18.5.2 列分式方程解决实际问题 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

18.5.2 列分式方程解决实际问题 专项练习 一、核心知识点梳理 1. 列分式方程解应用题六步标准流程（考试规范） 审、设、列、解、验、答（缺一不可，检验为核心得分点） ① 审题：找准题目中的已知量、未知量，梳理等量关系，区分工作总量、速度、单价、数量等核心量； ②设未知数：一般直接设所求量为$$x$$，单位必须书写完整，必要时间接设元简化计算； ③ 列方程：根据题意中的等量关系，列出分式方程； ④ 解方程：按照分式方程标准解法，化为整式方程求解； ⑤ 双重检验（重中之重）：先检验是否为分式方程的增根，再检验解是否符合实际题意（正数、整数、符合生活逻辑）； ⑥ 作答：规范书写答案，对应单位，完整回应题目问题。 2. 三大必考核心题型及等量关系 （1）工程问题（最高频） 核心公式：工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间，常设工作总量为单位“1” 等量关系：甲工作效率 ± 乙工作效率 = 合作/单独效率；总工作量之和 = 1 （2）行程问题 核心公式：速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度 常见场景：提速/减速、顺水逆水、早到/迟到，核心找时间差、速度差等量关系 （3）销售价格问题 核心公式：单价 = 总价 ÷ 数量，数量 = 总价 ÷ 单价 常见场景：涨价、降价、批量购买、单价差异导致数量变化 3. 分式方程应用题专属要点 整式方程应用题只需检验计算正误，分式方程应用题必须双重检验：既要排除增根，也要排除不符合实际的解（如时间、数量、速度不能为负数）。 二、重点易错点汇总 1. 遗漏双重检验：只解方程不检验，或只验方程不验实际意义，直接扣分。 2. 等量关系找反：时间差、速度差、效率差加减关系混淆，方程列写错误。 3. 单位不统一：题目中分钟/小时、元/元、千米/米混用，未统一单位就列方程。 4. 设答不规范：设未知数不带单位，作答漏答、答非所问。 5. 忽略实际限制：解得小数人数、负数时间等，未主动舍去不合理解。 6. 工程问题总量误用：未将总工程量设为1，随意赋值导致等量关系混乱。 三、基础专项练习 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 某项工程，甲单独完成需要$$x$$天，乙单独完成比甲多3天，则甲乙合作一天的工作效率为（ ） A. $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+3}$$ B. $$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+3}$$ C. $$x+x+3$$ D. $$\dfrac{1}{x+x+3}$$ 2. 小明骑自行车去30千米外的某地，速度提升5km/h后，时间缩短1小时，设原速度为$$x$$ km/h，列方程正确的是（ ） A. $$\dfrac{30}{x}-\dfrac{30}{x+5}=1$$ B. $$\dfrac{30}{x+5}-\dfrac{30}{x}=1$$ C. $$\dfrac{30}{x}+\dfrac{30}{x+5}=1$$ D. $$\dfrac{30}{x}-\dfrac{30}{x-5}=1$$ 3. 用120元购买笔记本，降价2元后，多买了3本，设原单价为$$x$$元，方程为（ ） A. $$\dfrac{120}{x-2}-\dfrac{120}{x}=3$$ B.$$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x-2}=3$$ C. $$\dfrac{120}{x+2}-\dfrac{120}{x}=3$$ D. $$\dfrac{120}{x}+\dfrac{120}{x-2}=3$$ 4. 分式方程应用题最终必须完成的步骤是（ ） A. 只需解方程 B. 只需检验增根 C. 双重检验+规范作答 D. 直接写答案 5. 甲做60个零件的时间与乙做40个零件的时间相同，已知甲每小时比乙多做2个，设乙每小时做$$x$$个，方程正确的是（ ） A. $$\dfrac{60}{x+2}=\dfrac{40}{x}$$ B. $$\dfrac{60}{x}=\dfrac{40}{x+2}$$ C. $$60(x+2)=40x$$ D. $$\dfrac{60}{x}-\dfrac{40}{x}=2$$ （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需$$x$$天完成，两人合作1天的工作量为________。 2. 路程为100千米，原速度为$$x$$ km/h，提速2km/h后，行驶时间为________小时。 3. 总价80元，原单价$$x$$元，涨价1元后，可购买数量比原来少________本。 4. 解方程得出时间$$x=-2$$，应________（填“保留解”或“舍去无解”）。 5. 顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=________。 （三）解答题（共60分，三大必考题型） 1.（20分）工程问题：某项工程，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要$$x$$天，甲乙合作10天可以完成工程的一半，求乙单独完成工程需要的天数。 2.（20分）行程问题：A、B两地相距120千米，一辆汽车提速20km/h后，从A到B的行驶时间缩短了1小时，求汽车原来的行驶速度。 3.（20分）销售问题：用200元购买签字笔，降价1元后，多购买了10支，求签字笔原来的单价。 四、参考答案及详细解析 （一）选择题解析 1. A 解析：甲效率$$\dfrac{1}{x}$$，乙效率$$\dfrac{1}{x+3}$$，合作效率为两者之和。 2. A 解析：原时间$$\dfrac{30}{x}$$，提速后时间$$\dfrac{30}{x+5}$$，原时间−新时间=缩短时间1小时。 3. A 解析：降价后单价更低，购买数量更多，新数量−原数量=3。 4. C 解析：分式方程应用题必须双重检验，排除增根和不合理解，再规范作答。 5. A 解析：甲每小时$$x+2$$个，甲乙用时相等，$$\dfrac{甲总数量}{甲效率}=\dfrac{乙总数量}{乙效率}$$。 （二）填空题解析 1. $$\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{x}$$ 解析：甲乙日效率相加，为合作单日工作量。 2. $$\dfrac{100}{x+2}$$ 解析：时间=路程÷新速度。 3. $$\dfrac{80}{x}-\dfrac{80}{x+1}$$解析：原数量减涨价后数量，即为减少的数量。 4. 舍去无解 解析：时间为负数，不符合实际意义，必须舍去，方程无解。 5. 静水速度−水流速度 解析：流水行船基础公式，逆水行驶抵消部分船速。 （三）解答题解析 1. 解：工程问题 设乙单独完成工程需要$$x$$天，工作总量为1。 甲工作效率：$$\dfrac{1}{20}$$，乙工作效率：$$\dfrac{1}{x}$$ 根据题意列方程：$$10\left(\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{2}$$ 化简得：$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{10}{x}=\dfrac{1}{2}$$，解得$$\dfrac{10}{x}=0$$，此方程无解。 检验：无符合题意的解，说明该工程条件下，无法满足题干合作要求。 答：本题无符合实际的解。 2. 解：行程问题 设汽车原来的速度为$$x$$ km/h，则提速后速度为$$(x+20)$$ km/h。 根据时间差列方程：$$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x+20}=1$$ 去分母：$$120(x+20)-120x=x(x+20)$$ 展开整理：$$120x+2400-120x=x^2+20x$$，即$$x^2+20x-2400=0$$ 解得：$$x_1=40，x_2=-60$$ 双重检验：$$x=40$$不是增根，且速度为正数，符合题意；$$x=-60$$为负数，舍去。 答：汽车原来的行驶速度为40km/h。 3. 解：销售问题 设签字笔原来的单价为$$x$$元，则降价后单价为$$(x-1)$$元。 根据数量差列方程：$$\dfrac{200}{x-1}-\dfrac{200}{x}=10$$ 去分母：$$200x-200(x-1)=10x(x-1)$$ 展开整理：$$200=10x^2-10x$$，化简得$$x^2-x-20=0$$ 解得：$$x_1=5，x_2=-4$$ 双重检验：$$x=5$$不是增根，单价为正数，符合题意；$$x=-4$$为负数，舍去。 答：签字笔原来的单价为5元。 课时总结：本节是分式方程的重难点与中考高频考点，核心掌握列分式方程解应用题的六步流程，重点攻克工程、行程、销售三大经典题型。区别于整式方程，双重检验是本题型的得分关键，既要验证方程有效性，也要验证实际合理性。解题核心是找准“差量关系”（时间差、数量差、效率差），准确列出分式方程，规范书写步骤，规避设答不规范、漏检验、符号错误等高频扣分点。 人教版数学（新教材）八年级上册 18.5.2 列分式方程解决实际问题 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/22 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十八章 分式 素养目标 1. 进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程. (重点) 2. 运用分式方程解决实际应用问题时，会合理设未知数，找出等量关系并列出方程. (难点) 3. 通过分式方程的应用过程，培养数学应用意识，提高分析问题和解决问题的能力. 素养目标 知识回顾 回顾解分式方程的一般步骤： 一去：去分母，方程两边同乘 ，把分式方程转化为整式方程； 二解：解这个整式方程； 三验：将整式方程的解代入 ，如果最简公分母的值不为 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解； 四写：写出原分式方程的解. 最简公分母 0 最简公分母 3 新知导入 回顾应用整式方程解实际问题的步骤： 实际问题 审题 设未知数 列出方程 检验解的合理性 解方程 找等量关系 那么如何运用分式方程解决实际问题呢？ 4 探究新知 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？ 工程问题：工作总量 = 工作效率×工作时间 工作时间(月) 工作效率 工作总量(1) 甲单独 两队合作 1 设乙单独完成这项工程需要x个月. 5 探究新知 你能找出题中的等量关系吗？ 甲队施工1个月的工程量 + 甲队施工半个月的工程量 + 乙队施工半个月的工程量 = 总工程量（记为1）. 6 探究新知 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，记总工程量为1， 根据工程的实际进度，得 方程两边同时乘以6x，得 2x+x+3=6x .解得 x = 1. 检验：当x=1时，6x ≠ 0. 所以原分式方程的解为 x = 1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的 ，可知乙队的施工速度快. 7 1. 一艘货轮在静水中的航速为 ，它以该航速沿江顺 流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行 所 用时间相等，则江水的流速为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 8 2.小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相 关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）以最 高时速运行时相应所用的时间比约少 ，那么区间设 计最高时速 _____ . 区间段 区间近似里 程 区间设计最高时 速 相应所用时间 48 88 320 返回 举一反三 9 归纳总结 未知数 审 设 列 解 验 答 设：_______ 解：_______ 列：_________ 检验:1.__________________； 2.______________ 分式方程解决实际问题的基本过程： 分式方程 分式方程 是否是分式方程的解 是否符合题意 10 探究新知 某次列车平均提速 v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 行程问题：路程 = 速度×时间 路程(km) 速度(km/h) 时间(h) 提速后 提速前 s + 50 s x + v x 11 探究新知 你能找出题中的等量关系吗？ 提速后的行驶时间 = 提速前的行驶时间 某次列车平均提速 v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 12 探究新知 方程两边乘x(x+v)，得 x(s+50) = s(x+v) ， 解得： 解：设提速前这次列车的平均速度为 x km/h，则提速前它行驶 s km所用时间为 h；提速后列车的平均速度为(x+v)km/h，提速后它行驶(s+50)km所用时间为 h. 根据行驶时间的等量关系，得 检验：由v，s都是正数，当 时，x(x+v)≠0. 所以，原分式方程的解为 ， 答：提速前列车的平均速度为 km/h. 13 当堂练习 QING JING YIN RU 1.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(　　) A 当堂练习 QING JING YIN RU 2.欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得7 个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（    ） A 当堂练习 QING JING YIN RU 3.随着快递业务的发展，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3 000件提高到4 200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为(　　) D 当堂练习 QING JING YIN RU 4.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2.5倍，求规定时间．设规 定时间为x,天，则列出的分式方程为 . 5.某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩960套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了30%，结果刚好提前6天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x套校服，则列出的 分式方程为 . 当堂练习 QING JING YIN RU 6.顺丰速运为应对“618”全球购物节，启用搭载神经网络算法的星链AI分拣机器人．单个机器人每小时分拣量比人工分拣员多150个包裹，完成7500个包裹分拣耗时与人工处理5000个包裹时长相等．为确保人机协同的最优资源配置，传统分拣员每小时应分拣多少个包裹？ 解：设人工分拣员每小时分拣量为x个包裹，则AI分拣机器人每小时分拣量为(x+150)个包裹,由题意得 解得 经检验：0是原分式方程的解且符合题意. 答：传统分拣员每小时应分拣300个包裹. 3.某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知 地到地的路程为，乘坐型车比乘坐 型车少用2小 时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求 型车 的平均速度. 举一反三 19 【解】设型车的平均速度是，则 型车的平均速度 是 ， 根据题意,得，解得 ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. 答：型车的平均速度是 . 返回 举一反三 小结 审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量； 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 解：解所列分式方程； 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求； 答：写出答案. 列分式方程解决实际问题的一般步骤 谢谢观看 THANKS $