3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，涵盖标准方程、范围、对称性等核心知识点，通过自主学习的表格对比与练一练，结合椭圆性质对比导入，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于分层设计学习通道，题型多样且注重方法归纳。例如互动探究中离心率求解培养数学思维的推理能力，高效课时作业结合实际情境发展数学眼光，课堂小结用知识清单规范数学语言，助力学生系统掌握，提升教师教学效率。

第三章　圆锥曲线的方程 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 自主学习通道 x≤－a x≥a R y≤－a y≥a R 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) A1A2 2a B1B2 2b a b (1，＋∞) 自主学习通道 实轴和虚轴等长 自主学习通道 √ × √ √ 自主学习通道 B B 自主学习通道 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 D 互动探究通道 B 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 B 互动探究通道 互动探究通道 D 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 C D 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 D 巩固提升通道 巩固提升通道 B 巩固提升通道 巩固提升通道 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ACD 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线的离心率的定义、取值范围和双曲线的渐近线方程． 填一填 1．双曲线的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1 (a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 eq \o(□,\s\up4(1)) 或 eq \o(□,\s\up4(2)) ，y∈ eq \o(□,\s\up4(3)) eq \o(□,\s\up4(4)) 或 eq \o(□,\s\up4(5)) ，x∈ eq \o(□,\s\up4(6)) 对称性 对称轴： eq \o(□,\s\up4(7)) ；对称中心： eq \o(□,\s\up4(8))______ 顶点 eq \o(□,\s\up4(9))_____________________ eq \o(□,\s\up4(10))_____________________ 轴 实轴：线段 eq \o(□,\s\up4(11)) ，长： eq \o(□,\s\up4(12)) ； 虚轴：线段 eq \o(□,\s\up4(13)) ，长： eq \o(□,\s\up4(14)) ； 实半轴长： eq \o(□,\s\up4(15)) ，虚半轴长： eq \o(□,\s\up4(16)) 离心率 e＝ eq \o(□,\s\up4(17)) ∈ eq \o(□,\s\up4(18))_______________ 渐近线 eq \o(□,\s\up4(19))______________ eq \o(□,\s\up4(20))___________ eq \f(c,a) y＝± eq \f(b,a)x y＝± eq \f(a,b)x 2.等轴双曲线 (1) eq \o(□,\s\up4(21)) 的双曲线叫做等轴双曲线． (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)； ②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝ eq \r(2). 【提醒】　因为e＝ eq \f(c,a)，c＝ eq \r(a2＋b2)，所以e＝ eq \f(\r(a2＋b2),a)，所以 eq \f(b,a)＝ eq \r(e2－1)，所以b2＝a2(e2－1). 因此，在a，b，c，e四个参数中，只要知道其中两个，便可以求出其他两个． 练一练 1．判断正误 (1)双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1与 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(　　) (2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(　　) (3)离心率是 eq \r(2)的双曲线为等轴双曲线．(　　) (4)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(　　) 2．双曲线 eq \f(x2,16)－y2＝1的顶点坐标是(　　) A．(4，0)，(0，1) B．(－4，0)，(4，0) C．(0，1)，(0，－1) D．(－4，0)，(0，－1) 3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　) A． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,9)＝1 B． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,9)＝1或 eq \f(y2,25)－ eq \f(x2,9)＝1 C． eq \f(x2,100)－ eq \f(y2,36)＝1 D． eq \f(x2,100)－ eq \f(y2,36)＝1或 eq \f(y2,100)－ eq \f(x2,36)＝1 4．若双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为 ． 解析　由题意知渐近线与x轴的夹角θ＝ eq \f(π,4)， ∴ eq \f(b,a)＝tan eq \f(π,4)＝1，∴e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up42(2))＝ eq \r(2). eq \r(2) 类型一　由双曲线的方程研究几何性质　　　　　　自主探究 1．双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是(　　) A．2 B．2 eq \r(2) C．4 D．4 eq \r(2) 解析　双曲线方程可变形为 eq \f(y2,8)－ eq \f(x2,4)＝1，所以a2＝8，a＝2 eq \r(2)，故实轴长2a＝4 eq \r(2).故选D. 2．设双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2 eq \r(3)，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝± eq \r(2)x B．y＝± eq \f(\r(2),2)x C．y＝±2x D．y＝± eq \f(1,2)x 解析　由已知可得2b＝2，2c＝2 eq \r(3)，∴b＝1，c＝ eq \r(3)，∴a＝ eq \r(c2－b2)＝ eq \r(3－1)＝ eq \r(2)，∴双曲线的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a)x＝± eq \f(1,\r(2))x＝± eq \f(\r(2),2)x.故选B. 由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 类型二　由双曲线的几何性质求标准方程 【例1】　根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P(3，－ eq \r(5))，离心率为 eq \r(2)； (2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (3)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1，2). 解　(1)由e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(2)，知c＝ eq \r(2)a，又c2＝a2＋b2，所以a＝b，即所求双曲线为等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又点P(3，－ eq \r(5))在双曲线上，所以9－(－ eq \r(5))2＝λ，即λ＝4.因此双曲线的标准方程为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,4)＝1. (2)由两顶点间的距离是6得2a＝6，即a＝3. 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,27)＝1或 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,27)＝1. (3)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1，2)的坐标代入方程解得λ＝－32. 因此双曲线的标准方程为 eq \f(y2,\f(32,9))－ eq \f(x2,8)＝1. 1．根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． 2．巧设双曲线方程的方法与技巧 (1)与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为 eq \f(x2,a2－λ)－ eq \f(y2,b2＋λ)＝1(λ≠0，－b2<λ<a2). (2)与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0). (3)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0). [跟踪训练1]　(1)若双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且过点( eq \r(2)， eq \r(3))，则双曲线的标准方程为(　　) A．2x2－y2＝1 B．x2－ eq \f(y2,3)＝1 C．5x2－3y2＝1 D． eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,6)＝1 (2)已知y＝2x是双曲线C的一条渐近线，且双曲线C过点(1，3)，则双曲线C的标 准方程为 ． eq \f(y2,5)－ eq \f(x2,\f(5,4))＝1 解析　(1)因为双曲线的离心率e＝ eq \f(c,a)＝2，所以c＝2a①.因为该双曲线经过点( eq \r(2)， eq \r(3))，所以 eq \f(2,a2)－ eq \f(3,b2)＝1②.在双曲线中a2＋b2＝c2③，由①②③解得a＝1，b＝ eq \r(3)，所以该双曲线的标准方程为x2－ eq \f(y2,3)＝1，故选B. (2)设双曲线C的方程为x2－ eq \f(y2,4)＝λ(λ≠0)，将(1，3)代入方程得λ＝－ eq \f(5,4)，故双曲线C的方程为 eq \f(x2,1)－ eq \f(y2,4)＝－ eq \f(5,4)，化为标准方程为 eq \f(y2,5)－ eq \f(x2,\f(5,4))＝1. 类型三　双曲线的离心率 【例2】　(1)已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，依次连接以F1F2为直径的圆与双曲线C的四个交点，恰好构成一个正方形，则双曲线C的离心率为(　　) A． eq \r(2) B．2＋ eq \r(2) C．2 D． eq \r(2＋\r(2)) (2)已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在点P使 eq \f(sin ∠PF1F2,sin ∠PF2F1)＝ eq \f(a,c)，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． (1， eq \r(2)＋1) 解析　(1)设以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P1(m，n)，m>0，n>0，则 eq \f(m2,a2)－ eq \f(n2,b2)＝1，m2＋n2＝c2. 因为以F1F2为直径的圆与双曲线C的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，所以m2＝n2＝ eq \f(1,2)c2，代入 eq \f(m2,a2)－ eq \f(n2,b2)＝1，可得 eq \f(c2,2a2)－ eq \f(c2,2b2)＝1，即c4－4a2c2＋2a4＝0，两边同时除以a4，可得e4－4e2＋2＝0，解得e2＝2± eq \r(2).因为双曲线C的离心率e>1，所以e＝ eq \r(2＋\r(2))，故选D. (2)在△PF1F2中，由正弦定理可得 eq \f(|PF2|,sin ∠PF1F2)＝ eq \f(|PF1|,sin ∠PF2F1)，所以e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(sin ∠PF2F1,sin ∠PF1F2)＝ eq \f(|PF1|,|PF2|)，即|PF1|＝ eq \f(c,a)|PF2|，则点P在双曲线的右支上，且点P不在直线F1F2上．由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，则 eq \f(c,a)|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝ eq \f(2a2,c－a).又由双曲线的性质知|PF2|>c－a，则 eq \f(2a2,c－a)>c－a，即c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，解得－ eq \r(2)＋1<e< eq \r(2)＋1.又e∈(1，＋∞)，所以e∈(1， eq \r(2)＋1). 1．求双曲线的离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝ eq \f(c,a)求解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up42(2))求解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 2．双曲线的离心率e>1，注意与椭圆的离心率范围的区别． [跟踪训练2]　(1)双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为120°，则离心率为(　　) A． eq \r(2)　　 B． eq \r(3)　　 C．2　　 D．4 (2)过双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交双曲线C于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝45°，则双曲线的离心率为(　　) A． eq \f(\r(2),2) B． eq \r(2)－1 C． eq \r(2) D． eq \r(2)＋1 解析　(1)因为双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a)x， 又其中一条渐近线的倾斜角为120°， 所以－ eq \f(b,a)＝tan 120°＝－ eq \r(3)，则 eq \f(b,a)＝ eq \r(3)， 所以该双曲线的离心率为e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(\f(c2,a2))＝ eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝ eq \r(1＋3)＝2. (2)由题知△PF1F2是等腰直角三角形，且∠F1PF2＝45°，∴|PF1|＝|F1F2|＝2c， 又∵|PF1|＝ eq \f(b2,a)，∴ eq \f(b2,a)＝2c，即b2＝2ac， ∵b2＝c2－a2，∴c2－a2＝2ac，即e2－2e－1＝0，解得e＝1± eq \r(2)，∵e>1，∴e＝1＋ eq \r(2). 1．知识清单 (1)双曲线的几何性质． (2)等轴双曲线． (3)双曲线的离心率． (4)双曲线的渐近线方程． 2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法． 3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错． 1．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　　) A．x2－ eq \f(y2,4)＝1 B． eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,16)＝1或 eq \f(y2,4)－ eq \f(x2,16)＝1 C．y2－ eq \f(x2,4)＝1 D．x2－ eq \f(y2,4)＝1或y2－ eq \f(x2,4)＝1 解析　由题意知2a＝2，2b＝4， ∴a＝1，b＝2， ∴a2＝1，b2＝4. 又双曲线的焦点位置不确定，故选D. 2．双曲线 eq \f(x2,2)－y2＝1的渐近线方程是(　　) A．y＝± eq \f(1,2)x B．y＝± eq \f(\r(2),2)x C．y＝±2x D．y＝± eq \r(2)x 解析　由双曲线方程得a＝ eq \r(2)，b＝1，且焦点在x轴上， ∴渐近线方程为y＝± eq \f(b,a)x＝± eq \f(\r(2),2)x.故选B. 3．已知等轴双曲线过点(5，3)，则该双曲线方程为 ． eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,16)＝1 解析　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,16)＝1. 4．已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是 ． eq \f(5,2) 解析　由双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝ eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0， 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0，5)，半径r＝2， 则圆心到渐近线的距离为d＝ eq \f(|－5a|,\r(b2＋(－a)2))＝ eq \f(5a,c)，则 eq \f(5a,c)＝2， 可得e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(5,2). 基础巩固 1．(2024·沈阳期末)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C．1 D． eq \r(2) 解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1，0)，(－1，0)，故顶点到渐近线的距离为 eq \f(\r(2),2). 2．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则其标准方程为(　　) A． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,9)＝1 B． eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,9)＝1 C． eq \f(y2,18)－ eq \f(x2,18)＝1 D． eq \f(x2,18)－ eq \f(y2,18)＝1 解析　设所求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则由已知得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝b，,a2＋b2＝36，))解得a2＝b2＝18，所以所求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,18)－ eq \f(y2,18)＝1. 3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　) A．4 B．－4 C．－ eq \f(1,4) D． eq \f(1,4) 解析　依题意，双曲线的标准方程为y2－ eq \f(x2,－\f(1,m))＝1，即a2＝1，b2＝－ eq \f(1,m)，由于虚轴长是实轴长的2倍，所以b＝2a，即b2＝4a2，则－ eq \f(1,m)＝4，得m＝－ eq \f(1,4).故选C. 4．设F1和F2分别为双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为(　　) A．2 B． eq \f(3,2) C． eq \f(5,2) D．3 解析　由题意得 eq \f(|PO|,|F1O|)＝tan 60°(O为坐标原点)，∴ eq \f(|PO|,|F1O|)＝ eq \r(3)，∴4b2＝3c2， ∴4(c2－a2)＝3c2，∴c2＝4a2，∴e2＝4， ∴e＝2.故选A. 5．若实数k满足0<k<5，则曲线 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,5－k)＝1与曲线 eq \f(x2,16－k)－ eq \f(y2,5)＝1的(　　) A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 解析　若0<k<5，则5－k>0，16－k>0，故曲线 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,5－k)＝1是焦点在x轴上的双曲线，且实半轴长为4，虚半轴长为 eq \r(5－k)，焦距2c＝2 eq \r(21－k)，离心率e＝ eq \f(\r(21－k),4)；同理曲线 eq \f(x2,16－k)－ eq \f(y2,5)＝1也是焦点在x轴上的双曲线，实半轴长为 eq \r(16－k)，虚半轴长为 eq \r(5)，焦距2c＝2 eq \r(21－k)，离心率e＝ eq \f(\r(21－k),\r(16－k)).可知两曲线的焦距相等，故选D. 6．(2023·常州质检)双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，O是坐标原点，F是双曲线C的右焦点，离心率是e，已知A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线x＝ eq \f(a2,c)的交点，则 eq \o(OA,\s\up15(→))· eq \o(AF,\s\up15(→))的值为(　　) A．0 B．－e C．2 D． eq \f(1,e) 解析　根据题意得斜率为正的渐近线方程是y＝ eq \f(b,a)x，则A点的坐标是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，点F的坐标是(c，0)，则 eq \o(OA,\s\up15(→))· eq \o(AF,\s\up15(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(a2,c)，－\f(ab,c)))＝a2－ eq \f(a4,c2)－ eq \f(a2b2,c2)＝a2－ eq \f(a2(a2＋b2),c2)＝0，故选A. 7．已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，一个焦点为( eq \r(5)，0)，则a＝ ，b＝ ． 解析　由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知 eq \f(b,a)＝2，由c＝ eq \r(5)，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1. 8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 eq \f(x2,m)－ eq \f(y2,m2＋4)＝1的离心率为 eq \r(5)，则m的值为 ． 解析　∵m2＋4>0，∴双曲线的焦点在x轴上，∴c2＝m＋m2＋4，∴e2＝ eq \f(c2,a2)＝ eq \f(m＋m2＋4,m)＝5，∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2. 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为 eq \f(5,4)； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝± eq \f(3,2)x； (3)过点M(2，－2)且与 eq \f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线． 解　(1)设双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1或 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0).由题意知2b＝12， eq \f(c,a)＝ eq \f(5,4)且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴双曲线的标准方程为 eq \f(x2,64)－ eq \f(y2,36)＝1或 eq \f(y2,64)－ eq \f(x2,36)＝1. (2)①当焦点在x轴上时，由 eq \f(b,a)＝ eq \f(3,2)且a＝3，得b＝ eq \f(9,2). ∴所求双曲线方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(4y2,81)＝1. ②当焦点在y轴上时，由 eq \f(a,b)＝ eq \f(3,2)且a＝3，得b＝2.∴所求双曲线方程为 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,4)＝1. 综上，双曲线的标准方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,\f(81,4))＝1或 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,4)＝1. (3)设与双曲线 eq \f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线的双曲线的方程为 eq \f(x2,2)－y2＝λ(λ≠0)， 将点(2，－2)代入得λ＝ eq \f(22,2)－(－2)2＝－2， ∴双曲线的标准方程为 eq \f(y2,2)－ eq \f(x2,4)＝1. 10．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2 eq \r(13)，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求椭圆和双曲线的方程； (2)若P为这两条曲线的一个交点，求cos ∠F1PF2的值． 解　(1)由题知c＝ eq \r(13)，设椭圆方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线方程为 eq \f(x2,m2)－ eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，)) 解得a＝7，m＝3，则b＝6，n＝2. 所以椭圆方程为 eq \f(x2,49)＋ eq \f(y2,36)＝1，双曲线方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,4)＝1. (2)不妨设F1，F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P是第一象限的交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2 eq \r(13)，所以cos ∠F1PF2 ＝ eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|) ＝ eq \f(102＋42－(2\r(13))2,2×10×4)＝ eq \f(4,5). 能力提升 11．从某个角度观察篮球(如图①)，可以得到一个对称的平面图形，如图②所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝ eq \f(1,2)BC＝CD，则该双曲线的离心率为(　　) A． eq \r(2) B． eq \f(\r(6),2) C． eq \r(3) D． eq \f(4\r(7),7) 解析　以O为原点，AD所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，不妨设|AB|＝|BO|＝|OC|＝|CD|＝1，则该双曲线过点( eq \r(2)， eq \r(2))，且a＝1，所以 eq \f(2,1)－ eq \f(2,b2)＝1，解得b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝3，得c＝ eq \r(3)，所以双曲线的离心率为e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(3)，故选C. 12．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　 　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．点P的横坐标为±1 D．△PF1F2的面积为 eq \r(2) 解析　等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确．由双曲线的方程可知|F1F2|＝2 eq \r(2)，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误．设点P(x0，y0)，由点P在圆x2＋y2＝2上，且在直线y＝x上，所以2,0) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y eq \o\al(2,0)＝2，,y0＝x0，)) 解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确．由上述分析可得△PF1F2的面积为 eq \f(1,2)×2 eq \r(2)×1＝ eq \r(2)，故D正确．故选ACD. 13．已知椭圆M： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线N： eq \f(x2,m2)－ eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 ． eq \r(3)－1 解析　椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况． 设双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，如图． 由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为 eq \r(3)， 所以椭圆半焦距为2，2a＝|PQ|＋|PF|＝2 eq \r(3)＋2，a＝ eq \r(3)＋1，椭圆M的离心率为 eq \f(2,\r(3)＋1)＝ eq \r(3)－1. 双曲线N的一条渐近线斜率为 eq \f(n,m)＝tan 60°＝ eq \r(3)， e2＝ eq \f(m2＋n2,m2)＝1＋ eq \f(n2,m2)＝4， 所以双曲线N的离心率为2. 多元数学 14．(逻辑推理)双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|. (1)求C的离心率； (2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF. 解　(1)当|BF|＝|AF|，且BF⊥AF时，有c＋a＝ eq \f(b2,a)＝ eq \f(c2－a2,a)，所以a＝c－a，所以e＝2. (2)证明：由(1)知双曲线方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,3a2)＝1， 设B(x，y)(x>a，y>0)，易知渐近线方程 为y＝± eq \r(3)x，所以∠BAF∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∠BFA∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))， 当x>a，x≠2a时， kAB＝ eq \f(y,x＋a)，kBF＝ eq \f(y,x－c). 设∠BAF＝θ，则tan θ＝ eq \f(y,x＋a)， tan 2θ＝ eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝ eq \f(2×\f(y,x＋a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x＋a)))\s\up42(2))＝ eq \f(2(x＋a)y,(x＋a)2－y2) ＝ eq \f(2(x＋a)y,(x＋a)2－(3x2－3a2))＝ eq \f(2(x＋a)y,－2x2＋2ax＋4a2) ＝ eq \f(y,2a－x)＝ eq \f(y,c－x)＝－kBF＝tan∠BFA. 因为2∠BAF∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以∠BFA＝2∠BAF. 当x＝2a时，由(1)可得∠BFA＝ eq \f(π,2)，∠BAF＝ eq \f(π,4)，故∠BFA＝2∠BAF. 综上，∠BFA＝2∠BAF. $