2.4 概率的简单应用 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 九年级上册

浙教版九年级上册数学·第2章 随机事件的概率 2.4 概率的简单应用 课时作业 2.4 概率的简单应用 课时作业 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 完成用时__________ 一、学习目标 1．会用概率判断游戏规则是否公平，并能修改不公平的游戏规则，使之公平． 2．能用概率解释抽签、抽奖、促销、保险等生活中的现象，并根据概率大小作出合理的决策． 3．能结合加权平均数，计算“平均每次获得的奖金（或花费）”，比较不同方案的优劣． 4．在解决实际问题的过程中，进一步体会概率是描述随机现象的数学模型，形成用数据说话的意识． 二、知识点梳理 知识点1 游戏的公平性 判断游戏是否公平的方法：分别求出游戏各方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平，对获胜概率大的一方有利． 判断步骤：（1）用列举法、列表法或树状图列出所有等可能的结果；（2）分别求出各方获胜的概率；（3）比较概率大小，得出结论． 例如，同时转动如图1所示的转盘A（三等分，标有1，2，3）和转盘B（二等分，标有1，2），列表得到两数之和的所有结果： 图1 转盘A与转盘B 转盘A＼转盘B 1 2 1 1+1=2 1+2=3 2 2+1=3 2+2=4 3 3+1=4 3+2=5 共有6种等可能的结果，和为偶数的有3种，和为奇数的有3种．若规定“和为偶数甲胜，和为奇数乙胜”，则P(甲胜)=P(乙胜)=，游戏公平． 知识点2 修改游戏规则使游戏公平 修改不公平游戏的常用方法： （1）改变获胜的条件，使双方获胜的结果数相同； （2）改变试验器材（如调整球的个数、转盘的等分数），使双方获胜的概率相等； （3）改变计分规则：若甲获胜的概率为P₁，每次得a分；乙获胜的概率为P₂，每次得b分，当P₁·a=P₂·b时，游戏公平． 易错提醒： （1）“得分”类游戏是否公平，不能只比较获胜概率，还要比较“获胜概率×每次得分”是否相等． （2）抽签时，无论先抽还是后抽，每个人抽中的概率都相等，抽签是公平的． （3）一个事件的概率很小，并不意味着它不会发生，概率只能反映可能性的大小． 知识点3 概率在抽奖、促销中的应用 如图2，某商场的抽奖转盘被分成12个面积相等的扇形，其中“一等奖”1个、“二等奖”2个、“三等奖”3个、“谢谢”6个． 图2 商场抽奖转盘 结果 一等奖 二等奖 三等奖 谢谢（不获奖） 扇形个数 1 2 3 6 概率 平均每次获得的奖金：若各种奖项的奖金分别为x₁，x₂，…，对应的概率分别为P₁，P₂，…，则大量重复试验时，平均每次获得的奖金约为x₁·P₁+x₂·P₂+…（相当于以概率为权的加权平均数）． 比较不同方案时，可以比较它们平均每次的收益（或花费），作出合理决策． 知识点4 概率在生活决策中的应用 （1）风险评估：如天气预报中的降水概率、产品的次品率、保险公司根据事故发生的概率确定保费等． （2）合理推断：某事件发生的概率很小，但在一次试验中却发生了，可以怀疑试验条件（如骰子是否均匀、抽奖是否公正）． （3）方案选择：比较各方案成功（或获利）的概率与平均收益，选择更优的方案． 三、典型例题 例1 甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏，规定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同为平局．假设两人每次出三种手势的可能性相同．这个游戏对甲、乙双方公平吗？ 【解析】画树状图如下： 共有3×3=9种等可能的结果，其中甲胜3种，乙胜3种，平局3种． 所以P(甲胜)==，P(乙胜)==．因为P(甲胜)=P(乙胜)，所以这个游戏对双方公平． 例2 利用图1中的转盘A和转盘B做游戏：同时自由转动两个转盘，转盘停止后，若两个指针所指数字之积为偶数，则小明获胜；若积为奇数，则小亮获胜（指针指向分界线时重转）． （1）这个游戏公平吗？请说明理由； （2）若不公平，请你修改计分规则，使游戏公平． 【解析】（1）列表如下： 转盘A＼转盘B 1 2 1 1×1=1 1×2=2 2 2×1=2 2×2=4 3 3×1=3 3×2=6 共有6种等可能的结果，积为偶数的有4种，积为奇数的有2种． P(小明获胜)==，P(小亮获胜)==．因为≠，所以游戏不公平，对小明有利． （2）修改计分规则：积为偶数小明得1分，积为奇数小亮得2分．此时×1=×2，游戏公平． 例3 某商场规定：顾客每消费满100元，就可以转动一次图2中的转盘．转到“一等奖”获得50元购物券，“二等奖”获得20元购物券，“三等奖”获得10元购物券，“谢谢”则无奖励． （1）求转动一次转盘获得购物券的概率； （2）估计平均每转动一次转盘可获得多少元购物券； （3）商场同时规定：顾客消费满100元，也可以不转转盘，直接获得15元购物券．你认为选择哪种方式更合算？ 【解析】（1）获奖的扇形共有1+2+3=6个，P(获得购物券)==． （2）平均每转一次获得购物券约为50×+20×+10×==10（元）． （3）因为10<15，所以从平均收益来看，直接获得15元购物券更合算． 例4 某服装店搞促销活动，顾客购买一件原价400元的衣服时，可以选择以下两种方式之一：方式一，直接打九折；方式二，转动如图所示的四等分转盘一次，按转到的折扣付款． （1）选择方式二，求顾客享受到折扣（五折或八折）的概率； （2）从平均付款金额的角度看，哪种方式对顾客更有利？ 【解析】（1）转盘四等分，其中“五折”“八折”各1份，“不打折”2份，P(享受到折扣)==． （2）方式一付款400×0.9=360（元）． 方式二：转到“五折”付200元，“八折”付320元，“不打折”付400元，平均付款约为200×+320×+400×=50+80+200=330（元）． 因为330<360，所以从平均付款金额看，方式二对顾客更有利（但一次转动的结果是随机的，也可能付400元）． 四、课时作业 A组 基础达标 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1．下列游戏中，对双方公平的是（　　） A．掷一枚均匀骰子，点数大于4甲胜，否则乙胜 B．同时抛两枚均匀硬币，两枚朝上的面相同甲胜，不同乙胜 C．从写有1～5的五张卡片中任抽一张，奇数甲胜，偶数乙胜 D．袋中有2个红球和1个白球，任摸一球，红球甲胜，白球乙胜 2．同时自由转动图1中的转盘A和转盘B，两个指针所指数字之和为4的概率是（　　） A． B． C． D． 3．甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏，每人出三种手势的可能性相同，玩一次甲获胜的概率是（　　） A． B． C． D． 4．如图，某商场的抽奖转盘被分成12个面积相等的扇形．转动一次，获得奖品（一等奖、二等奖或三等奖）的概率是（　　） A． B． C． D． 5．小明和小亮用一枚质地均匀的骰子做游戏：掷出的点数是质数，小明得1分；否则小亮得1分．这个游戏（　　） A．公平 B．对小明有利 C．对小亮有利 D．无法判断 6．有5张形状相同的签，其中只有1张写着“中”．甲先抽一张（不放回），乙再抽一张，下列说法正确的是（　　） A．甲抽中的概率大 B．乙抽中的概率大 C．两人抽中的概率一样大 D．无法确定 7．某种彩票的中奖概率为，下列说法正确的是（　　） A．买1000张彩票一定中奖 B．买1张彩票一定不中奖 C．买1000张彩票可能一张也不中奖 D．买1000张彩票中奖的概率是1 8．从1，2，3，4中任取两个不同的数，若两数之和为偶数，甲获胜；若和为奇数，乙获胜．甲获胜的概率是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．在例4的四等分折扣转盘中，转动一次转到“五折”的概率是________，转到“不打折”的概率是________． 10．一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．规定：任摸一球，摸到红球小明得1分，摸到白球小亮得k分．要使游戏公平，k=________． 11．同时自由转动图1中的转盘A和转盘B，两个指针所指数字之积为偶数的概率是________． 12．九年级（1）班有50名同学，老师从中随机抽取1名同学代表班级发言，小明被抽中的概率是________． 13．甲、乙、丙三人通过抽签决定演讲的出场顺序，甲第一个出场的概率是________，甲比乙先出场的概率是________． 14．同时抛两枚均匀硬币，若两枚都正面朝上，甲得x分；否则乙得1分．要使游戏公平，x=________． 三、解答题 15．小明和小亮利用图1中的转盘A和转盘B做游戏：同时自由转动两个转盘，若两个指针所指数字之和大于3，小明获胜；否则小亮获胜． （1）用列表法求小明获胜的概率； （2）这个游戏公平吗？说明理由； （3）若改为：数字之和为3时小明得x分，否则小亮得1分，要使游戏公平，求x的值． 16．甲口袋中装有1个红球和2个白球，乙口袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．小明、小亮从两个口袋中各任意摸出1个球，若两球颜色相同，小明获胜；若颜色不同，小亮获胜． （1）这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由； （2）若往甲口袋中再放入1个红球，游戏是否公平？ 17．某商场规定：顾客每消费满100元可转动一次图2中的转盘，转到“一等奖”获得60元购物券，“二等奖”获得30元购物券，“三等奖”获得10元购物券． （1）求转动一次转盘获得一等奖的概率和获得奖励的概率； （2）估计平均每转动一次转盘可获得多少元购物券； （3）若顾客消费满100元也可以不转转盘，直接获得10元购物券，你认为哪种方式更合算？ 18．小华和小强做游戏：从写有-2，-1，1，2的四张卡片（背面相同）中，小华先随机抽取一张，记下数字m，不放回，小强再随机抽取一张，记下数字n，得到点P(m，n)．若点P在第一象限或第三象限，小华获胜；否则小强获胜． （1）用列表法列出所有可能的点P； （2）这个游戏公平吗？请说明理由； （3）若不公平，请修改计分规则，使游戏公平． B组 能力提升 19．甲、乙两人玩游戏：同时抛三枚均匀硬币，若三枚朝上的面都相同，甲获胜；否则乙获胜．甲获胜的概率是（　　） A． B． C． D． 20．一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球不放回，再摸出1个球．若两球颜色相同，甲获胜；若颜色不同，乙获胜．这个游戏（　　） A．对甲有利 B．对乙有利 C．公平 D．无法判断 21．同时自由转动图1中的转盘A和转盘B，把转盘A指针所指的数记为a，转盘B指针所指的数记为b，则抛物线y=x²-ax+b与x轴有公共点的概率是________． 22．某抽奖箱中有100张奖券，其中一等奖5张、二等奖10张、三等奖20张，其余无奖．已经有20人各抽走1张，都没有中奖，此时第21人抽1张，中奖的概率是________． 23．甲、乙两人各自从1，2，3中随机写一个数（两人写的数可以相同）．若两数之差的绝对值不大于1，甲获胜；否则乙获胜． （1）这个游戏公平吗？请说明理由； （2）若规定甲获胜得1分，乙获胜得k分，要使游戏公平，求k的值． 24．某商店举行促销活动：顾客每次付10元，可同时转动一次图1中的转盘A和转盘B．若两个指针所指数字之积为6，获得30元奖金；若积为3或4，获得10元奖金；其余情况没有奖金． （1）分别求获得30元奖金和获得10元奖金的概率； （2）估计顾客平均每参加一次能获得多少元奖金； （3）从长期来看，顾客参加这项活动合算吗？ C组 拓展探究 25．甲、乙、丙三人用两枚均匀的硬币做游戏：同时抛两枚硬币，若两枚都正面朝上，甲得1分；若两枚都反面朝上，乙得1分；若一枚正面朝上一枚反面朝上，丙得1分． （1）这个游戏对三人公平吗？说明理由； （2）在不改变“谁得分”规则的前提下，如何修改各人每次所得的分数，使游戏公平？ （3）请你只用这两枚硬币，重新设计一个对三人公平的游戏规则，并说明理由． 26．一个不透明的袋子中装有3个小球，分别标有数字-1，0，1，这些球除数字外都相同．小明从袋中任意摸出1个球，记下数字m后放回，搅匀后再任意摸出1个球，记下数字n，得到点Q(m，n)． （1）求点Q在抛物线y=x²-1上的概率； （2）求点Q在直线y=x+1上的概率； （3）规定：点Q只在抛物线y=x²-1上（不在直线y=x+1上）时小明得1分；点Q只在直线y=x+1上（不在抛物线上）时小亮得1分；其余情况两人都不得分．这个游戏公平吗？若不公平，怎样修改得分规则使游戏公平？ 五、参考答案及解析 A组 基础达标 1．【答案】B 【解析】A中P(甲胜)==，不公平；B中结果为正正，正反，反正，反反，相同与不同各2种，概率都是，公平；C中P(甲胜)=，不公平；D中P(甲胜)=，不公平．故选B． 2．【答案】B 【解析】共有6种等可能的结果，和为4的有(2，2)，(3，1)，共2种，概率为=．故选B． 3．【答案】B 【解析】由例1的树状图可知，共有9种等可能结果，甲获胜的有3种，概率为=．故选B． 4．【答案】C 【解析】获奖的扇形有1+2+3=6个，概率为=．故选C． 5．【答案】A 【解析】1～6中的质数有2，3，5，共3个，P(小明得分)==，P(小亮得分)=，游戏公平．故选A． 6．【答案】C 【解析】甲抽中的概率为；两人依次抽签的所有结果共有5×4=20种，乙抽中的结果有4种（甲抽到4张未中签中的任一张），概率为=．两人抽中的概率一样大．故选C． 7．【答案】C 【解析】中奖概率为，只表示中奖的可能性大小，买1000张可能中奖也可能不中奖，买1张也可能中奖．故选C． 8．【答案】B 【解析】任取两个数的所有结果有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6种，和为偶数的有{1，3}，{2，4}，共2种，P(甲获胜)==．故选B． 9．【答案】； 【解析】转盘四等分，“五折”占1份，概率为；“不打折”占2份，概率为=． 10．【答案】3 【解析】P(摸到红球)=，P(摸到白球)=．游戏公平需×1=×k，解得k=3． 11．【答案】 【解析】由例2的表格可知，积为偶数的结果有4种，概率为=． 12．【答案】 【解析】50名同学被抽中的可能性相同，小明被抽中的概率为． 13．【答案】； 【解析】出场顺序共有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种．甲第一个出场的有2种，概率为=；甲比乙先出场的有甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙，共3种，概率为=． 14．【答案】3 【解析】P(两枚都正面朝上)=，P(其他)=．由x=×1，解得x=3． 15．【答案】（1）；（2）公平；（3）x=2． 【解析】（1）由知识点1中的表格，共有6种等可能结果，和大于3的有4，4，5，共3种，P(小明获胜)==． （2）P(小亮获胜)=1-=，两人获胜的概率相等，游戏公平． （3）和为3的结果有2种，P(和为3)==，P(和不为3)=．由x=×1，解得x=2． 16．【答案】（1）不公平，对小亮有利；（2）公平． 【解析】（1）记甲袋中的球为红，白₁，白₂，乙袋中的球为红₁，红₂，白．列表如下： 甲袋＼乙袋 红₁ 红₂ 白 红 红红₁（同） 红红₂（同） 红白（异） 白₁ 白₁红₁（异） 白₁红₂（异） 白₁白（同） 白₂ 白₂红₁（异） 白₂红₂（异） 白₂白（同） 共有9种等可能结果，颜色相同的有4种，不同的有5种．P(小明获胜)=，P(小亮获胜)=，<，游戏不公平，对小亮有利． （2）甲袋变为2个红球、2个白球，共有4×3=12种等可能结果．颜色相同的有2×2+2×1=6种，不同的有12-6=6种，两人获胜的概率都是，游戏公平． 17．【答案】（1），；（2）12.5元；（3）转转盘更合算． 【解析】（1）P(一等奖)=，P(获得奖励)==． （2）平均每转一次获得购物券约为60×+30×+10×==12.5（元）． （3）因为12.5>10，所以从平均收益来看，转转盘更合算． 18．【答案】（1）共12种，见下表；（2）不公平；（3）见解析． 【解析】（1）列表如下（“—”表示不可能出现的结果）： m＼n -2 -1 1 2 -2 — (-2，-1) (-2，1) (-2，2) -1 (-1，-2) — (-1，1) (-1，2) 1 (1，-2) (1，-1) — (1，2) 2 (2，-2) (2，-1) (2，1) — （2）点P在第一或第三象限，需m，n同号，有(-2，-1)，(-1，-2)，(1，2)，(2，1)，共4种．P(小华获胜)==，P(小强获胜)==，游戏不公平． （3）修改规则：点P在第一或第三象限时小华得2分，否则小强得1分．此时×2=×1，游戏公平．（答案不唯一） B组 能力提升 19．【答案】B 【解析】抛三枚硬币共有8种等可能结果（见2.2课时树状图），三枚朝上的面都相同的有正正正，反反反，共2种，P(甲获胜)==．故选B． 20．【答案】B 【解析】所有结果共有5×4=20种．两球都是红球的有3×2=6种，都是白球的有2×1=2种，颜色相同共8种，P(甲获胜)==，P(乙获胜)=，对乙有利．故选B． 21．【答案】 【解析】抛物线与x轴有公共点，需a²-4b≥0．(1，1)：1-4<0；(1，2)：1-8<0；(2，1)：4-4=0；(2，2)：4-8<0；(3，1)：9-4>0；(3，2)：9-8>0．满足条件的有3种，概率为=． 22．【答案】 【解析】剩余奖券100-20=80张，中奖券仍有5+10+20=35张，概率为=． 23．【答案】（1）不公平；（2）k=． 【解析】（1）两人写数的结果共有3×3=9种．两数之差的绝对值为2的只有(1，3)，(3，1)，共2种，其余7种差的绝对值都不大于1．P(甲获胜)=，P(乙获胜)=，游戏不公平． （2）由×1=k，解得k=． 24．【答案】（1），；（2）约元；（3）不合算． 【解析】（1）由例2的表格，积依次为1，2，2，4，3，6，共6种等可能结果．积为6的有1种，P(获得30元)=；积为3或4的有2种，P(获得10元)==． （2）平均每次获得奖金约为30×+10×=5+=（元），约8.33元． （3）每次付10元，平均获得约8.33元，<10，所以从长期来看，顾客参加这项活动不合算． C组 拓展探究 25．【答案】（1）不公平；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）抛两枚硬币的等可能结果为正正，正反，反正，反反，共4种．P(甲得分)=，P(乙得分)=，P(丙得分)==，三人得分的概率不相等，游戏不公平． （2）设甲、乙每次各得a分，丙每次得b分，公平需a=b，即a=2b．例如：两枚都正面朝上甲得2分，两枚都反面朝上乙得2分，一正一反丙得1分． （3）规定：先后抛两枚硬币（或给两枚硬币编号），“正正”甲得1分，“正反”乙得1分，“反正”丙得1分，出现“反反”时重新抛． 理由：出现“反反”时重抛，有效结果只有正正，正反，反正3种，它们是等可能的，所以三人得分的概率都是，游戏公平． 26．【答案】（1）；（2）；（3）不公平，见解析． 【解析】点Q(m，n)共有3×3=9种等可能的结果：(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(0，-1)，(0，0)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)． （1）在抛物线y=x²-1上，需n=m²-1：m=-1时n=0；m=0时n=-1；m=1时n=0．满足的点有(-1，0)，(0，-1)，(1，0)，共3个，P==． （2）在直线y=x+1上，需n=m+1：m=-1时n=0；m=0时n=1；m=1时n=2（不可能）．满足的点有(-1，0)，(0，1)，共2个，P=． （3）点(-1，0)既在抛物线上又在直线上，两人都不得分．只在抛物线上的点有(0，-1)，(1，0)，共2个，P(小明得分)=；只在直线上的点有(0，1)，共1个，P(小亮得分)=． 因为≠，所以游戏不公平．修改规则：小明每次得1分，小亮每次得2分，此时×1=×2，游戏公平．（答案不唯一） 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $