3.2.2双曲线的简单几何性质 第1课时 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，系统讲解范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等核心知识及标准方程应用。通过对比椭圆性质导入，构建知识支架，衔接圆锥曲线方程的前后学习脉络。 其亮点在于采用表格对比焦点位置差异，结合一题多解和变式训练，培养数学思维与推理能力。“名师点睛”“规律方法”总结助学生用数学语言表达规律，如例1化标准方程求性质、例2据性质求方程，夯实学生基础提升解题能力，为教师提供系统教学资源与方法指导。

第三章　圆锥曲线的方程 3.2.2　第1课时　双曲线的简单几何性质 学 习 目 标 1.理解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单几何性质. 2.能够根据双曲线的几何性质解决有关问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点　双曲线的几何性质 标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 性 质 图形     焦点 　　 　　　  　　　 　　  焦距 　　　　 　　  范围 　　　　或　　　　  y∈　   　　 　或　 　　  x∈　 　  F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) |F1F2|=2c x≤-a x≥a R y≤-a y≥a R 1.双曲线的几何性质 标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 性 质 对称性 对称轴:　　　　 　; 对称中心:　　 　  顶点 A1(-a,0),A2(a,0) 　 　　　　　  轴 线段A1A2叫做双曲线的　　　　　,长度为　　　　　  线段B1B2叫做双曲线的　　　　　,长度为　　　　　  离心率 e=　　　　∈(1,+∞),其中c=                            渐近线 　　　　　  坐标轴 原点 A1(0,-a),A2(0,a) 实轴 2a 虚轴 2b 2.等轴双曲线 实轴和虚轴　　　　　的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为 　　　　　.  等长 y=±x AI·思考辨析 1.等轴双曲线的焦点一定在x轴上吗?其离心率是多少? 2.双曲线=1和=1的渐近线相同吗? 提示 等轴双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,离心率为. 提示 相同,都是y=±x. 体验新知 1.(多选题)已知双曲线C:x2-y2=1,则下列说法正确的有( 　　) A.实轴长为1 B.虚轴长为2 C.离心率e= D.渐近线方程为x±y=0 BCD 解析 由双曲线C:x2-y2=1可知,a=b=1,c=,故实轴长为2a=2,虚轴长为2b=2,离心率e=,渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.故选BCD. 2.已知双曲线=1的离心率e=,实半轴长为4,则双曲线的方程为 　 .  3.(北师大版教材习题改编)双曲线=1的焦点到其渐近线的距离是 　　　　　.  3 解析 由已知可得双曲线的一个焦点为F(5,0),一条渐近线方程为3x-4y=0,焦点到渐近线的距离为 =3. 4.(北师大版教材习题)已知双曲线C: (a>0,b>0)的离心率为2,求双曲线C的渐近线方程. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　由双曲线的方程求几何性质 【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 思路分析 将双曲线方程化为标准方程,先求出参数a,b,c的值,再写出各个结果. 例题探究 (变条件)若将方程9y2-4x2=-36改为9y2-4x2=36,其结果又将如何? 变式训练1　(多选题)(2026重庆高二期中)下列有关双曲线=1的说法中正确的有(　　) A.双曲线的虚轴长为4 B.双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C.双曲线的焦点到渐近线的距离为4 D.经过焦点的最短弦长为6 CD 解析 在双曲线=1中,a2=9,b2=16,c2=a2+b2=25,即a=3,b=4,c=5,所以虚轴长为2b=8,故A错误; 双曲线的点到焦点的距离的最小值为c-a=2,故B错误; 双曲线的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0,焦点F1(-5,0)到4x±3y=0的距离d==4,故C正确; 当过焦点与双曲线相交于一支时,最短的弦长为通径长,为,当过焦点与双曲线相交于两支时,最短弦长为实轴长,为2a=6, 又>6,所以经过焦点的最短弦长为6,故D正确.故选CD. 能力提升点二　根据双曲线几何性质求其标准方程 【例2】 求满足下列条件的双曲线的方程: (1)已知双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且经过点P(,2); (2)已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(-3,2); (3)虚轴长为12,离心率为; (4)过点(2,-2)且与双曲线-y2=1有相同的渐近线. (3)设双曲线的标准方程为=1或=1(a>0,b>0). 由题意知,2b=12,e=.又c2=a2+b2,所以b=6,c=10,a=8. 所以双曲线的标准方程为=1或=1. (4)(方法1)当焦点在x轴上时,由于,故可设双曲线的标准方程为=1,代入点(2,-2)的坐标得b2=-2(舍去);当焦点在y轴上时,可知,故可设方程为=1,代入点(2,-2)的坐标得a2=2.所以所求双曲线的方程为=1. (方法2)因为所求双曲线与已知双曲线-y2=1有相同的渐近线,故可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),代入点(2,-2)的坐标得λ=-2,所以所求双曲线的方程为-y2=-2,即=1. 变式训练2 (北师大版教材习题)求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)渐近线方程为y=±2x,实轴长为2且焦点在x轴上; (2)顶点为(0,-6),(0,6),渐近线方程为y=±x; (3)渐近线方程为y=±x,且经过点(3,2). 能力提升点三　双曲线的渐近线与离心率问题 角度1 求双曲线的离心率或取值范围 【例3—1】 已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为双曲线C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则双曲线C的离心率为(　　) A. B. C. D. A 解析 设|PF2|=m,则|PF1|=3m, 在△F1PF2中,|F1F2|=m, 所以双曲线C的离心率e=. 【例3—2】 已知双曲线C:=1(a>0,b>0),F,A分别为其左焦点与右顶点,若右支上存在点P,使得点A到直线PF的距离为,则该双曲线的离心率的取值范围是(　　) A.(1,2) B.(1,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) A 解析 双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±. 由右支上存在点P,使得点A到直线PF的距离为, 因此>kPF,且kPF=tan∠PFA=,可得(a+c)2-, 即4(a+c)2>9c2,得2a>c,可得e=<2.又e>1,所以1<e<2.故选A. 变式训练3　(1)(2026福建高二期中)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是以F1F2为直径的圆与双曲线E的一个交点,若|PF1|+|PF2|=|F1F2|,则双曲线E的离心率为(　　) A. B. C. D. D 解析 由F1F2为圆的直径,且点P在该圆上,则∠F1PF2=90°. 设|PF1|=m,|PF2|=n,由题意不妨设点P在第一象限, 则即 则2(m2+n2)=8c2=4a2+c2,化简可得, 所以离心率e=. 故选D. (2)(2026全国1,12)双曲线5x2-6y2=1的离心率为　　　　　.  解析 将双曲线5x2-6y2=1化为标准方程,得=1, 则a2=,b2=, 因此c2=a2+b2=, 则离心率为e=. (3)[2024福建福州高二校联考期末]已知双曲线C: (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的左顶点为A,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,其中点Q在y轴右侧.若|AQ|≥3|AP|,则该双曲线的离心率的取值范围是　　　 　.  角度2 双曲线的渐近线与离心率的互化 【例4】 (2026江苏扬州高二期中)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(　　) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x A 解析 因为双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,所以=2,所以渐近线方程为y=±x=±2x.故选A. 例题探究　(变条件)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的离心率 等于,则其渐近线方程为　　　　　　　　　　.  本节要点归纳 1.知识清单: (1)双曲线的几何性质; (2)双曲线的标准方程; (3)双曲线的离心率. 2.方法归纳:定义法、待定系数法. 3.常见误区:(1)求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错; (2)代数计算中容易运算失误. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 1.等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0),则它的标准方程是(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 B 解析 因为等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0), 所以设等轴双曲线的标准方程为=1,a>0,且a2+a2=36,解得a2=18. 故等轴双曲线的标准方程是=1. 1 2 3 4 2.若双曲线 (a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为60°,则该双曲线的离心率等于　　　　　.  2 1 2 3 4 3.(2026四川凉山高二期中)设双曲线C:=1的右焦点为F,过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为H,则|FH|=　　　　　.  2 解析 双曲线C:=1的右焦点F(2,0)到一条渐近线x+y=0的距离|FH|==2. 1 2 3 4 4.(2026广西高二期中)求符合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在x轴上,焦距为6,实轴长为2; (2)过点(),离心率为. 解 (1)设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0), ∵∴ ∴双曲线的标准方程为x2-=1. 1 2 3 4 (2)当双曲线的焦点在x轴上时,设其方程为=1(a>0,b>0), ∵解得 ∴双曲线的标准方程为x2-=1. 1 2 3 4 当双曲线的焦点在y轴上时,设其方程为=1(a>0,b>0), ∵解得 ∴双曲线的标准方程为y2-=1. 综上所述,双曲线的标准方程为x2-=1或y2-=1. 本 课 结 束 =1 =1 y=±x =1 =1 =1　 解析 由已知可得得b=3,所以双曲线的方程为=1. =1 解 由=2可得,所以渐近线方程为y=±x. 解 双曲线的方程化为标准形式是=1, ∴a2=9,b2=4,∴a=3,b=2,c=. 又双曲线的焦点在x轴上,∴顶点坐标为(-3,0),(3,0), 焦点坐标为(-,0),(,0), 实轴长2a=6,虚轴长2b=4, 离心率e=,渐近线方程为y=±x. 解 双曲线的方程化为标准形式是=1, ∴a2=4,b2=9,∴a=2,b=3,c=. 又双曲线的焦点在y轴上,∴顶点坐标为(0,-2),(0,2), 焦点坐标为(0,-),(0,), 实轴长2a=4,虚轴长2b=6, 离心率e=,渐近线方程为y=±x. 解 (1)设双曲线方程为=1(a>0,b>0). ∵双曲线过点P(,2),∴=1. 由题意得解得 故所求双曲线方程为=1. (2)设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0). ∵e=,∴e2==1+,∴. 由题意得解得 ∴所求的双曲线方程为=1. 解 (1)设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2a=2且=2, 即a=1,b=2,故所求双曲线的标准方程为x2-=1. (2)设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则a=6,,即b=8, 故所求双曲线的标准方程为=1. (3)设双曲线的方程为y2-(±x)2=λ,即y2-x2=λ, 将点(3,2)的坐标代入上式得4-×18=λ,λ=-4,即y2-x2=-4, 因此,所求双曲线的标准方程为=1. =1 (1,] 解析 依题意可得,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2, 不妨取双曲线的渐近线y=x,如图, 由所以Q(a,b),P(-a,-b). 双曲线的左顶点为A,则A(-a,0), 所以|AQ|=,|AP|==b. 因为|AQ|≥3|AP|,所以≥3b,化简得a2≥2b2,所以a2≥2(c2-a2), 所以e2=,所以e≤.又e>1,所以e∈(1,]. y=±2x或y=±x 解析 依题意得e=,所以=5,即=5,解得=2. 若双曲线焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±x,即y=±2x; 若双曲线焦点在y轴上,则其渐近线方程为y=±x,即y=±x. =1 解析 由题意得,双曲线的一条渐近线方程的斜率=tan 60°=, 所以双曲线的离心率e==2. $