3.1　圆的有关概念 作业 2026-2027学年数学浙教版九年级上册

**基本信息** 初中数学“圆的有关概念”“确定圆的条件”同步练，分层设计梯度合理，从概念辨析到综合应用，培养数学抽象、推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的基本概念（半径、直径、弦）、点与圆位置关系|直接概念辨析题（如判断弦与直径关系）| |中档层|简单推理与计算（位置关系判断、基本证明）|结合几何图形的应用（如证明线段相等）| |提升层|综合应用与拓展（几何综合、实际问题、新定义）|实际情境（爆破影响范围）、新定义（反演点）、跨知识结合（方程与圆）|

3.1　圆的有关概念 第1课时　圆的有关概念 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.已知☉O的半径为4 cm，点P在☉O上，则OP的长为( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 2.有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定长于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦。其中正确的是( ) A.①③④ B.①③⑤ C.②④⑤ D.③④⑤ 3.如图，若图中的数轴可以度量圆的直径，则图中圆的直径为( ) A.－3 B.3 C.π D.6 4.如图，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 5.数轴上有A，B两点，点B表示实数0，点A表示实数a，☉B的半径为4。若点A在☉B内，则( ) A.a＜－4或a＞4 B.－4＜a＜4 C.a＞－4 D.a＜4 6.(3分)已知☉O的直径为6，P为☉O所在平面内一点，当OP 时，点P在☉O上；当OP 时，点P在☉O外；当OP 时，点P在☉O内。  7.(6分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM是中线，以点C为圆心， cm长为半径画圆，则点A，B，M与☉C的位置关系各是怎样的？ 8.(6分)如图，已知OA，OB是☉O的两条半径，C，D分别为OA，OB上的点，且AC=BD，连结AD，BC。求证：AD=BC。 9.如图，OA是☉O的半径，B为OA上一点(不与点O，A重合)，过点B作OA的垂线，交☉O于点C。以OB，BC为边作矩形OBCD，连结BD。若CD=6，BC=8，则AB的长为( ) A.6 B.5 C.4 D.2 第9题图　　 10.(3分)已知☉O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2－2x＋d=0没有实数根，则点P在☉O (填“内”“上”或“外”)。  11.(3分)平面上有☉O及一点P，点P到☉O上一点的距离最长为6 cm，最短为2 cm，则☉O的半径为 cm。  12.(8分)如图，在A地正北80 m的B处有一幢民房，正西100 m的C处有一台变电设施，在BC的中点D处是一栋古建筑。因施工需要，必须在A处进行一次爆破。为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏。 (1)(4分)问爆破影响面的半径应控制在什么范围内？ (2)(4分)若BC是一条马路，且马路上有行人和车辆，在爆破时也不能影响到马路上的行人和车辆，则半径应如何控制？ 第12题图 13.(8分)如图，AD过圆心O，并交☉O于D，C两点，点E在☉O上，∠EOD=78°，连结AE，交☉O于点B。若AB=OC，求∠A的度数。 第13题图　 14.(8分)[应用意识]如图1，☉O的半径为r(r＞0)，若点P'在射线OP上，满足OP'·OP=r2，则称点P'是点P关于☉O的“反演点”。如图2，☉O的半径为4，点B在☉O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A'，B'分别是点A，B关于☉O的“反演点”，求A'B'的长。 第2课时　确定圆的条件 分值：77分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.给定下列条件，可以确定一个圆的是( ) A.已知圆心 B.已知半径 C.已知直径 D.不在同一条直线上的三点 2.下列说法中，正确的是( ) A.三角形外接圆的圆心是三边中线的交点 B.三角形外接圆的圆心是内角平分线的交点 C.三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点 D.三角形外接圆的圆心是三条高线的交点 3.直角三角形的外心在( ) A.直角顶点处 B.直角三角形的内部 C.直角三角形的外部 D.斜边中点处 4.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是( ) A.① B.② C.③ D.④ 5.(3分)已知线段AB=6 cm。 (1)(1分)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画 个。  (2)(1分)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画 个。  (3)(1分)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画 个。  6.(6分)如图，在平面直角坐标系中，点A(2，9)，B(2，3)，C(3，2)，D(9，2)在☉P上。 (1)(4分)在图中清晰地标出圆心P的位置。 (2)(2分)点P的坐标是 ，☉P的半径是 。  7.(6分)某地出土一个古代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹)。 8.(8分)如图，在△ABC中，BD，CE是两条高线。求证：B，C，D，E四点在同一个圆上。 9.平面内有5个点A，B，C，D，E，作直线AB与直线CD，交点恰好为E，则过这5个点中的3个，能作出的圆最多有( ) A.2个 B.6个 C.8个 D.10个 10.(3分)直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径为 。  11.(10分)根据以下素材，探索完成任务。 探索确定圆的条件 素材1 如图1，我们知道圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，如果知道圆心位置和半径大小，圆就确定下来了。 图1 素材2 如图2，我们还知道，不在同一条直线上的三点确定一个圆。 图2 问题解决 任务1 (1)(3分)如图3，画一个以点O为圆心，r为半径的圆。 图3 任务2 (2)(3分)如图4，已知△ABC，在图4中用直尺和圆规作出过点A，B，C的圆。 图4 任务3 (3)(4分)如图5，已知在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(2，－1)，C(3，n)三点可以确定一个圆，求n需要满足的条件，并说明理由。 图5 12.(8分)已知A，B，C三点。根据下列条件，说明A，B，C三点能否确定一个圆。如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由。 (1)(4分)AB=2＋1，BC=4，AC=2－1。 (2)(4分)AB=AC=10，BC=12。 13.(8分)如图，已知圆上两点A，B，连结AB。 (1)(4分)用直尺和圆规作所有以AB为底的圆内接等腰三角形(保留作图痕迹，不用写作法)。 (2)(4分)若该圆的半径r=5，AB=8，求所作的等腰三角形的面积。 14.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD，过点D作DE∥AC，交AB于点E。求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1　圆的有关概念 第1课时　圆的有关概念 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.已知☉O的半径为4 cm，点P在☉O上，则OP的长为(　B　) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 2.有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定长于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦。其中正确的是(　B　) A.①③④ B.①③⑤ C.②④⑤ D.③④⑤ 3.如图，若图中的数轴可以度量圆的直径，则图中圆的直径为(　D　) A.－3 B.3 C.π D.6 4.如图，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(　A　) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 5.数轴上有A，B两点，点B表示实数0，点A表示实数a，☉B的半径为4。若点A在☉B内，则(　B　) A.a＜－4或a＞4 B.－4＜a＜4 C.a＞－4 D.a＜4 6.(3分)已知☉O的直径为6，P为☉O所在平面内一点，当OP　=3　时，点P在☉O上；当OP　＞3　时，点P在☉O外；当OP　＜3　时，点P在☉O内。  7.(6分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM是中线，以点C为圆心， cm长为半径画圆，则点A，B，M与☉C的位置关系各是怎样的？ 解：由勾股定理，得AB==2(cm)， ∴CM=AB= cm。 ∵CA=2 cm＜ cm， ∴点A在☉C内。 ∵BC=4 cm＞ cm， ∴点B在☉C外。 ∵CM= cm，∴点M在☉C上。 8.(6分)如图，已知OA，OB是☉O的两条半径，C，D分别为OA，OB上的点，且AC=BD，连结AD，BC。求证：AD=BC。 证明：∵OA，OB是☉O的两条半径， ∴OA=OB。 又∵AC=BD，∴OC=OD。 在△OCB和△ODA中，∵ ∴△OCB≌△ODA(SAS)， ∴AD=BC。 9.如图，OA是☉O的半径，B为OA上一点(不与点O，A重合)，过点B作OA的垂线，交☉O于点C。以OB，BC为边作矩形OBCD，连结BD。若CD=6，BC=8，则AB的长为(　C　) A.6 B.5 C.4 D.2 第9题图　　 第9题答图 【解析】 如答图，连结OC。 ∵四边形OBCD是矩形， ∴∠OBC=90°，OB=CD=6， ∴OA=OC==10， ∴AB=OA－OB=4。 10.(3分)已知☉O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2－2x＋d=0没有实数根，则点P在☉O　外　(填“内”“上”或“外”)。  【解析】 ∵方程x2－2x＋d=0没有实数根， ∴Δ=b2－4ac=4－4d＜0，∴d＞1。 又∵☉O的半径为1，∴d＞r， ∴点P在☉O外。 11.(3分)平面上有☉O及一点P，点P到☉O上一点的距离最长为6 cm，最短为2 cm，则☉O的半径为　4或2　cm。  【解析】 当点P在☉O内时，直径为6＋2=8(cm)， ∴半径为4 cm； 当点P在☉O外时， 直径为6－2=4(cm)， ∴半径为2 cm。 综上所述，☉O的半径为4 cm或2 cm。 12.(8分)如图，在A地正北80 m的B处有一幢民房，正西100 m的C处有一台变电设施，在BC的中点D处是一栋古建筑。因施工需要，必须在A处进行一次爆破。为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏。 (1)(4分)问爆破影响面的半径应控制在什么范围内？ (2)(4分)若BC是一条马路，且马路上有行人和车辆，在爆破时也不能影响到马路上的行人和车辆，则半径应如何控制？ 第12题图 第12题答图 解：(1)如答图，连结AD。 ∵AB=80 m，AC=100 m， ∴BC==20(m)。 ∵D是BC的中点，∴AD=BC=10 m。 为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，半径应比AB，AC，AD都小， 所以半径应控制在10 m内。 (2)如答图，过点A作AE⊥BC于点E。 ∵AC=100 m，AB=80 m，BC=20 m， ∴AE= m。 ∵在爆破时不能影响到马路上的行人和车辆， ∴半径应控制在 m内。 13.(8分)如图，AD过圆心O，并交☉O于D，C两点，点E在☉O上，∠EOD=78°，连结AE，交☉O于点B。若AB=OC，求∠A的度数。 第13题图　 第13题答图 解：如答图所示标注角，连结OB。 ∵AB=OC，OB=OC， ∴AB=OB，∴∠1=∠A。 又∵OB=OE， ∴∠E=∠2=∠1＋∠A=2∠A， ∴∠EOD=∠E＋∠A=3∠A， 即3∠A=78°，∴∠A=26°。 14.(8分)[应用意识]如图1，☉O的半径为r(r＞0)，若点P'在射线OP上，满足OP'·OP=r2，则称点P'是点P关于☉O的“反演点”。如图2，☉O的半径为4，点B在☉O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A'，B'分别是点A，B关于☉O的“反演点”，求A'B'的长。 解：∵OA'·OA=r2，r=4，OA=8， ∴OA'=2。 ∵OB'·OB=r2， ∴OB'=4，即点B和B'重合。 设OA交☉O于点C，连结B'C，如答图。 第14题答图 ∵∠BOA=60°，OB=OC， ∴△OBC为等边三角形。 易知A'为OC的中点，∴B'A'⊥OC。 在Rt△OA'B'中，A'B'==2。 第2课时　确定圆的条件 分值：77分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.给定下列条件，可以确定一个圆的是(　D　) A.已知圆心 B.已知半径 C.已知直径 D.不在同一条直线上的三点 2.下列说法中，正确的是(　C　) A.三角形外接圆的圆心是三边中线的交点 B.三角形外接圆的圆心是内角平分线的交点 C.三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点 D.三角形外接圆的圆心是三条高线的交点 3.直角三角形的外心在(　D　) A.直角顶点处 B.直角三角形的内部 C.直角三角形的外部 D.斜边中点处 4.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是(　A　) A.① B.② C.③ D.④ 5.(3分)已知线段AB=6 cm。 (1)(1分)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画　2　个。  (2)(1分)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画　1　个。  (3)(1分)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画　0　个。  6.(6分)如图，在平面直角坐标系中，点A(2，9)，B(2，3)，C(3，2)，D(9，2)在☉P上。 (1)(4分)在图中清晰地标出圆心P的位置。 (2)(2分)点P的坐标是　(6，6)　，☉P的半径是　5　。  解：(1)如答图，弦AB的垂直平分线是直线y=6，弦CD的垂直平分线是直线x=6，因而交点P的坐标是(6，6)。 第6题答图 (2)由(1)知，点P的坐标是(6，6)，☉P的半径是PA的长，PA==5。 7.(6分)某地出土一个古代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹)。 解：如答图，点O即为所求。 第7题答图 8.(8分)如图，在△ABC中，BD，CE是两条高线。求证：B，C，D，E四点在同一个圆上。 证明：如答图，取BC的中点O，连结EO，DO，则EO，DO分别是Rt△BEC，Rt△BDC斜边上的中线， ∴EO=DO=BO=CO=BC， ∴B，C，D，E四点在同一个圆上。 第8题答图 9.平面内有5个点A，B，C，D，E，作直线AB与直线CD，交点恰好为E，则过这5个点中的3个，能作出的圆最多有(　C　) A.2个 B.6个 C.8个 D.10个 【解析】 5个点任意选取3个点有10种情况，其中点A，B，E在同一条直线上，点C，D，E在同一条直线上，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆可知，过其中3个点能作出的圆最多有8个。 10.(3分)直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径为　8或10　。  【解析】 ①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8； ②当两条直角边长分别为16和12时，直角三角形的斜边长为=20， 则其外接圆半径为10。 综上所述，这个三角形的外接圆半径为8或10。 11.(10分)根据以下素材，探索完成任务。 探索确定圆的条件 素材1 如图1，我们知道圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，如果知道圆心位置和半径大小，圆就确定下来了。 图1 素材2 如图2，我们还知道，不在同一条直线上的三点确定一个圆。 图2 问题解决 任务1 (1)(3分)如图3，画一个以点O为圆心，r为半径的圆。 图3 任务2 (2)(3分)如图4，已知△ABC，在图4中用直尺和圆规作出过点A，B，C的圆。 图4 任务3 (3)(4分)如图5，已知在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(2，－1)，C(3，n)三点可以确定一个圆，求n需要满足的条件，并说明理由。 图5 解：(1)如答图1，☉O即为所求。 第11题答图1 (2)如答图2，☉O即为所求。 第11题答图2 (3)设直线AB的表达式为y=kx＋b(k≠0)。 ∵点A(1，1)，B(2，－1)， ∴解得 ∴直线AB的表达式为y=－2x＋3。 当点C(3，n)在直线AB上时，不能确定圆， 此时n=－6＋3=－3， ∴A(1，1)，B(2，－1)，C(3，n)三点可以确定一个圆的条件是n≠－3。 12.(8分)已知A，B，C三点。根据下列条件，说明A，B，C三点能否确定一个圆。如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由。 (1)(4分)AB=2＋1，BC=4，AC=2－1。 (2)(4分)AB=AC=10，BC=12。 解：(1)不能。理由如下： ∵2＋1＋2－1=4， ∴AB＋AC=BC， ∴A，B，C三点共线， ∴A，B，C三点不能确定一个圆。 (2)能。 ∵10＋10=20＞12， ∴A，B，C三点不共线， ∴A，B，C三点能确定一个圆。 如答图，过点A作AD⊥BC。 ∵AB=AC，∴AD是BC的垂直平分线，∴圆心在AD上。 设AD上的点O为圆心，连结BO。 第12题答图 ∵AB=AC=10，BC=12，∴DB=6， ∴AD==8。 在Rt△BOD中，设OB=x， 则AO=x，∴DO=8－x。 由勾股定理，得x2=62＋(8－x)2， 解得x=， ∴A，B，C三点能确定一个圆，该圆的半径为。 13.(8分)如图，已知圆上两点A，B，连结AB。 (1)(4分)用直尺和圆规作所有以AB为底的圆内接等腰三角形(保留作图痕迹，不用写作法)。 (2)(4分)若该圆的半径r=5，AB=8，求所作的等腰三角形的面积。 解：(1)如答图，△ABC和△ABC'即为所求。 第13题答图 (2)设圆心为O，则点O在CC'上，连结AO，如答图。 ∵AO=5，AE=AB=4，∴EO=3， 故EC=CO＋EO=8， 则等腰三角形ABC的面积为×8×8=32。 同理，等腰三角形ABC'的面积为×8×(5－3)=8。 14.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD，过点D作DE∥AC，交AB于点E。求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心。 证明：如答图所示标注角。 第14题答图 ∵点D在∠BAC的平分线上， ∴∠1=∠2。 ∵DE∥AC，∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3，∴AE=DE。 ∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°， ∴∠EBD＋∠1=∠EDB＋∠3=90°， ∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE， ∴AE=BE=DE， ∴点E是过A，B，D三点的圆的圆心。 学科网（北京）股份有限公司 $