18.5.2 列分式方程解决实际问题-课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦列分式方程解决实际问题，核心知识点涵盖解题五步流程、工程等常见模型及设元技巧。通过核心知识点回顾导入，以例题解析为支架，衔接从理论到实际应用的知识脉络。 其亮点在于融合一题多解（如工程问题两种设元方法）和真实情境（如美丽乡村道路改造），培养学生数学思维的推理能力与数学眼光的抽象能力。采用表格梳理量关系、规范解题步骤，助力学生用数学语言表达实际问题，提升应用意识，也为教师提供结构化教学资源。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 18.5.2 列分式方程解决实际问题 第十八章 分式 18.5.2 列分式方程解决实际问题 同步练习题（人教版八年级上册） 核心知识点回顾：1. 解题五步流程：审、设、列、解、验、答（应用题必须双重检验：①检验是否为方程的解 ②检验是否符合实际意义）；2. 常见模型：工程问题（工作总量看作1，工作效率=工作量÷工作时间）、行程问题（速度=路程÷时间）、销售单价问题、增产节约问题；3. 设元技巧：一般问什么设什么，也可间接设元；4. 核心特征：题目中含有“时间相等、效率相等、单价相等”等除法等量关系，适合列分式方程；5. 必考易错：忘记检验实际意义、单位不统一、等量关系列反、漏写答句。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 某项工程，甲单独完成需要x天，乙单独完成需要x+2天，则甲的工作效率为（） A. $$\frac{1}{x}$$ B. $$x$$ C. $$\frac{1}{x+2}$$ D. $$x+2$$ 2. 甲、乙两地相距120千米，小车速度为x km/h，大车比小车慢20km/h，大车走完全程多用的时间为（） A. $$\frac{120}{x}-\frac{120}{x-20}$$ B. $$\frac{120}{x-20}-\frac{120}{x}$$ C. $$\frac{120}{x+20}-\frac{120}{x}$$ D. $$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+20}$$ 3. 购买文具，用120元购买的数量比原价多5件，设原价每件x元，下列列式正确的是（） A. $$\frac{120}{x}-\frac{120}{x-2}=5$$ B.$$\frac{120}{x-2}-\frac{120}{x}=5$$ C. $$\frac{120}{x+2}-\frac{120}{x}=5$$ D. $$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+2}=5$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 列分式方程解应用题，必须检验解是否为方程的解且是否符合________。 5. 一项工程，甲效率为$$\frac{1}{a}$$，乙效率为$$\frac{1}{b}$$，两人合作效率为________。 6. 一段路程长300米，速度为v米/分，则行驶时间为________分钟。 三、解答题（共60分） 7.（20分）工程问题：一项工程，甲单独做比乙单独做少用3天，已知甲单独完成需要10天，若设乙单独完成需要x天，列方程并求乙的工作时间。 8.（20分）行程问题：甲乙两地相距360km，高铁速度是普通列车的3倍，高铁比普通列车少用4小时到达，求两种列车的速度。 9.（20分）销售问题：用900元购进一批文具，打折后单价便宜3元，同样的钱多买了15件，求文具原来的单价。 参考答案与解析 选择题：1.A（工作效率=1÷工作时间） 2.B（慢车速度小、时间长，大车时间减小车时间） 3.B（降价后单价低、数量多，现价数量减原价数量=5） 填空题：4. 实际意义 5. $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$ 6. $$\frac{300}{v}$$ 解答题：7. 解：根据题意列方程：$$x-3=10$$，解得$$x=13$$。检验：符合实际意义。答：乙单独完成需要13天。 8. 解：设普通列车速度为$$x$$ km/h，高铁速度为$$3x$$ km/h。列方程：$$\frac{360}{x}-\frac{360}{3x}=4$$，化简得$$\frac{360}{x}-\frac{120}{x}=4$$，$$\frac{240}{x}=4$$，解得$$x=60$$。检验：$$x=60 eq0$$，符合实际。$$3x=180$$。答：普通列车60km/h，高铁180km/h。 9. 解：设原价每件$$x$$元，现价$$(x-3)$$元。列方程：$$\frac{900}{x-3}-\frac{900}{x}=15$$，化简得$$60x-60(x-3)=x(x-3)$$，$$x^2-3x-180=0$$，解得$$x=15$$（负根舍去）。检验：符合题意。答：文具原来单价为15元。 （总字数：809） 例 3　两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？ 探究1 工程问题 甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1” 问题中的哪个等量关系可以用来列方程？ 工作时间/月 工作效率 工作总量 甲队 乙队 设乙队单独完成这项工程需要 x 月. 甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一 两队又共同工作了半个月 甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1” 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得 方程两边乘 6x，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，6x ≠ 0. 所以，原分式方程的解为 x = 1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快. 注意：分式方程的解需要检验 2x + x + 3 = 6x. 分析：甲队1个月完成总工程的____， 那么甲队半个月完成总工程的____， 设乙队的单独施工1个月能完成总工程____， 乙队半个月完成总工程____， 两队半个月完成总工程的________. 思考 本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作量 + 两队合作完成的工作量 =“1” 应用1 工程问题 1. 为落实“美丽乡村”的工作部署，市政府计划对乡村道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队修路400 m与乙队修路600 m所用时间相等，乙队每天比甲队多修20 m.求甲队每天修路的长度. 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (1)填表(在表格中横线处填写相应的代数式)： 方法一：设甲队每天修路的长度为x m，完成表格.   工作效率(m/天) 工作总量(m) 工作时间(天) 甲队 x 400 █ 乙队 　　　.　 600 　 .　　　 x＋20 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 方法二：设甲队修路400 m需要用y天，完成表格.   工作效率(m/天) 工作总量(m) 工作时间(天) 甲队 　　　.　 400 y 乙队 　 　.　　 600 █ 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (2)请选择一种方法，写出完整的解答过程. 方法一：＝，解得x＝40. 经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意. 故甲队每天修路的长度为40 m. 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 方法二：＋20＝，解得y＝10. 经检验，y＝10是原分式方程的解，且符合题意. ∴＝40. 故甲队每天修路的长度为40 m. (两种方法任选一种即可) 返回 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 工程问题中的基本关系： 解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1 常从工作量和工作时间上考虑相等关系. 工作总量 = 工作效率×工作时间 合作效率 = 各自单独完成任务的效率和 总工作量 = 各部分工作量之和 归纳 例2 某次列车平均提速v km/h．在相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前列车行驶s km所用时间等于提速后列车运行(s+50)km所用时间．由此列方程，进而求出x. 表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量). 例2 某次列车平均提速v km/h．在相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 解：设提速前这次列车的平均速度为x km/h，则提速前它行驶 s km所用时间为h； 提速后列车的平均速度为(x+v) km/h，提速后它行驶(s+50) km，所用时间为 h. 根据行驶时间的相等关系，得 . ① 方程两边乘x(x+v)，得 s(x+v)=x(s+50). 解得 . 检验：因为v，s都是正数， 所以当时，x(x+v)≠0. 所以，原分式方程的解为. 答:提速前列车的平均速度为km/h. 在例题中，出现了一些用字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现.方程①是以x为未知数的分式方程，其中v,s是已知数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数. 应用2 行程问题 2. “行人守法，安 全过街”不仅体现了对生命的尊重，也体 现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度.如图，某森林公园路口的斑马线A－B－C为横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝8 m，在绿灯亮时，小官共用13 s通过AC路段，其中通过BC路段时的速度是通过AB路段时速度的1.6倍，则小官通过AB路段时的速度是(　　)  A.0.5 m/s　　 B.1 m/s C.1.5 m/s　　 D.2 m/s B 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 【点拨】设小官通过AB路段时的速度是x m/s，则通过BC路段时的速度是1.6x m/s，依题意，得＋＝13，解得x＝1，经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意，∴小官通过AB路段时的速度是1 m/s. 返回 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 3.“长河耀星汉，万马聚狮城”，沧州大运河第三届新春灯会于2026年2月7日至3月8日在园博园举行，佳佳和珍珍相约先去沧州运河博物馆参观，再去园博园看灯会，2月7日下午2点两人同时从家出发，分别骑自行车到博物馆门口会合，已知佳佳家和珍珍家到博物馆的距离分别为4.15 km和2.5 km. 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (1)若佳佳每分钟比珍珍每分钟多行200 m，结果同时到达，求佳佳和珍珍的速度分别是多少米/分钟？ 【解】 4.15 km＝4 150 m，2.5 km＝2 500 m . 设珍珍的速度为x m/min，则佳佳的速度为(x＋200) m/min.根据两人行驶时间相等，列方程得＝，解得x＝ ， 经检验，x＝是原分式方程的解，且符合实际意义， 则佳佳的速度为＋200＝(m/min). 答：佳佳的速度是 m/min，珍珍的速度是 m/min. 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (2)两人参观完博物馆后，同时从博物馆出发去园博园东门，若珍珍骑车速度为(a2－4)km/h，佳佳骑车速度为(a2－4a ＋4)km/h，其中a＞2，请判断谁先到达园博园，并说明理由. 【解】珍珍先到达园博园.理由如下：设博物馆到园博园东门的路程为s km，其中s＞0，由题意得， 珍珍的行驶时间t2＝＝ (h)， 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 佳佳的行驶时间t1＝＝(h)， t1－t2＝－＝＝. 因为a＞2，s＞0， 所以(a－2)2＞0，a＋2＞0，4s＞0 ， 所以t1－t2＞0，即t1＞t2 ， 所以珍珍先到达园博园. 返回 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 应用3 分配问题 4. 随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人. 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 【解】设甲组有x名工人，则乙组有(35－x)名工人. 根据题意，得＝×1.2，解得x＝20， 经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意， 所以35－x＝35－20＝15. 返回 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人. 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 应用4 几何问题 5.书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m，b m，c m，d m.若装裱后AB与AD的比是8∶5，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度. 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 【解】由题意，得AB＝1.2＋c＋d＝1.2＋2c ＝(1.2＋4a)m，AD＝0.8＋a＋b＝(0.8＋2a)m. 因为AB与AD的比是85， 所以＝，解得a＝0.1， 经检验，a＝0.1是原方程的根，且符合题意， 所以上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m. 返回 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 应用5 和差倍分问题 6.［2026重庆沙坪坝区期末］列方程(组)解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范.某手工工艺坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣.已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟. 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需要多少分钟； 【解】设制作一对“花扣”需要x分钟，则制作一对“一字扣”需要(x－65)分钟. 由题意得2x＋6(x－65)＝250，解得x＝80， ∴x－65＝15. 答：制作一对“花扣”需要80分钟，制作一对“一字扣”需要15 分钟. 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (2)因该手工工艺坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50小时制作的“花扣”对数是30小时制作的“一字扣”对数的，求升级工艺品质后制作一对“一字扣”需要多少分钟. 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 返回 【解】设升级工艺品质后制作一对“一字扣”需要增加y分钟， 由题意得＝×， 整理得＝， 去分母得5(15＋y)＝80＋4y，解得y＝5， 经检验，y＝5是原分式方程的解， ∴15＋y＝20. 答：升级工艺品质后制作一对“一字扣”需要20分钟. 基础提优题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 列分式方程 解决实际问题 分式方程 分式方程的解 列方程 解方程 检验 课堂小结 $