18.3.2异分母分式相加减（教学课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

18.3.2 异分母分式相加减 专项练习 一、核心知识点梳理 1. 异分母分式加减法则 法则内容：异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式的加减法则进行运算。 文字公式：异分母分式加减 → 通分 → 同分母分子相加减 → 化简约分 通用公式：$$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}\ (b eq0,d eq0)$$ 2. 最简公分母选取方法（本节核心） （1）分母为单项式：系数取最小公倍数，相同字母取最高次幂，独有字母全部保留； （2）分母为多项式：第一步先因式分解，再取所有不同因式的最高次幂的积作为最简公分母； （3）特殊情况：分母互为相反数，直接利用符号变形统一分母，无需重新通分。 3. 异分母分式加减标准解题六步法 ① 分解：所有多项式分母先因式分解； ② 找母：确定最简公分母； ③ 通分：各分式分子分母同乘对应整式，统一为同分母； ④ 加减：分子整体相加减，多项式分子必须加括号； ⑤ 化简：去括号、合并同类项，整理分子； ⑥ 约分：因式分解，约去公因式，结果化为最简分式或整式。 4. 整式与异分母分式加减 将整式看作分母为1的分式，再与分式通分计算，是考试高频题型。 示例：$$a-\dfrac{2}{x}=\dfrac{ax}{x}-\dfrac{2}{x}=\dfrac{ax-2}{x}$$ 二、重点易错点汇总 1. 公分母找错：多项式分母未因式分解直接找公分母，导致通分错误。 2. 通分漏乘分子：只改动分母，忘记给分子乘对应整式，分式值发生改变。 3. 分子减法漏括号：多个多项式分子相减不加括号，去括号符号出错，是最高频扣分点。 4. 强行分子分母分别加减：异分母分式不能直接分子加分子、分母加分母。 5.运算不彻底：算出结果后不因式分解、不约分，未化为最简分式。 6. 符号混乱：分母互为相反数变形时，负号遗漏、位置出错。 三、基础专项练习 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 分式$$\dfrac{1}{2x^2}、\dfrac{1}{3xy}$$的最简公分母是（ ） A. $$6xy$$ B. $$6x^2y$$ C. $$5x^2y$$ D. $$x^2y$$ 2. 计算$$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}$$的结果正确的是（ ） A. $$\dfrac{1}{x-y}$$ B. $$\dfrac{2}{xy}$$ C. $$\dfrac{y-x}{xy}$$ D. $$\dfrac{x-y}{xy}$$ 3. 化简$$\dfrac{2}{a+1}+\dfrac{3}{a-1}$$的结果是（ ） A. $$\dfrac{5}{a^2-1}$$ B. $$\dfrac{5a-1}{a^2-1}$$ C. $$\dfrac{5}{2a}$$ D. $$\dfrac{6}{a^2-1}$$ 4. 计算$$\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{2-x}$$的结果是（ ） A. $$\dfrac{2}{x-2}$$ B. $$\dfrac{4}{x-2}$$ C. $$\dfrac{2}{2-x}$$ D. $$1$$ 5. 下列运算正确的是（ ） A. $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a+b}$$ B. $$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{a-b}{ab}$$ C. $$\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{3}{x^2-1}$$ D. $$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{1}{x-1}$$ （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 计算$$\dfrac{1}{3a}+\dfrac{1}{2a}=$$________。 2. 计算$$\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x-2}=$$________。 3. 分式$$\dfrac{1}{x^2-x}、\dfrac{2}{x^2+x}$$的最简公分母为________。 4. 化简$$x-\dfrac{1}{x}=$$________。 5. 计算$$\dfrac{3}{a-3}+\dfrac{a}{3-a}=$$________。 （三）解答题（共60分） 1.（15分）基础异分母分式加减计算： （1）$$\dfrac{1}{2x^2}+\dfrac{1}{3xy}$$ （2）$$\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x+2}$$ （3）$$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{a^2-1}$$ 2.（15分）含分母相反数的分式运算： （1）$$\dfrac{x}{x-y}+\dfrac{y}{y-x}$$ （2）$$\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{1}{x-2}$$ 3.（15分）整式与分式混合加减运算： $$2-\dfrac{x-1}{x+2}$$ 4.（15分）先化简，再求值：$$\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{x+1}$$，其中$$x=2$$。 四、参考答案及详细解析 （一）选择题解析 1. B 解析：系数最小公倍数6，字母取$$x^2、y$$，最简公分母为$$6x^2y$$。 2. C 解析：原式$$=\dfrac{y}{xy}-\dfrac{x}{xy}=\dfrac{y-x}{xy}$$。 3. B 解析：原式$$=\dfrac{2(a-1)+3(a+1)}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{2a-2+3a+3}{a^2-1}=\dfrac{5a-1}{a^2-1}$$。 4. B 解析：原式$$=\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{4}{x-2}$$，统一分母再计算。 5. D 解析：A、B公式变形错误；C通分计算错误；D原式$$=\dfrac{x-(x-1)}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}$$，正确。 （二）填空题解析 1. $$\dfrac{5}{6a}$$ 解析：最简公分母$$6a$$，通分后$$\dfrac{2+3}{6a}=\dfrac{5}{6a}$$。 2. $$-\dfrac{4}{x^2-4}$$ 解析：原式$$=\dfrac{x-2-(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{-4}{x^2-4}$$。 3. $$x(x+1)(x-1)$$ 解析：分母分解为$$x(x-1)、x(x+1)$$，取全部最高次因式。 4. $$\dfrac{x^2-1}{x}$$ 解析：原式$$=\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^2-1}{x}$$。 5. $$\dfrac{3-a}{a-3}=-1$$ 解析：原式$$=\dfrac{3}{a-3}-\dfrac{a}{a-3}=\dfrac{3-a}{a-3}=-1$$。 （三）解答题解析 1. 解：（1）原式$$=\dfrac{3y}{6x^2y}+\dfrac{2x}{6x^2y}=\dfrac{3y+2x}{6x^2y}$$； （2）原式$$=\dfrac{2(x+2)-3(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{2x+4-3x+6}{x^2-4}=\dfrac{-x+10}{x^2-4}$$； （3）原式$$=\dfrac{a-1}{(a+1)(a-1)}+\dfrac{2}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{a+1}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{1}{a-1}$$。 2. 解：（1）原式$$=\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{y}{x-y}=\dfrac{x-y}{x-y}=1$$； （2）原式$$=\dfrac{4}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{x+2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{4-x-2}{x^2-4}=\dfrac{2-x}{x^2-4}=-\dfrac{1}{x+2}$$。 3. 解：原式$$=\dfrac{2(x+2)}{x+2}-\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{2x+4-x+1}{x+2}=\dfrac{x+5}{x+2}$$。 4. 解：原式$$=\dfrac{x+1-2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x+1-2x+2}{x^2-1}=\dfrac{-x+3}{x^2-1}$$，代入$$x=2$$，原式$$=\dfrac{-2+3}{4-1}=\dfrac{1}{3}$$。 课时总结：本节核心掌握异分母分式加减的核心逻辑：先通分、后加减、必化简。重难点是多项式分母因式分解、最简公分母确定、分子减法括号符号处理。异分母分式加减是分式运算的重难点，也是后续分式混合运算、化简求值、分式方程的基础，必须熟练掌握标准化解题步骤，规避符号、通分、约分三类高频错误。 人教版数学（新教材）八年级上册 18.3.2异分母分式相加减 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/22 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十八章 分式 素养目标 复习回顾 FU XI HUI GU 分式的运算包含哪些？ 乘法： 除法： 加减法： 乘方： 探究新知 计算：（1） ，（2）　 解：（1）原式 结果化成最简分式 3 探究新知 解：（2）原式 结果化成最简分式 计算：（1） ，（2）　 4 1. 计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 0 2. 计算 的结果为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 5 3. ［2024雅安］已知，则 ( ) C A. B. 1 C. 2 D. 3 【点拨】， ， . 返回 举一反三 6 归纳总结 分式的混合运算顺序： 先乘方，再乘除，然后加减；若有括号，则先算括号里的；同级运算，按从左到右的顺序进行计算. 【注意】计算结果要化为最简分式或整式． 7 探究新知 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地.张华在前半段路程的平均行走速度是 a km/h，在后半段路程的平均行走速度是 b km/h；李明全程的平均行走速度是 km/h，如果 a ≠ b，两人谁先到达乙地？ 张华到达乙地用了多少时间？李明到达乙地用了多少时间？ 解：设从甲地到乙地的路程为 s km，张华从甲地到乙地的时间(单位：h)为 异分母分式相加减 8 探究新知 李明从甲地到乙地的时间(单位：h)为 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地.张华在前半段路程的平均行走速度是 a km/h，在后半段路程的平均行走速度是 b km/h；李明全程的平均行走速度是 km/h，如果 a ≠ b，两人谁先到达乙地？ 9 探究新知 俩人的时间差为： 因为s，a，b均大于0，且 a ≠ b，所以 因此，李明先到达乙地. 10 A A 当堂练习 QING JING YIN RU 1. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. C 2.计算 的结果为（ ） A.a+1 B. C.a D. D 3.照相机成像应用了一个重要原理，用公式 （ ） A. B. C. D. C 当堂练习 QING JING YIN RU 5.计算： 的结果是____. 4. 化简 的结果是 . 6.如果 那么A=________，B=________. 7.某种商品，原来每盒标价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元购买这种商品，现在比原来可多买___________盒. 当堂练习 QING JING YIN RU 8.计算： 解：原式 原式 当堂练习 QING JING YIN RU 解：原式= 由a+3b=0,得a=-3b, ∴原式= 当堂练习 QING JING YIN RU 解：原式= 由题意得，x≠-2，-1,3，∴当x=0时，原式=- 4. ［2025济宁月考］小强上山和下山的路程都是 ，上山 的速度为，下山的速度为 ，则小强上山和下 山的平均速度为( ) D A. B. C. D. 举一反三 19 【点拨】依题意，上山所用时间为 ，下山所用时间为 ， 小强上山和下山的平均速度为 . 返回 举一反三 20 5. 定义一种新的运算“*”：对于任意实数 ， ，，根据此定义化简 的结果 为______. 【点拨】， . 返回 举一反三 21 小结 分式的混合运算顺序： 先乘方，再乘除，然后加减；若有括号，则先算括号里的；同级运算，按从左到右的顺序进行计算. 【注意】计算结果要化为最简分式或整式． 22 谢谢观看 THANKS 练习1 计算 的结果是( ) A. B. C. D. 解析：原式 故选A. 练习2 化简 的结果是( ) A. B. C. D.4 解析： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , 故选：A. 练习3 计算： . 解：原式 . $