18.6 数学活动 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦分式章节的比例性质及代数式x²+1/x²取值规律，通过生活中比例实例（国旗、比例尺）导入，衔接旧知比例基本性质，以数值实验、猜想、证明构建新知，形成旧知到新知的学习支架。 其亮点是采用“举例—猜想—证明”探究模式，通过多组数值实验培养数学眼光的抽象能力，严格代数推理发展数学思维的推理能力，如比例性质用不同数组验证猜想，x²+1/x²通过表格发现规律。助力学生提升代数推理与探究能力，为教师提供结构化教学流程。

第十八章 分式 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 18.6 数学活动 1 学习目标 1. 通过计算、观察和比较，归纳并证明比例的基本性质及拓展性质，提升代数推理能力和逻辑思维水平. 2. 通过举例 — 猜想 — 证明，探究代数式x²+的取值规律，体会从特殊到一般的数学思想，发展数学探究能力. 3. 在合作探究活动中，主动参与数值实验和规律讨论，增强问题意识和合作精神，感受数学的严谨性与趣味性，培养实事求是的科学态度. 2 第十八章 分式 活动1 探究比例的性质 3 情境导入 在我们的日常生活中，比例关系无处不在. 比如，我们国旗的长和宽，地图上的比例尺，建筑模型的尺寸与实际建筑的尺寸同样存在比例. 那么，这些成比例的数之间，是否隐藏着一些特殊的规律呢？今天，我们就通过数学活动来一起探究比例的性质. 4 旧知回顾 我们之前学过比例的基本性质 —— 如果a：b = c：d 或 = （b，d ≠ 0），可以得到什么等式？ ad = bc 文字表示： . 式子表示： . ad = bc（b，d ≠ 0） = 两内项之积等于两外项之积 反过来，如果ad = bc ，那么 = . 5 新知探究 任务1 找几组都不为0的数a，b，c，d，使得分式 = 成立，也就是a，b，c，d成比例. (1) 取 a =1，b =2，c =3，d =6； (2) 取 a =3，b =6，c =5，d =10； (3) 取 a =5，b =3，c =10，d =6. 6 新知探究 任务2 由这几组数值计算下面各组中的两个分式的值，猜想各组中的两个分式之间的关系.  (1) 和 ； (2) 和 ； (3) 和 ； (4) 和 (a ≠ b，c ≠ d). 7 新知探究 分式 求值 猜想 和 和 和 和 = (1) 取 a =1，b =2，c =3，d =6； = = = = = = = 若 = 若 = 若 = 若 = 8 新知探究 分式 求值 猜想 和 和 和 和 = = = = = = = = 若 = 若 = 若 = 若 = (2) 取 a =3，b =6，c =5，d =10； 9 新知探究 分式 求值 猜想 和 和 和 和 = = = = = = = = 若 = 若 = 若 = 若 = (3) 取 a =5，b =3，c =10，d =6. 10 新知探究 (1) 若 则 = .  任务3 证明你的猜想. 更比定理：交换比例的内项或外项，比例仍然成立. 证明： ∵ ∴ ad = bc . ∴ = . 11 新知探究 (2) 若 则 = .  反比定理：把比例的前项和后项交换位置，比例仍然成立. 证明：(方法一) ∵ ∴ ad = bc . ∴ = . (方法二) ∵ ∴ = . ∴ = . 12 新知探究 (3) 若 则 = .  合比定理：在一个比例中，第一个比的前项与后项之和与后项的比，等于第二个比的前项与后项之和与后项的比. 证明：∵ ∴ ∴ = . 13 新知探究 (4) 若 则 和 (a ≠ b，c ≠ d).  证明：设  ，则 ， . 左边  ，右边  ∴ . 合分比定理：在一个比例中，第一个比的前项与后项之和与前项与后项之差的比，等于第二个比的前项与后项之和与前项与后项之差的比. 14 随堂演练 （1）如果 ，则 （ ）； （2）如果 ，则 （ ）； （3）如果 ，则 （ ）； （4）如果 ，则 （ ）. 1. 15 随堂演练 分析：令，分别用分子和字母k表示分母， 然后代入计算 的值，再与 、……进行比较得出结论. 2. 如果，那么 与 、 ……之间的大小关系是什么？（b+d+f+……+y≠0） 16 随堂演练 证明：令 ，则a=bk，c=dk，……x=yk， 所以 则 . 2. 如果，那么 与 、 ……之间的大小关系是什么？（b+d+f+……+y≠0） 17 课程小结 更比定理：若 则 = .  反比定理：若 则 = .  合比定理：若 则 = .  合分比定理：若 则 和 (a ≠ b，c ≠ d).  比例的性质 18 第十八章 分式 活动2 探究 x2+ 取值的规律 19 新知探究 任务1 填写下表，分别求出当x=-3，-2，- ，- ， ， ，1，2，3时x2+的值. x -3 -2 -1 - - 1 2 3 x2+ 2 2 20 新知探究 任务2 由填写完成的表，你能提出关于x2+ 的值的一些猜想吗？ x -3 -2 -1 - - 1 2 3 x2+ 2 2 猜想1 如果两个数互为倒数或者正负相反的倒数，它们代入x2+ 的值相同. 21 新知探究 x -3 -2 -1 - - 1 2 3 x2+ 2 2 证明1：①互为相反数的两个数：a和-a. 当x=a时， x2+ = a2+ 当x=-a时， x2+ = (-a)2+ = a2+ . 22 新知探究 x -3 -2 -1 - - 1 2 3 x2+ 2 2 证明1： ②互为倒数的两个数：a和 (a ≠0). 当x=a时， x2+ = a2+ 当x= 时， x2+ = + = a2+ . 23 新知探究 x -3 -2 -1 - - 1 2 3 x2+ 2 2 猜想2 x2+ ≥2. 当x=±1时取等号. 24 新知探究 x -3 -2 -1 - - 1 2 3 x2+ 2 2 证明2 当x≠0时，x2+2 = (x)2 . ∵(x)2 ≥ 0， ∴ x2+2 ≥0，即x2+ ≥ 2 . 当且仅当x0，即x=±1时， x2+ = 2 . 25 课程小结 x2+ 的取值规律： 对称性：如果两个数互为倒数或者正负相反的倒数，它们代入x2+ 的值相同. 最小值： x2+的值大于或等于2，当且仅当x=±1时，取得最小值2. 回顾这两个数学活动，我们都是从具体的数值入手，通过计算、观察、猜想，然后进行严格的逻辑证明，最终得出一般性的结论. 这种“从特殊到一般”的探究方法，是我们学习数学、研究数学问题的重要思想方法，希望大家能在今后的学习中灵活运用. 26 第十八章 分式 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 18.6 数学活动 27 $