3.1.1 椭圆及其标准方程课件2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 课时1 椭圆及其标准方程 1 探究实验： [1]取一条定长的细绳； [2]把它的两端固定在板上的两个不同点； [3]用笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形。 F1 F2 M 这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何条件？ 探究1 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点F1 ，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.焦距的一半称为半焦距. 椭圆的定义 F1 F2 M 椭圆的定义 若常数等于|F1F2|，则点M的轨迹是（ ） 若常数小于|F1F2|，则点M的轨迹（ ） 线段F1F2 不存在 问：改变两焦点距离，距离和不变，轨迹还是椭圆吗？ F1 F2 M 如图,已知焦点为F1，F2的椭圆，M是椭圆上任一点，试推导椭圆的方程. 解：以经过椭圆焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy. 设 M（x，y）是椭圆上任一点， 设椭圆的焦距为 2c，点M与两焦点的距离之和为常数 2a. 那么F1（-c,0）,F2（c,0）， 根据椭圆的定义，椭圆可看作点集 因为， 探究2 椭圆的标准方程 O x y (-c,0) (c,0) (x,y) 如何化简? a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 移项： 移项： 平方： 平方： 整理： 我们把它叫做的椭圆的标准方程.它的焦点在 轴上. 则方程可化为 令 问：若焦点F1，F2在y轴上，坐标分别为（0，-c），（0，c）那么椭圆的方程是什么？ o F2 y x F1 M 椭圆的标准方程 焦点在 轴上 焦点在 轴上 标准方程 焦点坐标 与 与 ，， 的关系 ________ y o F1 F2 M x o F2 y x F1 M 哪个变量对应的分母大，焦点就在哪个轴上 9 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫作椭圆. ( ) × （2） 椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关. ( ) × （3） 椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足 . ( ) √ （4） 方程 表示的曲线是椭圆. ( ) √ 10 方法总结 （1）利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤： ①先确定焦点位置； ②设出方程； ③寻求，，的等量关系； ④求， 的值，代入所设方程. （2）当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为. 因为它有焦点在轴上或焦点在 轴上 两类情况，所以可以避免 分类讨论，从而简化了运算. 11 二、椭圆方程的应用 例3 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是( ) . D A. B. C.， D. 巩固训练 “”是“方程 表示椭圆”的( ) . B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12 探究3 与椭圆有关的轨迹问题 例4（1）已知，是两个定点，，且 的周长等于18，求这个三角形 的顶点 的轨迹方程； 定义法 13 [解析] （1）以过，两点的直线为轴，线段 的垂直平分线 为轴，建立平面直角坐标系 ，如图所示． 由，可知点， ． 由，，得 ． 因此，点的轨迹是以， 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两 焦点的距离之和，，但点不在 轴上． 由，，得， 所以点 的轨迹方程为 ． 14 例1 [2023年全国甲卷] 设,为椭圆的两个焦点，点在 上，若 ，则 ( ) . B A.1 B.2 C.4 D.5 根据椭圆的定义以及解三角形相关知识即可解出. [解析] 因为，所以 ， 所以 . 因为，所以 ， 即,所以 ，故选B. 15 巩固训练 在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点与两个焦点， 的距离的和等 于4，且 ，则 的面积为_ ___. [解析] 由题意知， . 在中，由余弦定理得 ， 即 . ① 又 ， ② 联立①②可得 ， 所以 . 16 巩固训练2 在中， ，，，曲线过点，动点 在曲线上运动，且是定值.建立适当的平面直角坐标系，求曲线 的方程． [解析] 以的中点为坐标原点，所在直线为轴， 的中垂 线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知，曲线 是 以，为焦点，且过点 的椭圆，由题意可得 . 设曲线的方程为，则 ， ，所以，，所以， 所以曲线 的方程为 ． 17 巩固训练1 已知轴上一定点，为椭圆上任一点，求线段 的中点 的轨迹方程． [解析] 设中点的坐标为，点的坐标为 ． 利用中点坐标公式，得 点在椭圆上， ， 将，代入上式，得 ． 故所求的中点的轨迹方程是 ． 18 1.已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离是6，则点 到另一个焦点的距 离为( ) . C A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，若线段的中点在 轴上， 则点 的纵坐标为_ ____． 19 2.设满足，则点 的轨迹为( ) . B A.圆 B.椭圆 C.线段 D.不存在 3.已知椭圆的两个焦点坐标分别为， ，且椭圆上一点到两个焦点的距 离之和为20，则此椭圆的标准方程为( ) . C A. B. C. D. 4.若方程表示椭圆，则实数 的取值范围是________________． 20 $