3.2.2 双曲线的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2 双曲线 课时2 双曲线的简单几何性质 1 双曲线的定义 知识回顾 图像 标准方程 谁正谁轴 谁 2 问题. 类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ ①范围 ②对称性 ③顶点 ④离心率 1.范围: x≤-a或x≥a，y∈R 双曲线位于直线x=-a及其左侧和直线x=a及其右侧的区域. 所以x≤-a或x≥a，y∈R. y F1 O F2 x x=a x=-a 2.对称性 双曲线的对称中心 叫做双曲线的中心 坐标轴是双曲线的对称轴 原点是双曲线的对称中心 y x O P(x,y) P2(-x,-y) P1(-x,y) O x y 3.顶点 B2 (0,-b) B1 (0,b) A1 (-a,0) A2 (a,0) a b 双曲线的顶点有两个： 即A1(-a,0)、A2(a,0). 线段A1A2、B1B2分别叫做 双曲线的实轴和虚轴，它们的 长分别为2a、2b；a、b分别叫 双曲线的实半轴长和虚半轴长. 二、双曲线的简单几何性质 4.离心率: 双曲线的焦距与长轴长的比 就称为双曲线的离心率，用 e 表示，即 . 离心率的取值范围： e>1 利用信息技术画出双曲线 和两条直线 . 在双曲线 的右支上取一点M，测量点M的横坐标xM以及 它到直线 的距离d.沿曲线向右上方拖动点M,观察xM与d 的大小关系，你发现了什么? 直线 可以发现，点M 的横坐标 xM 越来越大，d 越来越小，但是d 始终不等于0. 5.渐近线 双曲线 的渐近线是 . 在双曲线方程 中，如果a=b, 那么方程变为x2-y2=a2，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a. 这时，四条直线x=±a, y=±a围成正方形，渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角. 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.其离心率 <m></m> . 问题1：学习了渐近线的概念，我们如何比较准确地画出双曲线？ 问题2：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征? 用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗?它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别? 方程 -=1 -=1 图像 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 关于轴、轴、原点对称 ，或 双曲线的性质 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 共渐近线的双曲线的离心率相同. ( ) × （2） 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率 . ( ) √ （3） 椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同. ( ) × （4） 双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点. ( ) × 11 例1 求双曲线 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长，并作出该 双曲线的草图. 由双曲线的标准方程研究其几何性质 12 [解析] 将化为标准方程，得，即 ， 所以，， . 故顶点坐标为， ，焦点坐标为， ， 实轴长为，虚轴长为 . 草图如图所示： 13 巩固训练 已知双曲线方程 ，则下列说法正确的是( ) . C A.焦点坐标为 B.该双曲线过点 C.焦距为10 D.双曲线上存在点，使得且 [解析] 易知焦点坐标在轴上，由，得焦点坐标为 ，A错误； ，B错误； 由上知，焦距为 ，C正确； 若，则，重合，显然 不在双曲线上，D错误. 故选C. 14 例2（1） 已知双曲线与双曲线有相同的焦点，则 的渐 近线方程为( ) . C A. B. C. D. （2） [2022年北京卷] 已知双曲线的渐近线方程为，则 ____. 由双曲线的几何性质确定标准方程 15 方法总结 巩固训练1 已知双曲线的焦距为 ，则其渐近线方程为( ) ． A A. B. C. D. 巩固训练2 若双曲线的一条渐近线与直线 垂直，且直 线 过双曲线的一个焦点，则双曲线的实轴长为( ) . C A. B. C. D. 17 例3（1） [2023年全国甲卷] 已知双曲线的离心率为， 的一条渐近线与圆交于，两点，则 ( ) . D A. B. C. D. [解析] 根据双曲线的离心率,得,即,即 ,所以 ,则,所以双曲线的渐近线方程为,易知渐近线 与圆相交. 因为圆心到渐近线的距离 , 所以 .故选D. 18 （2） [2023年北京卷] 已知双曲线的焦点为和，离心率为，则 的方 程为___________. [解析] 令双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为,，显然双曲线 的中心为原点，焦 点在轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得 ，则 ，所以双曲线的方程为 . 19 方法总结 求双曲线离心率的两种方法 （1）直接法：若已知，，则可直接利用求解，若已知， ，则可利用 求解； （2）方程法：若无法求出，，的具体值，但根据条件可确定，， 之间的 关系，则可通过，将关系式转化为关于，的齐次方程，借助于 ， 转化为关于的 次方程求解. 20 巩固训练 已知双曲线的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心 率为( ) . A A. B.2 C.或2 D. [解析] 依题意得，双曲线的渐近线方程为，因为两条渐近线的夹角为 ， 所以直线的倾斜角是或，即或，解得或 ， 又，所以 ， 又，则有，所以双曲线的离心率 . 故选A. 21 1.[2021年北京卷] 若双曲线的离心率为2，过点 ，则该双曲线 的方程为( ) . B A. B. C. D. 2.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点 为双曲线 渐近线上一点，若，，则双曲线 的离心率为( ) . B A. B. C. D.2 22 2.[解析] 如图所示，因为，为 的中点， 所以， ， 所以，又， ， 所以 ， 所以 . 故选B. 23 3.双曲线 的渐近线方程为__________. 4.求双曲线 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心 率、顶点坐标和渐近线方程． [解析] 把方程化为标准方程 ， 由此可知，实半轴长，虚半轴长， ， 焦点坐标为，，离心率， 顶点坐标为 ，，渐近线的方程为 ． 24 2.已知双曲线的离心率为3，则 ( ) . B A.3 B. C.2 D.1 3.双曲线 的右焦点到其渐近线的距离为( ) . A A.1 B. C. D.2 4.若双曲线的渐近线方程为，则实数 ___． 4 结论：双曲线的焦点到渐近线的距离恒等于b. 25 Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 Lavf58.76.100 $