山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第22章角元形式的塞瓦定理

第22章 角元形式的塞瓦定理 第一角元形式的塞瓦定理设 、 、 分别是 的三边 、 、 所在直线上的点，则三直线 、 、 平行或共点的充要条件是 证明由 ， ， 三式相乘，再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立． 推论设 、 、 分别是 的外接圆三段弧 、 、 上的点，则 、 、 共点的充要条件是 ． 事实上，应用三角形正弦定理，代入角元形式的塞瓦定理即证． 第二角元形式的塞氏定理设 、 、 分别是 的三边 、 、 所在直线上的点， 是不在 的三边所在直线上的点，则 、 、 平行或共点的充要条件是 ． 事实上，注意到塞氏定理及其逆定理，有 ．由此即证得结论． 下面给出应用第一角元形式的塞瓦定理解决问题的例子． 例l（1998年加拿大数学奥林匹克题）如图22-1，在 中， ， ， 和 分别是 和 上的点，使得 ， ， 是直线 和 的交点．证明：直线 和直线 垂直． 证明如图22-1，设 ，则 ，对 及点 ，应用甬元形式的塞瓦定理，有 ． 从而 ， 即有 ． 于是 ． 注意到 ，知 ， ，有 ，故 ． 延长 交 于 ，则 ． 故 ． 例2（1994年香港代表队 选拔赛题）如图22-2，在一个 中， ， 为 内满足 及 的一点．求证： 是 的三等分线． 证明用 表 的度数，令 ，则 ， ， ， ， ．对 及点 应用第一角元形式的塞瓦定理，有 ． 亦即 ． 亦即 ． 从而 而 ，则 ． 由 ，有 于是 ，即 ，从而 ． 故 ，即 是 的兰等分线． 例3（2008年国家集训队测试题）如图22-3，设 为 内的一点， 、 、 分别交对边于点 、 、 ．设 和 的外接圆的公共弦所在的直线为 ，类似地定义 ， ．证明：直线 、 、 三线共点． 证明设 的外接圆和 的外接圆的另一交点 ，则 即 （ 完全四边形的为密克尔点）．易知 在 内， 、 、 、 及 、 、 、 分别四点共圆．类似定义 ， ． 此时， ， ． 从而 ，即有 ． 注意 ， ，对 用正弦定理， 有 ． 同理， 在 内， 在 内， 即为 ， 即为 ，且有 ， ． 从而 ． 而由 、 、 分别交对边 、 、 于 、 、 ，应用塞瓦定理有 ． 于是 ． 这样利用第一角元形式的塞瓦定理可知直线 、 、 三线共点，即 、 、 三条直线共点． 例4（2009年巴尔干地区数学奥林匹克题）在 中，点 、 分别在边 、 上，且 ， 与