1.3一元二次方程的根与系数的关系（同步练习）2026--2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级数学上1.3一元二次方程的根与系数的关系（同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（     ） A．5 B． C．8 D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 4．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）设是方程的两根，且，则常数的值为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 7．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 9．（2026九年级上·全国·专题练习）已知方程的两个根互为相反数，则________，方程的根为________． 10．（26-27九年级上·全国·单元测试）已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 11．（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）已知a，b，4分别是一个等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程的两个根，则______． 12．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则______． 13．（2026九年级上·全国·专题练习）已知方程的两个根分别是，，则的值为____________． 14．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 15．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 16．（26-27九年级上·湖北·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的是__ ． 三、解答题 17．（26-27九年级上·江苏·单元测试）已知，是关于x的方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 18．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若、是方程的两个实数根，且，求m的值． 19．（23-24九年级下·广东汕头·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 20．（2026九年级上·全国·专题练习）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 21．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测） 已知关于x的方程．若，是方程的两根． (1)当时，求m的值； (2)直接写出代数式的最小值． 22．（26-27九年级上·湖北·阶段检测）阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 23．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版九年级数学上1.3一元二次方程的根与系数的关系（同步练习）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D D A C C B 1．A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：一元二次方程中，，， 可得． 2．A 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系直接计算两根之和. 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得，． 3．D 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 4．D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合的条件列方程求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 5．A 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 6．C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 7．C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④. 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 8．B 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 9． 0 【分析】先设两根是，根据根与系数的关系可得，而两根又互为相反数，据此易求k值，将k值代入原方程求解，即可解题． 【详解】解：设两根为 ， 由题意得， 由根与系数的关系得：， ， 方程化为 ， 则，， ． 10．12 【分析】根据韦达定理： ， ，用含的式子表示出一元二次方程两根之和、两根之积，再代入中，即可求出的值．注意：求出值后，需要代回到一元二次方程中检验是否大于，只有当时值才满足条件． 【详解】解：∵，分别是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴一元二次方程为： ， 检验判别式： ， ∴方程有两个实根， 值符合题意． 11．或 【分析】分两种情况讨论：一是腰长为，即或；二是，即腰长为，底边为，分别计算的值并验证三角形是否成立即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系得， 分两种情况计算： 当为腰长，即或时， 将代入方程得：， 解得， 此时方程为，解得另一个根为， 三角形三边长为，符合三角形三边关系，满足题意； 当，即为腰长时， 此时方程有两个相等的实数根，判别式， 解得， 此时方程为，解得， 三角形三边长为，符合三角形三边关系，满足题意； 综上，的值为或． 12． 【分析】设两根满足倍数关系，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根，进而计算的值，再验证判别式符合有两个实数根的条件． 【详解】解：∵方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍， ∴设方程的两个根分别为和， 对于一元二次方程，由根与系数的关系可知，两根之和为，两根之积为， ，解得， 方程的两个根为和， ， 验证得此时判别式，方程有两个实数根，符合题意． 13． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ，， ． 14．/ 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 15． 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，利用根与系数的关系得到，将所求代数式拆分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得， ∴． 16．①③④ 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ， ，故①正确； 若是方程的一个根，则， 或，故②错误； 若，则， 即有一个根是，故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根，故④正确； 综上可知，正确的是①③④． 17．(1)3； (2)． 【分析】（1）根据根与系数的关系可得，，将所求代数式进行通分，再代入计算即可； （2）利用，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即： ； （2）解： ． 18．或 【分析】首先判断出m无论取何值，原方程均有两个不相等的实数根，然后求出，，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴m无论取何值，原方程均有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或． 19．(1)证明：∵， 无论当m取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)m的值为1或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）根据一元二次方程根与系数的关系计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵的两个实数根为a，b， ，． ∵， ，． ，即． 解得或． m的值为1或． 20．(1)6 (2)17 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）分类讨论：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根，②当7为腰长时，设，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，且，， ， ∴ ， ∴， ∴， 或 ， ， 舍去． . （2）解：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根． ∴， 解得：， ∴方程化为：， ∴， ∴， ∵， ∴此时三角形不存在； ②当7为腰长时，设． 将代入方程， 得， ∴， 解得：或， 当时，方程变为， 解得或， ∵， ∴此时三角形不存在； 当时，方程变为， 解得：或， ∴的周长为17， 综上，的周长为17． 21．(1)； (2)0 【分析】（1）把代入方程，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：把代入方程，得， ． （2）解：将，整理得， ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 22． 【分析】由题意可知：可以将方程化简为的形式，然后根据根与系数的关系可解得：的值；也可将方程化简为的形式，再根据根与系数的关系可解得的值． 【详解】 解：解法一：由知， ， ， 由得， 根据与的特征， 是方程的两个不相等的实数根， ． 解法二：由得， 根据与的特征，且， 与是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 23．(1)；1 (2) (3)3 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． （2）解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． （3）解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $