第18章 分式【章末复习】 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十八章 分式 章末复习 一、本章知识体系框架 本章围绕分式展开，从概念、性质、运算到方程及实际应用，层层递进，是初中代数核心考点，也是中考必考内容。整体脉络：分式概念与基本性质→分式四则运算→整数指数幂与科学记数法→分式方程及实际应用。 核心学习重点：运算准确性、解题步骤规范性、分式方程双重检验、实际应用题建模能力。 二、各小节核心知识点精编 18.1 分式的概念与基本性质 1. 分式的定义 形如$$\dfrac{A}{B}$$（$$A、B$$为整式，且$$B$$中含有未知数，$$B eq0$$）的式子叫做分式。 关键区分：分母含未知数是分式，分母不含未知数是整式。 分式有意义/无意义/值为0的条件： ① 有意义：$$B eq0$$；② 无意义：$$B=0$$；③ 值为0：$$A=0$$且$$B eq0$$。 2. 分式的基本性质 $$\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\times C}{B\times C}$$，$$\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\div C}{B\div C}$$（$$C$$为不等于0的整式） 核心应用：分式的约分（化最简分式）、通分（分式加减基础）。 最简分式：分子、分母没有公因式的分式。 18.2 分式的乘除运算 1. 分式乘法 $$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$$，分子乘分子、分母乘分母，先因式分解，再约分，最后计算。 2. 分式除法 $$\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc}$$，除以一个分式等于乘这个分式的倒数。 3. 分式乘方 $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$$（$$n$$为正整数），分子分母分别乘方。 4. 运算核心口诀 先分解、再约分、后计算，结果必须化为最简分式。 18.3 分式的加减运算 1. 同分母分式加减 分母不变，分子相加减：$$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{b}=\dfrac{a\pm c}{b}$$ 注意：分子为多项式时，相减必须加括号，避免符号错误。 2. 异分母分式加减（重难点） 先通分，化为同分母分式，再加减：$$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}$$ 通分关键：多项式分母先因式分解，找最简公分母（所有不同因式最高次幂的积）。 3. 特殊技巧 分母互为相反数：$$\dfrac{A}{x-y}=-\dfrac{A}{y-x}$$，直接变形统一分母，简化运算。 18.4 整数指数幂与科学记数法 1. 零指数幂 $$a^0=1(a eq0)$$，非零数的0次幂为1，0的0次幂无意义。 2. 负整数指数幂（核心） $$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}(a eq0，n为正整数)$$ 速算口诀：底数颠倒，指数变号；运算结果禁止保留负指数。 3. 整数指数幂通用运算性质 同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方，对正负指数、零指数全部适用。 4. 小数的科学记数法 极小小数表示：$$a\times10^{-n}$$（$$1\leqslant|a|<10$$），小数点右移$$n$$位，指数为$$-n$$。 18.5 分式方程及实际应用（本章重难点、高频考点） 1. 分式方程定义 分母中含有未知数的方程，区别于整式方程。 2. 解法五步流程 找公分母→去分母化整式方程→解整式方程→检验（必写步骤）→写结论 3. 增根知识点 增根是整式方程的根，但使原分式方程分母为0，不是原方程的解；分式方程有增根则方程无解。 4. 应用题六步解题法 审、设、列、解、验、答；双重检验：验增根、验实际意义（数量、速度、时间为正数）。 三大必考题型：工程问题、行程问题、销售利润问题。 三、本章高频易错点汇总（扣分重灾区） 1. 忽略分式有意义条件：解题不考虑分母不为0，导致取值错误。 2. 分式加减符号错误：多项式分子相减不加括号，去括号变号失误。 3. 通分、约分失误：未因式分解直接通分，或运算后不化简，结果非最简。 4. 负指数幂混淆：$$-2^{-2} eq(-2)^{-2}$$，混淆底数范围，结果符号出错。 5. 科学记数法不规范：$$a$$不满足$$1\leqslant a<10$$，指数正负写反。 6. 解分式方程忘记检验：考试直接扣分，最高频基础错误。 7. 应用题漏检验实际意义：算出负数速度、小数人数等不合理解不舍去。 8. 去分母漏乘常数项：分式方程去分母时，整式常数项忘记乘最简公分母。 四、章末综合真题精练 （一）选择题（30分） 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. $$\dfrac{x+1}{2}$$ B. $$\dfrac{2}{x}$$ C. $$\dfrac{1}{3}x$$ D. $$2x+1$$ 2. 若分式$$\dfrac{x-2}{x+1}$$的值为0，则$$x$$的值为（ ） A. $$2$$ B. $$-1$$ C. $$2或-1$$ D. $$0$$ 3. 下列运算正确的是（ ） A. $$a^{-2}=-a^2$$ B. $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{xy}$$ C. $$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}=\dfrac{3}{2}$$ D. $$\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{y}{y-x}=0$$ 4. 分式方程$$\dfrac{1}{x-1}+2=\dfrac{x}{x-1}$$的解的情况是（ ） A. $$x=1$$ B. $$x=2$$ C. 无解 D. 无数解 5. 数据$$0.0000125$$用科学记数法表示为（ ） A. $$1.25\times10^{-5}$$ B. $$12.5\times10^{-6}$$ C. $$1.25\times10^5$$ D. $$0.125\times10^{-4}$$ （二）填空题（30分） 1. 分式$$\dfrac{3}{x-3}$$有意义，则$$x$$的取值范围是________。 2. 化简：$$\dfrac{x^2-4}{x+2}=$$________。 3. 计算：$$2^{-1}+(\pi-3)^0=$$________。 4. 化简：$$\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2}{x-1}=$$________。 5. 已知$$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x+1}$$，则$$x=$$________。 （三）解答题（40分） 1. （12分）计算： （1）$$\dfrac{x^2-6x+9}{x^2-9}\cdot\dfrac{x+3}{x-3}$$（2）$$\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{1}{x}$$ 2. （14分）解分式方程：$$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$$ 3. （14分）应用题：某工厂改进工艺后，每天比原来多生产5个零件，原来生产100个零件的时间，现在可以生产120个，求原来每天生产的零件个数。 五、参考答案与详细解析 （一）选择题解析 1. B 解析：分母含未知数的式子为分式，其余为整式。 2. A 解析：分子$$x-2=0$$得$$x=2$$，代入分母$$x+1 eq0$$，符合条件。 人教版数学（新教材）八年级上册 章末复习 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/22 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十八章 分式 素养目标 知识框架 FU XI HUI GU 分式 定义 概念 有意义的条件 分是的值为零 性质 约分 最简分式 通分 运算 定义 分式方程 增根与无解 实际应用 考点精讲 FU XI HUI GU 一、分式 1. 分式的概念： 一般地，如果 A、B 都表示整式，且 B 中含有字母，那么称为分式. 其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件： 对于分式 ： 当_______时分式有意义； 当_______时分式无意义. B≠0 B=0 3. 分式值为零的条件： 当 时，分式的值为零. A = 0 且 B≠0 考点精讲 FU XI HUI GU 4. 分式的基本性质： 5. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫做分式的约分．分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式. (1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； (2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 约分的基本步骤： 考点精讲 FU XI HUI GU 6. 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 最简公分母：为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母. 二、分式的运算 1. 分式的乘除法则： 2. 分式的乘方法则： 考点精讲 FU XI HUI GU 3. 分式的加减法则： (1) 同分母分式的加减法则： (2) 异分母分式的加减法则： 4. 分式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式． 考点精讲 FU XI HUI GU 三、分式方程 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 2. 分式方程的解法 (1) 在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； (2) 解这个整式方程； (3) 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则就不是，须舍去. 1. 分式方程的定义： 1. 工程问题； 2. 行程问题； 3. 经济问题； 4.和差倍分问题； 5. 其他问题 . 3.分式方程的应用 考点精讲 FU XI HUI GU 列分式方程解应用题的一般步骤： 1. 审清题意，并设出未知数； 2. 找相等关系； 3. 列出方程； 4. 解这个分式方程； 5. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)； 6. 作答. 返回 B 考试考法 9 2.下列关于分式的判断正确的是( ) D A.当时，分式 的值为0 B.当时，分式 无意义 C.无论为何值，分式 的值不可能是整数 D.无论为何值，分式 的值总为正数 返回 考试考法 10 考点2 分式的基本性质 3.若是一个最简分式，则 可以表示的式子是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 11 4.下列各式变形正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 12 5.［佛山南海区期末］将克蔗糖完全溶于 克水中，配制成蔗糖水， 蔗糖水的浓度为，若， 同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于 水中，则蔗糖水的浓度( ) A A.不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的2倍 D.扩大为原来的4倍 返回 考试考法 13 6. 将分式与 通分，最简公分母是_______________， 分式变为__________，分式 变为_ _________. 返回 考试考法 14 7.下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 15 8. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有 一道填空题破了一个洞， 表示破损的部分,则破损部分的式子是( ) 化简：（______） . √ A A. B. C. D. . . 返回 考试考法 16 返回 9.先化简，再从 ，0，3中选一个 合适的数作为 的值代入求值. 解：原式 . 易知，1， ， 当时，原式 ； 当时，原式 . （选择一个数代入即可） 考试考法 17 10.随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元 件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占 .将 用科学记数法表示为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 18 返回 11.下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 考试考法 19 返回 12.在方程；；； 中，分式方程 的个数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 考试考法 20 谢谢观看 THANKS 1．下列各式：，(1－x)，，，，其中分式共有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 $