第2讲 混合运算错中求解 专题讲义-人教版数学三年级上册奥数培优

第2讲 混合运算错中求解 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 什么是错中求解 在计算时，因为看错数字、符号、运算顺序或漏掉小括号，算出了错误的结果。我们需要根据错误的过程和结果，推算出正确的答案，这类问题就叫 “错中求解”。 2. 加减错中求解（同级运算） 核心规律：加数与和同增减，被减数与差同增减，减数与差反增减。 加法看错数字：一个加数多算了多少，和就多算了多少；反之少算多少，和就少多少。 公式： 减法看错数字： 被减数看错：被减数多算，差就多算；被减数少算，差就少算。 减数看错：减数多算，差反而少算；减数少算，差反而多算。 口诀：被减同，减数反。 3. 乘除错中求解（同级运算） 乘法看错乘数：一个乘数增加几，积就增加 “另一个乘数 × 几”。 关键：先求不变的另一个乘数 = 积的变化量 ÷ 乘数的变化量 除法看错数： 除数看错，被除数不变：先根据错误的除数和商（及余数）算出被除数，再用被除数 ÷ 正确除数。 被除数看错，除数不变：商的变化和被除数变化一致。 4. 混合运算错中求解（两级运算 / 括号） 常见错误：漏掉小括号、先算加减后算乘除（运算顺序颠倒）。 解题方法： ① 按照错误的运算顺序，列出错误的算式； ② 逆推算出算式中未知的数（□里的数）； ③ 把未知数代入正确的算式，按正确顺序计算出结果。 5. 解题通用步骤 ① 找错处：明确看错了什么（数字、符号、括号、顺序）； ② 算差量：计算错误导致结果多了 / 少了多少； ③ 求不变：算出算式中没有看错的不变量； ④ 还原算：代入正确算式，算出正确结果。 例题讲解 【典型例题 1】加减错中：看错数字 小明做一道加法题时，把一个加数十位上的 3 看成了 5，算出的结果是 86。正确的结果是多少？ 【跟踪训练 1】 小丽做一道减法题时，把被减数个位上的 8 看成了 3，结果得到的差是 45。正确的差是多少？ 【典型例题 2】乘除错中：看错乘数 小亮做一道乘法题时，把一个乘数 6 看成了 9，结果比正确的积多了 21。正确的积是多少？ 【跟踪训练 2】 小红做一道有余数的除法题时，把除数 6 看成了 9，算出的商是 2，余数是 2。正确的商和余数分别是多少？ 【典型例题 3】混合运算错：漏看小括号 小明计算时，漏掉了小括号，算成了，结果是 24。正确的结果是多少？ 【跟踪训练 3】 小马虎计算时，先算了减法再算乘法，结果是 18。正确的结果是多少？ 巩固练习 1. 做加法题时，把一个加数个位上的 5 看成了 2，算出的和是 48。正确的和是多少？ 2. 做减法题时，把减数十位上的 2 看成了 3，结果差是 40。正确的差是多少？ 3. 一道乘法题，把一个乘数 3 看成了 5，结果积比正确的多了 16。正确的积是多少？ 4. 一道除法题，除数是 3，小明把被除数的十位和个位看反了，算出的商是 4。正确的商是多少？ 5. 计算时，漏掉了小括号，算成，结果是 20。正确的结果是多少？ 6. 小明做一道题，把加 15 看成了减 15，结果是 27。正确的结果是多少？ 7. 做减法时，把被减数十位上的 7 看成了 1，结果差是 28。正确的差是多少？ 8. 一道乘法题，把一个乘数末尾的 0 漏掉了，结果积比正确的少了 45。正确的积是多少？ 9. 计算时，先算了加法再算乘法，结果是 45。正确的结果是多少？ 10. 判断：加法算式中，把一个加数看大，得到的和一定比正确的和大。（ ） 11. 计算三个数相加，把第一个加数十位的 5 看成 3，第二个加数个位的 2 看成 7，结果是 80。正确的和是多少？ 12. 一道有余数除法，把除数 5 看成了 8，算出商是 3，余数是 3。正确的结果是多少？ 真题训练 1.（三年级期末真题）小明做加法题，把一个加数十位的 4 看成了 6，结果是 92。正确的结果是（ ） A. 94 B. 72 C. 88 2.（期末真题）做减法时，把减数个位的 9 看成了 6，结果是 40。正确的差是（ ） A. 37 B. 43 C. 34 3.（希望杯模拟题）一道乘法题，把乘数 4 写成了 7，积多了 24。另一个乘数是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 4.（重点中学分班考）计算时，漏掉小括号算成，结果是 16。正确的结果是（ ） 5.（期末真题）小马虎做除法，除数是 3，错看成了 5，算出的商是 6。正确的商是（ ） 6.（走美杯真题）判断：减法算式中，被减数看大，差就变小。（ ） 7.（期末真题）计算时，先算了减法后算除法，结果是 2。正确的结果是多少？ 8.（小升初衔接题）一道加法题，把一个加数个位的 0 漏掉了，结果比正确答案少了 36。原来的加数是多少？ 9.（希望杯真题）做减法时，把被减数十位的 5 看成 8，减数十位的 3 看成 5，结果是 60。正确的差是多少？ 10.（期末真题）一道乘法题，一个乘数增加 2，积就增加了 10。另一个乘数是（ ） A. 5 B. 10 C. 2 11.（华杯赛模拟题）计算时，先算了加法后算除法，结果是 5。正确的结果是多少？ 12.（思维训练题）小明做加法，把第一个加数十位的 2 看成了 5，第二个加数个位的 9 看成了 6，结果是 78。正确的和是多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 混合运算错中求解 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 什么是错中求解 在计算时，因为看错数字、符号、运算顺序或漏掉小括号，算出了错误的结果。我们需要根据错误的过程和结果，推算出正确的答案，这类问题就叫 “错中求解”。 2. 加减错中求解（同级运算） 核心规律：加数与和同增减，被减数与差同增减，减数与差反增减。 加法看错数字：一个加数多算了多少，和就多算了多少；反之少算多少，和就少多少。 公式： 减法看错数字： 被减数看错：被减数多算，差就多算；被减数少算，差就少算。 减数看错：减数多算，差反而少算；减数少算，差反而多算。 口诀：被减同，减数反。 3. 乘除错中求解（同级运算） 乘法看错乘数：一个乘数增加几，积就增加 “另一个乘数 × 几”。 关键：先求不变的另一个乘数 = 积的变化量 ÷ 乘数的变化量 除法看错数： 除数看错，被除数不变：先根据错误的除数和商（及余数）算出被除数，再用被除数 ÷ 正确除数。 被除数看错，除数不变：商的变化和被除数变化一致。 4. 混合运算错中求解（两级运算 / 括号） 常见错误：漏掉小括号、先算加减后算乘除（运算顺序颠倒）。 解题方法： ① 按照错误的运算顺序，列出错误的算式； ② 逆推算出算式中未知的数（□里的数）； ③ 把未知数代入正确的算式，按正确顺序计算出结果。 5. 解题通用步骤 ① 找错处：明确看错了什么（数字、符号、括号、顺序）； ② 算差量：计算错误导致结果多了 / 少了多少； ③ 求不变：算出算式中没有看错的不变量； ④ 还原算：代入正确算式，算出正确结果。 例题讲解 【典型例题 1】加减错中：看错数字 小明做一道加法题时，把一个加数十位上的 3 看成了 5，算出的结果是 86。正确的结果是多少？ 【分析】十位上的 3 表示 30，看成 5 就是 50，这个加数多算了。根据加法规律，一个加数多算 20，和也会多算 20，因此用错误的和减去多算的 20，就是正确的结果。 【详解】 多看的部分： 正确的和： 【答案】 【跟踪训练 1】 小丽做一道减法题时，把被减数个位上的 8 看成了 3，结果得到的差是 45。正确的差是多少？ 【分析】被减数个位上的 8 看成 3，被减数少算了。根据减法规律，被减数少算 5，差也会少算 5，因此用错误的差加上少算的 5，就是正确的差。 【详解】 少算的部分： 正确的差： 【答案】 【典型例题 2】乘除错中：看错乘数 小亮做一道乘法题时，把一个乘数 6 看成了 9，结果比正确的积多了 21。正确的积是多少？ 【分析】一个乘数从 6 看成 9，多了。积多了 21，是因为多乘了 3 个另一个乘数，因此用积的变化量除以乘数的变化量，就能求出不变的另一个乘数，再乘正确的乘数 6 得到正确的积。 【详解】 乘数多算： 另一个乘数： 正确的积： 【答案】 【跟踪训练 2】 小红做一道有余数的除法题时，把除数 6 看成了 9，算出的商是 2，余数是 2。正确的商和余数分别是多少？ 【分析】除数看错了，但被除数是不变的。先根据 “被除数 = 除数 × 商 + 余数”，用错误的除数算出被除数，再用被除数除以正确的除数 6，得到正确的商和余数。 【详解】 被除数： 正确计算： 【答案】商是，余数是 【典型例题 3】混合运算错：漏看小括号 小明计算时，漏掉了小括号，算成了，结果是 24。正确的结果是多少？ 【分析】先根据错误的算式和结果，逆推出□里的数。错误算式是先算除法再算加法，因此用结果 24 减去 20，得到□÷5 的商，再乘 5 得到□的值。最后把□代入正确的算式，按先算括号里再算括号外的顺序计算。 【详解】 错误算式： 正确算式： 【答案】 【跟踪训练 3】 小马虎计算时，先算了减法再算乘法，结果是 18。正确的结果是多少？ 【分析】错误的运算顺序是先减后乘，也就是。先逆推出 12-□等于多少，再求出□的值，最后代入正确算式，先算乘法再算减法。 【详解】 错误算式： 正确算式： 【答案】 巩固练习 1. 做加法题时，把一个加数个位上的 5 看成了 2，算出的和是 48。正确的和是多少？ 【分析】个位 5 看成 2，加数少算了 3，和也少算 3，加回去即可。 【详解】 少算： 正确和： 【答案】 2. 做减法题时，把减数十位上的 2 看成了 3，结果差是 40。正确的差是多少？ 【分析】减数十位 2 看成 3，减数多算了 10，差反而少算 10，加回去。 【详解】 多算的减数： 正确差： 【答案】 3. 一道乘法题，把一个乘数 3 看成了 5，结果积比正确的多了 16。正确的积是多少？ 【分析】乘数多了 2，积多 16，先求另一个乘数。 【详解】 乘数差： 另一个乘数： 正确积： 【答案】 4. 一道除法题，除数是 3，小明把被除数的十位和个位看反了，算出的商是 4。正确的商是多少？ 【分析】先根据错误的商和除数算出错误的被除数，交换十位个位得到正确被除数，再计算。 【详解】 错误被除数： 正确被除数：21 正确商： 【答案】 5. 计算时，漏掉了小括号，算成，结果是 20。正确的结果是多少？ 【分析】先按错误算式求□，再代入正确算式。 【详解】 正确： 【答案】 6. 小明做一道题，把加 15 看成了减 15，结果是 27。正确的结果是多少？ 【分析】本来该加 15，反而减了 15，一共少算了 2 个 15。 【详解】 一共少算： 正确结果： 【答案】 7. 做减法时，把被减数十位上的 7 看成了 1，结果差是 28。正确的差是多少？ 【分析】被减数十位 7 看成 1，少算了 60，差也少算 60。 【详解】 少算： 正确差： 【答案】 8. 一道乘法题，把一个乘数末尾的 0 漏掉了，结果积比正确的少了 45。正确的积是多少？ 【分析】漏掉末尾的 0，乘数缩小到原来的十分之一，积也缩小到十分之一，少了 9 倍。 【详解】 错误积： 正确积： 【答案】 9. 计算时，先算了加法再算乘法，结果是 45。正确的结果是多少？ 【分析】错误算法：，先求□。 【详解】 正确： 【答案】 10. 判断：加法算式中，把一个加数看大，得到的和一定比正确的和大。（ ） 【分析】加数变大，和跟着变大，符合加法变化规律。 【详解】加数增加，和也增加，说法正确。 【答案】 11. 计算三个数相加，把第一个加数十位的 5 看成 3，第二个加数个位的 2 看成 7，结果是 80。正确的和是多少？ 【分析】第一个加数少算 20，第二个加数多算 5，总共少算 15。 【详解】 少算：，多算： 总共少算： 正确和： 【答案】 12. 一道有余数除法，把除数 5 看成了 8，算出商是 3，余数是 3。正确的结果是多少？ 【分析】先求被除数，再除以正确除数。 【详解】 被除数： 正确： 【答案】商，余数 真题训练 1.（三年级期末真题）小明做加法题，把一个加数十位的 4 看成了 6，结果是 92。正确的结果是（ ） A. 94 B. 72 C. 88 【分析】十位多看了 20，和多看 20，减回去。 【详解】，选 B。 【答案】 2.（期末真题）做减法时，把减数个位的 9 看成了 6，结果是 40。正确的差是（ ） A. 37 B. 43 C. 34 【分析】减数少看了 3，差反而多看了 3，减回去。 【详解】，选 A。 【答案】 3.（希望杯模拟题）一道乘法题，把乘数 4 写成了 7，积多了 24。另一个乘数是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 【分析】乘数多 3，积多 24，另一个乘数 = 24÷3=8。 【详解】，选 A。 【答案】 4.（重点中学分班考）计算时，漏掉小括号算成，结果是 16。正确的结果是（ ） 【分析】先求□，再代入正确算式。 【详解】 ， 正确： 【答案】 5.（期末真题）小马虎做除法，除数是 3，错看成了 5，算出的商是 6。正确的商是（ ） 【分析】先求被除数，再除以 3。 【详解】 被除数： 正确商： 【答案】 6.（走美杯真题）判断：减法算式中，被减数看大，差就变小。（ ） 【分析】被减数和差同变化，被减数看大，差也变大。 【详解】差应该变大，说法错误。 【答案】 7.（期末真题）计算时，先算了减法后算除法，结果是 2。正确的结果是多少？ 【分析】错误算法：，先求□。 【详解】 ， 正确： 【答案】 8.（小升初衔接题）一道加法题，把一个加数个位的 0 漏掉了，结果比正确答案少了 36。原来的加数是多少？ 【分析】漏掉个位 0，加数缩小 10 倍，少了 9 倍，对应 36。 【详解】 错误加数： 原来加数： 【答案】 9.（希望杯真题）做减法时，把被减数十位的 5 看成 8，减数十位的 3 看成 5，结果是 60。正确的差是多少？ 【分析】被减数多算 30，差多 30；减数多算 20，差少 20；总共多算 10。 【详解】 被减数多： 减数多： 总共多算： 正确差： 【答案】 10.（期末真题）一道乘法题，一个乘数增加 2，积就增加了 10。另一个乘数是（ ） A. 5 B. 10 C. 2 【分析】积的增加量 ÷ 乘数增加量 = 另一个乘数。 【详解】，选 A。 【答案】 11.（华杯赛模拟题）计算时，先算了加法后算除法，结果是 5。正确的结果是多少？ 【分析】错误算法：，先求□。 【详解】 ， 正确： 【答案】 12.（思维训练题）小明做加法，把第一个加数十位的 2 看成了 5，第二个加数个位的 9 看成了 6，结果是 78。正确的和是多少？ 【分析】第一个加数多算 30，第二个加数少算 3，总共多算 27。 【详解】 多算： 少算： 总共多算： 正确和： 【答案】 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $