奥数培优 第2讲 横式数字谜（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

★ ★ ★ ★ ★小学三年级上册奥数培优讲义★ ★ ★ ★ ★ 第2讲 横式数字谜 年 级 三年级 课 时 1课时（60分钟） 专 题 横式数字谜 难 度 ★★★☆☆ 🎯 学习目标 Learning Objectives 知识与技能 掌握加减乘除四则运算各部分之间的逆运算关系；能够求解横式中方框、图形符号代表的未知数；学会数字拆分与等量代换思想；掌握填运算符号类数字谜的基本方法。 过程与方法 经历「观察算式→利用四则关系逆推→试算验证」的完整解题流程；学会对数字进行合理拆分；掌握枚举试算、等量代换两种核心解题手段。 思维品质 锻炼逆向思维与逻辑推理能力；养成做完代入验算的习惯；学会多角度思考，接受数字谜存在多组解的情况。 情感与应用 感受数字谜游戏的趣味性，体会逆向推理与等量代换的数学思想，提升对四则运算的深层理解。 📖 课前导入 Warm-up 同学们，我们平时做计算题时，算式里的数字都是已知的，我们只需要算出结果。可是有一种有趣的题目恰恰反过来——算式里的一部分数字被方框□、圆圈○、三角形△等符号藏了起来，需要我们开动脑筋把藏起来的数字找出来，就像玩解谜游戏一样！ 解横式数字谜，最核心的武器就是：四则运算各部分之间的关系。再配合合理的试算和数字拆分，就能一步步解开谜题！下面让我们一起进入神奇的数字谜世界吧。 一、知识导航 Knowledge Map 🔹 知识点1：四则运算各部分关系（解数字谜的基础） 图1 四则运算逆运算关系图 加 法 加数 + 加数 = 和 → 和 − 一个加数 = 另一个加数 减 法 被减数 − 减数 = 差 → 差 + 减数 = 被减数；被减数 − 差 = 减数 乘 法 因数 × 因数 = 积 → 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数 除 法 被除数 ÷ 除数 = 商 → 商 × 除数 = 被除数；被除数 ÷ 商 = 除数 🔹 知识点2：两大核心解题思想 思想一：数字拆分思想 把一个数拆成若干个数相加或相乘。 例：加法拆分 12 = 5 + 7 = 3 + 4 + 5； 乘法拆分 24 = 3 × 8 = 4 × 6，还可以拆成 2 × 3 × 4 等多个数相乘。 思想二：等量代换思想 一个符号可以用和它相等的算式替换，从而把两个未知数变成一个未知数。 例如：已知 △ = ○ + ○，又知 △ + ○ = 18，就可以把 △ 替换成 ○+○，得到 ○+○+○ = 18，从而求出 ○ = 6，△ = 12。 🔹 知识点3：填运算符号题型思路 在数字中间填 +、−、×、÷，使等式成立。 方法1：看等式左右两边的结果，优先估算大小，减少盲目试算；例如 4□4□4□4=8，先想两个4相加等于8。 方法2：固定一部分数字先算出来，剩下的数字再尝试填符号；例如 6□3□2□5=17，先固定 3×2=6。 🔔 易错辨析 Common Mistakes ❌ 错误1：分不清逆运算 错误表现：求加数用加法，求除数用乘法。 ✅ 正确：求未知部分必须使用逆运算：加法↔减法互逆，乘法↔除法互逆。 ❌ 错误2：相同图形不会转乘法 错误表现：多个相同图形相加时，直接一个个加，不会转化为乘法。如 △+△+△ 不会写成 3×△。 ✅ 正确：若干个相同图形相加，可以改写为「图形 × 个数」，大大简化计算。 ❌ 错误3：做完不验算 错误表现：算出数字就直接结束，不代回原式检查。 ✅ 正确：把解出来的数字代回原式验算，确认等式是否成立，是避免出错的最好习惯。 ❌ 错误4：认为只有唯一答案 错误表现：认为数字谜一定只有唯一解，找到一个就停止。 ✅ 正确：部分题目存在多组解，全部符合条件的都要写出来。 二、典例精讲 Classic Examples 【例 1】基础逆运算——求符号代表的数 题目：下列算式中，各符号代表什么数？ (1) □ + 36 = 82 (2) 95 − △ = 38 (3) ○ × 7 = 63 (4) 96 ÷ ☆ = 8 (5) □ × 5 − 17 = 28 ▶ 分析：先把等式中能直接计算的一侧算出来，再用四则逆运算求符号。 ▶ 详解 (1) □ = 82 − 36 = 46 (2) △ = 95 − 38 = 57 (3) ○ = 63 ÷ 7 = 9 (4) ☆ = 96 ÷ 8 = 12 (5) 先把 □×5 看成整体：□×5 = 28 + 17 = 45，所以 □ = 45 ÷ 5 = 9 💡 【方法点睛】 等式一边可以直接计算的，优先先算出结果，再利用逆运算求未知数。求加数用减法，求减数用减法，求因数用除法，求除数用除法。 【例 2】含两步运算的横式数字谜 题目：下列算式中各符号代表什么数？ (1) △ + △ + △ + △ = 48 (2) ☆ × 6 + 25 = 67 (3) 81 ÷ ○ − 12 = 15 (4) □ + □ + □ × 2 = 40 ▶ 分析：多个相同图形相加可以转化为乘法；把乘除部分看成一个整体，一步步化简等式。 ▶ 详解 (1) 4个△相加 = 4×△ = 48，所以 △ = 48 ÷ 4 = 12 (2) 把 ☆×6 看成整体：☆×6 = 67 − 25 = 42，所以 ☆ = 42 ÷ 6 = 7 (3) 把 81÷○ 看成整体：81÷○ = 15 + 12 = 27，所以 ○ = 81 ÷ 27 = 3 (4) □+□ = 2×□，加上 □×2，一共是 4×□ = 40，所以 □ = 40 ÷ 4 = 10 验算：10 + 10 + 10×2 = 10 + 10 + 20 = 40 ✓ 💡 【方法点睛】 遇到混合运算，把乘法、除法部分看成一个整体，先用逆运算求出这个整体，再求符号。相同图形连续相加要记得转化为乘法。 【例 3】不等式估算、数字拆分、等量代换综合 题目：(1) 满足 25 < □ × 6 < 35 的整数 □ 等于几？ (2) ○ × △ × □ × ☆ = 120，填入四个大于 1、互不相同的整数，从小到大填写。 (3) 已知 △ = ○ + ○ + ○，且 △ + ○ = 36，求 △ 和 ○ 各是多少。 ▶ 分析：(1) 用乘法估算确定整数范围；(2) 对120分解因数，筛选符合条件的组合；(3) 用等量代换，把△替换为3个○代入。 ▶ 详解 (1) □×6 要大于25且小于35。试算：4×6=24（不够），5×6=30（满足），6×6=36（超了）。 所以只有整数 □ = 5 满足条件。 (2) 对 120 拆成几个数相乘：120 = 2×2×2×3×5。 组合成四个大于1且互不相同的整数：2×3×4×5 = 120。 答案：○=2，△=3，□=4，☆=5（从小到大）。 (3) 由 △ = ○+○+○，代入第二个式子： ○+○+○ + ○ = 36，即 4×○ = 36，所以 ○ = 9。 △ = 9+9+9 = 27。 验算：27 + 9 = 36 ✓ 💡 【方法点睛】 等量代换是解双未知数问题的关键：一个符号可以用等价的算式替换，把两个未知数变成一个未知数求解。数字拆分要先拆成几个数相乘再组合。 图2 等量代换思想示意图 【例 4】填运算符号（多解题型） 题目：在下面数字之间添加 +、−、×、÷ 运算符号，使等式成立。 (1) 4 4 4 4 = 8 (2) 6 3 2 5 = 17 ▶ 分析：先估算结果大小，优先尝试乘法和除法快速接近目标值。本题答案不唯一，写出一种正确即可。 ▶ 详解 (1) 目标是8，两个4相加正好是8，另外两个4要凑成0。 解1：4 + 4 + 4 − 4 = 8 ✓ 其他解：4 × 4 − 4 − 4 = 8 ✓；4 + 4 × 4 ÷ 4 = 8 ✓ (2) 目标是17，6+5=11，还差6，正好3×2=6。 解：6 + 3 × 2 + 5 = 6 + 6 + 5 = 17 ✓ 💡 【方法点睛】 填运算符号的题目经常有多组解，算出之后一定要代入原式验算等式是否成立。先估算大小，再局部枚举，可以大大减少试算次数。 【例 5】等式两边都需要填符号 题目：在下式两边的数字之间填入四则运算符号（+、−、×、÷），使等式成立： 6 6 = 3 3 3 ▶ 分析：两边数字个数不同，优先选择数字少的一侧（左边只有两个6），枚举全部可能结果，再试算右边匹配。 ▶ 详解 第一步：枚举左边 6 6 的全部可能结果： 6+6=12，6−6=0，6×6=36，6÷6=1 第二步：试算右边 3 3 3 能否得到上面的结果： 当结果=12时：3 + 3×3 = 3+9 = 12 ✓，或 3×3 + 3 = 12 ✓ 解1：6 + 6 = 3 + 3 × 3 （左边=12，右边=12） 解2：6 + 6 = 3 × 3 + 3 （左边=12，右边=12） 💡 【方法点睛】 两边都要填符号时，优先选择数字少的一侧枚举全部可能结果，再用另一侧去匹配，这样可以大大减少试算量。 📋 方法总结表 Method Summary 图3 横式数字谜解题五步法 题 型 核心方法 关键技巧 简单符号谜题 四则逆运算 先化简等式，加减互为逆运算，乘除互为逆运算 多个相同图形 转化为乘法 n个相同图形相加 = 图形×n，简化算式 混合运算谜题 整体思想 把乘除部分看成一个整体，分步逆推求解 双未知数谜题 等量代换 用一个符号表示另一个符号，代入消元求解 填运算符号 估算 + 枚举 先估算大小范围，枚举局部结果，多解题目写出一种即可 📢 解题口诀 横式谜，不用慌，四则关系来帮忙， 相同图形变乘法，等量代换巧转化， 估算枚举填符号，算出结果要验算！ 三、习题分层训练 Practice Exercises 🟦 A 组｜基础练习（逆运算求符号，巩固四则各部分关系） 【题1】 下列各式中，□ 代表多少？ (1) □ + 47 = 83 (2) 90 − □ = 54 【题2】 下列各式中，△ 代表多少？ (1) △ × 8 = 72 (2) 64 ÷ △ = 8 【题3】 □ × 6 + 19 = 55，求 □ = ？ 【题4】 85 − △ × 4 = 37，求 △ = ？ 【题5】 ○ ÷ 5 + 23 = 38，求 ○ = ？ 【题6】 7 × ☆ − 26 = 30，求 ☆ = ？ 【题7】 △ + △ + △ + △ + △ = 45，求 △ = ？ 【题8】 ☆ × 4 + ☆ × 3 = 49，求 ☆ = ？ 🟧 B 组｜提高练习（整体思想、数字拆分、等量代换） 【题1】 满足 22 < □ × 6 < 28 的整数 □ 等于几？ 【题2】 ○ × △ × □ = 36，填入三个大于 1、互不相同的一位数，从小到大填写。 【题3】 已知 △ = ○ + ○，且 △ + ○ + ○ = 32，求 △ 和 ○ 各是多少。 【题4】 □ × 3 + 15 = □ × 5 − 7，求 □ = ？ 【题5】 把 18 拆成两个不同的一位数相乘，这两个数分别是多少？（写出所有可能） 【题6】 一个数加上 8，再乘以 3，结果是 63。这个数是多少？ 🟥 C 组｜挑战练习（填多符号综合，多解题） 【题1】 在 3 3 3 3 之间填入 +、−、×、÷ 运算符号，使结果等于 6。（写出至少 2 种不同的解法） 【题2】 在 8 2 4 6 之间填入四则运算符号，使等式成立：8 2 4 6 = 10。（写出至少 1 种解） 【题3】在 4、4、4 和 6、6 之间填入四则运算符号，使等式成立：4 ○ 4 ○ 4 = 6 ○ 6（写出至少1种解） 【题4】 把 1、2、3、4、5、6 六个数分别填入下面的 □ 中，每个数只用一次，使三个加法算式的结果都相等： □ + □ = □ + □ = □ + □ 四、参考答案与详细解析 Answers & Solutions 🟦 A 组参考答案 【题1】 (1) □ = 83 − 47 = 36 (2) □ = 90 − 54 = 36 【题2】 (1) △ = 72 ÷ 8 = 9 (2) △ = 64 ÷ 8 = 8 【题3】 □×6 = 55 − 19 = 36，□ = 36 ÷ 6 = 6 【题4】 △×4 = 85 − 37 = 48，△ = 48 ÷ 4 = 12 【题5】 ○÷5 = 38 − 23 = 15，○ = 15 × 5 = 75 【题6】 7×☆ = 30 + 26 = 56，☆ = 56 ÷ 7 = 8 【题7】 5×△ = 45，△ = 45 ÷ 5 = 9 【题8】 ☆×(4+3) = 49，7×☆ = 49，☆ = 7 🟧 B 组参考答案 【题1】 □×6 要大于22且小于28。3×6=18（不够），4×6=24（满足），5×6=30（超了）。所以 □ = 4。 【题2】 36 = 2×2×3×3，组合成三个大于1且互不相同的一位数：2×3×6 = 36。答案：2、3、6。 【题3】 把 △ 替换为 ○+○，代入得：○+○ + ○+○ = 32，即 4×○ = 32，○ = 8，△ = 16。 【题4】 两边都有 □，移项：15 + 7 = □×5 − □×3，22 = 2×□，所以 □ = 11。 验算：11×3+15=48，11×5−7=48 ✓ 【题5】 18 = 2×9 = 3×6。所以可能的组合是：2和9，3和6。（共两组） 【题6】 用逆运算倒推：63 ÷ 3 = 21，21 − 8 = 13。这个数是 13。 验算：(13+8)×3 = 21×3 = 63 ✓ 🟥 C 组参考答案 【题1】 参考解法（答案不唯一）： 解1：3 + 3 + 3 − 3 = 6 ✓ 解2：3 + 3 × 3 ÷ 3 = 3 + 3 = 6 ✓ 【题2】 参考解法（答案不唯一）： 解1：8 ÷ 2 × 4 − 6 = 4 × 4 − 6 = 16 − 6 = 10 ✓ 解2：8 + 2 × 4 − 6 = 8 + 8 − 6 = 10 ✓ 【题3】 参考解法（答案不唯一）： 解1：4 + 4 + 4 = 6 + 6 （左边=12，右边=12）✓ 解2：4 × 4 − 4 = 6 + 6 （左边=12，右边=12）✓ 【题4】 六个数的总和是 1+2+3+4+5+6 = 21，分成三组且每组相等，每组和为 21÷3 = 7。 所以：1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 7。 五、本讲小结 Summary ✦ 解横式数字谜最根本的工具：四则运算各部分之间的逆运算关系。加法与减法互逆，乘法与除法互逆。 ✦ 相同图形连续相加，可以转化为「图形 × 个数」来简化算式。 ✦ 两大核心思想：① 整体思想——混合运算中把乘除部分看成一个整体；② 等量代换——两个未知数时，用一个符号替换另一个。 ✦ 填运算符号类题目：先估算大小范围，再局部枚举试算。很多题目存在多组解，解完务必代入原式验算。 ⚠ 易错警示 Warnings ⚠ 求未知数一定要用逆运算，不要顺着原式继续算。求加数用减法，求减数用减法，求因数用除法，求除数用除法。 ⚠ 看到多个相同图形相加，记得转换成乘法，简化计算。例如 △+△+△+△ = 4×△。 ⚠ 部分题目有多个答案，不要只写一个就结束。填运算符号类题目尤其要注意多解情况。 ⚠ 算出结果后，必须代回原式验算等式是否成立，这是避免出错的最好习惯。 🧠 学习建议 Study Tips 💡 做题第一步，先看清算式的运算顺序。混合运算中，优先把乘除部分看成一个整体。 💡 遇到两个未知数的题目，优先思考等量代换，消去其中一个未知数，把问题简化。 💡 填运算符号的题目不要盲目乱试，先估算等式两边的大概范围，减少试算次数。 💡 数字谜就像解谜游戏，做完后代入验算，是避免出错的最好习惯。坚持验算，正确率会大大提升。 逆向思考，大胆试算，仔细验算，解开数字的秘密！ 学科网（北京）股份有限公司 $