颗） 【答案】 是，有颗 【典型例题 2】求一个数的几分之几（奥数必考） 一本书有 30 页，小明看了全书的，小明看了多少页？ 【分析】 总页数为整体，分母 5 代表平均分成 5 份，分子 2 代表取 2 份，套用先除后乘公式。 【详解】 （页） （页） 【答案】 小明看了页 【跟踪训练 2】 班级有 45 名同学，其中的同学参加跳绳比赛，参加跳绳的有多少人？ 【分析】 总人数平均分 9 份，取 3 份，分步计算。 【详解】 （人） （人） 【答案】 参加跳绳的有人 【典型例题 3】分数剩余问题（培优进阶） 一根彩带，第一次用去全长的，第二次用去全长的，还剩全长的几分之几？ 【分析】 把彩带全长看作整体 “1”，用 1 依次减去两次用去的分数，同分母分数直接分子相减。 【详解】 【答案】 还剩全长的 【跟踪训练 3】 一桶水，倒出，又倒出，还剩这桶水的几分之几？ 【分析】 整体为 1，连续减去用掉的分数，求出剩余分数。 【详解】 【答案】 还剩 【典型例题 4】分数对比辨析题（易错拔高） 甲、乙两堆桃子，甲堆 10 个，取出；乙堆 8 个，取出，两堆取出的数量一样多吗？说明理由。 【分析】 相同分数，整体数量不同，对应具体数量不同，不能直接等同。 【详解】 甲取出：（个） 乙取出：（个） ，数量不一样。 【答案】 不一样，整体总数不同，相同分数对应的数量不同 【跟踪训练 4】 两盒铅笔，第一盒 12 支，拿出；第二盒 15 支，拿出，哪一盒拿出的铅笔多？ 【分析】 分别计算两盒拿出的具体数量，再对比大小。 【详解】 第一盒：（支） 第二盒：（支） ，第二盒多。 【答案】 第二盒拿出的铅笔多 【典型例题 5】两步分数应用题（期末压轴） 有 40 块饼干，分给弟弟，分给妹妹，一共分出去多少块？还剩多少块？ 【分析】 先分别求出两人分到的数量，求和得分出总数，再用总数相减得剩余数量。 【详解】 每份：（块） 弟弟：（块），妹妹：（块） 一共分出：（块） 剩余：（块） 【答案】 一共分出块，还剩块 【跟踪训练 5】 60 颗珠子，红色占，蓝色占，红色和蓝色珠子各有多少颗？ 【分析】 先求每份数量，再分别求出两种颜色珠子数量。 【详解】 （颗） 红色：（颗） 蓝色：（颗） 【答案】 红色颗，蓝色颗 巩固练习 1.有 20 个橘子，平均分成 5 份，3 份是这些橘子的几分之几？有多少个？ 【分析】 平均分 5 份，取 3 份写对应分数，再计算具体数量。 【详解】 3 份分数： （个），（个） 【答案】 是，有个 2.一本练习册 48 页，小刚做了，小刚做了多少页？ 【分析】 总页数平均分 8 份，取 3 份，先除后乘计算。 【详解】 （页），（页） 【答案】 做了页 3.一根绳子，用去，又用去，还剩几分之几？ 【分析】 整体看作 1，连续减去两次用去的分数。 【详解】 【答案】 还剩 4.两箱橙子，第一箱 24 个，取；第二箱 28 个，取，哪箱取出的数量多？ 【分析】 相同分数，整体越大，对应数量越多，计算验证。 【详解】 第一箱：（个） 第二箱：（个） ，第二箱多。 【答案】 第二箱取出的多 5.36 块橡皮，分给男生，分给女生，男女生各分到多少块？ 【分析】 先求每份数量，再分别计算男女生数量。 【详解】 （块） 男生：（块），女生：（块） 【答案】 男生块，女生块 6.有 35 朵花，平均分成 7 份，4 份占总数的几分之几？是多少朵？ 【分析】 根据平均分份数写分数，再求解具体数量。 【详解】 分数： （朵），（朵） 【答案】 占，是朵 7.一桶果汁 42 升，喝掉，喝掉了多少升？ 【分析】 求总数的几分之几，套用先除后乘公式。 【详解】 （升），（升） 【答案】 喝掉升 8.一张纸，第一次用去，第二次用去的和第一次同样多，一共用去几分之几？ 【分析】 两次用去分数相同，分数加法计算总和。 【详解】 【答案】 一共用去 9.49 支彩笔，其中是红色，红色彩笔有多少支？ 【分析】 平均分 7 份，取 3 份，分步计算。 【详解】 （支），（支） 【答案】 红色彩笔支 10.同样大的两张长方形纸，第一张涂，第二张涂，哪张涂色面积大？ 【分析】 整体相同，分母相同，分子大的分数大。 【详解】 ，第一张大。 【答案】 第一张涂色面积大 11.64 颗棋子，拿走，拿走多少颗？还剩多少颗？ 【分析】 先求拿走数量，再用总数求剩余数量。 【详解】 （颗），拿走：（颗） 剩余：（颗） 【答案】 拿走颗，剩颗 12.一堆大米，运走，还剩几分之几没运走？ 【分析】 整体为 1，减去运走分数得剩余分数。 【详解】 【答案】 还剩 真题训练 1.（期末真题）有 28 个草莓，平均分成 4 份，1 份是总数的几分之几？有多少个？ 【分析】 基础整体分数问题，平均分 4 份，取 1 份求解。 【详解】 分数： （个） 【答案】 是，有个 2.（培优真题）一本故事书 56 页，小丽看了，小丽看了多少页？ 【分析】 求一个数的几分之几，先分后取。 【详解】 （页），（页） 【答案】 看了页 3.（希望杯真题）一根铁丝，第一次用，第二次用，还剩全长的几分之几？ 【分析】 整体看作 1，连续减法求剩余分数。 【详解】 【答案】 还剩 4.（重点校真题）两盒橡皮，A 盒 32 块取，B 盒 40 块取，哪盒取出数量少？ 【分析】 同分数比整体，整体小则数量少，计算验证。 【详解】 A 盒：（块） B 盒：（块） ，A 盒少。 【答案】**A 盒取出数量少 5.（期末真题）72 本图书，分给一班，分给二班，两班各分到多少本？ 【分析】 先求单份数量，再分别计算两个班级图书数。 【详解】 （本） 一班：（本），二班：（本） 【答案】 一班本，二班本 6.（奥数真题）45 个气球，平均分成 9 份，5 份占总数的几分之几？是多少个？ 【分析】 根据平均分份数写分数，计算对应具体数量。 【详解】 分数： （个），（个） 【答案】 占，是个 7.（培优真题）63 千克水果，卖出，卖出多少千克？ 【分析】 标准分数应用，先除后乘求解。 【详解】 （千克），（千克） 【答案】 卖出千克 8.（期末压轴真题）一块布，第一次用，第二次用，一共用去几分之几？ 【分析】 同分母分数加法，分母不变分子相加。 【详解】 【答案】 一共用去 9.（希望杯真题）54 支钢笔，是黑色钢笔，黑色钢笔有多少支？ 【分析】 平均分 6 份取 5 份，分步计算数量。 【详解】 （支），（支） 【答案】 黑色钢笔支 10.（分班考真题）两张同样大的正方形纸，分别涂色和，哪个涂色部分小？ 【分析】 整体相同，分母相同，分子小分数小。 【详解】 ，涂的小。 【答案】 涂色的部分小 11.（期末真题）80 颗糖果，分给同学，分出多少颗？剩多少颗？ 【分析】 先求分出数量，再用总数求剩余。 【详解】 （颗），分出：（颗） 剩余：（颗） 【答案】 分出颗，剩颗 12.（思维训练真题）一批货物，运走，还剩几分之几？ 【分析】 整体为 1，减去运走分数得剩余。 【详解】 【答案】 还剩 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $